Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 4 )

Перед проведением занятия преподаватель может проверить качество подготовки студентов к занятию.

ТЕСТИРОВАНИЕ

Контроль в виде тестов может использоваться после изучения каждой темы курса.

Итоговое тестирование можно проводить в форме:

·  компьютерного тестирования, т. е. компьютер произвольно выбирает вопросы из базы данных по степени сложности;

·  письменных ответов, т. е. преподаватель задает вопрос и дает несколько вариантов ответа, а студент на отдельном листе записывает номера вопросов и номера соответствующих ответов.

Для достижения большей достоверности результатов тестирования следует строить текст так, чтобы у студентов было не более 40 – 50 секунд для ответа на один вопрос. Итоговый тест должен включать не менее 60 вопросов по всему курсу. Значит, итоговое тестирование займет целое занятие.

Оценка результатов тестирования может проводиться двумя способами:

1) по 5-балльной системе, когда ответы студентов оцениваются следующим образом:

- «отлично» – более 90% ответов правильные;

- «хорошо» – более 80% ответов правильные;

- «удовлетворительно» – более 70% ответов правильные.

Студенты, которые правильно ответили менее чем на 70% вопросов, должны в последующем пересдать тест. При этом необходимо проконтролировать, чтобы вариант теста был другой;

2) по системе зачет-незачет, когда для зачета по данной дисциплине достаточно правильно ответить более чем на 70% вопросов.

Чтобы выявить умение студентов решать задачи, следует проводить текущий контроль (выборочный для нескольких студентов или полный для всей группы). Студентам на решение одной задачи дается 15 – 20 минут по пройденным темам. Это способствует, во-первых, более полному усвоению студентами пройденного материала, во-вторых, позволяет выявить и исправить ошибки при их подробном рассмотрении на семинарских занятиях.

6.5.Методические указания по самостоятельной работе

Самостоятельная работа студентов в ходе семестра является важной составной частью учебного процесса и необходима для закрепления и углубления знаний, полученных в период сессии на лекциях, семинарах, а также для индивидуального изучения дисциплины в соответствии с программой и рекомендованной литературой. Самостоятельная работа выполняется в виде подготовки домашнего задания.

Контроль за качеством самостоятельной работы может осуществляться с помощью устного опроса на лекциях или семинарах, группового решения задач, проведения коллоквиума, проверки письменных контрольных работ.

Устные формы контроля помогут оценить понимание студентами материала (применение теорем, свойств), умение передать нужную информацию, грамотно использовать математические термины.

Письменные работы помогут преподавателю оценить насколько студенты владеют материалом, умение пользоваться свойствами, теоремами, методами решения задач.

В ходе написания контрольной работы студент приобретает навыки самостоятельной работы с научной, учебной и специальной литературой, учится анализировать источники и грамотно излагать свои мысли.

6.6.Перечень вопросов для подготовки к зачетам

1.  Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности.

2.  Комбинаторика и ее общие правила.

3.  Выборки элементов. Размещения, перестановки. Сочетания и их свойства.

4.  Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий и следствия из них.

5.  Условная вероятность. Зависимые и независимые события.

6.  Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

7.  Формула полной вероятности.

8.  Формула Бейеса.

9.  Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

10.  Наивероятнейшее число наступлений события.

11.  Поток событий. Формула Пуассона.

12.  Асимптотическая формула Пуассона.

13.  Локальная теорема Лапласа.

14.  Интегральная теорема Лапласа.

15.  Правила применения приближенных формул Пуассона и Лапласа.

16.  Понятие дискретной случайной величины. Способы задания непрерывной случайной величины.

17.  Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Ряд распределения.

18.  Числовые характеристики дискретной случайной величины.

19.  Математическое ожидание (определение, его вероятностный смысл, размерность, свойства).

20.  Дисперсия (определение, целесообразность введения, свойства); среднее квадратическое отклонение (определение, размерность).

6.7.Перечень вопросов для подготовки к экзамену

1.  Непрерывная случайная величина.

