Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 3 )

76. Вероятность рождения мальчика примем равной 0,5. Найти вероятность того, что среди 400 новорожденных детей будет 200 мальчиков.

77. Вероятность того, что саженец елки прижился, равна 0,8. Посажено 400 елочных саженцев. Какова вероятность того, что вырастет не менее 250 деревьев.

78. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженых семян число проросших будет заключаться между 790 и 830.

79. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 75%. Оценить вероятность того, что из 8000 заложенных в инкубатор яиц вылупиться от 5950 до 6050 (включительно) цыплят.

80. Вероятность, что взятая наугад лампочка, изготовленная данным заводом, прослужит гарантийный срок, равна 0,9. Какова вероятность, что среди 100 лампочек этого завода окажется не мене 80 и не более 100 тех, которые обеспечат гарантийный срок службы.

81. 10% яблок, поступающих в магазин, имеют брак. Найти вероятность того, что в партии из 10000 яблок будет менее 200 бракованных.

82. В партии товаров имеется 400 изделий. Вероятность того, что изделие будет высшего сорта, равна 0,8. Какова вероятность того, что число изделий высшего сорта будет от 310 до 330?

83. Пусть вероятность того, что покупатель овощного магазина не купит картошку, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 625 покупателей более 120 купят картошку.

84. С вероятностью 0,8 орудие при выстреле поражает цель. Произведено 1600 выстрелов. Какова вероятность того, что при этом произошло не менее 1200 попаданий?

85. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 1100 студентов не менее 20 левшей?

86. Было посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность того, что отдельное дерево приживется, равна 0,8.

Тема 7. Понятие дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Задачи 87-96

87. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую 10-ю единицу товара денежный приз размером 1 тыс. рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша при 5 сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

88. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

89. Найти закон распределения числа пакетов 3 акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

90. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

91. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию А и 15 тыс. руб. – компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. компания В обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, найти её математическое ожидание.

92. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

93. Имеются 3 ключа, из которых только один подходит. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

94. На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них или разрешает или запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу светофоров, пройденных автомобилем до 1-й остановки.

95. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди 4 отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

96. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Тема 8. Понятие непрерывной случайной величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Задачи 97-106

Найти: а) математическое ожидание М(Х); б) дисперсию Д(Х) – двумя способами; в) среднее квадратическое отклонение σ(Х), дискретной случайной величины Х по данному закону её распределения (в первой строчке указаны возможные значения хi , во второй строке – вероятности возможных значений – рi ); г) составьте функцию распределения величины Х и постройте её график; д) вычислите вероятность попадания величины Х в интервал (Х2 < Х < Х4). Пользуясь составленной Вами функцией F(Х).

97.

хi	4	6	8	10	12
рi	0.2	0.3	0.1	0.2	0.2

98.

хi	10	20	30	40	50
рi	0,1	0,2	0,2	0,2	0,3

99.

хi	0	2	4	6
рi	0.2	0.3	0.3	0.2

100.

хi	1	2	3	4
рi	0,1	0,2	0,3	0,4

Задачи 101 ¸103.

Случайная величина Х задана интегральной функцией F(x). Требуется: а) убедиться, что заданная функция F(x) является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства F(x). В случае положительного ответа найти: б) дифференциальную функцию (плотность распределения) f(x); в) математическое ожидание случайной величины Х; г) дисперсию случайной величины Х; д) среднее квадратическое отклонение; е) построить графики интегральной и дифференциальной функций (F(x) и f(x) соответственно); ж) определить вероятность попадания величины Х в интервал двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции), а затем проиллюстрировать этот результат на графиках F(x) и f(x):

задача	F(x)	a	b
101		-3	0
102		0	1,5
103		0	p/6

Тема 9. Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Задачи 104-106

Задано математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины . Требуется: а) найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу ; б) найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше ; в) найти симметричный относительно интервал, в который попадёт величина с вероятностью ; г) дать графические пояснения ответов на кривой нормального распределения; д) найти интервалы, в которых практически окажутся все значения величины («правило трех сигм»).

Номер задачи	a	s	a	b	d	p
104	7	3	6	10	1	0,5223
105	12	4	12	16	2	0,5821
106	9	3	9	18	6	0,8904

Тема 10. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности

Задачи 107-116

В опыте было получено 150 вариантов, составляющих выборочную совокупность. Провести статистическую обработку результатов опыта.

А. Составить вариационный ряд с равноотстоящими центрами интервалов, разбив всю вариацию на 7 – 9 интервалов, выбрав 100 значений признака соответствующих вашей задаче.

Б. Построить следующие графики выборочной совокупности (составленного вами вариационного ряда): а) полигон частот; б) полигон частостей; в) гистограмму частот; г) гистограмму частостей; д) эмпирическую функцию распределения.

В. Методом произведений найти числовые характеристики выборочной совокупности, заполнив предварительно расчетную таблицу 1 и проверив её дважды , - выборочная средняя, - выборочная дисперсия, - выборочное среднее квадратическое отклонение, - асимметрия, - эксцесс, - коэффициент вариации.

Г. По результатам обработки выборочных данных выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по следующим признакам: а) по виду гистограммы частостей, сравнивая с дифференциальной функцией теоретического распределения; б) по виду графика эмпирической функции, сравнив её с графиком интегральной функции теоретического распределения; в) по величине асимметрии и эксцесса.

Д. Построить кривую нормального распределения по опытным данным, приняв в качестве параметров математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение . Заполнить расчетную таблицу.

Е. Применив критерий согласия Пирсона с заданным уровнем значимости , окончательно принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Заполнить расчетные таблицы 2 и 3.

Ж. Сделать заключение о генеральной совокупности по результатам обработки выборочных данных. Найти числовые характеристики генеральной совокупности по следующим уровням надежности: 1); 2); 3).

Номер задачи	Номера значений признака
107	с 1 по 100
108	с 2 по 101
109	с 3 по 102
110	с 4 по 103
111	с 5 по 104
112	с 6 по 105
113	с 7 по 106
114	с 8 по 107
115	с 9по 108
116	с 10 по 109

Номера значений признака	Значения признака, полученного из опыта
1-10	88	104	91	98	77	88	86	79	86	72
11-20	82	68	71	87	89	89	81	81	70	79
21-30	84	91	87	83	90	69	100	96	79	94
31-40	93	86	81	83	84	92	93	85	84	88
41-50	63	87	87	81	95	90	69	95	96	84
51-60	82	79	88	83	90	92	80	81	85	81
61-70	84	96	86	94	85	92	79	75	94	66
71-80	88	79	89	75	92	79	78	95	84	91
81-90	91	74	73	73	85	85	76	83	76	86
91-100	71	85	92	84	90	82	90	73	89	87
101-110	72	96	86	95	91	76	94	95	84	96

6.4. Методические рекомендации для преподавателей по подготовке и проведению различных видов учебных занятий

Подготовка и проведение лекций

Лекция (от лат. lectio – чтение) – систематическое, последовательное и ясное изложение преподавателем учебного материала или какого-либо научного вопроса. При необходимости может сопровождаться демонстрацией слайдов и фильмов. Как одна из организационных форм и методов обучения традиционна для высшей школы. Лекция – экономный по времени способ сообщения студентам значительного объема информации. В среднем учебная лекция занимает 1,5 – 2 часа.

Основными современными требованиями, предъявляемыми к лекции, являются: целостное и систематическое изложение материала, его научность, доступность, органичная связь с другими видами учебных занятий.

Лекция должна иметь:

·  четкую структуру и логику раскрытия последовательно изучаемых вопросов;

·  иметь законченный характер освещения определенной темы (проблемы), связь с предыдущим материалом;

·  быть доказательной и аргументированной, содержать достаточное количество примеров, обоснований, доказательств;

·  ставить перед студентами вопросы для размышления;

·  лектор должен уметь пробуждать интерес к знаниям, стимулировать к самостоятельной работе;

·  лектору необходимо уметь удерживать внимание аудитории, его речь должна быть культурной, т. е. отличаться смысловой точностью и грамматической правильностью; он должен владеть специальной терминологией и уметь ее разъяснять.

От лектора требуется не только четкое и логически связное изложение содержания предмета, но и умение направить и стимулировать слушателей к активной мыслительной работе. Восприятие лекции слушателями зависит от качества материала. Главное в лекции – умение активизировать познавательную деятельность слушателей, добиться ответной мыслительной реакции. Лекция призвана подтолкнуть студентов к размышлению, подсказать направления самостоятельной работы, побудить к действию.

В каждой лекции должны быть неразрывно объединены два начала - образовательное и воспитательное. В лекции не должно быть ничего лишнего, все направляется на достижение поставленной цели, на раскрытие основной идеи, на доказательство того или иного положения. Существенное значение имеет использование на лекции средств обратной связи различной степени сложности. Обратная связь выступает как способ для лектора получать представление о ходе усвоения материала и активности аудитории.

Подготовка лекции - это процесс, включающий в себя сбор, накопление и распределение материала по времени, продумывание логического построения лекции, выделение наиболее важных моментов из всего материала. Лекция должна аккумулировать все накопленные материалы, так или иначе относящиеся к теме. Процесс подготовки к лекции индивидуален и во многом зависит от сложности темы, подготовленности преподавателя, особенностей учебной группы. Однако, несмотря на это, можно выделить основные этапы в процессе подготовки, характерные для лекции по любому учебному предмету. К ним относятся:

·  изучение исходной документации;

·  разработка замысла лекции и выбор целесообразной методики;

·  оформление лекции, репетиция.

