Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 2 )

Тема 1. События и их классификация. Определения вероятности случайного события

Основные определения. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности.

Тема 2. Комбинаторика. Выборки элементов

Комбинаторика и ее общие правила. Выборки элементов. Размещения перестановки. Сочетания и их свойства.

Тема 3. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий

Основные определения. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий и следствия из них. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Тема 5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Многоугольник распределения вероятностей. Наивероятнейшее число наступлений события.

Тема 6. Простейший поток случайных событий и распределение Пуассона

Поток событий. Простейший (Пуассоновский) поток событий. Интенсивность потока. Формула Пуассона. Асимптотическая формула Пуассона.

Тема 7. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Правила применения приближенных формул Пуассона и Лапласа.

Тема 8. Понятие дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Понятие дискретной случайной величины. Способы задания непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Ряд распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание (определение, его вероятностный смысл, размерность, свойства); дисперсия (определение, целесообразность введения, свойства); среднее квадратическое отклонение (определение, размерность).

Тема 9. Понятие непрерывной случайной величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина. Интегральная функция распределения: свойства, график. Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения): определение. Вероятностный смысл, свойства, график. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Тема 10. Равномерное и показательное распределение непрерывной случайной величины

Равномерное распределение непрерывной случайной величины: определение. Интегральная функция распределения: графики, числовые характеристики. Показательное (экспоненциальное) распределение непрерывной случайной величины: определение.

Тема 11. Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Определение. График плотности вероятности. Стандартное нормальное распределение. Влияние параметров а и σ на вид кривой плотности вероятности. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал (α; β). Правило «трех сигм».

Тема 12. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности

Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности. Основные определения. Графическое представление статистической совокупности (полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения). Основная задача выборочного метода. Вычисление числовых характеристик.

Тема 13. Корреляция и регрессия. Оценки параметров

Задачи теории корреляции. Корреляционная зависимость. Параметры прямой регрессии. Корреляционная таблица. Коэффициент линейной корреляции.

5. Образовательные технологии

Комплексное изучение учебной дисциплины «Математический анализ» предполагает овладение материалами лекций, учебной литературы, творческую работу студентов в ходе проведения практических, а также систематическое выполнение заданий для самостоятельной работы студентов.

В ходе лекций раскрываются основные вопросы в рамках рассматриваемой темы, делаются акценты на наиболее сложные и интересные положения изучаемого материала, которые должны быть приняты студентами во внимание. Материалы лекций являются основой для подготовки студента к практическим занятиям.

Основной целью практических занятий является контроль степени усвоения пройденного материала, закрепление материала и развитие навыка самостоятельного решения задач.

При проведении занятий в аудитории используется интерактивное оборудование (компьютер, мультимедийный проектор, интерактивный экран), что позволяет значительно активизировать процесс обучения. Это обеспечивается следующими предоставляемыми возможностями: отображением содержимого рабочего стола операционной системы компьютера на активном экране, имеющем размеры классной доски, имеющимися средствами мультимедиа; средствами дистанционного управления компьютером с помощью электронного карандаша и планшета. Использование интерактивного оборудования во время проведения занятий требует знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio и умения пользоваться информационными технологиями. Получение знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio при проведении занятий по данной изучаемой дисциплине возможно с помощью специального обучающего курса на электронном носителе, который можно получить на факультете экономики, менеджмента и международного туризма.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