2.  Интегральная функция распределения: свойства, график.

3.  Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.

4.  Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения): определение. Вероятностный смысл, свойства, график.

5.  Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

6.  Равномерное распределение непрерывной случайной величины: определение.

7.  Интегральная функция распределения: графики, числовые характеристики.

8.  Показательное (экспоненциальное) распределение непрерывной случайной величины: определение.

9.  Нормальное распределение.

10.  Влияние параметров а и σ на вид кривой плотности вероятности.

11.  Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал (α; β).

12.  Правило «трех сигм».

13.  Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности. Основные определения.

14.  Графическое представление статистической совокупности (полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения).

15.  Основная задача выборочного метода. Вычисление числовых характеристик.

16.  Задачи теории корреляции. Корреляционная зависимость.

17.  Параметры прямой регрессии. Коэффициент линейной корреляции.

18.  Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности.

19.  Комбинаторика и ее общие правила.

20.  Выборки элементов. Размещения, перестановки. Сочетания и их свойства.

21.  Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий и следствия из них.

22.  Условная вероятность. Зависимые и независимые события.

23.  Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

24.  Формула полной вероятности.

25.  Формула Бейеса.

26.  Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

27.  Наивероятнейшее число наступлений события.

28.  Поток событий. Формула Пуассона.

29.  Асимптотическая формула Пуассона.

30.  Локальная теорема Лапласа.

31.  Интегральная теорема Лапласа.

32.  Правила применения приближенных формул Пуассона и Лапласа.

33.  Понятие дискретной случайной величины. Способы задания непрерывной случайной величины.

34.  Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Ряд распределения.

35.  Числовые характеристики дискретной случайной величины.

36.  Математическое ожидание (определение, его вероятностный смысл, размерность, свойства).

37.  Дисперсия (определение, целесообразность введения, свойства); среднее квадратическое отклонение (определение, размерность).

6.8.Задания для АКР (по вариантам)

Вариант 1

1. Герман из «Пиковой дамы» вынимает 3 карты из колоды в 52 листа. Найти вероятность того, что это будут: тройка, семерка, туз.

2. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, смешал буквы и разложил их вновь в произвольном порядке. Найти вероятность того, что снова получится слово «ананас».

3. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 3:2. Доля продукции высшего сорта на первом заводе составляет 80%, а на втором - 60%. Найти вероятность приобретения продукции не высшего сорта.

4. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это: а) мужчина; б) женщина (считать, что их поровну).

5. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех.

6. На стоянку такси в течение 15 минут подъезжает 2 машины. Найти вероятность того, что за 30 минут на стоянку подъедет: а) 3 машины; б) не более 3-х; в) ни одной машины.

7. Предположим, что вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75.

8. Вероятность того, что саженец елки прижился, равна 0,8. посажено 400 елочных саженца. Какова вероятность того, что вырастет не менее 250 деревьев.

9. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Вариант 2

1. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара.

2. Абонент забыл две последние цифры номера и набрал из наудачу, помня только, что эти числа нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

3.Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со второго – 0,2%, с третьего – 0,25%, с 4-го – 0,5%. Производительность станков относится как 4:3:2:1. Найти вероятность поступления на сборку годного изделия.

4. Два консервных завода поставляют в магазин мясные и овощные консервы, причем первый поставляет в три раза большего второго. Доля овощных консервов в продукции первого завода составляет 60%, а второго – 50%. Для контроля в магазине наудачу взято одно изделие. Какова вероятность того, что это мясные консервы?

5. Отдел технического контроля проверяет изделие на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.

6. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета.

7.Предположим, что вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,0075 ?

8. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженых семян число проросших будет заключаться между 790 и 830.

9. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Вариант 3

1. Владелец одной карточки лотереи ²Спортлото² (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?

2. В лифт семиэтажного дома вошло три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже.

3. На склад от трех поставщиков поступило 200, 300 и 500 изделий соответственно. Продукция первого поставщика имеет 5% брака, второго – 6%, третьего – 4%. Найти вероятность получения со склада годного изделия.

4. Два товароведа проверяют партию изделий. Производительности их труда относятся как 2:1,5. Первый товаровед бракует 10% изделий, а второй – 15%. Из проверенных изделий наудачу взято одно изделие, которое оказалось годным. Найти вероятность того, что изделие проверено вторым товароведом.

5. В квартире 4 электролампочки. Для каждой лампочки вероятность не перегореть в течение года равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее 3 лампочек.

6. При работе ЭВМ возникают сбои (нарушения в работе). Среднее число сбоев в сутки равно 2. Найти вероятность того, что: а) за двое суток не произойдет сбоя; б) в течение суток произойдет хотя бы один сбой; в) за трое суток произойдёт не менее 3-х сбоев.

7. Вероятность появления стандартной продукции в каждой из независимых выборок, проводимых товароведом, равна 0,8. Найти вероятность того, что стандартная продукция появится 120 раз в 144 выборках.

8. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 75%. Оценить вероятность того, что из 8000 заложенных в инкубатор яиц вылупиться от 5950 до 6050 (включительно) цыплят.

9. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

Вариант 4

1. В партии из 10 деталей 4 бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых 5 деталей окажутся 2 бракованные?

2. В один прекрасные весенний вечер Дюпон и Дюран играли в кости на террасе кафе. Они по очереди бросали две кости. Если сумма оказывалась равной семи, то очко выигрывал Дюран, если сумма равнялась восьми, то выигрывал Дюпон. На кого из них вы бы поставили, если бы вам пришлось держать пари?

3. На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлены на первом заводе и 40 % на втором. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных на первом заводе 90 соответствуют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных на втором заводе, соответствуют стандарту 80 лампочек. Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка будет соответствовать стандарту.

4. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что : а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

5. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь на лини не менее 8 машин.

6. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 4. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 6 вызовов; б) менее 6 вызовов; в) не менее 6 вызовов.

7. Вероятность выхода из строя за сутки одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что за сутки из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя 20 ?

8. Вероятность, что взятая наугад лампочка, изготовленная данным заводом, прослужит гарантийный срок, равна 0,9. Какова вероятность, что среди 100 лампочек этого завода окажется не от 80 и не более 100 тех, которые обеспечат гарантийный срок службы.

9. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Вариант 5

1. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

2. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает его наудачу. Найти вероятность того, что ему придется сделать не более чем две неудачные попытки.

3. На межрайбазе находятся костюмы, изготовленные на трех базах. Из них 30% изготовлено на первой базе, 50% - на второй, 20% - на третьей фабрике. Известно, что из каждых 100 костюмов, изготовленных на первой фабрике, знак качества имеют 60%, для второй и третьей фабрик этот показатель равен соответственно 70% и 80%. Определить вероятность того, что взятый наугад с базы костюм не будет иметь знак качества.

4. В кондитерском цехе выпускают торты и пирожные, причем пирожных в 5 раз больше. 20% тортов и 40% пирожных изготовлены с орехами. Наугад выбранное изделие оказалось с орехами. Какова вероятность того, что это: торт? пирожное?

5. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта во время гарантийного срока равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 телевизоров: а) не более одного потребуют ремонта; б) хотя бы один потребует ремонта.

6. В магазин в среднем заходит 2 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 1,5 минуты в магазин войдет: а) не менее двух покупателей; б) ровно 4; в) не более одного.

7. Вероятность того, что покупателю требуется костюм 50 размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют костюм 50 размера 25 человек.

8. 10% яблок, поступающих в магазин, бракованные. Найти вероятность того, что в партии из 10000 яблок будет менее 200 бракованных.

9. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию А и 15 тыс. руб. - компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. компания В обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, найти её математическое ожидание.

6.9.Уровень требований к итоговому контролю

Итоговый контроль проводится в форме экзамена (устно или письменно в виде ответов на вопросы билета). Количество билетов – 30. Для сдачи экзамена необходимо знать подробные ответы на 60 вопросов.

