Направление: Прикладная математика и информатика (стр. 2 )

- Коммутанты элементов алгебр Ли и их квантовые листы.

Список литературы

, Лекции по квантовой механике / М.: Мир, 1968. П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах / М.: Мир, 1970. , Элементы теории представлений / М.: Наука, 1972. , Метод вторичного квантования / М.: Наука, 1986. , Обобщенные когерентные состояния и их применение / М.: Наука, 1987. , Общая теория вихрей / Ижевск, 1998. , , Гамильтонов подход в теории солитонов / М.: Наука, 1986. , Операторные методы / М.: Наука, 1973. , Асимптотические методы и теория возмущений / М.: Наука, 1988. , Задачник по операторным методам / М.: МИЭМ, 1979. , , Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование / М.: 1991. M. V. Karasev (ed.), Coherent transform, quantization and Poisson geometry / Advances Math. Sci., 40, AMS, 1998. M. V. Karasev (ed.), Asymptotic methods for wave and quantum problems / Advances Math. Sci., 53, AMS, 2003. M. V. Karasev (ed.), Quantum algebra and Poisson geometry in mathematical physics / Advances Math. Sci., 57, AMS, 2005. Н. Харт, Геометрическое квантование в действии / М.: Мир, 1985. В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики / М.: Мир, 1977. , , Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / М.: Наука, 1981. , Группа путей. Измерения. Поля, Частицы / М.: Наука, 1983. , Квантовая оптика в фазовом пространстве / М.: Физматлит, 2005. , , Квазичастицы в физике конденсированного состояния / М.: Физматлит, 2007.

Математические методы исследования нелинейных систем

Цель курса: ознакомление с основными классами эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными, которые возникают при описании нелинейных явлений, и с методами построения их (асимптотических) решений; с единой точки зрения, с помощью метода слабых асимптотик, рассматриваются разнородные, на первый взгляд, задачи такие как распространение и взаимодействие солитонов или слияние свободных границ при фазовых переходах; излагается также метод построение точных решений вполне интегрируемых нелинейных уравнений с помощью обратной задачи рассеяния.

Задачи курса: слушатели должны освоить основные нелинейные эволюционные модели математической физики, понятие обобщенного решения, метод характеристик и его обобщения; знать свойства, присущие решениям нелинейных уравнений (нелинейные эффекты), метод обратной задачи рассеяния, метод слабых асимптотик (с точки зрения техники вычислений и алгебры), метод регуляризаций; уметь исследовать уравнения с частными производными первого порядка, строить решения уравнения неразрывности в разрывном поле скоростей, описывать распространение и взаимодействие уединенных нелинейных волн в различных задачах типа уравнений Бюргерса, Хопфа, Кортевега-де Фриза и его аналогов; с помощью метода обобщенных характеристик уметь анализировать прямую и обратную задачи Коши для параболического уравнения Колмогорова-Феллера глобально по времени.

Программа курса

1. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка в дивергентной форме («скалярные законы сохранения»). Метод характеристик. Условие устойчивости Лакса-Олейник. Метод малой вязкости. Энтропийное условие Кружкова.

2. Уравнение Бюргерса. Задача о взаимодействии сглаженных ударных волн. Преобразование Хопфа-Коула.

3. Введение в метод слабых асимптотик. Асимптотические алгебры обобщенных функций с общим сингулярным носителем. Общие асимптотические алгебры обобщенных функций. Связь с теорией Коломбо.

4. Нелинейные законы суперпозиции. Взаимодействие сглаженных ударных волн для уравнений типа Бюргерса. Рождение ударных волн как результат взаимодействия слабых разрывов. Распад неустойчивой ударной волны. Взаимодействие ударной волны и волны разряжения в одномерном случае.

5. Асимптотические алгебры в многомерном случае. Рождение ударной волны как результат взаимодействия слабых разрывов.

6. Уравнения с малой дисперсией. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ.

7. Метод Маслова построения асимптотических солитонных решений для уравнений типа КдВ с переменными коэффициентами и малой дисперсией.

8. Описание взаимодействия солитонов в интегрируемых и неинтегрируемых уравнениях типа КдВ с малой дисперсией в рамках метода слабых асимптотик.

9. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Негладкие решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана и их связь с обобщенными решениями «законов сохранения» в одномерном случае. Построение негладких решений уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана методом характеристик.