6.1. Виды самостоятельной работы и формы контроля

N темы	Наименование тем	Содержание самостоятельной работы	Форма контроля
1.	События и их классификация. Определения вероятности случайного события	Решение простейших задач на вероятность.	Контрольная работа, математический диктант, индивид. задания
2.	Комбинаторика. Выборки элементов.	Решение примеров на размещения, перестановки, сочетания.	Индивид. Задания, Контрольная работа, математический диктант
3.	Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий	Решение задач на теоремы сложения и умножения вероятностей.	Контрольная работа, математический диктант, индивид задания
4.	Формула полной вероятности. Формула Бейеса	Решение задач по формулам полной и вероятности и Бейеса.	Контрольная работа, индивид. задания
5.	Повторные независимые испытания. Формула Бернулли	Решение задач на повторные независимые испытания (формула Бернулли). Составление закона распределения вероятностей.	Контрольная работа, индивид. задания
6.	Простейший поток случайных событий и распределение Пуассона	Решение задач на поток событий по формуле Пуассона и по приближенной формуле Пуассона.	Контрольная работа, математический индивид. задания
7.	Локальная и интегральная теоремы Лапласа	Решение задач на повторные независи-мые испытания с большим количест-вом испытаний.	Контрольная работа, математический диктант
8.	Понятие дискретной случайной величины. Числовые характерис-тики дискретной случайной величины	Нахождение число-вых характеристик дискретной случайной величины:	Контрольная работа, математический диктант, индивид. задания
9.	Понятие непрерывной случайной величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины	Нахождение интег-ральной функции распределения: её свойства, графика. Вычисление вероят-ности попадания случайной величины в заданный интервал. Плотность распреде-ления вероятностей, график. Нахождение числовых характе-ристик непрерывной случайной величины.	Контрольная работа, индивид. задания
10.	Равномерное и показательное распределение непрерывной случайной величины	Нахождение интегральной функции распределения. Графики. Числовые характеристики.	Контрольная работа, индивид. задания
11.	Нормальное распределение непрерывной случайной величины	Построение графика плотности вероятности. Нахождение вероятнос-ти попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал (α; β).	Контрольная работа, индивид. задания
12.	Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности	Графическое представ-ление статистической совокупности. Вычисление числовых характеристик.	Контрольная работа, индивид. задания
13	Корреляция и регрессия. Оценки параметров	Корреляционная зависимость. Нахождение параметров прямой регрессии. Составление корреляционной таблицы. Нахождение коэф. линейной корреляции.	Контрольная работа, индивид. задания

6.2. тематика семинарских занятий

Тема 1. Комбинаторика. Выборки элементов

1. Решение примеров на размещения, перестановки, сочетания.

2.Решение задач на нахождение вероятности с применением размещений, перестановок, сочетаний.

Тема 2. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий

1. Решение задач на теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий и следствия из них.

2. Условная вероятность. Решение задач на теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

Тема 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

1.  Решение задач на применение формулы полной вероятности.

2.  Решение задач на применение формула Бейеса.

Тема 4. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

1.  Повторные независимые испытания. Решение задач.

2.  Решение задач с применением формулы Бернулли.

3.  Построение многоугольника распределения вероятностей.

4.  Нахождение наивероятнейшего число наступлений события.

Тема 5. Простейший поток случайных событий и распределение Пуассона

1.  Простейший (Пуассоновский) поток событий. Решение задач.

2.  Решение задач с применением формулы Пуассона.

3.  Асимптотическая формула Пуассона. Решение задач.

Тема 6. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

1.  Применение локальной теоремы Лапласа.

2.  Применение интегральной теоремы Лапласа.

3.  Правила применения приближенных формул Пуассона и Лапласа.

Тема 7. Понятие дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины

1.  Нахождение закона распределения вероятностей дискретной случайной величины.

2.  Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины:

Тема 8. Понятие непрерывной случайной величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

1.  Нахождение интегральной функции распределения: её свойства, график.

2.  Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.

3.  Плотность распределения вероятностей, график.

4.  Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.

5.  Нахождение числовых характеристик непрерывной случайной величины.

Тема 9. Равномерное и показательное распределение непрерывной случайной величины

1.  Интегральная функция распределения. Графики. Числовые характеристики. Решение задач.

2.  Показательное (экспоненциальное) распределение непрерывной случайной величины. Решение задач.

Тема 10. Нормальное распределение непрерывной случайной величины

1.  Построение графика плотности вероятности.

2.  Стандартное нормальное распределение.

3.  Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал (α; β).

4.  Правило «трех сигм».

Тема 11. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности

1.  Задачи математической статистики.

2.  Генеральная и выборочная статистические совокупности. Решение задач.

3.  Графическое представление статистической совокупности (полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения). Построение.

4.  Основная задача выборочного метода.

5.  Вычисление числовых характеристик.

Тема 12. Корреляция и регрессия. Оценки параметров

1.  Задачи теории корреляции.

2.  Нахождение параметров прямой регрессии.

3.  Корреляционная таблица.

4.  Нахождение Коэффициентов линейной корреляции.

