Совершенствование обучения математическим дисциплинам студентов экономических вузов (стр. 2 )

При обучении математическим дисциплинам будущих экономистов реализация межпредметных связей дает возможность рационально построить процесс обучения. Например, отбор содержания учебного курса по математике должен осуществляться преподавателями математики при консультации с преподавателями общепрофессиональных и специальных дисциплин, которые могут определить, какие разделы математики и в каком объеме их надо изучать студентам данной специальности, а как учить – это дело педагогов-математиков. Если новые достижения по экономической специальности изучаемы при помощи математических моделей, то такие модели целесообразно включать в лекционный материал, а также в содержание учебника, учебного пособия по этой специальности. Особенно необходимость использования межпредметных связей возникает при разработке рабочих программ по математике и экономическим дисциплинам, применяющим математические понятия, методы и модели. Например, рабочая программа по дисциплине «Математика в экономике» для специальности 050506 - «Экономика» составляется на основании государственного общеобязательного стандарта специальности ГОСО РК 3.08.310 – 2006 и типовой программы. Ни в государственном общеобязательном стандарте этой специальности, ни в типовой программе по математике не выявлены повторы и перекрывающая друг друга информация, но, сопоставив содержание типовой программы с содержанием школьного курса математики, можно обнаружить их пересечение в теме «Понятие функциональной зависимости». Действительно, вопросы «Способы задания и свойства функций», «Основные элементарные функции, их графики (линейная, степенная, показательная, логарифмическая функции)» изучаются в школьном курсе математики. Если такое случается, то «частные элементы информации из довузовского курса не следует игнорировать и начинать обучение как бы «с нуля». Эти элементы информации необходимо включать в канву обобщенного содержания, апеллируя к нему и опираясь на него как на уже известное обучаемым» [13].

Следует отметить, что согласно учебному плану специальности 050506 – «Экономика» на лекции по дисциплине «Математика в экономике» отводится 30 часов. При таком объеме часов невозможно полное изложение на лекциях учебного материала по «Теории вероятностей и математической статистике», который включен в типовую программу. Полагаем, что целесообразнее представить в учебном плане данный раздел математики в виде отдельной дисциплины. Знания по «Теории вероятностей и математической статистике» необходимы студентам-экономистам при изучении дисциплины «Эконометрика». Изучение студентами «Теории вероятностей и математической статистики» в виде отдельной дисциплины даст возможность обзорно повторить начальную тему из «Эконометрики», содержащую следующие вопросы:

а) Случайные величины;

б) Числовые характеристики распределения;

в) Свойства оценок: несмещенность, эффективность, состоятельность;

г) Проверка статистических гипотез;

д) Ошибки первого и второго рода.

Дидактический принцип преемственности позволяет установить межпредметные связи дисциплин «Математика в экономике» и «Экономико-математическое моделирование». В курсе экономико-математического моделирования реализуется одна из основных идей изучения курса математики в экономическом вузе – идея математического моделирования экономических процессов, поэтому в целях и задачах изучения этих дисциплин должно быть общее относительно моделирования экономических задач.

Таким образом, межпредметные связи являются не только условием осуществления профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам, но и условием совершенствования процесса обучения математическим дисциплинам в экономическом вузе.

2.1.2 Как уже отмечено, использование задач с экономическим содержанием – один из путей реализации профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам будущих экономистов, поэтому покажем применение задач с экономическим содержанием и примеров из экономики при изложении отдельных разделов курса математики «Функции нескольких переменных» и «Дифференциальные уравнения».

Рассмотрим раздел «Функции нескольких переменных» из дисциплины «Математика в экономике», состоящий из следующих тем:

а) Функции нескольких переменных. Область определения. Предел, непрерывность. Частные производные;

б) Полные дифференциалы. Использование дифференциала, частные производные и дифференциалы высших порядков;

в) Сложные и неявные функции. Производные сложных функций. Производные неявных функций;

г) Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие и достаточное условие существования экстремума;

д) Глобальный экстремум. Условный экстремум.

Этот раздел математики связан с разделом «Дифференциальные уравнения», так как функция нескольких переменных необходима для определения дифференциального уравнения первого порядка. Функции нескольких переменных играют важную роль в курсе «Экономико-математическое моделирование», поскольку темы г) и д) включаются в классические методы оптимизации из раздела «Модели нелинейного программирования» данного курса [53].

Эффективному обучению математическим дисциплинам во многом способствует решение задач с практическим содержанием, раскрывающих «приложение математики в окружающей нас действительности (вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельности; построение графиков, диаграмм, простейших номограмм и т. д.). Задачи с практическим содержанием используются в процессе обучения для раскрытия многообразия применений математики в жизни» [14]. Задачи прикладного характера различны по содержанию. Среди них следует выделить задачи с экономическим содержанием, которые используются не только для реализации теории на практике, но и как средство обучения математике студентов экономических вузов. На лекциях по разделу «Функции нескольких переменных» наряду с задачами с экономическим содержанием приводятся примеры, показывающие экономический смысл математических понятий. Эти примеры направлены:

- на раскрытие практической значимости функции нескольких переменных;

- на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании понятий из раздела «Функции нескольких переменных»;

- на выделение существенных признаков этих понятий;

- на усвоение текста определения понятий;

- на использование математической символики;

- на установление свойств понятий;

- на применение понятий;

- на усвоение понятий;

- на овладение математической символикой.

Рассмотрим примеры из книги [54], которые можно использовать на лекции при изложении темы а) после того, как сформулировано определение функции нескольких переменных.

Пример 1 Функции нескольких переменных находят применение в экономике в качестве производственных функций. Производственная функция нескольких переменных описывает зависимость объема выпускаемой продукции от затрачиваемых или используемых ресурсов, т. е. в записи выпуск продукции у (выпуск может измеряться как в натуральных, так и в стоимостных показателях) определяется объемами затрачиваемых ресурсов (факторов производства). Областью определения производственной функции (в данном случае n-факторной производственной функции) является множество , , …, .

Таким образом, производственная функция — зависимость результата производственной деятельности (выпуска продукции) от обусловивших его ресурсов (факторов производства). Если производственная функция описывает технологию действующего предприятия, то в качестве ресурсов могут фигурировать затраты рабочего времени, сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. Приведем часто встречающиеся виды производственных функций. Во всех случаях ограничимся двумя ресурсами, т. е. рассмотрим двухфакторную производственную функцию.

а) Функция Кобба-Дугласа , где , , — параметры производственной функции (, , , часто ).

В приложениях , (2.1.1)

K — объем используемого основного капитала,

L — затраты живого труда.

б) Линейная производственная функция

. (2.1.2)

в) Производственная функция с постоянной эластичностью замещения

. (2.1.3)

Пример 2 В экономике известна функция полезности, которая также служит примером функции нескольких переменных.

Пусть потребитель имеет сумму J. Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенное количество благ. Потребительский набор в n-факторном случае — это вектор , координата которого равна количеству единиц первого блага, — второго блага, …, — n-го блага. Функция полезности потребителя определена на множестве потребительских наборов . Значение на потребительском наборе равно потребительной оценке индивидуума для этого набора.

Когда при изложении темы а) даны определения частных производных функции нескольких переменных, а при изложении темы б) — определение полного дифференциала и его использование, то в следующих примерах можно ввести некоторые величины, применяющиеся при исследовании свойств производственной функции, а также свойств функции полезности потребителя.

Пример 3 Пусть — производственная функция. Дробь (i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Эта величина обозначается , т. е.

(i=1,

Частная производная первого порядка производственной функции (i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса (фактора производства) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символически это записывается так: .

Предельная производительность i-го ресурса показывает (приближенно), на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Отношение предельной производительности i-го ресурса к его средней производительности называется (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу (фактору производства) и обозначается , т. е. (i=1,

показывает (приближенно), на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Сумма называется эластичностью производства.

Предельной нормой замены (замещения) i-го ресурса (фактора производства) j-ым ресурсом называется выражение ; (i, j=1,2) при постоянной у. Имеется другой вид формулы предельной нормы замены ; (, i, j=1,2).

Пример 4 Рассмотрим функцию полезности потребителя в двухфакторном случае, когда она определена на множестве потребительских наборов .

Частные производные , называются предельными полезностями продуктов: — предельная полезность первого продукта, — предельная полезность второго продукта. Линия, соединяющая потребительские наборы , имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безразличия. Линия безразличия является линией уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. Если переменные и меняются незначительно, то полное изменение (приращение) функции полезности можно получить по формуле

. (2.1.6)

Чтобы реализовать понятия, введенные в примерах 3 и 4, можно предложить студентам решить задачи из книги [54].

Задача 1 Для производственной функции Кобба-Дугласа (K — объем используемого основного капитала, L — затраты живого труда) найти , , , , , , и выписать выражения , .

Решение.

, ,

, ,

, ,

,

, .

Значение показывает, что выпуск Y увеличится на 0,75%, если затраты первого ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах второго ресурса, а по значению можно сказать, что выпуск Y увеличится на 0,25%, если затраты второго ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах первого ресурса. Эластичность производства равна 1.

Задача 2 Для функции полезности найти:

1)  линии безразличия;

2)  полное изменение (приращение) функции полезности, когда уменьшается от 32 до 29, а увеличивается от 1024 до 1030.

Решение. Линии безразличия определяются уравнением . Следовательно, или , , .

Графиками таких кривых являются ветви равносторонних гипербол, расположенные в первом квадранте.

Чтобы найти полное изменение (приращение) функции полезности, надо применить формулу .

Вычислим предельные полезности продуктов при и .

, .

Далее найдем приращения независимых переменных: , . Затем найденные значения подставим в вышеприведенную формулу и получим полное изменение (приращение) функции полезности

Отрицательный знак у полного изменения функции полезности показывает, что при данных изменениях независимых переменных функция полезности уменьшается.

Излагая на лекциях темы г) и д), можно с помощью задач с экономическим содержанием прокомментировать, как функция двух переменных исследуется на локальный экстремум [54], как находится наибольшее значение функции двух переменных в области (глобальный экстремум) [54] и условный экстремум [55]. Эти задачи используются на лекциях в качестве примеров. Но прежде всего напомним определения необходимых нам экономических терминов.

Доходом (выручкой) R фирмы в определенном временном периоде (например, в определенном году) называется произведение общего объема у выпускаемой фирмой продукции на цену (рыночную) этой продукции.

Издержками С фирмы называют общие выплаты фирмы в определенном временном периоде за все виды затрат , где и — объемы затрачиваемых (используемых) фирмой ресурсов (факторов производства), и — рыночные цены на эти ресурсы (факторы производства).

Прибылью PR фирмы в определенном временном периоде называется разность между полученным фирмой доходом R и ее издержками производства или

, (2.1.7)

где — производственная функция фирмы. Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых (используемых) ресурсов. Если фирма максимизирует свою прибыль в долговременном промежутке, то задача ставится так.

Определить комбинацию ресурсов, при которой фирма получит наибольшую прибыль: при условии , .

Задача 3 Найти максимум прибыли в случае, когда производственная функция (K — объем используемого основного капитала, L — затраты живого труда), цена , , — заданные факторные цены.

Решение. Воспользуемся необходимым условием экстремума. Вычислим частные производные и приравняем их к нулю:

Тогда , .

Решим эту систему:

и подставляем в уравнение . Находим и . (K0;L0) — стационарная точка.

Вычислим частные производные второго порядка функции в точке (K0;L0) . Из найденных частных производных первого порядка функции имеем:

;

;

.

Воспользуемся достаточным условием наличия экстремума функции двух переменных. Вычислим значение Δ.

и . Поэтому в точке (K0;L0) функции прибыли PR имеет максимум, равный .

Таким образом, мы получаем оптимальный план, когда объем используемого основного капитала , а затраты живого труда .

Задача 4 Найти величину спроса и на товары с ценами и при условии, что бюджет потребителя равен J, а потребитель стремится максимизировать функцию полезности .

Решение. Это задача с экономическим содержанием и ее формально запишем в виде: найти при условии , , .

Для решения задачи надо применить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений (глобального максимума и минимума) функции двух переменных:

а) Найти критические точки, лежащие внутри области ( — замкнутая область), и вычислить значения функции в этих точках;

б) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на каждой линии, ограничивающей область;

в) Сравнить все полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции в замкнутой области.

 

0

Рисунок 2.1

В нашем случае требуется найти точку , в которой достигается наибольшее значение функции и которая принадлежит области (рисунок 2.1), представляющей собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой .

Вычислим частные производные:

, .

Из выражений частных производных видно, что функция полезности не имеет стационарных точек внутри области , т. е. в области Д. Точка О(0;0) принадлежит границе области Д и в ней, очевидно, достигается наименьшее значение, так как , a Найдем наибольшие значения функции на линиях, образующих границу области Д. На отрезке ОВ, уравнение которого , функция полезности . На отрезке ОА, уравнение которого , функция полезности также равна нулю. Остается рассмотреть участок границы, заданной уравнением . Выразив отсюда , имеем .

Следовательно, нам надо найти наибольшее значение функции при .

Так как на концах промежутка обращается в нуль, то достигает локального максимума внутри этого промежутка. Вычислим производную : .

Используем необходимое условие экстремума. Приравняем производную к нулю и получим т. е. .

Откуда . Из выражения находим, что .

Следовательно, максимум функции полезности достигается при и .

Результаты решения данной задачи с экономическим содержанием показывают, что спрос на объем товара прямо пропорционален величине бюджета и обратно пропорционален цене на данный товар.

Задача 5 Фирма решила ежемесячно ассигновать тенге на производство некоторой продукции. Пусть средняя заработная плата по фирме 26000 тенге, а стоимость единицы сырья — 130000 тенге. Требуется определить, какое количество рабочих К и какое количество сырья С необходимо приобрести фирме для получения наибольшего объема продукции Q, если известно, что он им прямо пропорционален с коэффициентом пропорциональности, равным 5.

Решение. Составим функцию Лагранжа , где уравнением связи является , а объем продукции Q — функция от переменных К, С и равен , λ — множитель Лагранжа. Уравнение связи получено из равенства .

При составлении функции Лагранжа в уравнении связи был опущен общий множитель. Согласно необходимому условию получаем

; ;

;

Система уравнений имеет единственное решение , , , т. е. — единственная точка возможного экстремума функции Q(K, C) = 5KC при условии связи . Проверим в точке достаточное условие для функции Лагранжа. Найдем, , . Оказывается, , и из уравнения связи , .

Тогда

.

Следовательно, для фирмы нужно 250 рабочих и 50 единиц сырья, чтобы получить наибольший объем продукции единиц продукции.

Таким образом, мы рассмотрели задачи с экономическим содержанием в изложении раздела «Функции нескольких переменных» студентам экономических вузов. С таким же успехом задачи с экономическим содержанием используются и на практических занятиях по этому разделу. Использование задач с экономическим содержанием в изучении функций нескольких переменных студентами экономических вузов позволит:

- повысить внимание студентов к изучению функций нескольких переменных;

- пояснить смысл понятий из раздела «Функции нескольких переменных»;

- студентам усвоить употребляемые в задачах экономические понятия;

- раскрыть перед студентами применение функций нескольких переменных в экономике.

Для будущих экономистов особую важность представляет изучение раздела математики «Дифференциальные уравнения». Дифференциальные уравнения являются основой математических моделей многих природных и общественных процессов. Они описывают в экономике модель рынка с постоянными ценами (модель естественного роста), модель равновесия экономической системы, модель рекламы, динамическую модель Кейнса, модель рынка с прогнозируемыми ценами и т. д.

«Прикладная направленность дифференциальных уравнений отводит задачам ключевое место. Любой теоретический материал можно предварять задачами прикладного характера, приводящими к тем дифференциальным уравнениям, которые предстоит изучить в данном разделе, т. е. обосновать мотивацию изучения этого раздела. Поэтому задачный материал используется не только как цель реализации теории на практике, но и как средство обучения» [56].

Использование задач с экономическим содержанием на практическом занятии по дифференциальным уравнениям вполне очевидно, поэтому покажем, как их можно применить на лекции. Целесообразнее на первой лекции по дифференциальным уравнениям будущим экономистам вместо физических задач, сводящихся к дифференциальным уравнениям, привести в качестве примеров задачи с экономическим содержанием.

Задача 6 из книги [57]. Зависимость производительности от времени задается функцией . Выяснить, как зависит от времени количество производимой продукции Q, если известно, что к моменту времени t=0 было выпущено продукции в объеме .

Если Q(t) – количество продукции, произведенной к моменту времени t, то – производительность, т. е. скорость роста функции Q(t). Таким образом, мы получили уравнение . Это уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной C. Решение дифференциального уравнения сводится к интегрированию. Действительно,

,

где C - произвольная постоянная. Частным решением данного дифференциального уравнения называется функция , полученная при определенном значении постоянной . По условию задачи при . Следовательно, С=49 и . Таким образом, функция характеризует зависимость количества производимой продукции от времени и является частным решением исходного дифференциального уравнения первого порядка.

При рассмотрении на лекции дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, линейного уравнения первого порядка, линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, а также системы дифференциальных уравнений предлагаем:

а) выбрать задачу с экономическим содержанием, математическая модель которой описывается дифференциальным уравнением такого же типа или системой дифференциальных уравнений;

б) представить в виде дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений математическую модель исходной задачи;

в) дать строгое определение данного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, а также определения и свойства соответствующих понятий;

г) показать в общем виде метод решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений;

д) решить дифференциальное уравнение для исходной задачи или систему дифференциальных уравнений и с помощью полученного решения проанализировать экономическую ситуацию.

Математической моделью некоторых задач с экономическим содержанием является дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. К такому дифференциальному уравнению сводится решение задачи 7.

Задача 7 Найти функцию спроса, если эластичность Е постоянна и задано значение цены Р в некоторой точке x: при x=27.

Изложим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в соответствии с предложенным способом. По определению эластичности . Подставим вместо E значение -3 и получим дифференциальное уравнение первого порядка или . Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Для решения такого уравнения умножим его левую и правую части на множитель . Тогда,

(2.1.8)

и после интегрирования получим общий интеграл

. (2.1.9)

Этим методом решим исходное уравнение .

или .

Так как при x=27 P=2, то C=216. Следовательно, или

Следующая задача поясняет смысл линейного уравнения первого порядка.

Задача 8 из книги [58]. Дана простейшая балансовая модель Кейнса в виде системы уравнений

(2.1.10)

где Y(t), E(t), S(t), J(t) – соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление, инвестиции и рассматриваются как функции времени t, a - коэффициент склонности к потреблению (0<a<1), b- автономное (конечное) потребление, k - норма акселерации, причем Y(t)>0, S(t)>0, J(t)>0, E(t)>0, b>0, k>0. Пусть E(t)=const, a, b, k заданы. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t.

Поступаем согласно способу, предложенному выше. Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для J(t) из третьего уравнения в первое уравнение. Тогда получаем дифференциальное уравнение вида , (2.1.11)

которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Напомним определение такого уравнения. Уравнение вида , где p(x) и q(x)- непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Если , то это уравнение называется линейным однородным уравнением, если же функция q(x) не равна тождественно нулю, то оно называется линейным неоднородным уравнением. Далее следует показать метод вариации постоянной и метод подстановки. Решая дифференциальное уравнение по одному из названных методов, получаем

. (2.1.12)

Эта формула выражает динамику национального дохода, или Y как функцию времени t.

В отличие от простых моделей рынка, где спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар, в моделях рынка с прогнозируемыми ценами функции спроса D(t) и предложения S(t) (t - время) имеют зависимости от цены P, от тенденции формирования цены , от темпов изменения цены . С помощью модели рынка с прогнозируемыми ценами можно изложить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим следующую задачу.

Задача 9 из книги [58]. Пусть функции спроса D и предложения S имеют зависимости от цены P и ее производных:

.

Установить зависимость цены P от времени t для данной модели рынка с прогнозируемыми ценами в равновесном состоянии.

Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D=S, приравняем правые части данных уравнений. Получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P(t)

.

Дифференциальное уравнение вида ,

где p, q-const, f(x) – заданная функция, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение будет называться линейным однородным, если . Далее следует показать в общем виде, как решаются такие уравнения. Затем возвращаемся к уравнению . Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет вид . Здесь .

Для решения однородного уравнения составляем характеристическое уравнение , корни которого . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид , и - произвольные постоянные. В качестве частного решения неоднородного уравнения удобно использовать равновесную цену . Из уравнения находим, что . Общее решение этого уравнения дается формулой . С помощью данной формулы проанализируем экономическую ситуацию. Поскольку - постоянные и при , то при . Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене с колебаниями около нее.

Математической моделью некоторых задач с экономическим содержанием является система обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих аргумент t, искомые функции и их производные. Модель выравнивания цен по уровню актива приводит к системе дифференциальных уравнений. Экономический термин «актив» определяется как учетная категория, включающая стоимость собственного имущества рыночного субъекта плюс средства и запасы, предназначенные для уплаты задолженности. Модель выравнивания цен по уровню актива позволит описать систему дифференциальных уравнений и ознакомить студентов с интегрированием системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка.

Пусть изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением S и спросом D, т. е. а изменение цены p пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксированного уровня , так что . В результате получаем систему дифференциальных уравнений

(2.1.13)

Модель выравнивания цен по уровню актива построена. Решением полученной системы являются функции q(t) и p(t), определяемые для данных начальных условий и .

Задача 10 из книги [59]. Найти решение системы дифференциальных уравнений, моделирующей выравнивание цен p по уровню актива q

(2.1.14)

если предложение , спрос , k=0,3, m=0,1, a=20, c=-10 при начальном состоянии q(0)=19, p(0)=2.

Если подставить в систему дифференциальных уравнений данные выражения из условия задачи, то система примет вид:

(2.1.15)

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему - значит определить функции q=q(t), p=p(t), удовлетворяющие системе уравнений и данным начальным условиям q(0)=19, p(0)=2. Далее следует показать в общем виде интегрирование нормальной системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка.

Если цена и актив не зависят от времени (являются стационарными), то это означает, что а на языке дифференциальных уравнений - цена и актив колеблются возле стационарного состояния

(2.1.16)

Решим исходную систему дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка. Для этого продифференцируем по t второе из уравнений системы:

Заменим производную ее выражением из первого уравнения и получим т. е.

Решаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение , откуда . Следовательно, общим решением однородного уравнения будет Правая часть уравнения имеет вид , Число 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение и , т. е. .

Тогда,

(2.1.17)

.

Учитывая начальное состояние q(0)=19, p(0)=2, получаем

.

Таким образом, решение системы дифференциальных уравнений, которое удовлетворяет начальному состоянию, имеет вид:

(2.1.18)

Из решения данной системы дифференциальных уравнений видно, что цена и актив колеблются возле величин , q=20 соответственно.

Для изложения дифференциальных уравнений и системы дифференциальных уравнений мы рассмотрели задачи с экономическим содержанием. Использование задач с экономическим содержанием в обучении дифференциальным уравнениям будущих экономистов позволит:

-  повысить внимание студентов к изучению дифференциальных уравнений и системы дифференциальных уравнений;

-  пояснить смысл дифференциальных уравнений и системы дифференциальных уравнений;

-  студентам усвоить и запомнить употребляемые в задачах экономические понятия;

-  раскрыть перед студентами применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике.

2.1.3 На современном этапе развития общества вопрос о том, при каких условиях реализуется мировоззренческая функция профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам будущих экономистов, является актуальным, так как важной задачей экономического вуза является подготовка конкурентоспособного на рынке труда специалиста, одно из обязательных качеств которого — научное мировоззрение.

В действительности, любой специалист должен иметь научную систему взглядов, воззрений на природу и общество, поскольку реально защищенным в социальном отношении может быть лишь широко образованный человек, способный гибко перестраивать направление и содержание своей деятельности в связи со сменой технологий или требований рынка.

Мировоззренческая функция реализуется при использовании математических методов и моделей в общепрофессиональных и специальных экономических дисциплинах, рассмотрении истории возникновения и эволюции математических понятий, их источника, а также при абстракциях различных уровней, изучении математического моделирования экономических явлений или процессов, конструирования и рассмотрения возникающих алгоритмов, программ и т. п.

Экономико-математические методы и модели наряду с информационными и экспертно-логическими системами представляются в настоящее время неотъемлемыми инструментами теоретической и практической экономики. При этом сама по себе сфера экономико-математических исследований является весьма насыщенной, разнообразной и обширной, требующей знания и активного использования результатов различных разделов математики, систем анализа, теории измерений, хозяйственного права, социологии, статистики и экономической теории.

В экономических дисциплинах получили широкое применение математические модели, заданные в виде формул; числовые модели; графические модели в виде графических изображений. Следует отметить, что главным преимуществом графических моделей является то, что графики наглядно отражают экономические процессы, которые происходят в сфере денежного обращения, банковской деятельности, кредитования, финансовой и инвестиционной деятельности предприятий и т. д. Несмотря на многообразие математических моделей, все они выражают конкретные количественные закономерности и взаимосвязи экономических объектов и процессов.

С помощью математических методов и моделей происходит как бы синтез достижений теоретического анализа экономики с достижениями математики и статистики. Такие экономические дисциплины, как общая теория статистики, статистика промышленности, социально-экономическая статистика, основы страхования, экономический анализ деятельности предприятия широко используют методы теории вероятностей и математической статистики. В преподавании дисциплины «Экономический анализ деятельности предприятия» используется регрессионный анализ, позволяющий выявить взаимосвязи социально-экономических явлений. Использование данного анализа позволяет преодолеть субъективизм при оценке деятельности предприятия, более полно и точно определить внутрихозяйственные ресурсы и плановые показатели. При изучении страхования рассматривается понятие риска, для оценки степени которого немаловажное значение имеет использование формул из теории вероятностей и математической статистики.

Использование экономико-математических методов и моделей в преподавании экономических дисциплин позволяет сделать излагаемый материал более наглядным и доступным для понимания студентов, а также подготовить специалистов, владеющих экономико-математическим подходом к принятию сложных решений.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками, что нанесло немалый ущерб развитию экономической науки в целом. И лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания, как весьма действенного аппарата исследования экономических процессов.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Экономико-математическая модель — математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. При этом существуют различные виды экономико-математических моделей (простые и сложные, описательные и дескриптивные, оптимизационные или оптимальные, статистические и динамические, матричные и др.), важнейшее свойство некоторых — применимость к разным, на первый взгляд непохожим ситуациям.

Именно метод моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, и использование моделей составляют одну из главных особенностей экономико-математического направления науки.

Экономическое моделирование, тесно связанное с такими категориями, как абстракция, аналогия и гипотеза, и носящее циклический характер, становится неотъемлемой частью хозяйственного механизма, результатами которого являются социально-экономические прогнозы как по национальному хозяйству в целом, так и в разрезе от отдельных секторов и регионов, анализ отдельных экономических проблем и статистическая информация, обработанная и представленная в удобном для применения виде.

При построении экономико-математической модели конкретного экономического объекта или процесса выделяют условно пять этапов [60]:

а) Формулируются предмет и цели исследования;

б) В рассматриваемой экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов;

в) Словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами модели;

г) Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формализуются, насколько это возможно, взаимосвязи между ними. Тем самым формулируется экономико-математическая модель;

д) Проводятся расчеты по математической модели и анализ получаемого решения.

Для построения математической модели исследуемого экономического явления или процесса нужны знания из дисциплины «Экономико-математическое моделирование», в результате изучения которой студенты должны уметь:

- формировать математически типичные задачи, возникающие в управлении экономическими процессами;

- учитывать основные особенности, отвлекаясь от несущественных деталей;

- правильно выбирать метод решения;

- пользоваться разработанными алгоритмами при решении соответствующих задач;

- реализовать решение экономической задачи на компьютере.

Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых экономических явлений.

Как и другие основные элементы мировоззренческой функции, экономико-математическое моделирование по-своему влияет на формирование мировоззрения. Экономико-математическое моделирование позволяет учесть и использовать всю имеющуюся информацию об объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного критерия эффективности, то есть исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности лиц, принимающих решения. Оно является действенным методом познания внешнего мира, а также управления и прогнозирования.

Экономическая действительность неисчерпаема. Рождаются качественно новые явления, механизмы, структуры. Изучение их в «чистом виде» необходимо, и, следовательно, метод математической экономики, использующий «простые» модели экономических явлений, остается на вооружении ученых, будет развиваться и совершенствоваться. Но появляется порог сложности в понимании, анализе экономической реальности, преодолеть который можно только с помощью принципиально нового инструмента. Это — компьютерная модель экономики (КМЭ).

Первые компьютерные модели появились в 60-х годах прошлого века и за прошедший период претерпели существенные изменения.

Первое поколение составляют «жесткие» модели, главной особенностью которых является четкое разделение между тем, что дано как исходная информация, и тем, что необходимо найти, действуя по заданному алгоритму. В качестве примеров можно привести транспортную задачу, межотраслевой баланс, задачу линейного программирования и модели, которые на ней основаны, и т. д.

Второе поколение — это «гибкие» модели, с помощью которых в режиме диалога можно решать множество достаточно разнообразных задач. Преимуществом данных моделей является то, что они легко адаптируются и встраиваются в ту или иную технологию планирования, принятия решений.

КМЭ предоставляет возможность решать многие вопросы из экономической области:

- сценарные расчеты социально-экономического развития страны, отдельных ее регионов на перспективу;

- проблема совершенствования экономического или, более широко, социально-экономического механизма;

- использование КМЭ на коммерческих началах при принятии решений ведомствами и организациями, в первую очередь предприятиями;

- процедура заключения хозяйственных договоров между предприятиями на поставку продукции, оказание услуг по внедрению, проектированию и т. п.;

- КМЭ выступает и как инструмент, помогающий развивать экономическую теорию.

Таким образом, КМЭ обеспечивает полноту изображения и служит базой для проведения эксперимента и создания экспертных систем, с помощью которых по хозяйственному механизму можно решить сразу две задачи: создать искомую систему и провести логический и системный анализ принятых законов, постановлений и других документов. В результате будет яснее, где наиболее слабые места и что необходимо совершенствовать в первую очередь. Экспертная система — перспективный инструмент, имеющий применение в разнообразных областях науки.

Выше было сказано, что мировоззренческая функция профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам реализуется также при рассмотрении истории возникновения и эволюции математических понятий, их источника. Рассматривая историю возникновения и эволюции математических понятий и методов, воспитывая будущих экономистов на исторических примерах, можно формировать математический образ мышления — самое большое богатство, мышление строгое, последовательное, доказательное. Его формирование – одна из важных задач изучения курса математики, курса экономико-математического моделирования, при котором основной упор делается не на том, как доказывается та или иная теорема, а на том, почему она возникла, откуда взялись сформулированные в ней ограничения, каковы ее аналоги в реальном мире, почему она не была доказана раньше и т. д. Например, при изучении основного математического понятия «функция» можно на лекции показать студентам, как трудами многих поколений математиков на протяжении около трех веков, отражая запросы практики и внутренние потребности самой математики, сформировалось это понятие [61]. С таким же успехом при изучении в курсе математики понятия «интеграл» лекция может быть дополнена рассмотрением эволюции этого понятия. На лекции по дисциплине «Экономико-математическое моделирование» студентам будет интересно узнать, что основателем целой отрасли математики — линейного программирования, которое находит в настоящее время большое применение при решении различных экономических задач, является академик . В конце 30-х годов прошлого века фанерный трест в Ленинграде обратился в Институт математики и механики Ленинградского государственного университета с просьбой помочь решить задачу: как разрезать фанерный лист с минимальными отходами. Найти решение этой задачи попросили . Когда проблема была сформулирована как проблема максимизации, то оказалось, что ее нельзя было решить на основе традиционных методов анализа. Это не означало, что она была неразрешимой, но нужно было разработать некоторые практически применимые методы для того, чтобы найти решение, и это было сделано . Решая эту задачу, заметил, что множество проблем планирования может быть выражено в той же форме и, следовательно, может быть решено аналогичными методами.

Показ исторического становления понятия, теоремы, метода на занятиях по математическим дисциплинам для будущих экономистов целесообразнее осуществлять согласно рекомендациям известного педагога ( гг.), профессора МГУ им. : «…лучше на первой лекции не рассказывать историю развития механики, а рассказать ее по ходу изложения курса. Пойдет в динамике речь о законах Ньютона, и вот тогда можно рассказать о жизни великого английского ученого. Излагаете аналитическую механику и вот здесь очень уместно рассказать о Лагранже и Остроградском. Так история механики и биографии великих людей органически будут связаны с читаемым вами курсом».

В связи с рассмотрением истории возникновения и эволюции математических понятий и методов нельзя не отметить для исследования тему о развитии экономико-математического моделирования в Казахстане. Изучив книгу «Слово о классификации наук» одного из величайших мыслителей раннего средневековья аль-Фараби (870-950 гг.), «Второго» - после Аристотеля – «Учителя», как называли его на Востоке, мы убеждаемся в том, что аль-Фараби, представителям его научной школы, а также его почитателям в период раннего средневековья были известны методы практической арифметики, применявшиеся в моделировании задач с рыночным содержанием учеными Востока [62]. Экономико-математические методы построены «как на традиционном аппарате математики и логики, известном из школьных программ (дроби, проценты, уравнения, прогрессии, геометрические и логические задачи), так и на основе методов исследования операций – современном математическом аппарате, специально созданном для решения тех задач, с которыми элементарная математика не справляется. Это методы оптимизации (линейное, нелинейное и динамическое программирование), теория вероятностей и математическая статистика, теория массового обслуживания (теория очередей), метод статистических испытаний (Монте-Карло), теория игр и статистических решений, сетевое планирование» [63].

Cравнивая современные задачи с экономическим содержанием, для решения которых в качестве своеобразного инструментального набора выступают методы элементарной математики, с задачами, имеющими рыночное содержание, которые рассматривали ученые Востока в 6-15 вв., мы можем сказать, что тогда уже ими применялись так называемые по-современному «экономико-математические методы». Подтверждением тому могут служить работы как индийских ученых (Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара 1, Бхаскара 2, Шридхара, Магавира), так и среднеазиатских ученых (ал-Хорезми, ал-Бируни, Абу-л-Вафа, Абу-л-Хасан, Омар Хайям, ал-Каши). Ученые Востока в 6-15 вв. моделировали задачи, имеющие рыночное содержание, с помощью таких методов из элементарной математики, как правило трех величин, линейные уравнения, системы линейных уравнений, квадратные уравнения [63].

Одной из причин проникновения математических методов во все области знания является то, что математике присущи абстракции различных уровней. Примеры из окружающей действительности позволяют раскрывать перед студентами, что многочисленные закономерности окружающего нас мира являются конкретными моделями общих математических зависимостей, свойства которых целиком и полностью распространяются на эти модели. При прохождении понятия функции из курса математики для экономистов в качестве примера аналитического задания функций можно привести прямую пропорциональную зависимость у=кх и при этом заметить, что данная формула иллюстрируется зависимостями между длиной окружности и ее диаметром , между стоимостью А купленного товара и его количеством n (А=аn, где а — цена товара), между расстоянием при постоянной скорости и временем движения (S=vt). Каждая из перечисленных зависимостей и их свойства рассматриваются самостоятельно ввиду своеобразия отражения реальной действительности, в математике соответствующие закономерности и их свойства изучаются одновременно. Примером абстракции другого уровня может служить формула определенного интеграла, поскольку с помощью одной и той же формулы вычисляется:

а) количество товара, поступающего на склад в промежутке времени от a до b часов, где f(x) – среднее количество товара, поступающего на склад за единицу времени;

б) расход электроэнергии в течение времени от a до b часов, где f(x) – нагрузка на электростанцию в киловатт-часах (т. е. средний расход электроэнергии за единицу времени), а х — число часов, отсчитываемое от начала суток;

в) величина площади плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [a, b], отрезком [a, b] и вертикальными прямыми х=а и x=b.

Как было сказано выше, академик заметил, что многим задачам из планирования можно придать одну и ту же математическую формулировку. Общая формулировка этих задач будет такой: дана система m алгебраических уравнений с n неизвестными:

(2.1.19)

и линейная форма

(2.1.20)

относительно этих же неизвестных.

Требуется среди всех неотрицательных решений заданной системы (2.1.19) выбрать такое, при котором линейная форма F принимает наибольшее (или наименьшее) значение. Эта задача носит название основной задачи линейного программирования. То, что основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы, дает основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Итак, приведенные примеры показывают, каким образом реализуется мировоззренческая функция профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам в современном экономическом образовании. Реализация мировоззренческой функции в современном экономическом образовании позволяет подготовить специалистов с научным мировоззрением, владеющих экономико-математическим подходом к принятию сложных решений.

Социально-педагогическая функция профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам будущих экономистов реализуется через решение задач с экономическим содержанием средствами математики, при осуществлении экологического воспитания, при решении задач оптимизации технологических процессов в современном производстве и т. д. Благодаря социально-педагогической функции у студентов повышается интерес к математической дисциплине, развивается мышление, улучшается запоминание, развивается воля, настойчивость, инициатива и т. д.

«Несомненно, что важнейшим фактором успеха в обучении является интерес студента к науке» [64]. Интерес к математической дисциплине у студентов экономических вузов можно повысить, подобрав профессионально значимый, иллюстративный материал при изложении математических методов и моделей, а также при объяснении математических понятий. Например, будущим экономистам полезно знать не только геометрический и физический смысл производной, но и ее экономический смысл. Рассматривая на лекции определенный интеграл, можно показать студентам, что продукция Q, произведенная рабочим в промежутке времени , равна определенному интегралу , где f(x) — производительность труда рабочего в момент времени x [57].

Пример 5 Производительность труда q у рабочего меняется по закону и задана на промежутке времени . Разобьем промежуток на n произвольных частей точками: . Пусть , , . Выберем в каждом из частичных отрезков произвольную точку : , . Образуем сумму произведений: , которая называется интегральной суммой для функции на промежутке . Покажем, в чем состоит экономический смысл величины . Если мало, то можно считать, что на отрезке времени производительность труда рабочего не меняется и равна , где — произвольная точка из отрезка . Тогда за время рабочим будет произведено приближенно количество продукции , а за время рабочий произведет продукцию, приближенно равную . Конечный предел интегральной суммы δ при , если он существует, называют определенным интегралом от функции f(x) по промежутку и обозначают . Таким образом, . Но равен продукции Q, которую произведет рабочий за время , следовательно, продукция Q вычисляется по формуле , где f(x) — производительность труда рабочего в момент времени х.

Интерес к математической дисциплине у студентов экономических вузов можно также повысить, используя на лекциях и практических занятиях задачи с экономическим содержанием. При использовании в учебном процессе задач с экономическим содержанием активно проявляется социально-педагогическая функция профессиональной направленности обучения математике, так как студенты осознанно учатся применять знания по математике в будущей профессиональной деятельности. При изучении на первом курсе темы «Экстремумы функции. Исследование функций с помощью первой и второй производных» можно подобрать задачи на максимизацию прибыли, экономию средств, минимизацию издержек и другие, решение которых сводится к нахождению экстремумов функций. Для примера приведем задачу на экономию средств из книги [65].

Задача 11 Под экспериментальные посадки ценных культур решили огородить участок прямоугольной формы длиной 144 м и шириной 24 м, а затем разделить его пополам перпендикулярно длине. Но с целью экономии средств на постройку забора решили найти наиболее выгодный размер участка. Найти длину и ширину нового участка такой же площади и экономию средств, если 1 погонный метр забора стоит 292 тенге 50 тиын.

Решение. Чтобы решить данную задачу, надо найти оптимальную длину забора по периметру Р. Если обозначим через х — ширину участка, а через у — длину участка, то . Поскольку новый участок должен иметь такую же площадь, то . Тогда , т. е. Р является функцией от одной переменной х. Найдем стационарную точку x0 этой функции.

Следовательно, x0=48. Вычислим значение второй производной функции Р при x0=48. , . Согласно второму достаточному признаку существования экстремума стационарная точка x0=48 является точкой локального минимума. Следовательно, ширина нового участка должна быть равна 48 м, а длина участка - 72 м. Чтобы вычислить, на сколько сэкономлено средств, найдем стоимость забора для предполагаемого участка 292,5 тенге ∙ 360=105300 тенге и стоимость забора для нового участка 292,5 тенге ∙ 288=84240 тенге. Тогда будет сэкономлено 21060 тенге.

Важным проявлением социально-педагогической функции профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам является экологическое воспитание студентов экономических вузов. Сегодня вопрос экологического воспитания становится все более актуальным и глобальным, поскольку охрана окружающей среды важна для всего населения планеты. Дело в том, что воздействие деятельности человека на природную среду катастрофически возрастает, а основное место в этом воздействии принадлежит энергетике, предприятиям промышленности и строительства. Если человечество не рационально пользуется богатством природы, то она отвечает катаклизмами.

При осуществлении экологического воспитания будущих экономистов можно использовать в курсе математики задачи с экологическим содержанием, а в курсе экономико-математического моделирования — математические модели экологических систем. Излагая раздел «Дифференциальные уравнения» из курса математики, целесообразно предложить студентам решить на практическом занятии дифференциальные уравнения следующего вида:

а) (здесь N=N(t) — зависящая от времени численность популяции человека, — производная по времени, δ — постоянная величина). Данное уравнение описывает модель народонаселения;

б)

Этим уравнением описывается модель более мягкая, чем предыдущая модель, потому что при больших значениях N конкурентная борьба за средства существования приводит к уменьшению δ, т. е. δ = δ(N). В простейшем случае эта зависимость выглядит следующим образом: δ(N) = а - bN (a и b — постоянные числа). Тогда мы получаем уравнение .

На внутривузовских научных студенческих конференциях как для выступающего, так и для слушателей будут полезны доклады, рефераты на экологические проблемы, решаемые с помощью математических методов. К примеру, студентам экономических вузов можно рекомендовать такие темы рефератов[66]:

а) Примеры математических моделей в экологии;

б) Глобальная динамическая модель Форрестера;

в) Глобальная динамическая модель группы Мидоуза «Мир-3» и другие.

Курсовые работы по экономико-математическому моделированию — это одна из форм проявления социально - педагогической функции профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам студентов экономических вузов. По утверждению член-корр. РАН, профессора [11]: «Выпускники вузов должны в пределах своей специальности:

а) уметь строить математические модели;

б) уметь ставить математические задачи;

в) уметь выбирать подходящий математический метод и алгоритм для решения задач;

г) уметь применять для решения задач численные методы с использованием современных вычислительных машин;

д) уметь применять качественные математические методы исследования;

е) на основе проведенного математического анализа уметь выработать практические рекомендации».

Для формирования таких качеств будущим экономистам курсовые работы предлагаются в виде заданий.

Таким образом, для реализации социально-педагогической функции профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам студентов экономических вузов необходимо:

- подобрать профессионально значимый, иллюстративный материал, используемый при изложении математических понятий, а также математических методов и моделей;

- на практических занятиях решать задачи с экономическим и экологическим содержанием;

- рекомендовать студентам курсовые работы по экономико-математическому моделированию в виде экономических задач, решаемых экономико-математическими методами;

- подобрать тематику студенческих докладов, рефератов для внутривузовских научных конференций на экологические проблемы, решаемые математическими методами.

Итак, профессиональная направленность обучения математическим дисциплинам будущих экономистов выполняет мировоззренческую и педагогическую функции. Приведенные примеры показывают, как при реализации мировоззренческой и социально-педагогической функций формируется научное мировоззрение у будущих экономистов. Межпредметные связи являются важным условием осуществления профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам студентов-экономистов и обеспечивают единый подход преподавателей разных дисциплин в экономическом вузе к формированию научного мировоззрения будущих экономистов.

Таким образом, межпредметные связи, являясь важным условием осуществления профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам будущих экономистов, и профессиональная направленность обучения, выполняя мировоззренческую и социально-педагогическую функции, составляют методические основы формирования научного мировоззрения будущих экономистов.

2.2 Совершенствование методических систем обучения

математическим дисциплинам в условиях функционирования

образовательных технологий

В пунктах 2.2.1, 2.2.2 данного подраздела охарактеризуем информационные технологии и технологический подход к проектированию учебного процесса, а также покажем, как в условиях их функционирования совершенствуются методические системы обучения математическим дисциплинам будущих экономистов.

2.2.1 Интеграция Казахстана в международное образовательное пространство и совершенствование подготовки экономистов, а вместе с тем и методических систем обучения математическим дисциплинам будущих экономистов требуют использования в учебном процессе информационных технологий. В современном понимании информационная технология обучения – это педагогическая технология, использующая специальные способы, программные и технические средства (кино, аудио - и видеосредства, компьютеры, телекоммуникационные сети) для работы с информацией [16]. Применение информационных технологий обучения является одним из направлений повышения эффективности изучения таких математических дисциплин, как «Математика в экономике» и «Экономико-математическое моделирование».

При изучении дисциплины «Математика в экономике» основными формами обучения являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа студентов. В условиях кредитной системы обучения, когда сокращен объем лекций и на одну лекцию отводится 50 минут, становится проблематичным показать использование математических методов и моделей в общепрофессиональных и специальных экономических дисциплинах, рассмотреть историю возникновения и эволюцию математических понятий, их источник, осуществить экономическое воспитание, проводить подробные доказательства теорем и вывод формул [45]. Одним из требований к организации и проведению лекций является наличие у лектора материалов к лекции, подробных рабочих записей и развернутого конспекта, поэтому материал лекции можно разместить в компьютере и при этом студент может вернуться к началу доказательства теоремы или к началу вывода формулы. Можно также организовать изложение материала на экране, т. е. смоделировать записи лектора на доске с необходимой студенту скоростью.

Нами подготовлено учебно-методическое пособие [47], содержащее теоретические сведения и задачи с экономическим содержанием по основным разделам высшей математики, которые использовались на лекциях, практических занятиях и при самостоятельной работе студентов. Решение задач с экономическим содержанием средствами математики ведется по трехэтапной схеме:

- на этапе формализации осуществляется переход от экономической задачи, которую предстоит решить, к построению её математической модели;

- решается математическая задача, сформулированная на этапе формализации;

- на этапе интерпретации полученное решение математической задачи переводится на язык исходной задачи с экономическим содержанием.

На втором этапе решения задачи с экономическим содержанием математическая модель реализуется, в частности, с помощью компьютера. Например, компьютер можно использовать при решении задач на такие темы, как «Матрицы», «Системы линейных уравнений», «Глобальные экстремумы функций одной переменной и нескольких переменных», «Численное интегрирование», «Метод Рунге-Кутта численного решения задач Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка» и т. д. [67]. В основном, на практических занятиях по математике задачи решаются аналитически, без использования компьютера, поскольку на этих занятиях закрепляются и расширяются знания по математике; обучают студентов практическим приемам и методам анализа теоретических положений математики, приобретать умения и навыки использования теоретического материала в решении конкретных практических задач, изучать математическую литературу.

При изучении дисциплины «Экономико-математическое моделирование» основными формами организации обучения являются лекции, практические занятия, самостоятельная работа студентов, а также лабораторные занятия с помощью компьютера. В настоящее время сложилось так, что в некоторых государственных и негосударственных вузах Казахстана студенты экономических специальностей в рамках дисциплины «Экономико-математическое моделирование» изучают лишь линейное и нелинейное программирование, целочисленное программирование. Из экономико-математических методов остаются неизученными динамическое программирование, рекуррентные соотношения Беллмана, игровые и имитационные модели, управление запасами, теория расписания, системный анализ, математическая теория оптимального управления, графовые и сетевые модели, планирование эксперимента. Из-за ограниченности во времени в условиях кредитной системы обучения часть экономико-математических методов можно изложить на лекциях, а другую часть показать на экономических задачах в виде лабораторного практикума на компьютере. Кроме того, студенты экономических специальностей могут применить экономико-математические методы при выполнении курсовой работы по дисциплине «Экономико-математическое моделирование». Компьютер позволяет избавиться от рутинных вычислений при выполнении лабораторных и курсовых работ.

У нас имеется опыт руководства курсовыми работами студентов экономических специальностей по дисциплине «Экономико-математическое моделирование». Курсовые работы были предложены студентам в виде заданий. Приведем пример такого задания по теме курсовой работы «Оптимальная загрузка невзаимозаменяемых групп оборудования».

