Белые карлики, нейтронные звезды и гравитационный коллапс (стр. 3 )

,

(105)

где - радиус звезды. Решение уравнения структуры звезды (103) в предположении, что на границе звезды, то есть, при давление :

.

(106)

Можно видеть, что при , где

,

(107)

давление становится неопределенным. Для исключения этой неопределенности мы вынуждены требовать, чтобы было мнимым, то есть

.

(108)

Это условие гидростатического равновесия звезды. Оно справедливо для некоторых уравнений состояния. Внутренняя метрика

;	(109)
.	(110)

Следствием этой метрики является то, что

.

(111)

Это связано с тем, что условие (108) имеет следствие

(112)

для света, испускаемого с поверхности звезды. Однако

.

(113)

Это показывает, что нет ограничения на смещение для света, приходящего изнутри звезды! Позвольте мне также обрисовать в общих чертах основные идеи космологии. Они не связаны с планируемой в данном докладе тематикой, и могут быть выброшены.

§ 8. Стандартная космология

§ 9. Уравнение звездной структуры

Рассмотрим полевые уравнения Эйнштейна

.

(164)

Эти уравнения могут быть переписаны в виде

.

(165)

Для сферически симметричной совершенной среды (жидкости, газа) тензор энергии-импульса был получен нами ранее (35), а применяемый сейчас принцип ковариантности задается так

;	(166)
.	(167)

Подставляя (165) в (166), и отмечая дальше, что , , мы получим

.

(168)

Уравнения (168) мы выше называли уравнениями Эйнштейна – они будут нами использованы ниже.

Внутренняя метрика задается так

; ; ;

(169)

и для . Так как флюид находится в покое, мы получим

, .

(170)

Мы получим уравнение для давления из этих уравнений. Наши предположения о независимости и сферической симметрии означают, что и являются функциями только . Из уравнений Эйнштейна (164) мы можем посчитать компоненты тензора Риччи , а используя уравнения Эйнштейна (168), мы получим

;	(171)
;	(172)
;	(173)
; .	(174)

Ранее верхние штрихи означали дифференцирование по . Нам сейчас требуется очень важное соотношение, представляющее собой законы сохранения в гравитационном поле. Он задается (опять используя принцип ковариантности, превращающий простую производную в ковариантную производную)

,

(175)

где . Так как производные по времени от , и равны 0, мы получим

.

(176)

Таким образом, уравнение (175) дает

.

(177)

Умножая на , мы получим

.

(178)

Для уравнение (178) дает тождество 0 = 0, в то время как для имеем

.

(179)

Уравнение, которое мы получили, является ключевым.

Некоторые прикладные результаты из тензорного вычисления, которое мы использовали выше: аффинные связи определяют так

;	(180)
.	(181)

Используя формулы, полученные выше, мы определим ковариантные производные

;	(182)
.	(183)

Из этого следует

;	(184)
;	(185)
.	(186)

Последнее было использовано при записи правой части уравнения (175). Подставим все это в уравнение

.

(187)

Это уравнение может быть переписано в виде

.

(188)

Решение с конечным значением

;	(189)
.	(190)

Мы можем сейчас использовать (179) и (189) для исключения гравитационных полей и из (172), в результате чего получим

.

(191)

Это уравнение звездной структуры с поправками общей теории относительности, входящими в последние три члена. Мы рассмотрим звезды изоэнтропийные (адиабатные), то есть такие, в которых энтропия, приходящаяся на один нуклон , не сильно меняется внутри звезды. Этот случай включает в себя два очень разных типа звезд.

§ 10. Внутренняя метрика Шварцшильда

(а) Звезды при абсолютном нуле

Когда звезда истощает свое термоядерное топливо, она может превратиться в белый карлик ли нейронную звезду, в которой температура по - существу близка к абсолютному нулю. Согласно теореме Нернста, энтропия, приходящаяся на каждый нуклон внутри звезды, в этом случае равна нулю.

(b)  Звезды в состоянии конвективного равновесия

Если конвекция является наиболее эффективным механизмом переноса энергии, тогда в равновесии энтропия, приходящаяся на один нуклон, должна быть примерно постоянной внутри звезды. В противном случае, некоторый элементарный объем флюида, содержащий нуклонов, может принять или отдать энергию при перемещении от одной точки внутри звезды к другой. Конвекция в этом случае нарушила бы распределение энергии. Мы также предполагаем, что для звезд, которые мы рассматриваем, химический состав вещества одинаков везде внутри звезды. Удобство состоит в т, что в общем случае является функцией и , но так как - константа, то можно выразить как функцию , без явной зависимости от .

Рассматривая как функцию , мы сводим проблему к паре дифференциальных уравнений первого порядка (191) и (190). Из (190) следует

.

(192)

Уравнение (190) дополняется граничным условием

.

(193)

Уравнения (1вместе с уравнением состояния служат для определения , и , когда известно еще граничное условие, значение , центральная плотность. Мы считаем значение радиуса , где , радиусом звезды.

Вернемся к расчету внутренней метрики. Рассматривая уже один раз , и , мы сразу же смогли получить из уравнения (189). Для того, чтобы найти , мы используем уравнение (191) для преобразования уравнения (179) к виду

.

(194)

Решение с имеет вид

.

(195)

Вне звезды и исчезают, а имеет постоянное значение , поэтому уравнения (179) и (195) дают

(196)

для . Константа должна быть равна массе, определяющей полную энергию звезды и ее гравитационное поле:

.

(197)

§ 11. Энергия гравитационного поля внутри звезды

Может выглядеть парадоксальным, что , которая должна включать энергию гравитационного поля, задается формулой (197) и зависит от плотности энергии , обусловленной только веществом! Ответ состоит в том, что (197) не указывает на то, что есть полная энергия вещества. Полная энергия вещества не может быть определена, может быть только посчитана посредством «расщепления» звезды на малые элементы объема, а затем суммирование энергий отдельных элементов в инерциальной системе отсчета. Это даст

.

(198)

Разность между (197) и (198) может рассматриваться как энергия гравитационного поля. Однако, более информативным кажется сравнение (197) с энергией , которую вещество звезды обладало бы, если его разделить на отдельные частицы и разнести их на бесконечность. Это просто

,

(199)

где г. – масса покоя нуклона, - число нуклонов в звезде. Число нуклонов задается так

,

(200)

где - 4-поток сохраняющегося числа нуклонов. Удобно выражать через собственную плотность числа нуклонов , которая представляет собой плотность числа нуклонов, измеренную в локально - инерциальной системе отсчета в покое в звезде. Тогда

.

(201)

[Напомним (170): , ]. Тогда уравнение (190) можно представить в виде

.

(202)

В общем случае, является функцией соответствующей плотности , химического состава и энтропии, приходящейся на один нуклон. Поэтому и являются фиксированными для звезды с заданной константой и химическим составом, раз мы выбрали .

Интегральная энергия звезды теперь задается

.

(203)

Мы можем также определить соответствующую плотность внутренней энергии материи как

(204)

и записать (203) как

,

(205)

где и - тепловая и гравитационная энергии соответственно: