Белые карлики, нейтронные звезды и гравитационный коллапс (стр. 5 )

.

(263)

Мы также хотим знать внутреннюю энергию

.

(264)

В общем случае для ньютоновских звезд она задается уравнениями (205), (208) и (209):

,

(265)

а тепловая энергия и гравитационная энергия задаются так

,	(266)
.	(267)

Мы покажем, что тепловая энергия и гравитационная энергия замечательно просто задаются выражениями

,	(268)
,	(269)

так что внутренняя энергия определяется выражением

.

(270)

При получении формулы для мы используем уравнение (241), переписывая (267) как:

.

(271)

Умножая и деля в интеграле на , мы получим

	(272)
.	(273)

Мы полагаем, что, поэтому равно 0 при . Вышезаписанный интеграл может быть оценен посредством использования уравнения состояния

(274)

или

.

(275)

Так как мы можем проинтегрировать по частям еще раз

	(276)
.	(277)

Решение относительно приводит нас к уравнению (269). Для расчета мы подставляем (245) в (271), что даст

.

(278)

Таким образом, мы получили выражения (268) и (269).

§ 3. Вариационные оценки

Рассмотрение уравнений (261) и (263) обнаруживает, что число нуклонов ведет себя как , тогда как (275), (258) и (261) показывают, что внутренняя энергия ведет себя как . Таким образом, и никогда не равны нулю вместе. Теорема 1 говорит, что каждая политропа или устойчива, или неустойчива для всех , завися от значений . Но каким образом?

Для ответа на этот вопрос давайте рассмотрим пробную конфигурацию с . В такой конфигурации

,
,
,
,
,
.

Для имеет минимум при

,

соответствующем конфигурации устойчивого равновесия. Для стационарно в по отношению к только если оно равно нулю везде, для чего требуется или

.

Для имеет максимум при верхнем значении , соответствующем состоянию нестабильного равновесия. Верхнее значение дает оценку вариационной массы

,

Которую можно сравнивать с (261)

.

Для это отношение равно 1,8; для отношение принимает значение 1,2. Итак, вариационный метод обеспечивает прекрасную аппроксимацию, и мы можем утверждать, что согласно ему политропа является нестабильной в диапазонах значений и .

Вариационное приближение также обеспечивает метод оценки частоты осцилляций при расширениях и сжатиях звезды. Первые три уравнения этого параграфа для фиксированного дают

.

Мы можем использовать уравнения (268) и (269) для установления исправленных значений и при радиусе равновесия (который мы будем обозначать для того, чтобы отличать его от бегущего значения радиуса осциллирующей конфигурации). Это даст нам

.

Отсюда следует, что для будет иметь минимум при. При , близком к , будет вести себя так

.

Равномерное расширение сферы с однородной плотностью даст кинетическую энергию

,

Поэтому условие сохранения энергии приводит к колебаниям вида

;
.

Окончательно отметим, что однородная сфера, вращающаяся с угловой скоростью , будет иметь кинетическую энергию

.

Это должно быть меньше, чем кинетическая энергия , поэтому максимальная угловая скорость, с которой звезда может вращаться, имеет порядок

.

Конечно, звезда, вращающаяся так быстро не сможет долго оставаться сферой, и полученная формула дает только порядок численной оценки действительной максимальной частоты вращения.

С. Белые карлики

§ 1. Что такое белый карлик?

Представьте себе проэволюционировавшую звезду, которая истощила свое ядерное топливо и начала остывать и сжиматься. Одна из возможностей состоит в том, что звезда становится белым карликом. Типичные значения плотности белых карликов имеют порядок 106 г/см3. Когда температура достаточно низка (смотри ниже, насколько низка), электроны соберутся на самых нижних уровнях энергии. Принцип Паули (волновая функция системы фермионов будет антисимметричной относительно перестановки координат любых двух частиц системы , где - спин одной частицы) утверждает, что на каждом уровне будет по два электрона, так как возможны два спиновых состояния, и уровней в единице объема, где волновое число принимает значения от до .

Поэтому число электронов в единице объема, относящееся к максимальному значению волнового числа , будет

.

(279)

Плотность массы

,

(280)

где - число ядер, приходящихся на каждый электрон. для звезд, которые истратили свой водород и живут, сжигая гелий. Это дает

.

(281)

Условие, когда температуру можно считать незначительной,

.

(282)

Плотность энергии и давление электронов находятся так

;	(283)
,	(284)

фактор 3 возник из-за усреднения по трем направлениям. Уравнение состояния может быть точно записано с использованием (281) и (283).

§ 2. Предел Чандрасекхара

Уравнение состояние в нашем случае не является простым, но оно сводится к политропе в двух крайних случаях, различающихся по критерию : и , где - критическая плотность, при которой становится равной (в единицах СГС):

.

(285)

Случай А: . При этом , поэтому уравнения (283) и (284) приобретают вид

;	(286)
.	(287)

Это политропа с

.

(288)

Тогда уравнение (261) дает массу

	(289)
.	(290)

Радиус в единицах СГС находится по формуле (258)

	(291)
.	(292)

Случай В: . В этом случае , поэтому уравнения (282) и (283) дают

;	(293)
.	(294)

Это политропа с

.

(295)

Уравнение (261) дает уникальную массу

	(296)
,	(297)

тогда как радиус, задаваемый формулой (258)

	(298)
.	(299)

Заметим, что для , поэтому белые карлики с наименьшей массой будут определенно устойчивыми объектами. Мы также видим, что должно монотонно расти при возрастании центральной плотности, достигая максимума (297), когда , то есть, нет состояния, в котором звезда была бы нестабильной. Наш предварительный вывод состоит в том, что устойчивые белые карлики могут существовать при любых массах, меньших (297). Максимальная масса известна как предел Чандрасекхара.

§ 3. Гравитационный потенциал

На самом деле все не так просто. Когда становится энергетически благоприятно для электронов быть захваченными ядрами, превращая протоны в нейтроны и производя нейтрино, которые тотчас же высвечиваются. Эффект состоит в возрастании числа нуклонов , приходящихся на один электрон, и в соответствии с (296) это должно уменьшить массу при заданной центральной плотности. Мы поэтому в праве ожидать возрастания до предела Чандрасекхара пока (уравнение (281) и (285)), где достигает максимума, и затем начинает уменьшаться. Детальные вычисления показывают, что максимальная масса – 1,24 примерно равна пределу Чандрасекхра 1,26 при 56/26. Радиус звезды с этой максимальной массы имеет порядок 4×103км. Теорема 2 утверждает, что этот максимум является точкой перехода от стабильного состояния к нестабильному, поэтому устойчивый железный белый карлик может существовать только при .