Введем обозначения:

j - вид технологии;

n - число видов технологии;

е - число видов производимой продукции;

Pij – прибыль, получаемая от реализации единицы продукции i-го вида, производимой по j-й технологии;

r – вид оборудования;

R – число видов оборудования;

br – полезное время работы оборудования r-го вида;

– норма расхода машинного времени r-го оборудования при изготовлении единицы продукции i-го вида по j-й технологии;

xij – количество продукции i-го вида, производимой по j-й технологии.

Математическая модель заключается в максимизации прибыли при ограниченной возможности оборудования:

(r=1,2,…,R)

(i=1,2,…,e; j=1,2,…,n)

Модель сформулирована в виде задачи линейного программирования, решая которую с помощью симплекс-метода, получаем оптимальный план загрузки невзаимозаменяемого оборудования.

Задача 1 На заводе имеется R=3 вида оборудования (r=1, 2, 3) по n=3 видам технологий (j=1, 2, 3). Данные для составления модели приведены в таблице 2.2.1:

Таблица 2.2.1 - Показатели производства продукции завода

	Нормативные коэффициенты	тыс. станко-часов
i=1	i=2	i=3
j=1	j=2	j=3	j=1	j=2	j=3	j=1	j=2	j=3
Группы оборудования r=1 r=2 r=3 станко-часов	2 3 0	2 1 1	1 2 3	3 1 2	0 2 3	4 0 1	3 5 1	3 6 0	0 0 0	20 34 48
Прибыль Pij тыс. у. е.	11	7	5	9	6	7	18	15	0
Выпуск продукции Xij тыс. шт.	X11	X12	X13	X21	X22	X23	X31	X32	X33

Математическая модель

11x11+7x12+5x13+9x21+6x22+7x23+18x31+15x32 → max

2x11+2x12+x13+3x21+4x23+3x31+3x32 ≤ 20

3x11+x12+2x13+2x22+5x31+6x32 ≤ 34

x12+3x13+2x21+3x22+x23+x31 ≤ 48

xij ≥ 0 (i=1, 2, 3; j=1, 2 , 3).

Решая данную задачу с помощью симплекс-метода, мы получаем, что наиболее оптимальный план загрузки невзаимозаменяемого оборудования соответствует выпуску первого вида продукции, произведенной по второму виду технологий, и второму виду продукции, произведенной по второму виду технологий, которые производятся соответственно в следующих объемах: 10 тыс. шт. и 12 тыс. шт. При этих объемах достигается максимальная прибыль, которая равна 142 тыс. у. е. Приведено задание из линейного программирования, которое целесообразно предложить студентам решить аналитически и с помощью компьютера. Для приобретения умений и навыков использования теоретического материала в решении конкретной практической задачи они должны решить эту задачу симплекс-методом, а для работы в будущем – выполнить это задание, используя компьютер. Заметим, что задания для курсовых работ могут быть и на применение других экономико-математических методов.

В реальности в учебном процессе не все так гладко: встречаются студенты, пропустившие практические занятия или не усвоившие учебный материал. Для этого случая заранее можно разработать или приобрести обучающие программы по темам практических занятий, позволяющие организовать консультации с помощью компьютера.

В Казахстане в некоторых вузах внедряется дистанционное обучение, предусматривающее использование компьютерных телекоммуникационных технологий, обеспечивающих эффективную обратную связь. Примером тому могут служить учебные центры Современной гуманитарной академии во многих городах Казахстана. Для подготовки экономистов, следовательно, и для их обучения математическим дисциплинам в этих учебных центрах применяется информационная технология обучения [25].

Информатизация образования является составной частью процесса интеграции национальной модели образования в международное образовательное пространство. Информатизация в Казахстане начала осуществляться в соответствии с Государственной программой Президента Республики Казахстан по информатизации системы среднего образования, реализованной в годах. Вместе с тем проводятся мероприятия по компьютеризации высших учебных заведений. Но есть основания полагать, что слабое использование информационных технологий при изучении математических дисциплин будущими экономистами остается одной из проблем высшего экономического образования в Казахстане. Поэтому предстоит большая работа по информатизации высшего экономического образования в республике, которая потребует новых задач информатизации, обеспечивающих качество подготовки экономистов в вузе:

- модернизировать и заменить устаревшую вычислительную технику в компьютерных классах;

- оснастить вузы компьютерной демонстрационной техникой;

- осуществить переподготовку научно-педагогических кадров по информатике;

- совершенствовать методическую систему за счет использования информационных технологий;

- разработать электронные учебные издания;

- внедрить дистанционную форму обучения для дополнительного образования студентов и преподавателей, используя различные методы транспортировки: спутниковый канал телевидения, сеть Интернет и др.

2.2.2 Образование стало основным источником экономического роста, поэтому Казахстан, как и другие страны современного мира, рассматривает сферу высшего образования как приоритетную, продукцией которой является интеллектуальный потенциал, определяющий прогресс экономики, науки и техники, культуры, развития эффективных технологий, обороноспособность страны. В связи с этим повышение качества подготовки специалистов является основной тенденцией развития высшего образования в Казахстане. Для воплощения в жизнь важной и ответственной задачи вхождения Казахстана в число наиболее конкурентоспособных стран мира современным специалистам необходимо обладать главными, обобщенными (не затрагивающими специфику профессиональной сферы) качествами:

­  обширными и фундаментальными знаниями, причем в сочетании с умениями их применять в различных условиях профессиональной деятельности;

­  способностью быстро осваивать новые технологии;

­  управленческими навыками;

­  умениями ориентироваться в рыночной экономике;

­  навыками самообразования;

­  умениями работать коллективно;

­  способностью осуществлять творческую и исследовательскую деятельность.

Таким образом, предстоит большая работа по совершенствованию системы высшего образования, а вместе с тем и экономического образования. Требуется изменить подходы к подготовке экономистов на основе использования образовательных технологий. Сам термин «образовательная технология» заимствован из производственной сферы и применяется в образовании условно, так как «образовательная технология как разновидность технологии социальной не носит столь жесткого и заданного характера, как производственная технология» [16].

Педагогическая (образовательная) технология возникла как направление в 60-е годы XX века в США, Англии и получила распространение во многих странах мира. Первоначальным содержанием термина «педагогическая технология» являлась технизация учебного процесса, и это привело к программированному обучению (, США). , , в своих работах выделили наиболее существенные признаки, присущие педагогической технологии: диагностичное целеобразование, результативность, экономичность, целостность, управляемость, корректируемость, визуализация. Приход технологии на смену традиционной методике должен способствовать усилению эффективности учебного процесса.

Обязательные этапы конструирования педагогической технологии сформулированы в работе [68] :

- выбор и обоснование основной идеи технологии;

- разработка целевой концепции технологии и системы учебных целей, проектирование содержания обучения;

- интеграция содержания, методов и форм обучения;

- конструирование системы средств реализации технологии в учебном процессе;

- разработка системы контроля и оценки достижений учащихся.

Весомый вклад в развитие педагогической технологии внес академик . Педагогическая технология позволяет совершенно по – новому взглянуть на процесс обучения, четко зафиксировать в учебном процессе дидактические модули как инвариантную часть учебной работы, включающую в себя цели, диагностику, логическую структуру учебного процесса, дозирование домашнего задания и коррекцию. В Казахстане технологическому подходу к обучению математике посвящены многочисленные исследования [69], [70], [71]. По данному направлению под его научным руководством выполнены кандидатские диссертации [72], [73]. Технологический подход к обучению химии исследуется в работе [74].

В XX веке в педагогике проблеме «технологизации» учебного процесса уделялось много внимания. В результате таких исследований выделилось несколько направлений образовательной технологии:

- на деятельностной основе обучения (составление плана деятельности учащихся на каждом этапе обучения (, ));

- на концептуальной основе (определение основной идеи предмета, разработка межпредметных познавательных задач, формирование межсистемных знаний учащихся, способов мышления (А. Мордкович));

- на основе системы укрупненных блоков (система опорных сигналов , метод );

- на основе опережающего обучения (предварительная подготовка восприятия учащимися нового материала ());

- на основе проблемной ситуации (, , );

- на личностно-смысловой основе построения учебного процесса (эмоционально – психологическое влияние на сознание учащихся (И. Шварц, ));

- на основе формулирования определенной ситуации или на основе игры;

- на основе диалога преподавателя и обучаемых;

- на основе коллективной формы обучения.

Перечисленные технологии в той или иной степени реализуются в учебном процессе.

Особое место занимает научно обоснованная педагогическая технология академика , посвященная проблеме технологизации учебного процесса и функционирующая во многих регионах России. дает следующее определение своей технологии: «Педагогическая технология – это иерархинизированная и упорядоченная система технологических процедур проектирования учебного процесса, неукоснительное выполнение которых гарантирует достижение определенного планируемого результата, в рамках нашей темы – это государственный образовательный стандарт» [75]. Особенность этой технологии состоит в том, что впервые на практике рассматривается учебный процесс в целом, решается вопрос его систематизации, упорядочивания, целевого оценивания творческой работы преподавателя, предлагается четкая и рациональная система требований к знаниям и умениям учащихся.

Если сравнить с общей идеей предыдущих технологий, которые дают хорошие результаты лишь при применении их в конкретной части учебного процесса, т. е. когда они используются при создании особых условий, то педагогическая технология в достаточной мере универсальна и применима при изучении любого предмета, в то же время она дает возможность не ограничиваться только требованиями государственного стандарта, но создает условия для полного решения проблемы уровневого обучения, этими свойствами обосновывается необходимость использования данной технологии в учебном процессе.

Мы уже изложили (см. 1.1) проблемы, существующие в настоящее время в обучении математическим дисциплинам будущих экономистов в казахстанских вузах. Кроме этого, требуется претворить в жизнь стратегию вхождения Казахстана в число наиболее развитых и конкурентоспособных стран мира, которую предложил в своем Послании народу Казахстана Президент Республики Казахстан .

Исходя из вышеизложенного, учитывая универсальность педагогической технологии по отношению к предметным методическим системам (аксиома 3), мы полагаем, что методические системы обучения математическим дисциплинам будущих экономистов необходимо совершенствовать на основе принципа профессиональной направленности и в условиях функционирования педагогической (образовательной) технологии.

Если одни ученые рассматривают образовательную технологию как науку, то другие считают ее промежуточным звеном между наукой и практикой, третьи связывают образовательную технологию с проектированием. Благодаря педагогической технологии можно рассматривать весь учебный процесс в целом и охватывать государственный стандарт образования как в школе, так и в вузе. Если во многих случаях методика является сборником рекомендаций по вопросам организации и проведения учебного процесса, то для названной педагогической технологии характерны две особенности: во-первых, технология – гарантированный конечный результат, во-вторых, технология – проект будущего учебного процесса.

Смысл технологии обучения заключается в планировании деятельности преподавателя, проектировании (для реализации плана в учебном процессе), составлении и применении дидактических модулей.

Для реализации данной технологии необходимо выполнение следующих методологических принципов:

- принцип доверия педагогическому профессионализму преподавателя;

- принцип гарантированности образовательной подготовки студента на любом этапе учебного процесса;

- принцип обязательности норм при проектировании технологии обучения;

- принцип объективности педагогической информации, используемой в технологии обучения;

- принцип модульного проектирования учебного процесса;

- принцип единства содержательной, процессуальной, мотивационной сторон в проектировании технологии обучения;

- принцип обязательного достижения каждым студентом базового уровня образования.

По данной педагогической технологии преподаватель определяет содержание своего предмета, составляет обязательный изучаемый студентом материал в виде перечня вопросов, формулирует микроцели. Соответственно содержанию он группирует эти микроцели и располагает их в технологической карте. А вопрос организации и проведения занятия решается проектированием в информационной карте занятия (ИКЗ). В ИКЗ расписываются содержание занятия, методы обучения соответственно содержанию занятия, действия преподавателя и студента. Тогда весь учебный процесс в целом будет представлен в виде сборника информационных карт занятий. По данному проекту преподаватель проводит эксперимент. Затем делает анализ, насколько цель занятия, его содержание, действия преподавателя и студента, общий ход занятия отвечают педагогическим, психологическим, физиологическим, гигиеническим требованиям, корректирует допущенные недостатки.

После такой коррекции в технологических картах и информационных картах занятий полностью определяется, что должен знать студент по данному предмету, т. е. проблема уровня знаний, соответствующего государственному стандарту образования, решается сама по себе. Таким образом, технология гарантирует соответствие уровня знаний студента государственному стандарту образования.

Наряду с этим при проектировании учебного процесса появляется возможность не только проверки уровня знаний студента, но и проверки деятельности преподавателя, а также внесения корректировок в его работу и обмена опытом.

Технологическая карта состоит из пяти компонентов, характеризующих пять параметров учебного процесса:

а) Целеполагание. По определенным процедурным правилам формулируются микроцели в границах темы, раздела, курса. Число микроцелей обычно от 2 до 6. Большее число микроцелей размывает четкость представления первых микроцелей, притупляет актуальность изучения темы;

б) Диагностика. Для каждой микроцели составляется самостоятельная проверочная работа, ориентированная на уровневое обучение. С помощью диагностики устанавливается факт достижения микроцели;

в) Дозирование (самостоятельная домашняя подготовка студентов). Здесь для преподавателя определенную трудность вызывает дифференциация заданий по уровням сложности, а также установление их объема при составлении домашних заданий;

г) Логическая структура учебного процесса. На этом этапе проектирования учебного процесса деятельность преподавателя и студента представляется через проект системы занятий;

д) Коррекция. При заполнении данного блока рекомендуется выделять три момента: возможные затруднения, с которыми обычно сталкиваются студенты в данном вопросе; наиболее часто встречающиеся ошибки студентов; система педагогических мер по выводу студента на уровень требований госстандарта.

Педагогическую технологию по отношению к курсу математики можно реализовать следующим образом. В рамках времени, отведенного на курс математики, учитывая логическую взаимосвязь основных понятий, определив какой раздел и в каком объеме необходимо излагать, выстраиваются микроцели.

После выстраивания микроцелей содержание курса математики делится на крупные блоки (модули). Каждый блок (модуль) проектируется на технологической карте.

В ходе достижения микроцелей и изучения студентами учебного материала преподаватель анализирует уровень знаний студентов, учитывает их возможности, начинает искать эффективные методы обучения.

Если микроцели, поставленные на уровне конкретных тем, реализуются, то, несомненно, и более широкие цели по формированию у студентов знаний, умений и навыков будут решены. Если микроцели правильно выстроены, то правильно будет осуществлен и учебный процесс.

Практическое занятие и самостоятельная работа студентов будут основными формами обучения математическим дисциплинам, так как работа студентов, в основном, будет направлена на решение задач, а решение задач – это проверяемое и оцениваемое явление. В ходе решения задач можно пронаблюдать в конкретных ситуациях, как студент освоил математические понятия; как он умеет выбирать необходимый метод решения, составлять алгоритм решения задачи и анализировать. Поэтому умение решать задачи считается эффективным способом проверки достижения или недостижения студентом уровня стандарта.

Следует заметить, что при определении стандарта, т. е. оценки «удовлетворительно», преподаватель должен обращать внимание на: начальный уровень знаний студента; отрезок времени, отведенного на данную тему; будущую профессию и на требования государственного стандарта образования. При проектировании учебного процесса преподаватель должен помнить, что определенное время должна занимать самостоятельная работа студентов.

Преподаватель составляет на каждое занятие информационную карту занятия (ИКЗ). В ИКЗ должны быть спланированы:

- цель занятия;

- теоретический и практический материалы, рассматриваемые на занятии;

- деятельность студента и преподавателя во время занятия.

Одним словом, ИКЗ – полный сценарий проведения занятия.

Соответственно технологической карте процесс проектирования ИКЗ осуществляется во взаимосвязи и параллельно с определением содержания занятия, в котором теоретический материал и перечень практических задач разрабатываются таким образом, чтобы было удобно пользоваться и студенту, и преподавателю.

Таким образом, преподаватель определяет содержание дисциплины, затем на основе содержания проектирует учебный процесс и реализует этот проект в аудитории.

После проведения занятия преподаватель делает анализ своего проекта:

- соответствие проекта результатам конкретного действия;

- достаточность содержания и объема данных задач;

- правильность распределения времени;

- степень сложности задач, предоставленных для контроля.

После соответствующих правок и корректировок составленные технологические карты и сборник информационных карт занятия будут считаться результатом творческой работы преподавателя и, несомненно, являются методическим пособием не только для личного пользования автором, но и будут полезны для молодых преподавателей.

Эффективность педагогической технологии заключается в следующем:

a)  в первую очередь создаются конкретные условия для обучения студентов: им предоставляются теоретический и практический материалы, эффективно организуется учебное время, понятен механизм оценивания, создается возможность показать индивидуальный уровень знаний по итогам самостоятельной проверочной работы;

б) преподаватель получает возможность постоянно систематизировать свой опыт и повышать качество работы;

в) формируется механизм взаимообмена опытом среди преподавателей;

г) строится основа учебных пособий для студентов и преподавателей вуза.

Для повышения качества обучения математическим дисциплинам будущих экономистов залогом могут быть следующие дидактические действия: выявление содержания дисциплины, целей, методов обучения, путей контроля и элементов коррекции. Необходимым условием качественного обучения математическим дисциплинам является также обеспечение средствами обучения. В результате технологического проектирования улучшается качество учебников и учебно-методических пособий, так как они апробируются в ходе учебного процесса (всесторонний анализ и отбор содержания, экспериментальная проверка).

Таким образом, рассмотрение учебного процесса в целом и проектирование его по технологии является эффективным путем повышения качества обучения математическим дисциплинам будущих экономистов.

.

3 ОБЕСПЕЧЕНИЕ КАЧЕСТВА РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ БУДУЩИХ ЭКОНОМИСТОВ

В разделе указаны пути решения проблемы обеспечения качества обучения математическим дисциплинам будущих экономистов, рассмотрен вопрос обеспечения экономических вузов научно-педагогическими кадрами по математическим дисциплинам, изложено учебно-методическое обеспечение совершенствуемых методических систем обучения математическим дисциплинам, приведены методы обучения математическим дисциплинам будущих экономистов.

3.1 О проблеме обеспечения качества обучения математическим дисциплинам будущих экономистов

В 90-е годы ХХ века независимому Казахстану для преодоления возникших трудностей необходимо было проводить рыночные реформы; формировать демократические и правовые отношения; развивать науку, образование и культуру. Вузы стали активно искать пути изменения ситуации к лучшему. В ходе рыночных реформ в Казахстане, как и в других странах постсоветского пространства, в условиях новых учебных планов, рабочих программ, учебников, структурно-логических схем и межпредметных связей сложилась новая модель обучения студентов в вузе, начиная с момента поступления на первый курс и заканчивая дипломным проектированием, учитывая при этом созданную десятилетиями внутреннюю культуру качества высшего образования и научно-исследовательской работы [34].

В современных рыночных отношениях высшее образование должно обеспечить подготовку для наукоемкого производства конкурентоспособных высококвалифицированных специалистов, обладающих способностью к самообразованию, к творческому саморазвитию, поэтому Казахстан, как и другие страны мира, рассматривает сферу высшего образования как приоритетную, а основной тенденцией развития высшего образования в Казахстане должно стать повышение качества подготовки специалистов, обеспечение новых направлений подготовки, инновационного развития, интеграции с интенсивной научно-исследовательской деятельностью, тесная связь вузовских исследований с потребностями общества на основе совершенствования образовательных и информационных технологий.

В Стратегии развития Республики Казахстан до 2030 года перед системой образования поставлена цель: обеспечить создание национальной модели образования и ее интеграцию в мировое образовательное пространство. Интеграция Казахстана в мировое образовательное пространство требует внедрения образовательной системы, отвечающей международным стандартам. Такой образовательной системой является кредитная система обучения, на которую перешли в настоящее время вузы страны.

Рассматривая «качество подготовки специалистов с высшим образованием», остановимся на некоторых определениях для него. В стандарте ИСО 9000:2000 смысл термина «качество» определен следующим образом: «Качество — степень соответствия присущих объекту характеристик установленным требованиям».

«Под качеством подготовки специалиста будем понимать системную совокупность свойств интеллектуального и профессионального развития человека, приобретенных им в ходе получения определенных знаний, умений и навыков, адекватно отображающих требования квалификационной характеристики. Знания и умения специалиста, как правило, динамичны и индивидуальны и формируют с течением времени различную степень приближения к требуемому качеству» [76].

«…Более обоснованным представляется определение качества применительно к выпускникам вузов, в котором оно выступает как объективная реальность, представляющая собой совокупность свойств и характеристик выпускника. А удовлетворение потребностей связано с формированием в вузе необходимого уровня или варианта этих характеристик в соответствии с потребностями рынка или требованиями заказчиков» [77].

Единого определения «качества подготовки специалистов с высшим образованием» нет, «каждый автор рассматривает качество образования, опираясь на собственный опыт, характер деятельности или предмет своего исследования» [13].

В решении проблемы обеспечения качества подготовки специалиста оба предыдущих автора [76;77] имеют схожее мнение.

«Для обеспечения качества подготовки специалиста необходимы и достаточны:

1)  материально-техническая база (здания, сооружения, лекционные и лабораторные аудитории, лабораторное оборудование, приборы, средства автоматизации, компьютеры, сети Интернет, учебно-методическая литература и т. п.);

2)  активный и квалифицированный профессорско-преподавательский состав, заинтересованный в результативности учебно-методической, научно-исследовательской и организационно-воспитательной работе;

3)  целеустремленная позиция субъекта обучения — студентов; способность будущих специалистов воспринимать, усваивать полученные в вузе знания и трансформировать их в навыки и устремления для дальнейшей деятельности на благо общества;

4)  матричная организационная структура вуза, его управление, в целом, и управление качеством подготовки специалиста, в частности» [13].

«Таким образом, можно с уверенностью утверждать, что указанные три фактора: необходимая материальная база, активный квалифицированный персонал и четкая организация работ — в совокупности составляют не только необходимые, но и достаточные условия для обеспечения качества» [77].

Какие же мероприятия проводятся в вузах Казахстана для обеспечения качества подготовки специалиста?

Как отмечено выше, в материально-техническую базу входят компьютеры, сети Интернет, компьютерные классы, т. е. все, что связано с информатизацией образования. Информатизация образования является составной частью процесса интеграции национальной модели образования в мировое образовательное пространство. Информатизация в Казахстане начала осуществляться в соответствии с Государственной программой Президента Республики Казахстан по информатизации системы среднего образования, реализованной в годах. В настоящее время обеспеченность компьютерной техникой составляет в республике 44 учащихся на 1 компьютер. На 1 января 2005 г. к сети Интернет подключено более 5 тысяч казахстанских школ, что составляет 62,4% от их общего количества. Для сравнения: в США оснащенность школьных заведений компьютерами составляет один компьютер на 6 учеников, в развитых странах Западной Европы и Южной Азии на 12-13 учеников 1 компьютер. Информатизация системы среднего образования способствует компьютерной грамотности будущих студентов высших учебных заведений. Процесс информатизации высшего образования в республике требует новых задач информатизации, обеспечивающих качество подготовки специалистов в вузе:

- модернизировать и заменить устаревшую вычислительную технику в компьютерных классах;

- оснастить вузы компьютерной демонстрационной техникой;

- осуществить переподготовку научно-педагогических кадров по информатике;

- совершенствовать методическую систему за счет использования информационных технологий;

- разработать электронные учебные издания;

- внедрить дистанционную форму обучения для дополнительного образования студентов и преподавателей, используя различные методы транспортировки: спутниковый канал телевидения, сеть Интернет и др.

Что касается управления качеством подготовки специалиста в вузе, то уже с 2004 года вузы Казахстана начали разрабатывать и внедрять систему менеджмента качества образования, инициированную Министерством образования и науки РК. Система менеджмента качества ИСО 9001:2000 управляет качеством подготовки специалистов в вузах путем коррекции и оптимизации конкретных блоков образовательной системы (вуза) выработкой мероприятий, направленных на повышение качества системы. Модель системы менеджмента качества образования вуза включает управление следующими элементами образовательной системы (вуза):

- качество нормативной базы;

- качество номенклатурной документации и отчетности;

- качество материально-технического обеспечения;

- качество финансового обеспечения;

- качество человеческих ресурсов;

- качество преподавания;

- качество практической подготовки студентов;

- качество научно-исследовательской работы ППС и сотрудников вуза (НИР);

- качество научной работы студентов (НИРС);

- качество выпускников;

- качество трудоустройства;

- внешняя оценка качества специалистов со стороны работодателей и потребителей образовательных услуг;

- качество управления и принятия решений по повышению качества образовательной деятельности;

- качество информационного обеспечения;

- качество учебного процесса;

- качество учебно-методического обеспечения [78].

Контроль качества подготовки специалистов происходит в ходе промежуточного государственного контроля (ПГК) знаний студентов второго и третьего (в медицинских вузах) курсов на базе Национального центра государственных стандартов образования и тестирования (НЦГСОТ), а также в ходе государственной аттестации организаций образования (вузов). Для студентов экономических специальностей ПГК проводится в форме тестирования по пяти дисциплинам, пройденным за 2 года обучения, после летней экзаменационной сессии: философии, экономической теории, иностранному языку, макроэкономике, информатике. Государственная аттестация организаций образования (вузов) проводится с целью обеспечения государственного контроля за соответствием предоставляемых организациями образования, независимо от форм собственности и ведомственной подчиненности, образовательных услуг требованиям государственного обязательного стандарта высшего образования в соответствии с графиками проведения аттестации [79]. Процесс аттестации включает: самоаттестацию, комплексное тестирование студентов старших и выпускных курсов (комплексное тестирование должны пройти не менее 95% студентов, причем не менее 70% из них необходимо получить положительные оценки), анонимное анкетирование студентов и преподавателей. Согласно программе и методическим рекомендациям по организации проведения государственной аттестации материально-техническая, учебно-методическая и социальная база вуза должны соответствовать стандартам современного высшего учебного заведения.

В ближайшие годы задача повышения качества обучения будет играть доминирующую роль в педагогической практике, следовательно, одной из важнейших задач педагогики является перевод используемых сегодня методик на технические рельсы.

Первоначальный смысл технологии обучения заключался в применении технических средств обучения и методов программированного обучения, а также всего, что участвует в учебном процессе и способствует работе системы образования. В данное время понятие «технология обучения» значительно изменилось. Процесс мы можем назвать «технологией», если «он заранее был спрогнозирован, определены конечные свойства продукта и средства для его получения, целенаправленно сформированы условия для проведения этого процесса и он «запущен» [78]. Основное отличие технологии обучения от традиционной, «нетехнологичной» методики обучения состоит в том, что технология обучения делает процесс обучения максимально управляемым процессом. По сравнению с обучением, построенным на основе методики, технология обучения имеет серьезные преимущества:

- основой технологии служит четкое определение конечной цели, которая рассматривается как центральный компонент, что и позволяет определить степень достижения более точно;

- в технологии цель (конечная и промежуточная) определена очень точно (диагностично), что позволяет разработать объективные методы контроля ее достижения;

- технология сводит к минимуму ситуации педагогического экспромта;

- технология предлагает проект учебного процесса, определяющего структуру и содержание учебно-познавательной деятельности учащихся. Проектирование учебной деятельности учащихся ведет к более высокой стабильности успехов практически любого числа учащихся [78].

«Для технологии обучения значимым является не только и не столько деятельность преподавателя, а деятельность учащегося, сформированность у него определенных качеств» [78], что очень важно в условиях кредитной системы образования. Кстати, при внедрении в вузах кредитной системы обучения возникли некоторые проблемы. Если отдельные дисциплины изучались студентами вуза в течение двух или трех семестров, то теперь эти дисциплины изучаются в течение одного семестра, причем объем часов, выделенный на лекции и практические занятия, невелик. По программе больше времени отведено на самостоятельные занятия. Многие современные выпускники школ не научились еще самостоятельно добывать знания, и большая часть студентов учится в вузах Казахстана на платной основе (по данным на 25.06.2003 г. на платной основе обучалось 82% от общей численности студентов [79]), поэтому заметно понижение качества подготовки специалистов в вузе. Такую проблему в вузах обычно пытаются решать с помощью дополнительных занятий и консультаций во внеурочное время. Получается загруженность преподавателей. В этой ситуации, несомненно, основной мотивацией преподавателей является уровень заработной платы и удовлетворение социальных потребностей, хотя нельзя забывать и об открытом и гласном признании достижений преподавателей.

Известно, что в профессиональную компетенцию экономиста-выпускника вуза входит профессионально-прикладные математические компетенции. Следовательно, проблема обеспечения качества математической подготовки выпускников экономических вузов в условиях кредитной системы образования решается укреплением и развитием материально-технической базы вуза, внедрением в вузе системы менеджмента качества ИСО 9001:2000, проведением промежуточного государственного контроля знаний студентов и государственной аттестации вуза, подготовкой квалифицированных научно-педагогических кадров по математическим дисциплинам для экономических специальностей, заинтересованных к качественному труду, а также внедрением современных информационных технологий, методов и приемов обучения.

3.2 Обеспечение экономических вузов научно-педагогическими кадрами по математическим дисциплинам

В условиях последовательной и системной работы по обеспечению доступности образовательных услуг для всех слоев населения, по повышению качества обучения, по развитию научно-технической и инновационной деятельности вопрос обеспечения экономических вузов квалифицированными научно-педагогическими кадрами - острый вопрос высшего экономического образования в Казахстане. Поэтому необходимо рассмотреть проблемы, связанные с обеспечением научно-педагогическими кадрами по математическим дисциплинам для экономических специальностей.

В 90-е годы прошлого века экономическое образование на постсоветском пространстве совершенно изменилось. Например, "российская система образования на рубеже 90-х годов в целом была не готова к переходу на новую парадигму экономического образования: отсутствовали теоретические основы, не было ни учебников, ни преподавателей, способных обучать новым экономическим дисциплинам и курсам. На первых порах образовательный процесс обеспечивался в основном за счет западных пособий, практически не адаптированных в российской действительности. Наибольшую трудность в организации образовательного процесса вызывало отсутствие квалифицированных кадров преподавателей, в которых нуждалась вся система образования…" [80]. Такая же ситуация была в то время и в экономических вузах Казахстана. В связи с социально-экономическими изменениями в обществе в ходе рыночных реформ в Казахстане, которые повлекли за собой смену образовательной политики и построение новой модели экономического образования, появились новые виды образовательных учреждений и начали вводиться новые дисциплины. На экономических специальностях появились дисциплины: эконометрика, экономико-математическое моделирование. В этих условиях потребовалась новая система подготовки, переподготовки и повышения квалификации преподавателей для высшего экономического образования. Одной из первых в Казахстане стала осуществлять подготовку, переподготовку и повышение квалификации экономистов, управленческих кадров и преподавателей, разработку учебных планов и программ обучения, руководство разработкой и изданием новой учебной, учебно-методической и научной литературы с учетом обеспечения кафедр экономических специальностей вузов Казахская государственная академия управления, ныне Казахский экономический университет им. Т. Рыскулова. Кстати, одна из программ курса "Экономико-математическое моделирование", составленная , , утверждена в 1993г. кафедрой "Экономическая кибернетика" КазГАУ, а другая программа, составителями которой являются , , рекомендована к изданию Учебно-методическим объединением по экономическим специальностям вузов Республики Казахстан при КазГАУ. На основе этих программ преподавателями вузов составлялись рабочие учебные программы для обучения студентов экономических специальностей дисциплине "Экономико-математическое моделирование". Автором данной работы также была подготовлена рабочая учебная программа по этой дисциплине и предложена в печати для ознакомления и сравнения со своими учебными программами [81].

В настоящее время повышение квалификации, стажировку и переподготовку педагогических кадров осуществляют факультеты повышения квалификации при высших учебных заведениях, руководствуясь Правилами о порядке организации деятельности учебных заведений повышения квалификации и переподготовки работников организаций образования РК, утвержденными приказом Министерства образования и науки РК от 01.01.01 года. Согласно этим Правилам:

- целью повышения квалификации является обновление теоретических и практических знаний руководящих работников и специалистов в соответствии с возрастающими требованиями рыночной экономики;

- основной целью стажировки является формирование и закрепление на практике профессиональных знаний, умений и навыков, полученных в результате теоретической подготовки. Стажировка осуществляется также в целях изучения передового опыта, приобретения профессиональных и организаторских навыков для выполнения обязанностей по занимаемой или более высокой должности;

- целью переподготовки работников организаций образования является получение ими дополнительных знаний, умений и навыков по образовательным программам, предусматривающим изучение отдельных дисциплин, разделов науки, техники и технологии, необходимых для выполнения нового вида профессиональной деятельности.

В ряде крупнейших казахстанских университетов имеются факультеты повышения квалификации, занимающиеся профессиональной переподготовкой и повышением квалификации преподавательских кадров. Некоторые региональные университеты Казахстана выгодно используют свое географическое положение для сотрудничества с вузами сопредельной России. Например, Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова заключил договор о повышении квалификации своих научно-педагогических кадров с Тюменским государственным нефтегазовым университетом, с Алтайским государственным университетом и с Алтайским государственным техническим университетом им. .

В 2002 году Министерством образования и науки РК в соответствии с Законами Республики Казахстан от 7 июня 1999 г. "Об образовании" и от 01.01.01г. "О внесении изменений и дополнений в некоторые законодательные акты Республики Казахстан по вопросам образования", а также в целях развития научного потенциала страны на основе использования различных форм подготовки научных и научно-педагогических кадров высшей квалификации утверждены Правила о послевузовском профессиональном образовании. Согласно Правилам послевузовское профессиональное образование может быть получено в аспирантуре, докторантуре высших учебных заведений и научно-исследовательских организаций, а также в форме перевода кандидатов наук на должность старших научных сотрудников, соискательства, предоставления творческих отпусков. Вузы Казахстана готовят высококвалифицированные научно-педагогические кадры у себя в аспирантуре и докторантуре, а также направляют своих сотрудников в аспирантуру и докторантуру других вузов или научных центров как внутри страны, так и за ее пределами. Граждане Республики Казахстан принимаются в аспирантуру, докторантуру, либо прикрепляются как соискатели к высшим учебным заведениям и научным учреждениям, организациям Российской Федерации на основе международных договоров и межправительственных соглашений Российской Федерации, а также по договорам высших учебных заведений и научных учреждений, организаций Российской Федерации, предусматривающих оплату стоимости подготовки юридическими и физическими лицами. К примеру, ПГУ им. С. Торайгырова заключил договор о сотрудничестве в сфере послевузовского образования, подготовки кадров высшей квалификации с МГУ им. , с Томским государственным университетом, с Новосибирским государственным техническим университетом, с Новосибирской государственной академией водного транспорта, с Новосибирским государственным педагогическим университетом.

Кроме этого, в соответствии с законодательством Республики Казахстан и международными договорами, соглашениями, конвенциями в вузах и научных организациях дальнего зарубежья обучаются студенты, повышают квалификацию, проходят профессиональную переподготовку и осуществляют совместную научную деятельность преподаватели из нашей страны. По сведениям, предоставленным отделом международного сотрудничества ПГУ им. С. Торайгырова, в дальнем зарубежье (США, Япония, Германия, Израиль, Чехия) из этого университета прошли обучение или повысили квалификацию (включая участие в международных конференциях):

гг. гг.

преподавапреподава

гг. 2001год 2003 год

преподавапреподавапреподава

студенты - 8 студенты - 13 студенты - 21

ПГУ им. С. Торайгырова заключил договор о сотрудничестве в области образования и науки с Американским фондом "Оркен" (США), с Юго-Западным университетом "Неофита Рилского" (Болгария), с Национальным университетом г. Чунжу (Южная Корея), с Немецкой службой академических обменов (ДААД, Германия), с кафедрой технологии машиностроительных процессов университета г. Падерборна (Германия). Как видно из данного списка, Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова поддерживает тесные отношения в области научного сотрудничества с Германией. Чем же привлекает Германия ученых со всего мира? В 2002 году расходы на научные исследования в Германии составляли 580 долларов США на душу населения. Бюджет министерства образования и науки ФРГ вырос на 20%. Произошло кардинальное изменение самого подхода к проблеме финансирования научных исследований. В настоящее время происходит интернационализация научно-исследовательской системы Германии, расширение обмена опытом и кадрами, а также международной кооперации. Немецкие вузы открывают свои двери студентам и ученым со всего мира. Германия становится все более привлекательной страной для самых светлых голов мира, и потому здесь не только продолжают инвестировать в науку и образование, но и проводят политические реформы. Так, давно назревший закон об иммиграции должен позволить иностранным ученым и их семьям без проблем работать и заниматься наукой в Германии.