6.3. варианты заданий по темам

Тема 1. Комбинаторика. Выборки элементов

Задания 1-10

1. Герман из «Пиковой дамы» вынимает 3 карты из колоды в 52 листа. Найти вероятность того, что это будут: тройка, семерка, туз.

2. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара.

3. Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?

4. В партии из 10 деталей имеются 4 бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 деталей окажутся 2 бракованные?

5. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

6. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

7. В урне 6 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Из урны наугад вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 белых и 1 черный шар.

8. Юноша забыл две последние цифры телефонного номера своей знакомой и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер будет набран правильно?

9. В лотерее выпущено 20 билетов, 10 из которых выигрывают. Куплено 5 билетов. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из купленных билетов выигрышный?

10. Из партии, в которой 30 деталей без дефекта и 5 с дефектом, берут наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что, по крайней мере, одна деталь без дефекта.

Тема 2. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий

Задачи 11-20

11. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, смешал буквы и разложил их вновь в произвольном порядке. Найти вероятность того, что снова получится слово «ананас».

12. Абонент забыл 2 последние цифры номера и набрал их наудачу, помня только, что эти числа нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

13. В лифт 7-этажного дома вошло 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со 2-го. Найти вероятность, что все пассажиры выйдут на 4-м этаже.

14. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает его наудачу. Найти вероятность того, что ему придется сделать не более чем 2 неудачные попытки.

15. Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для 1-го стрелка – 0,6; для 2-го – 0,7; для 3-го – 0,8. Найти вероятность одного попадания в цель.

16. Из колоды в 32 карты наугад одна за другой вынимаются две карты. Найти вероятность того, что вынуты валет и дама.

17. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из 1-го орудия равна 0,85, из 2-го – 0,91. Найти вероятность поражения цели.

18. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа 1-й станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7; для 2-го станка эта вероятность равна 0,8; для 3-го – 0,9; для 4-го – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа, по крайней мере, один станок потребует к себе внимания рабочего.

19. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьёвке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

20. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на 1-й и 2-й вопросы билета, равны 0,9; на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса.

Тема 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Задачи 21-40

21. Среди поступающих на сборку деталей с 1-го станка 0,1% бракованных, со 2-го – 0,2%, с 3-го – 0,25%, с 4-го – 0,5%. Производительность станков относится как 4:3:2:1. Найти вероятность поступления на сборку годного изделия.

22. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 3:2. Доля продукции высшего сорта на 1-м заводе составляет 80%, а на 2-м – 60%. Найти вероятность приобретения продукции не высшего сорта.

23. На склад от 3 поставщиков поступило 200, 300 и 500 изделий соответственно. Продукция первого поставщика имеет 5% брака, 2-го – 6%, 3-го – 4%. Найти вероятность получения со склада годного изделия.

24. На межрайонной базе находятся костюмы, изготовленные на 3 фабриках. Из них 30% изготовлено на 1-й базе, 50% – на 2-й, 20% – на 3-й фабрике. Известно, что из каждых 100 костюмов, изготовленных на 1-й фабрике, знак качества имеют 60%, для 2-й и 3-й фабрик этот показатель равен соответственно 70% и 80%. Определить вероятность того, что взятый наугад с базы костюм не будет иметь знак качества.

25. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

26. На фабрике работают 3 станка. При этом производительность 2-го станка вдвое выше производительности 1-го и в полтора раза выше производительности 3-го. На 1-м станке из каждых 10 изделий 6 изделий высшего сорта, на 2-м – 8 изделий и на 3-м – 7 изделий. Найти вероятность того, что взятое наугад со склада изделие имеет высший сорт.

27. На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что 1-й автомат дает 0,3% брака, 2-й – 0,2% и 3-й – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступило 1000, со 2-го – 2000 и с 3-го – 2500 деталей.

28. Приборы одного наименования изготавливаются на 3 заводах. 1-й завод поставляет 45% всех изделий, поступивших на производство, 2-й – 30% и 3-й – 25%. Надежность прибора, изготовленного на 1-м заводе, равна 0,8, на 2-м – 0,85 и на 3-м – 0,9. Определить полную надежность прибора, поступившего на производство.

29. На фабрике изготавливающей болты, 1-я машина производит -25%, 2-я – 35%, 3-я – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

30. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную – с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, отвечает стандарту.