При этом оценка знаний студентов осуществляется как по 5-балльной системе, так и в баллах в комплексной форме с учетом:

·  оценки за работу в семестре;

·  контрольных работ;

·  оценки по итогам промежуточного контроля (зачеты);

·  оценки итоговых знаний в ходе экзамена.

Ориентировочное распределение максимальных баллов по видам отчетности представлено в таблице.

N п/п	Виды отчетности	Баллы
1	Оценка работы в семестре	10
2	Контрольные работы	20
3	Зачеты	20
4	Результаты экзамена	50
	итого	100

Оценка знаний по 100-балльной шкале в соответствии с установленными критериями реализуется следующим образом:

менее 51 балла – «неудовлетворительно»;

от 51 до 69 баллов – «удовлетворительно»;

от 70 до 85 баллов – «хорошо»;

свыше 86 баллов – «отлично».

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

7.1. Основная литература

1.  Красс в экономике: Учеб. – М.:ИД ФБК-ПРЕСС, 2005.

2.  Кремер математика для экономистов: Учеб. для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.

3.  Солодовников в экономике: Учеб. – М.: Финансы и статистика, 2005

4.  Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 2007.

5.  Малугин для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и упражнения: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: ЭКСМО, 2006.

6.  Малугин для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: ЭКСМО, 2006.

7.  Малугин для экономистов: Математический анализ. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: ЭКСМО, 2005.

8.  Пискунов и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. Т. 1–2. – М.: Интеграл-Пресс, 2006.

9.  , Данко : Учеб. пособие. – М.: МарТ, 2007.

Беклемишев аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. – М.: Физматлит, 2007. , , Данко математика в упражнениях и задачах. – М.: Оникс, 2007. Шелобаев -математические методы и модели: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2005.

7.2. Дополнительная литература

1.  Выгодский по высшей математике. – М.: АСТ, 2004.

2.  Гусак математика. В 2-х томах. – М.: ТетраСистемс, 2004.

3.  Демидович курс высшей математики: Учеб. пособие. – М.: АСТ, 2005.

4.  Ермаков курс высшей математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2001.

5.  , , Черемных методы в экономике: Учеб. – М.: ДИС, 2004.

6.  Запорожец к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1964.

7.  Колемаев экономика. – М.: ИНФРА-М, 2005.

8.  Конюховский методы исследования операций в экономике. – СПб.: ПИТЕР, 2000.

9.  Кремер вероятностей и математическая статистика: Учеб. для вузов. – М: ЮНИТИ, 2002.

10.  Малыхин в экономике: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002.

11.  Мышкис по высшей математике. – М.: Наука, 1967.

12.  Сборник задач по высшей математике для экономистов /Под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2001.

13.  Сборник задач по математике для втузов. Т. 1–2 /Под ред. , . – М.: Наука, 1986.

7.3. Программное обеспечение и интернет-ресурсы

***** mathnet. ***** www. ***** www. ***** economictheory. ***** ***** ecsocman. ***** microeconomics. ***** *****/economics/economist/ vlib. *****/rosec/ www. ***** www. ***** www. ***** www. ***** www. *****

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

Рекомендуются инновационные компьютерные технологии, основанные на операционных системах Windows, Linux, Open Sourse, а также интернет-ресурсы (сайты образовательных учреждений, ведомств, журналов, информационно-справочные системы, электронные учебники).

При проведении занятий в аудитории используется интерактивное оборудование (компьютер, мультимедийный проектор, интерактивный экран), что позволяет значительно активизировать процесс обучения. Это обеспечивается следующими предоставляемыми возможностями: отображением содержимого рабочего стола операционной системы компьютера на активном экране, имеющем размеры классной доски, имеющимися средствами мультимедиа; средствами дистанционного управления компьютером с помощью электронного карандаша и планшета. Использование интерактивного оборудования во время проведения занятий требует знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio и умения пользоваться информационными технологиями.