Структура лекции:

·  название темы;

·  указание времени на лекцию в целом, вводную часть, основную часть, заключение;

·  вводная часть;

·  основная часть;

·  краткие выводы по каждому из вопросов;

·  заключение;

·  список использованной литературы.

К исходной документации, которой обязан руководствоваться преподаватель, относится программа учебной дисциплины, учебники и учебно-методические пособия, частные методики преподавания дисциплины, расписание занятий со студентами. При разработке замысла лекции одной из важных задач преподавателя является постановка учебной проблемы. Умение найти основную идею в каждой лекционной теме имеет решающее значение для ее успеха. Как правило, тема лекции определена учебной программой данной дисциплины. Она обязательна для преподавателя. Изменения в названии темы, постановке учебных вопросов обязательно обсуждаются на кафедре и только после соответствующего утверждения вносятся коррективы. Самостоятельно изменять их формулировку преподаватель не имеет права. Его право – выбирать содержание, соответствующее теме и учебным вопросам, а также методы, ведущие к достижению оптимального результата познавательной деятельности студентов. При выборе методов преподаватель исходит из соображения педагогической целесообразности и учета состава студенческой аудитории. При разработке структуры лекции важно смоделировать эффект ее воздействия, расчленить учебный материал на модули, логически увязанные друг с другом, сформулировать основные идеи и выводы по каждому учебному вопросу и теме в целом; надо так подойти к собранному материалу и так знать его, чтобы найти каждому учебному модулю его логическое место. Логическая стройность, соразмерность и взаимосвязь отдельных частей ведет к четкости ее изложения, ясности освещения вопроса, облегчает ее понимание студентами.

Оформление лекции заключается, как правило, в разработке ее полного текста или плана-конспекта. Полный текст лекции необходим при чтении лекции по особо важному учебному материалу. В плане-конспекте дается краткое содержание излагаемых вопросов, фактический материал, выводы и обобщения, пометки о времени и месте демонстрации средств наглядности, а также другие пометки, необходимые преподавателю в ходе чтения лекции. В отдельных случаях преподаватель составляет краткий план лекции, включая в него обязательные входные данные и перечень вопросов с распределением их по времени.

Вводная часть (введение).

Вступление (введение) определяет не только тему и план, но и цель лекции. Оно призвано заинтересовать и настроить аудиторию на слушание материала. На лекции преподавателю необходимо сначала установить контакт с аудиторией, затем, не торопясь, четко и ясно, назвать тему лекции, дать студентам записать ее. Далее перейти к изложению вводной части, в которой определяется место темы в изучаемом курсе и ее значение для практической деятельности студентов, проинформировать о распределении времени на тему. Если это не первая лекция по теме, то преподаватель должен связать ее с предшествующей лекцией. Далее следует перечислить учебные вопросы и дать возможность студентам записать их.

Проведение лекции может предусматривать различные варианты ее начала, однако в целом вводная ее часть должна четко ориентировать студентов в рамках рассматриваемой проблемы, а также указать на то, что они должны усвоить на лекции, чему конкретно научиться.

Вводная часть лекции не должна занимать более 5 – 7 минут. Темп ее изложения, как правило, выше темпа изложения содержания учебных вопросов, что заставляет обучаемых психологически собраться и сосредоточиться.

Важное условие успеха преподавателя на лекции – интонация, выразительность его речи, оптимальность ее ритма и темпа, включение элементов юмора. Определяя темп речи, преподаватель должен учитывать, что студенты записывают только то, что преподаватель подчеркивает голосом, разрядкой речи, педагогическими паузами и повторами отдельных положений, приглашением обучаемых к тому, чтобы они запомнили то или иное положение, выделенное преподавателем.

Заключительная часть. Заключение в структуре лекции имеет также большое значение, т. к. именно оно позволяет подвести итоги сказанному, поставить перед студентами необходимые задачи, указать на связь с последующим учебным материалом и порядок подготовки к следующему занятию, ответить на вопросы, возникшие за время лекции. После ответов на возникшие вопросы лектор заканчивает занятие.

Необходимо помнить, что к важнейшим преимуществам лекционного обучения относится то, что лектору можно задать вопрос и тут же получить ответ. После того, как на поступивший вопрос дан полный и достаточно обоснованный ответ, преподавателю после лекции следует обдумать, почему заданы такие вопросы, и внести необходимые коррективы в текст лекции.

Лекторское мастерство преподавателя, как и его знания, оттачиваются в результате ежедневного труда. Для этого требуется тщательный анализ результатов каждой прочитанной лекции, как по ее содержанию, так и по форме изложения.