10. Уравнение неразрывности в разрывном поле скоростей. Концентрация массы на подмногообразиях положительной коразмерности. Дельта-ударные волны: определение и построение методом характеристик. Дельта-ударные волны в многомерном случае. Описание взаимодействия дельта-ударных волн методом слабых асимптотик. Дельта-ударные волны с сингулярным носителем в виде стратифицированного многообразия.

11. Система уравнений газовой динамики без давления. Связь дельта-ударных волн с «блинной» теорией Зельдовича-Шандарина о строении вселенной. Влияние «темной материи» на процесс концентрации масс.

12. Построение обобщенных решений уравнения переноса с помощью обобщенных решений уравнения неразрывности и преобразования Маделунга.

13. Параболические псевдодифференциальные уравнения с малым параметром (уравнения типа Колмогорова-Феллера). Неосциллирующие аналоги ВКБ-решений в малом по времени. Асимптотика фундаментального решения при малых временах. Общая схема туннельного канонического оператора Маслова.

14. Построение глобальных по времени асимптотических решений уравнения с малым параметром типа Колмогорова-Феллера методом характеристик. Решение задачи Коши в обратном времени.

Список литературы

1. C. M. Dafermos, Hyperbolic conservation laws in continuum physics / Springer, 2000.

2.Теория солитонов. Метод обратной задачи / М., Мир, 1980.

3. Дж. Лэм, Введение в теорию солитонов / М., Мир, 1983.

4. М. Абловиц, X. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи / М., Мир, 1987.

5. V. G. Danilov, G. A. Omel’yanov, V. M. Shelkovich, Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves / Asymptotic methods for wave and quantum problems, Amer. Math. Soc. , Transl. Ser. 2, 208, 33–163, Providence, RI, 2003.

6. V. G. Danilov, V. M. Shelkovich, Delta-shock wave type solution of hyperbolic systems of conservation laws / Quart. Appl. Math. 63(2005), no. 3, 401–427.

7. S. Albeverio, V. Danilov, Global in Time Solutions to Kolmogorov-Feller Pseudodifferential Equations with Small Parameter / Russian Journal Math. Phys.,, no. 1, 10-25.

8. V. G. Danilov, D. Mitrovic, Shock wave formation process for a multidimension scalar conservation law / Quarterly Appl. Math., XIX (2011), no.4, 613-634.

Модели биофизики и термодинамики макромолекул; самосборка

Цель курса: ознакомить с базовыми процессами и объектами молекулярных мезосистем.

Задачи курса:

- получение базовых знаний о биофизике молекулярных мезосистем,

- ознакомление с механизмами молекулярного движения и самосборки,

- получение представлений о математических моделях, описывающих молекулярные мезосистемы,

- подготовка к самостоятельным исследованиям в области моделирования макромолекул и явлений самосборки.

Программа курса

1. Базовые физико-химические структуры и процессы в молекулярных мезосистемах.

Молекулы биологической клетки, мембраны, плазма, регуляторы протеинов, энзимы.

Молекулярные моторы. Потоки информации в клетке. Биокомпьютер Либермана.

Броуновское движение, уранение Фоккера-Планка, соотношения Эйнштейна,

диффузионное приближение, теория Крамерса теплового туннелирования, химические реакции.

2. Термодинамика мягкой материи.

Статистический вес, энтропия, конформационная энтропия. Второй закон термодинамики, равновесные процессы. Примеры: термодинамика нитей, стальные проволоки, каучук.

Физика воды, роль водородных связей. Осмотическое давление. Особый статус модели Изинга. Денатурация ДНК.

3. Проблема самосборки.

Амфифильные молекулы, образование бислоёв. Вирусы. Молекулярные машины.

Модельные представления, основанные на уравнении Фоккера-Планка, применение к деятельности энзимов. Самосборка как работа молекулярной вычислительной машины.

4. Механика мембран.

Строение биологической мембраны. Искусственные химические мембраны, их технологические применения. Модель Хелфрика. Фазы губок (sponge phases). Трудности аналитического и дифференциально-геометрического подхода; численное моделирование.

Список литературы

, Молекулярная биофизика, Наука, Москва (1975).

А. Зоммерфельд, Термодинамика и статистическая физика, ИЛ, Москва (1955)

Р. Кубо, Статистическая механика, Мир, Москва (1967).

, Теоретическая биофизика, том 1-2, изд. МГУ (2004).

Асимптотический анализ и многомасштабное осреднение

Цель курса: изложение асимптотических методов построения решений уравнений с частными производными, важных в механике жидкостей и в теории теплопроводности; в первой «механической» части обращено особое внимание на нелинейные эффекты, которые удается описать с помощью осреднения (или комбинации осреднения с техникой пограничного слоя) при изучении течений в рамках уравнений Навье-Стокса; во второй части основную роль играют объекты симплектической геометрии и специальные интегральные преобразования.

Задачи курса: обучить общему подходу, позволяющему строить асимптотику решений математических моделей, возникающих как в многомасштабной пористой среде, так и в погранслоях сложной структуры над поверхностями с одиночными локализованными возмущениями и с периодическими неровностями; обучить методу канонического оператора в виде Маслова (или интегральных операторов Фурье) для параболических уравнений, а также методу, основанному на разложении дельта-функции Дирака по гауссовым экспонентам.

Программа курса

1. Метод осреднения. Построение осциллирующих решений для линейных уравнений теплопроводности и волнового с осциллирующими коэффициентами. Математическая модель фильтрации газа в слоистой среде: нелинейное параболическое уравнение с осциллирующим коэффициентом.

2. Асимптотические решение систем уравнений Стокса и Навье-Стокса в пористой среде. Модели «частиц в ячейках». Многомасштабные пористые среды, многомасштабные асимптотические решения. Поправки к уравнениям Дарси.

3. Течение несжимаемой жидкости вдоль поверхностей с неровностями: - солитоноподобная неровность, трехпалубная структура Смита-Стюартсона, - солитоноподобное возмущение, двухпалубная структура, - малые периодические неровности, двухпалубная и трехпалубная структуры течения. Устойчивость двухпалубной структуры. Рождение и затухание вихрей в двухпалубном погранслое. Алгоритмы численного решения уравнения, описывающего течение в приповерхностной области.

4. Представление дельта-функции через гауссову экспоненту с помощью операторов рождение-уничтожение. Асимптотика на малых временах фундаментального решения задачи Коши для уравнения Колмогорова-Феллера: - геометрия лагранжевых подмногообразий, отвечающих задаче,

- построение интегрального представления, - обоснование построенной асимптотики,

- исследование качественных свойств фундаментального решения для некоторых вырожденных коэффициентов диффузии, - фундаментальное решение для бездиффузионного уравнения Колмогорова-Феллера и его свойства.

5. Построения асимптотики фундаментального решения краевых задач на основе интегрального представления дельта-функции с помощью операторов рождение-уничтожение.

Список литературы

1. , , Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов / М.: Наука, 1984.

2. В. П. Маслов, Асимптотические методы и теория возмущений / М.: Наука, 1988

3. Э. Санчес-Паленсия, Неоднородные среды и теория колебаний / М.: Мир, 1984.

4. V. G. Danilov, V. P. Maslov, K. A.Volosov, Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes / Kluwer Acad. Publ., 1995.

5. V. G. Danilov, S. M. Frolovitchev, Exact asymptotics of the density of the transition probability for discontinuous Markov processes / Math. Nachr. , 55–90.

6. V. G. Danilov, A representation of the delta function via creation operators and Gaussian exponentials, and multiplicative fundamental solution asymptotics for some parabolic pseudodifferential equations / Russian J. Math. Phys. 3 (1995), no. 1, 25–40.

7. V. G. Danilov, M. V. Makarova, Asymptotic and numerical analysis of the flow around a plate with small periodic irregularities / Russian J. Math. Phys. 2 (1994), no. 1, 49–56.

8. J. Cousteix, J. Mauss, Asymptotic analysis and boundary layers / Springer, 2007

Идемпотентная и тропическая математика; приложения

Цель курса: представить главные идеи и подходы к анализу базовых задач и приложений идемпотентной и тропической математики.

Задачи курса: обучить слушателей основным понятиям и теоремам идемпотентной и тропической математики, а также методам применения теории в различных прикладных задачах.

Программа курса

1. Введение. Идемпотентный принцип соответствия. Деквантование Маслова и связанные с ним процедуры деквантования и квантования

Деквантование чисел. Тропические алгебры. Тропическая математика как часть идемпотентной математики. Идемпотентные полукольца. Квантование и деквантование в физике и математике. Уравнение Гамильтона-Якоби как результат деквантования уравнения Шредингера. Принцип суперпозиции. Деквантование интегрирования и меры Маслова. Деквантование интегральных операторов. Преобразование Лежандра как результат деквантования преобразования Фурье-Лапласа. Деквантование функций и выпуклый анализ. Обобщенные многогранники Ньютона. Деквантование линейных операторов и их спектральные свойства. Размерность Хаусдорфа как результат деквантования метрики. Фрактальная размерность. Деквантование геометрии и тропическая геометрия. Энтропия Шеннона и квантование Маслова.

2. Идемпотентная алгебра и ее приложения

Свойства идемпотентных полуколец и стандартный порядок. Основная теорема идемпотентной алгебры. Матричная идемпотентная алгебра. Матричное уравнение Беллмана и методы его решения. Задачи динамического программирования и оптимизации на графах. Принцип суперпозиции и параллельные вычисления. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем.

3. Идемпотентный анализ и его приложения

Алгебраический подход к идемпотентному анализу. Линейные и функциональные пространства в идемпотентном анализе. Основные теоремы идемпотентного анализа. Теоремы о ядре, ядерные операторы и пространства в идемпотентном анализе. Приложения к решению уравнения Гамильтона-Якоби. Идемпотентная теорема Шаудера и ее приложения в теории управления. Идемпотентный анализ и теория нечетких множеств. Теория возможности.

4. Компьютерные приложения и интервальный анализ

Принцип соответствия для алгоритмов и их аппаратных и программных реализаций. Приложения к патентованию вычислительных устройств. Универсальные алгоритмы и их объектно-ориентированная программная реализация. Интервальный анализ в идемпотентной математике. Интервальный анализ для матричного уравнения Беллмана. Перспективы и новые задачи

Список литературы

1. , , Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении/ М.: Физматгиз, 19C. М. Авдошин, , Математические аспекты синтеза компьютерных сред/М.: МИЭМ, 19C. М. Авдошин, , Оптимизация гибких производственных систем/М.: МИЭМ, 19V. P. Maslov and K. A. Volosov, eds, Mathematical aspects of computer engineering/ MIR., Moscow, 1988.

5. , Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем /С.-Петербург, СПбГУ, 2009.

6. , , Идемпотентная математика: принцип соответствия и приложения// Успехи математических наук, Том 51, №6, 1996.

7. , , Универсальные вычислительные алгоритмы и их программная реализация // Программирование, 2000, # 5, с. 53-62.

8. , Универсальные алгоритмы и идемпотентная математика // Компьютерные средства в образовании, 2000, #6, (С.-Петербург), с. 12-18.

9. , , Идемпотентная математика и интервальный анализ // Вычислительные технологии, том 6, # 6, 2001, с. 47-70.

10. , , Идемпотентный функциональный анализ: алгебраический подход// Матем. заметки, том 69, # 5, 2001, с. 758-797.

11. G. L. Litvinov and V. P. Maslov (Eds.), Idempotent mathematics and mathematical physics, Contemporary Mathematics, Vol. 377, AMS, Providence, 2005.

12. , Деквантование Маслова, идемпотентная и тропическая математика: краткое введение//Записки научных семинаров ПОМИ, том 326, 2005, с.145-182. E-print arXiv:math. GM/0507014

13. G. L. Litvinov, V. P. Maslov, A. Ya. Rodionov, A. N. Sobolevski, Universal algorithms, mathematics of semirings and parallel computations// Springer Lecture Notes in Computational Science and Engineering, v. 75, 2011, 63-89.

Алгебраическая информатика: конечные поля, коды и алгоритмы

Цель курса:

Многие бурно развивающиеся отрасли технологий требует знания современной алгебры и базируется на синтезе теоретических областей (теории групп, колец, полей, квадратичных форм, решеток, укладок и покрытий, алгебраической геометрии и теории чисел) с прикладными разделами. В курсе дается изложение теоретических основ алгебраический информатики, а также ее приложений. Для одной группы приложений оно концентрируется вокруг теории базисов Грёбнера, для другой - вокруг теории алгебраических чисел и теории эллиптических кривых.

