Элементы геометрической оптики

4 ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Условие применимости геометрической оптики: длина волны света пренебрежимо мала по сравнению с характерными размерами препятствий.

Основные понятия геометрической оптики - световой луч, являющийся идеализацией очень узкого светового пучка. Направление светового луча указывает направление распространения света. Световые лучи распространяются независимо друг от друга.

Законы геометрической оптики.

В вакууме и в однородной среде свет распространяется прямолинейно.

Закон прямолинейного распространения света позволяет определять области тени и полутени от точечных и протяженных источников.

На границе раздела двух сред свет испытывает отражение и преломление.

Законы отражения и преломления

1. Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к

границе раздела двух сред лежат в одной плоскости.

2. Угол отражения равен углу падения

Линзы.

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Линза называется тонкой, если ее толщина мала по сравнению с радиусом кривизны поверхности.

Основное свойство линзы: испущенные точечным источником света под малыми углами к главной оптической оси, после преломления в линзе собираются в одну точку ( или собираются продолжения луча), т. е. изображением точечного источника является точка.

Собирающая линза

Параллельный пучок лучей после прохождения через линзу становиться сходящимся. Если падающий пучок параллелен главной оптической оси, лучи после прохождения линзы собираются в ее фокусе.

Рассеивающая линза

Параллельный пучок лучей после прохождения через линзу становиться расходящимся. Если падающий пучок параллелен главной оптической оси, то после прохождения линзы лучи идут так, что их продолжения проходящие через фокус, расположенный с той стороны линзы, откуда падает параллельный пучок.

Основные элементы линзы

Главная оптическая ось- прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы.

Оптический центр- пересечение главной оптической оси с линзой.

Побочная оптическая ось- любая прямая, проходящая через оптический центр.

Расстояние от линзы до ее фокуса называется фокусным расстоянием. Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы : D=1/F

[D]=дптр=м-1.

ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ТОНКОЙ ЛИНЗЫ

Если пучок световых лучей, исходящий из какой-либо точки Р, в результате отражений, преломлений или изгибаний в неоднородной среде сходится в точке Р', то Р' называется оптическим изображением или изображением точки Р. Точку Р' называют фокусом геометрического схождения лучей. Изображение Р' назы­вается действительным, если световые лучи действительно пересе­каются в точке Р'. Если же в Р' пересекаются продолжения лучей, проведенные в направлении, обратном распространению света, то изображение называется мнимым. При помощи оптических приспо­соблений мнимые изображения могут быть преобразованы в дей­ствительные. Например, в нашем глазу мнимое изображение преоб­разуется в действительное, получающееся на сетчатке глаза.

Если в некоторый момент времени изменить на противоположное направление магнитного или электрического вектора, то, согласно принципу обратимости, форма лучей остается без изменения, но направление распространения света изменится на противоположное. Точка Р' будет играть роль источ­ника света, а Р —его изображения. Поэтому Р и Р' называются сопряженными или взаимно сопряженными точками.

Важнейшие из оптических инструментов или их составные части относятся к так называемым центрированным оптическим системам. Они представляют собой оптически однородные прелом­ляющие или отражающие среды, отделенные одна от другой сфери­ческими поверхностями, центры кривизны которых расположены на одной прямой, называемой главной оптической осью системы.

2. Начнем с простейшего случая одной сферической преломляю­щей поверхности, разграничивающей однородные среды с показателями преломления п и п'. Главную оптическую ось примем за координатную ось X. Начало координат поме­стим в точке О, в которой главная оптическая ось пересекает сферическую поверхность.

Ввиду симметрии вращения достаточно ограничиться рассмотрением хода лучей в координатной плоскости XY.

Допустим, что точечный источник света Р находится на оптической оси системы (рис. ). Произвольный луч РА после преломления на сферической поверхности пойдет по пути АР1. Обозначим длины АР и АР' через и и и' соответственно. Эти длины отсчиты­ваются от точки А и считаются положительными, если направление отсчета совпадает с направлением распространения света, и отри­цательными в противоположном случае. Из рисунка видно, что

пл. РАС + пл. САР' = пл. РАР'.

Так как и < 0, и' > 0, то для этих площадей можно написать:

пл. РАС =1/2 |PA|•|АС|sinφ= -1/2uRsinφ,

пл. CAP'=1/2и'Rsinψ,

пл. PAP'= -1/2ии'sin(φ-ψ)= -1/2ии'(sinφcosψ- sinψcosφ)

Здесь R — радиус кривизны преломляющей поверхности. Он отсчитывается от сферической поверхности к ее центру (на рис. R положителен). Таким образом,

— uRsinφ+и'Rsinψ = — ии'(sinφcosψ- sinψcosφ)

По закону преломления sinφ/sinψ = п/п' , а потому,

— u'Rn' + u'Rn= ии'(ncosφ- n'cosψ)

От сюда

n/и - n'/u'=(ncosφ- n'cosψ)/R.

Положение точки P' зависит от угла наклона α падающего луча к оптической оси. Ограничимся, однако, малыми углами α и допустим что углы φ и ψ также малы. Лучи, удовлетворяющие таким условиям, называются параксиальными (приосевыми) лучами. Для них можно принять

cosφ=cosψ=1, АР=ОР=x, АР'=ОР'=x'.

В этом приближении формула (10.1) переходит в

n/x - n'/x'=(n - n')/R (10.2)

Отсюда видно, что положение точки P' не зависит от угла α . Следовательно, точка Р' будет оптическим изображением точки Р в параксиальных лучах. Во всем дальнейшем предполагается, что все лучи, проходящие через цент­рированные системы, параксиальны. При выводе предполагалось, что источник света Р действитель­ный. Однако все сказанное справедливо и для мнимого источника, т. е. тогда, когда источником служит точка схождения продолже­ний падающих лучей. В этом легко убедиться, повторив рассуждения применительно к рис. 40. Полагая формально п' = —п, из (10.2) получаем формулу для сферического зеркала:

1/x + 1/x'=2/R (10.3)

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ТОНКОЙ ЛИНЗЫ.

Тонкую линзу, ограниченную сферическими поверхностями с радиусами кривизны R1 и R2. Отно­сительный показатель преломления линзы обозначим через п, приняв за единицу показатель преломления окружающего прост­ранства. Пусть точечный предмет Р находится на главной оптичес­кой оси линзы. Толщиной линзы будем пренебрегать и поместим начало координат в ее центре. Обозначим через х абсциссу точки Р, через x1— абсциссу ее промежуточного изображения Р1, возникаю­щего от преломления лучей на первой поверхности линзы. Абсциссу x1, можно найти с помощью формулы (10.2), если в ней сделать за­мену п -> 1, п' ->n, х' -> x1, R -> R1. Это дает

1/x - n/x1==(1 - n)/R1 .

Промежуточное изображение Р1 будем рассматривать как предмет при преломлении света на второй сферической поверхности линзы. Изображение точки Р, возникающее при таком преломлении, и будет окончательным изображением Р', которое дает линза. Абс­цисса х' точки Р' найдется из формулы (10.2), если в ней сделать замену n->1, х -> x1, R -> R2. Таким путем находим

n/x1 -1/х'=(n - 1)/R2.

Складывая это равенство с предыдущим, получим

1/x -1/х'= -(n -1)(1/R1 - 1/ R2).

Это хорошо известная формула тонкой линзы

1/x -1/х'= -1/f..

Фокусное расстояние f определяется формулой

1/f=(n -1)(1/R1 - 1/ R2).

Эта формула справедлива для всяких тонких линз: двояковыпуклых, двояковогнутых, плосковыпуклых и т. д. Надо только придер­живаться правила знаков.

Построение изображения объектов с помощью простейших оптических элементов.

Построение изображения в плоском зеркале

Изображение предмета в плоском зеркале является мнимым ( после отражения от зеркала пересекаются не сами лучи, а их продолжения); изображение находиться на таком же расстоянии от зеркала, как и предмет (за зеркалом); имеет такой же размер.

Построение изображения в линзах

Изображение называется действительным, если прошедшие лучи образуют сходящийся пучок и пересекаются в одной точке (действительное изображение может быть получено на экране). Изображение называют мнимым, если прошедшие лучи образуют расходящийся пучок – оно находиться в точке пересечения продолжения лучей, прошедших через линзу ( мнимое изображение не может быть получено на экране).

Для построения изображения обычно используются следующие лучи:

1. Луч, проходящий через оптический центр, после

прохождения через линзу не изменяет направления.

Луч, параллельный главной оптической оси, после прохождения через линзу идет:

а) для собирающей линзы- через фокус б) для рассеивающей линзы - так, что

расположенный по другую сторону линзы продолжения луча идет через фокус,

расположенный по ту же сторону линзы,

откуда падает луч

Луч, идущий через “ближний” фокус (для собирающей линзы) или направленный так, что его продолжение проходит через “дальный” фокус (для рассеивающей линзы ), после прохождения через линзу идет параллельно главной оптической оси.

Для построения изображения точки, не лежащей на главной оптической оси, можно использовать любые два из указанных трех лучей, например:

Собирающая линза: источник Собирающая линза: Рассеивающая линза: при

расположен дальше фокуса, источник расположен любом расположении

изображение действительное, ближе фокуса, источника изображение

перевернутое (увеличенное, если изображение мнимое, мнимое, прямое,

расстояние от источника до линзы прямое, увеличенное. уменьшенное.

меньше 2F; уменьшенное - если

больше 2F).