Белые карлики, нейтронные звезды и гравитационный коллапс (стр. 1 )

Конспекты лекций

по теме:

Белые карлики, нейтронные звезды и

гравитационный коллапс

Камал Канти Нанди

Факультет математики

Университета Северной Бенгалии

Силигури (WB) 734 013

Индия

E-mail address:*****@***co. in

Мы должны ясно понимать некоторые полезные физические понятия и математический аппарат для усвоения вопросов, указанных в заголовке. Свободное владение понятиями тензорного исчисления, дифференциальной геометрии, специальной теории относительности и общей теории относительности. Ниже я дам только краткие сведения о них.

ЗАМЕЧАНИЕ: Студентам рекомендуется делать пояснительные записи во время презентации, которые помогут им правильно понять представленный материал.

А. Основные понятия и формулы

§ 1. Понятия Специальной Теории Относительности (СТО):

Известно, что уравнение движения Ньютона задается в виде

,

(1)

где , 1, 2, 3 есть 3-импульс, определяемый как , и соответственно есть внешняя 3-сила, действующая на частицу. Специальная теория относительности Эйнштейна модифицировала формулировку ньютоновского 3-вектора в 4-вектор, задаваемый следующим образом (мы берем , латинские индексы пробегают значения от 1 до 3, греческие – от 0 до 3):

;	(2)
; 0, 1, 2, 3,	(3)

где - позиционный 4-вектор и - инвариант Лоренца () собственного временного интервала, задаваемый формулой:

.

(4)

Временной интервал является инвариантом относительно преобразований Лоренца (ПЛ). 4-вектор

,

(5)

такой что называется 4-вектором скорости. В движущейся совместно системе отсчета и тогда компоненты приводятся к виду

.

(6)

Предположим, что один наблюдатель видит частицу покоящейся в точке с координатами , а второй наблюдатель видит эту частицу движущейся с постоянной скоростью . Тогда преобразованные координаты , полученные посредством преобразований Лоренца, будут иметь вид

;	(7)
,	(8)

где компоненты симметричной матрицы Лоренца

;	(9)
;	(10)
;	(11)
.	(12)

Рост или убывание индексов 4-векторов задается метрикой Минковского . Например,

(13)

и т. д. Однако отметим, что для 3-векторов , и так далее. (Почему?).

Пространственные компоненты образуют вектор релятивистского импульса

,

(14)

а его временная компонента есть релятивистская энергия

.

(15)

Таким образом, мы называем 4-вектором энергии-импульса для частицы. Исключая скорость из формул (14) и (15), получим

.

(16)

Уравнение (16) тождественно уравнению

.

(17)

Отношение (14) к (15) дает

,

(18)

а если (фотоны)

.

(19)

§ 2. Тензор энергии-импульса

(а) Система частиц

Рассмотрим систему частиц, пронумерованных индексом с 4-векторами энергии-импульса . Плотность определяется как

,

(20)

а их поток определится как

.

(21)

Эти два определения можно объединить в одну формулу

,

(22)

где . Мы также отметим, что из уравнения (18) следует, что

,

(23)

так что (22) может быть переписано в виде

.

(24)

Это симметричный тензор энергии-импульса для системы из частиц. Следует отметить, что

,

(25)

где есть плотность силы, задаваемая как

.

(26)

Если частицы свободны, , отсюда следует закон сохранения

.

(27)

(b)  Сплошная среда

Предположим, что мы находимся в системе отсчета (отмеченное знаком тильды), в которой течения нет в некотором определенном месте и в некоторый момент времени, так что

,	(28)
,	(29)
,	(30)

где - изотропное давление, а - соответствующая плотность потока в покоящейся системе отсчета. Переместимся теперь в лабораторную систему отсчета, в которой поток представляется движущимся (в заданной пространственно-временной точке) со скоростью . Тогда тензор в лабораторной системе отсчета определяется применением двух последовательных компонентов симметричной матрицы Лоренца к как следует из

(31)

или, более подробно, используя уравнения (9)-(11):

;	(32)
;	(33)
.	(34)

Уравнения (могут быть объединены в одно уравнение

.

(35)

(с) Сохранение числа частиц

Если есть плотность числа частиц в лоренцовой системе отсчета, которая движется вместе с потоком в заданной пространственно-временной точке, то в этой системе отсчета 4-вектор потока частиц в этой точке

.

(36)

В лабораторной системе отсчета плотность числа частиц , которую течение представляет движущейся (в данной пространственно-временной точке) со скоростью , создает поток

;	(37)
.	(38)

Эти уравнения могут быть записаны более компактно

.

(39)

При течении флюида сохраняются энергия и импульс

(40)

и числа частиц

.

(41)

Учитывая, что и используя (40) с , получим

.

(42)

Скалярное уравнение получается умножением уравнения (40) на и учетом отношения

.

(43)

Тогда мы имеем

.

(44)

(d)  Энтропия

Используя уравнение (41), мы можем записать это как

,	(45)
.	(46)

Второй закон термодинамики говорит нам, что

,

(47)

где - постоянная Больцмана, - удельная энтропия (энтропия в пересчете на один нуклон). Скалярное уравнение (46) теперь можно записать в виде

(48)

Удельная энтропия именно потому сохраняется во времени и в любой точке что движется вместе с потоком. Таким образом, фундаментальные уравнения динамики жидкости – «уравнение неразрывности» (41), «уравнение Эйлера» (42) и «уравнение энергии» (46) вместе с уравнениями состояния, которые дают выражения и через и . Скоро мы их будем использовать.

(e)  Внутренняя энергия системы частиц

В движущейся лоренцевой системе отсчета будет иметь изотропную форму, так что давление и плотность энергии будут

;	(49)
,	(50)

поскольку плотность числа частиц

.

(51)

Из этого следует, что в общем случае

.

(52)

Для холодного нерелятивистского газа мы можем аппроксимировать для одной частицы

.

(53)

Подставляя это в уравнение (50), получим

.

(54)

Для горячего, ультрарелятивистского газа имеем

,

(55)

так что уравнение (50) дает

.

(56)

Уравнения (54) и (56) могут быть объединены в единое уравнение для внутренней энергии

,

(57)

где (нерелятивистский), (ультрарелятивистский). Тогда уравнение (47) даст

.

(58)

Тогда уравнение (48) приобретет вид

(59)

и уравнение (57) может быть использовано для выражения через и . Уравнение (57) применимо для самых разных течений, не только для систем частиц. Мы убедимся в этом позднее.

§ 3. Уравнения Эйнштейна для поля

Самое удивительное применение дифференциальной геометрии осуществлено в Общей Теории Относительности Эйнштейна. Мы знаем теорию гравитации Ньютона, и мы задаем вопрос, зачем нужна новая теория. Ответ состоит в том, что ньютоновская теория не может объяснить некоторые астрономические наблюдения, например, аномальную прецессию перигелиев планет. Поэтому новая теория была необходима. Эйнштейн уже сформулировал свою Специальную Теорию Относительности (СТО) в 1905 г., и мы знаем, что в ней основой пространства-времени является тензор Минковского с метрикой (, если не специально возвращаться и мы выбираем сигнатуру +, -, -, -):