Задачи курса:

Изложить теорию конечных полей, обсудить базисные понятия и результаты теории кодирования, рассмотреть важнейшие типы кодов. Дать введение в соответствующие разделы алгебраической геометрии и теории решеток. Рассмотреть конструкции и свойства алгебро-геометрических кодов и кодов, связанных с решетками. Дать введение в вычислительную алгебру, облегчив слушателям освоение теоретического материала за счет рассмотрения примеров конкретных вычислений, иллюстрирующих общетеоретические понятия. Итоговая задача: добиться уровня овладения изложенным материалом, который позволит слушателям самостоятельно работать в этой области.

Программа курса

Часть 1. Конечные поля и коды

◦ Строение конечных полей. Следы, нормы и базисы. Представление элементов конечных полей.

◦ Многочлены над конечными полями. Построение неприводимых многочленов. Разложение мно-гочлена на множители.

◦ Теорема Шеннона. Блочные коды. Линейные коды. Коды Хемминга. Весовой энумератор кода.

◦ Коды Адамара. Бинарный и тернарный коды Голея. Группы Матье. Коды Рида—Мюллера.

◦ Границы для кодов. Граница Гилберта. Граница Варшамова—Гилберта.

◦ Циклические коды. Коды Рида—Соломона. Квадратично вычетные коды.

◦ Коды Гоппы.

◦ Подготовительный материал из алгебраической геометрии. Алгебраические кривые. Дивизоры. Дифференциальные формы. Теорема Римана—Роха. Рациональные точки кривых над полем оп-ределения.

◦ Введение в теорию эллиптических кривых. Основные определения, эллиптические интегралы и эллиптические функции. Отображения между эллиптическими кривыми. Изогении. Комплексное умножение. Гильбертовы поля классов. Ранг и L-функция. Гипотеза Таниямы—Вейля. Гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера.

◦ Кривые над конечными полями. Дзета-функция. Эллиптические кривые над конечным полем.

◦ Конструкции алгебро-геометрических кодов. Примеры.

◦ Оценки параметров алгебро-геометрических кодов. Асимптотические результаты.

Часть 2. Алгоритмы алгебраических вычислений

◦ Решетки в n–мерном евклидовом пространстве, упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки.

Связь энумераторов кодов с тета-функциями решеток и конечными группами, порожденными отражениями.

◦ Кольца и идеалы. Гомоморфизмы. Полиномиальные кольца. Упорядочение мономов. Алгоритм деления в кольце полиномов. Мономиальные идеалы и лемма Диксона.

◦ Теорема Гильберта о базисе. Базисы Грёбнера, их свойства. Алгоритм Бухбергера.

◦ Теория исключения. Решение систем полиномиальных уравнений. Геометрические приложения.

◦ Алгоритмы линейной алгебры. LLL-алгоритм нахождения редуцированного базиса в решетке, его приложения к нахождению базисов в ядре и образе целочисленной матрицы и коротких векторов в решетке.

◦ Алгоритмы теории полиномов от одного переменного. Алгоритм Евклида. Алгоритм Коллинза. Результанты и дискриминанты. Факторизация полиномов с коэффициентами в простом конеч-ном поле. Факторизация полиномов с рациональными коэффициентами. Факторизация полино-мов с целочисленными коэффициентами.

◦ Алгебраические числа. След, норма, характеристический полином. Порядки и идеалы. Единицы, регулятор и классы идеалов. Основные вычислительные проблемы теории алгебраических чисел.

◦ Алгоритмы для квадратичных полей. Вычисление числа классов мнимого квадратичного поля. Вычисление групп классов мнимых и вещественных квадратичных полей. Вычисление фунда-ментальной единицы и регулятора.

◦ Вычисление максимального порядка. Разложение простых чисел. Вычисление групп Галуа.

◦ Алгоритмы для эллиптических кривых над полем комплексных чисел. Вычисление Вейрштрас-совой нормальной формы по периодам и наоборот.

◦ Алгоритмы для эллиптических кривых над конечным простым полем. Вычисление числа рациональных точек.

◦ Алгоритмы для эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Алгоритм Тейта. Алгоритм описания кручения в группе рациональных точек. Алгоритм вычисления L-функции.

Список литературы

1. Э. Берлекэмп, Алгебраическая теория кодирования, Мир, М., 1971.