В 1992 году по решению Правительства Российской Федерации была образована Высшая школа экономики, получившая впоследствии статус государственного университета. ГУ-ВШЭ была одним из первых учебных заведений в России, включившим эконометрику в число обязательных курсов. В Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов (СПбГУЭФ) преподавание эконометрики включено в учебные планы всех экономических специальностей и всех форм обучения с 1996/97 учебного года. С 90-х годов прошлого века эконометрика начала внедряться и в учебные планы экономических вузов Казахстана. Для становления новой дисциплины срок 10-13 лет весьма короткий. Серьезная подготовка студентов экономических вузов по дисциплине "Экономико-математическое моделирование" ведется также в последние годы. Преподавание эконометрики и курса экономико-математического моделирования на русском языке обеспечивается в основном за счет российских учебников и учебных пособий, а также западных учебных пособий, переведенных на русский язык. Для преподавания этих дисциплин в группах с казахским языком обучения таких качественных учебников и учебных пособий мало. В большинстве случаев в университетах Казахстана, за исключением отдельных, эконометрика и экономико-математическое моделирование отнесены к кафедре высшей математики, где в основном работают профессора и доценты с учеными степенями, относящимися к отрасли науки - физико-математической. Поэтому приоритет в научно-исследовательской работе кафедры высшей математики имеют исследования не математических моделей реальных экономических явлений с помощью эконометрических методов или методов исследования операций, а задач из теории дифференциальных уравнений, математического анализа, алгебры.

Для решения вышеописанных и других проблем, чтобы обеспечить качество подготовки экономистов в вузе, мы предлагаем в каждом университете, где ведется подготовка экономистов, создать экономико-математическую кафедру, если таковой не имеется. Причем сделать ее выпускающей, объединив дисциплину «Математика в экономике», эконометрику и курс экономико-математического моделирования с дисциплинами специальности 050703 "Информационные системы".

Как известно, "кафедра исполняет три главных функции:

-  она обеспечивает чтение соответствующих курсов, как специальных, так и общих для одного или нескольких факультетов;

-  она является центром организации и проведения научно-исследовательской работы, которой руководят ученые, а основную часть исследователей составляют студенты и аспиранты;

-  наконец, она является выпускающей, т. е. объявляющей, что данный студент выходит в разряд дипломированных специалистов" (Из выступления академика на Всероссийском совещании заведующих кафедрами гуманитарных и социально-экономических дисциплин 20-21 ноября 2003 г. в МГУ им. ).

Таким образом, созданная кафедра обеспечит в экономическом вузе чтение курсов математики для экономистов, эконометрики, экономико-математического моделирования и спецдисциплин по специальности 050703 "Информационные системы". Заодно решится вопрос о полном изложении курса экономико-математического моделирования [17]. Дело в том, что студенты - экономисты некоторых государственных и негосударственных вузов нашей страны изучают в рамках курса экономико-математического моделирования лишь математическое программирование (линейное программирование, целочисленное программирование, нелинейное программирование). Остаются неизученными динамическое программирование, графовые и сетевые методы, теория управления запасами, теория расписаний, теория игр. В таком случае мы предлагаем, если увеличение объема часов невозможно, экономические приложения математической статистики включить в курс теории вероятностей и математической статистики, основы экономической кибернетики и необходимые экспериментальные методы в экономике - в дисциплину "Экономическая информатика", а сетевые методы, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию управления запасами, теорию расписаний показать на практических оптимизационных задачах в виде практикума на компьютере. С развитием экономических явлений возникают новые задачи, решение которых является мощным стимулом появления экономико-математических методов. Следовательно, созданная кафедра станет центром организации и проведения научно-исследовательской работы в вузе. Кстати, для подготовки научных и научно-педагогических кадров можно направлять преподавателей экономико-математической кафедры в аспирантуру и докторантуру по специальности 08.00.13 "Математические и инструментальные методы экономики" или, по крайней мере, по специальности 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ". Мы полагаем, что создание экономико-математической кафедры на основе объединения математических дисциплин с дисциплинами специальности 050703 "Информационные системы" будет более удачным, чем закрепление этой специальности за какой-либо экономической кафедрой. Это позволит использовать на практических занятиях по математике для экономистов, эконометрике и лабораторных занятиях по курсу экономико-математического моделирования информационные технологии, поскольку кафедра будет располагать своими компьютерными классами. Следовательно, преподаватели экономико-математической кафедры должны уметь работать на компьютере, так как в настоящее время компьютер выполняет три основных задачи: расчетные операции, оформительские действия, источник информации.

3.3 Учебно-методическое обеспечение совершенствуемых методических систем обучения математическим дисциплинам

Как уже было отмечено в 3.1, успех вуза при разработке и внедрении эффективной системы менеджмента качества определяется ключевыми факторами: качеством нормативной базы, качеством номенклатурной документации и отчетности, качеством материально-технического обеспечения, качеством подготовки абитуриентов и студентов, положительной мотивацией сотрудников и студентов, компетентностью профессорско-преподавательского состава и других сотрудников, качеством учебно-методического обеспечения, качеством технологий обучения, качеством технологий оценки, качеством процессов руководства вузом и др.

Если компетентность преподавателей по математическим дисциплинам для экономистов нами уже рассмотрена, то другим не менее важным фактором успешной реализации совершенствуемых методических систем обучения математическим дисциплинам в экономическом вузе является качество учебно-методического обеспечения.

Идея реализации методической системы обучения учебной дисциплине в рамках учебно-методического обеспечения находит отражение в работах , , и других исследователей. Впоследствии приверженцами идеи создания дидактических (программно-методических) комплексов на информационной основе стали , , и др. В Казахстане учебно-методическому обеспечению математики в базовой школе посвящено исследование [82].

Как отмечают , [27]: «Описание будущей педагогической системы осуществляется в форме различных методических документов: планов, программ, методик, учебных пособий и т. д. Совокупность всех учебно-методических документов, в которых дается системное описание будущего учебно-воспитательного процесса, называют учебно-методическим комплексом (сокращенно УМК)». Необходимый набор учебно-методических документов зависит от того, какой объект должен быть спроектирован в УМК. Таким объектом является методическая система обучения учебной дисциплине. Итак, УМК - это модель методической системы обучения данной дисциплине (УМКД). В нашей работе мы рассматриваем учебно-методические комплексы таких математических дисциплин, как «Математика в экономике» и «Экономико-математическое моделирование».

Положение системно-методического обеспечения учебно-воспитательного процесса в высшей школе в конце 80-х годов прошлого века авторы работы [27] характеризуют следующим образом: «Проектирование ПС (педагогической системы - И. М.) в УМК - задача сложная и новая. У нас нет эталонных разработок в прошлом, так как прошлая образовательная работа на всех уровнях воспитания подрастающих поколений не сталкивалась со столь сложными требованиями, какие возникают в настоящее время в условиях перестройки высшей школы…». Обучение студентов-экономистов высшей математике и экономико-математическому моделированию в советских вузах строилось по единым методическим системам, поэтому такая же ситуация с методическим обеспечением математических дисциплин для экономистов имела место и в казахстанских вузах.

Как мы уже отмечали в 1.1, Казахстан после распада СССР продолжает тесное сотрудничество с Россией в образовании и науке. Из России поступает много учебной и методической литературы по математическим дисциплинам для экономистов, проводятся совместные научные конференции, симпозиумы. Чтобы иметь представление об учебно-методическом обеспечении математических дисциплин для экономистов в Казахстане в настоящее время, нам необходимо рассмотреть решение этого вопроса в экономических вузах России в 90-е годы прошлого века.

В экономических вузах России системно-методическое обеспечение учебно-воспитательного процесса получило свое развитие в ходе реализации Инновационного проекта развития образования (ИПРО) Национальным фондом подготовки кадров в 90-е годы XX века (см.1.1). «Главной целью проекта было создание условий для обеспечения высокого качества образования в области экономики, столь характерного для ведущих зарубежных университетов» [2].

В задачи проекта входило [2]:

-  совершенствование и пересмотр учебных планов и форм организации учебного процесса;

-  пересмотр программ и подготовку новых учебных курсов;

-  подготовку учебных материалов и учебников;

-  повышение квалификации преподавателей экономических дисциплин;

-  реформирование организации и управления научно-исследовательской деятельностью с целью повышения активности участия в ней студентов и более тесного ее совмещения с процессом обучения;

-  развитие современных методов обучения и оценки знаний студентов;

-  повышение международной мобильности преподавателей и студентов и поддержание постоянных профессиональных контактов с зарубежными партнерами и ведущими российскими учебно-научными центрами;

-  создание действенной академической экспертизы реформируемых курсов и учебных планов, аккредитации программ обучения на степень бакалавра и магистра, осуществляемых данным вузом, формирование международных наблюдательных (экспертных) советов с включением в их состав известных иностранных специалистов;

-  значительное улучшение преподавания иностранных языков как средства активизации общения с зарубежными партнерами;

-  улучшение условий образовательной деятельности за счет расширения сферы применения информационных технологий, доступа к Интернету и улучшения снабжения соответствующими материалами и оборудованием.

Как утверждают авторы аналитического доклада [2]: «Любой учебный курс в экономическом вузе должен быть обеспечен не только основным учебником или пособием, но и целым спектром вспомогательных и прикладных материалов, образующих вместе с базовым учебником учебно-методический комплекс. Это руководство для студентов (Study Guide), руководство для преподавателя (Instructors Manual), сборники задач, комплекты экзаменационных заданий прошлых лет с указаниями и решениями, задания для самостоятельной работы, тематика эссе и курсовых работ, руководства по использованию прикладного программного обеспечения. Актуальны конспекты лекций, хрестоматии, глоссарии, наборы слайдов, компьютерные программы и другие материалы».

К началу реализации ИПРО по некоторым экономическим курсам имелись хотя бы несколько переводных учебников вводного и промежуточного уровней, но даже по этим курсам другие виды необходимых материалов практически отсутствовали. Одной из главнейших задач ИПРО стала разработка учебно-методических комплексов. В ходе реализации ИПРО во многих вузах России были разработаны учебно-методические комплексы учебных дисциплин. В Международном институте экономики и финансов (МИЭФ) и Государственном университете - Высшая школа экономики (ГУ - ВШЭ) подготовлены учебно-методические комплексы по 20 курсам учебной программы. УМК были также разработаны в МГУ, РУДН, НГУ, СПбГТУ и других вузах, которые участвовали в ИПРО. Часть учебно-методического обеспечения (учебники, учебные пособия, сборники задач) была опубликована и широко применяется во многих вузах России. По утверждению авторов аналитического доклада [2]: «Обеспеченность пособиями, задачниками и другими материалами по экономико-инструментальным, специальным и прикладным курсам на национальном уровне все же пока нельзя назвать удовлетворительной; тем не менее с помощью ИПРО здесь сделан огромный шаг вперед».

В казахстанских вузах на специальностях экономического профиля широко используются учебники, учебные пособия и задачники российских авторов по дисциплине «Математика в экономике» ( и , , и др., , ) и по курсу экономико - математического моделирования (, и др., , и , и др., и , ).

В Казахстане авторами учебников, учебных пособий и сборников задач по математике для экономических специальностей являются , , но, к сожалению, учебной литературы по математике для экономистов, выпущенной отечественными авторами, пока мало.

Заслуживает внимания мнение российского исследователя о том, что «существующие классические учебники для технических вузов (, , и др.) и задачники (, , и др.) не учитывают новых требований к математической подготовке современного специалиста…. Остается нерешенной проблема подготовки учебно-методического обеспечения прикладной математической подготовки специалистов экономического профиля, особенно в части прикладных разделов математики: теория вероятностей, математическая статистика и экономико-математические методы, которое позволило бы эффективно управлять процессом обучения в системе «ссуз - вуз» и при необходимости переводить его в режим самообучения» [10].