31. Два консервных завода поставляют в магазин мясные и овощные консервы, причем 1-й поставляет в 3 раза большего 2-го. Доля овощных консервов в продукции 1-го завода составляет 60%, а 2-го – 50%. Для контроля в магазине наудачу взято одно изделие. Какова вероятность того, что это мясные консервы?

32. Два товароведа проверяют партию изделий. Производительности их труда относятся как 2:1,5. Первый товаровед бракует 10% изделий, а второй – 15%. Из проверенных изделий наудачу взято одно изделие, которое оказалось годным. Найти вероятность того, что изделие проверено вторым товароведом.

33. В данный район изделия поставляются 3 фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции 1-й фирмы стандартные изделия составляют 90%, 2-й – 85%, 3-й – 75%. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено 3-й фирмой?

34. В кондитерском цехе выпускают торты и пирожные, причем пирожных в 5 раз больше. 20% тортов и 40% пирожных изготовлены с орехами. Наугад выбранное изделие оказалось с орехами. Какова вероятность того, что это: торт? пирожное?

35. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по 3 классам: класс Н1 (мало рискует), класс Н2 (рискует средне), Н3 (рискует сильно). Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших автомобили, 30% принадлежит к классу Н1, 50% – к классу Н2, 20% – к классу Н3. Вероятность того, что в течение года водитель класса Н1 попадает хотя бы в одну аварию, равна 0,01, для водителей класса Н2 эта вероятность равна 0,02, для водителей класса Н3 – 0,08. Водитель А страхует свою машину и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу Н1?

36. В продукции кондитерской фабрики шоколадные конфеты составляют 40% ассортимента. В среднем 10 из 1000 шоколадных конфет оказываются с браком, для остальной продукции этот показатель равен 5 из 200. Выбранное наугад изделие оказалось без брака. Какова вероятность того, что это была шоколадная конфета.

37. Завод выпускает для магнитофонов 3 типа предохранителей. Доля каждого из них в общем объеме составляет 30%, 50%, 20% соответственно. При перегрузке сети предохранитель 1-го типа срабатывает с вероятностью 0,8, 2-го – 0,9 и 3-го – 0,85. Выбранный наудачу предохранитель не сработал при перегрузке сети. Какова вероятность того, что он принадлежал к 1-му типу?

38. На фабрике, изготавливающей некоторую продукцию, 1-я машина производит 30%, 2-я – 45% , 3-я – 25% всех изделий. Брак их продукции составляет соответственно 2% , 5% и 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие произведено 1-й машиной, если оно оказалось дефектным.

39. Один из 3 стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для 1-го стрелка равна 0,3, для 2-го – 0,5, для 3-го – 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведен 2-м стрелком.

40. В часовую мастерскую поступают в среднем 40% часов с дефектом А, 25% с дефектом В и 35% с дефектом С. Вероятность ремонта часов с дефектом А равна 0,6, с дефектом В – 0,7, с дефектом С – 0,8. Часы, поступившие в ремонт, полностью отремонтированы. Найти вероятность того, что у часов был дефект А.

Тема 4. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Задачи 41-50

41. В среднем 5-я часть поступающих в продажу автомобилей некомплектна. Найти вероятность того, что среди 10 автомобилей имеют некомплектность: а) 3 автомобиля; б) менее 3.

42. Отдел технического контроля проверяет изделие на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. Найти вероятность того, что из 2 проверенных изделий только 1 стандартно.

43. В квартире 4 электролампочки. Для каждой лампочки вероятность не перегореть в течение года равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее 3 лампочек.

44. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь на лини не менее 8 машин.

45. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта во время гарантийного срока равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 телевизоров: а) не более одного потребуют ремонта; б) хотя бы один потребует ремонта.

46. Вероятность того, что балка выдержит критическую нагрузку, равна 0,8. Испытывают 5 балок. Найти вероятность того, что: а) все выдержат нагрузку; б) 3 выдержат нагрузку; в) не менее 2 выдержат нагрузку.

47. Вероятность прибытия поезда без опоздания равна 0,9. Считая опоздания поездов независимыми событиями, найти вероятность того, что из 5 поездов опоздает не более 1.