2. Т. Касами, Н. Токура, Ё. Ивадари, Я. Инагаки, Теория кодирования, Мир, М., 1978.

3. Ф. Дж. Мак-Вильямс, Н. Дж. Слоэн, теория кодов, исправляющих ошибки, Связь, М., 1979.

4. Р. Лидл, Г. Нидеррайтер, Конечные поля, тт. 1 и 2, Мир, М., 1988.

5. Дж. Конвей, Н. Слоэн, Упаковки шаров, решетки и группы, тт. 1 и 2, Мир, М.,1990.

6. , , Алгеброгеометрические коды. Основные понятия, МЦНМО, М., 2003.

7. , , Линейные коды и модулярные кривые, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 25, ВИНИТИ, М., 1984.

8. , Арифметика алгебраических кривых, Наука, М.,

9. П. Камерон, Дж. Ванн Линт, Теория графов, теория кодирования и блок-схемы, Наука, М., 1980.

10. J. H. van Lint, Introduction to Coding Theory, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics, Vol. 86, Springer, Berlin, 1999.

11. J. H. van Lint, G. van der Geer, Introduction to Coding Theory and Algebraic Geometry, Birkhäuser Verlag, Basel, 1988.

12. H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, 3rd ed., Springer, Berlin, 1996.

13. Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. О’Ши, Идеалы, многообразия и алгоритмы, Мир, М., 2000.

14. , Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре, Итоги науки и техни-ки. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 57, ВИНИТИ, М., 1990.

15. Д. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье, Компьютерная алгебра, Мир, М., 1991.

16. B. Mishra, Algorithmic Algebra, Springer-Verlag, New York, 1993.

17. Т. Becker, V. Weispfenning, Gröbner Bases, Springer-Verlag, New York, 1993.

18. M. Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer-Verlag, New York, 1992.

Квантовые вычисления, представления групп и инварианты

Цель курса:

Последние десятилетия отмечены значительным интересов к тематике квантовых компьютеров. Перспективы физической реализации ждут своего прояснения и пока исследования в основном носят теоретический характер. Целью курса является введение в теорию квантовых вычислений, включающее обсуждение методов теории групп Ли, их представлений и теории инвариантов, которые стали применяться в ней в недавнее время.

Задачи курса:

Ввести слушателей в классическую теорию сложности вычислений. Изложить основы квантовых вычислений. Ознакомить слушателей с применением в теории квантовых вычислений методов теории групп Ли, их представлений и теории инвариантов.

Программа курса

◦ Классическая теория вычислений, модели вычислений, размер, сложность, проблема P/NP.

◦ Элементарные квантовые понятия. Квантовый параллелизм. Идеи Фейнмана. Математическая формализация. Биты и q-биты (qubits).

◦ Квантовые алгоритмы. Структура тензорного произведения на n-q-битовом пространстве.

◦ Алгоритм Гровера.

◦ Квантовое преобразование Фурье

◦ Алгоритм факторизации Шора.

◦ Исправление ошибок.

◦ Необходимые сведения из теории групп Ли, теории представлений и теории инвариантов.

◦ Скрещение (entanglement) и его мера.

◦ Случай трех q-битов. Мера скрещения для двух и трех q-битов.

◦ Случай четырех и более q-битов

◦ Мера скрещения для n q-битов.

Список литературы

1. Квантовый компьютер & квантовые вычисления, Редакция журнала “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 1999.

2. Квантовые вычисления: за и против, Редакция журнала “Регулярная и хаотическая динамика”, Издательский дом “Удмуртский университет”, 1999.

3. А. Китаев, А. Шень, М. Вялый, Классические и квантовые вычисления, МЦНМО, ЧеРо, М., 1999.

4. , Квантовые вычисления: алгоритмы и исправление ошибок, УМН, т. 6, 1997.

5. , Курс алгебры, Факториал, 2002.

6. , Линейные представления групп, Наука, М., 1985.

7. Дж. Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, МЦНМО, М. 2003.

8. Т. Спрингер, Теория инвариантов, Мир, М., 1981.

9. Х. Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов, Мир, М., 1987.

10. N. R. Wallach, Quantum computing and entanglement for mathematicians, Lectures on quantum computing, Venice CIME, June 2004 (updated 2006).