Подготовка и проведение практических занятий

Специфика этого вида занятий (семинаров) состоит в выполнении самостоятельно или под руководством преподавателя заданий и является активной формой учебных занятий. Практические занятия призваны развивать и закреплять у студентов навыки самостоятельной работы, применять полученные на лекциях знания. В ходе семинара вырабатывается умение формулировать, обосновывать и излагать собственное суждение по обсуждаемому вопросу, умение отстаивать свои взгляды, а также углубляются и закрепляются знания, полученные на лекциях и в ходе самостоятельной работы.

Во всех случаях семинары выполняют познавательную, воспитательную и контрольную функции, т. е. в ходе подготовки и проведения семинара студенты приобретают более глубокие знания, существенно расширяется их представление об изучаемом предмете, приобретается способность свободно оперировать понятиями и терминами, ранее им незнакомыми. В ходе семинара преподаватель изучает обучаемых, степень усвоения ими материала. Семинары выполняют также и функцию контроля: преподаватель составляет суждение об уровне знаний обучаемых, получает представление о сильных и слабых сторонах их подготовки – все это дает возможность преподавателю своевременно оказать необходимую помощь слабо успевающим студентам.

Разумеется, что всего этого удастся достичь только в случае высокой активности студентов, которая напрямую зависит от уровня их подготовленности, а также от умения преподавателя создать атмосферу раскованности, взаимопонимания и взаимодоверия. К традиционным семинарам в высшей школе относят:

·  занятия, основная цель которых – углубленное изучение определенного систематического курса и тематически связанного с ним;

·  занятия, предназначенные для основательной проработки отдельных, наиболее важных и типичных в методологическом отношении тем курса или отдельной темы;

Основные функции практического (семинарского) занятия:

Познавательная функция. Семинар позволяет организовать творческое, активное изучение теоретических и практических вопросов, установить непосредственное общение преподавателя со студентами, формирует самоконтроль за правильным пониманием изучаемого материала со стороны студентов, расширяет и закрепляет знания, навыки и умения.

Воспитательная функция. Семинар осуществляет связь теоретических знаний с практикой, усиливает обратную связь субъекта и объекта воспитания, дает возможность преподавателю изучить индивидуальные особенности каждого студента.

Функция контроля. Семинар позволяет проконтролировать уровень знаний, навыков и умений студентов, качество их самостоятельной работы.

Подготовка семинара.

Работу к организации данного вида занятий преподаватель начинает с определения исходных данных. К ним относятся: тема, вопросы, определенные учебной программой, состав студентов и уровень их подготовки, время и продолжительность занятия, возможности учебно-материальной базы. При разработке исходных данных преподаватель руководствуется учебной программой, которая регламентирует глубину и направленность обучения. Учебные и воспитательные цели преподаватель формулирует исходя из темы, педагогических задач и уровня подготовки студентов.

Изучив общие положения и методическую литературу по предмету, преподаватель начинает непосредственную подготовку к занятию. При выборе методов преподаватель исходит из содержания вопросов, подготовленности студентов, целей занятий и возможностей учебно-материальной базы. Необходимо стремиться к тому, чтобы избранные методы обучения и методические приемы способствовали углубленному изучению предмета, а также прививали практические навыки.

При расчете учебного времени необходимо учитывать содержание учебных вопросов и цель занятия – чего хочет добиться преподаватель от студентов: овладения ими знаниями или знаниями, навыками и умениями.

При подготовке к семинару преподаватель должен подобрать ряд примеров, на которых можно отработать лекционный материал, показать практическое значение темы, тщательно продумать порядок их на занятии. Обязательно необходимо подобрать задания разной сложности (от простого к сложному), а также более сложные задания для сильных студентов. Затем ему необходимо отобрать наглядные пособия для практического занятия, определить технические средства обучения и изучить правила их использования на занятии. Особенно тщательно продумывается задание на самоподготовку студентам, разрабатывается план семинарского занятия. Преподаватель контролирует подготовку студентов к семинару, оказывает им помощь.

При личной подготовке к семинарскому занятию преподаватель детально разбирается в теме, просматривает литературные источники, которые рекомендовал для изучения студентам, просматривает систему наглядности на предстоящем занятии. По итогам личной подготовки преподаватель составляет план-конспект. Он является основным рабочим документом преподавателя и определяет направление и ход занятия. Обычно план-конспект составляется в произвольной форме, должен быть прост и удобен для использования на занятии. В нем, как уже отмечалось ранее, должно быть отражены: тема занятия; учебные и воспитательные цели; время, отводимое на занятие; учебные вопросы и распределение времени; метод проведения занятия; место проведения занятия; материальное обеспечение; руководства и пособия; порядок проведения занятия.