48. База заказала на некоторый день 4 машины, имея 6 потребителей, каждый из которых дает по одному заказу в день, независимо друг от друга, с вероятность 0,4. Определить вероятность того, что машин не хватит для удовлетворения всех заказов.

49. Певец получит главный приз, если он победит, по крайней мере, в трех конкурсах. Найти вероятность получения им приза, если было проведено 5 конкурсов и вероятность победы певца в каждом конкурсе равна 0,7.

50. В бюро 5 компьютеров. Вероятность того, что каждый из них в течение года потребует ремонта, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года не придется ремонтировать хотя бы 2 компьютера.

Тема 5. Простейший поток случайных событий и распределение Пуассона

Задачи 51-67

51. На стоянку такси в течение 15 минут подъезжает 2 машины. Найти вероятность того, что за 30 минут на стоянку подъедет: а) 3 машины; б) не более 3; в) ни одной машины.

52. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3 самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета.

53. При работе ЭВМ возникают сбои (нарушения в работе). Среднее число сбоев в сутки равно 2. Найти вероятность того, что: а) за 2 суток не произойдет сбоя; б) в течение суток произойдет хотя бы один сбой; в) за 3 суток произойдёт не менее 3 сбоев.

54. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 4. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 6 вызовов; б) менее 6 вызовов; в) не менее 6 вызовов.

55. В магазин в среднем заходит 2 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 1,5 минуты в магазин войдет: а) не менее 2 покупателей; б) ровно 4; в) не более одного.

56. Через кассу в магазине в течение одной минуты проходит в среднем 2 человека. Найти вероятность того, что за 2 минуты пройдет: а) 4 человека; б) не менее 2 человек; в) не более 3 человек.

57. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3 самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета.

58. На стоянку такси в течение 15 минут подъезжает 2 машины. Найти вероятность того, что за 30 минут на стоянку подъедет: а) 3 машины; б) не более 3; в) ни одной машины.

59. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 час, равно 3. Найти вероятность того, что за 4 часа в порт зайдут: а) 6 кораблей; б) менее 6 кораблей; в) не менее 6 кораблей.

60. Через кассу в магазине в течение 1 минуты проходит в среднем 2 человека. Найти вероятность того, что за 2 минуты пройдет: а) 4 человека; б) не менее 2 человек; в) не более 3.

61. Вероятность поражения быстродвижущейся цели при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель 2 и более раз при 5000 выстрелах.

62. На 1000 семян приходится в среднем 4 пораженных. Найти вероятность того, что из 5000 семян поражено не более 6.

63. Магазин получил 2000 бутылок минеральной воды. Предусмотренный процент боя при перевозке составляет 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит: а) ровно 3 разбитые бутылки; б) более 3 разбитых бутылок; в) хотя бы 1 разбитую бутылку.

64. Вероятность выпуска бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей будет: а) 8 бракованных; б) не более 2 бракованных.

65. Вероятность поражения быстродвижущейся цели при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель 2 и более раз при 5000 выстрелах.

66. Среди 1000 человек приблизительно 8 левшей. Какова вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек не окажется ни одного левши.

67. Завод отправил потребиизделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) 3 изделия; б) менее 3 изделий; в) более 3 изделий; г) хотя бы одно изделие.

Тема 6. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Задачи 68-86

68. Предположим, что вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75.

69. Предположим, что вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,0075?

70. Вероятность появления стандартной продукции в каждой из независимых выборок, проводимых товароведом, равна 0,8. Найти вероятность того, что стандартная продукция появится 120 раз в 144 выборках.

71. Вероятность выхода из строя за сутки одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что за сутки из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя 20?

72. Вероятность того, что покупателю требуется костюм 50-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют костюм 50-го размера 25 человек.

73. Автоматическая штамповка клемм для предохранителей дает 10% отклонений от принятого стандарта. Сколько стандартных клемм следует ожидать с вероятностью 0,0587 среди 400 клемм?

74. Вероятность встретить на улице знакомого равна 0,2. сколько среди первых 100 случайных прохожих можно надеяться встретить знакомых с вероятностью 0,95?

75. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока службы равен 12%. Вычислить вероятность того, что из 66 наблюдаемых телевизоров 56 выдержат гарантийный срок.