Совершенствование обучения математическим дисциплинам студентов экономических вузов (стр. 3 )

В настоящее время в казахстанских вузах разработаны руководства по составлению и оформлению учебно-методического комплекса дисциплины для студентов, обучающихся по кредитной системе. Анализ таких руководств для КарГУ им. , ПГУ им. С. Торайгырова и КазГАСА показал, что учебно-методические комплексы дисциплин в каждом вузе составляются и оформляются по-разному. Например, в КазГАСА в отличие от ПГУ им. С. Торайгырова и КарГУ им. УМКД состоит из УМК-1 (для преподавателя) и УМК-2 (для студента). Если в этих двух вузах при составлении УМКД не требуются глоссарий (краткое разъяснение терминов и понятий на государственном, русском и английском языках), программное и мультимедийное сопровождение учебных занятий, перечень специализированных аудиторий, кабинетов и лабораторий, то в УМК-1 для КазГАСА они включены. Если в «Требованиях к учебно-методическому комплексу дисциплины » ПГУ им. С. Торайгырова записано, что «при необходимости (отсутствие или нехватка литературы, иных источников) можно привести также методические указания по изучению дисциплины (или опорный конспект лекций)», то для КазГАСА методические указания для студентов по изучению дисциплины должны быть включены в УМК - 2. Имеются и другие различия в составлении и оформлении УМКД. По- видимому этот факт можно объяснить следующим образом. УМКД введен в практику вузов в октябре 1982г. инструктивным письмом №32 Минвуза СССР «О совершенствовании учебно-методической работы в высших учебных заведениях». В этом письме даны указания о методике создания учебно-методических комплексов по отдельным дисциплинам (УМКД) и по специальности (УМКС). И как пишут авторы работы [27]: «В приказе Минвуза СССР № 000 от 01.01.01г. признано необязательным создавать УМК по единой общепринятой схеме и указано, что в создании УМК как системно-методического обеспечения учебно-воспитательного процесса подготовки специалистов кафедрам и советам вузов необходимо учитывать специфику учебных предметов, квалификацию преподавателей и другие местные условия, избегая формализма и излишнего бумаготворчества. Этот приказ создает необходимые условия для творческой методической работы в вузах и реального воздействия УМК на процесс подготовки специалистов». Экспериментальной базой для исследования является Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, где автор данной работы ведет занятия студентам-экономистам по математическим дисциплинам, поэтому учебно-методические комплексы математических дисциплин разработаны и оформлены автором согласно «Требованиям к учебно-методическому комплексу дисциплины» ПГУ им. С. Торайгырова.

По этим требованиям УМКД должно включать следующие обязательные структурные элементы:

-  титульный лист;

-  карту методического обеспечения дисциплины;

-  типовую программу по дисциплине;

-  рабочую программу дисциплины;

-  программу дисциплины для студентов (ПДС);

-  методические указания к лабораторным работам;

-  материалы для текущего и итогового контроля учебных достижений обучающихся;

-  методические указания к контрольным работам (для заочников);

-  методические материалы к выполнению домашних заданий, методические указания к курсовым проектам, курсовым работам, расчетно-графическим работам;

-  карту обеспеченности учебниками и учебными пособиями;

-  перечень тем курсовых проектов, курсовых работ;

-  выписка из протокола заседания Ученого совета ПГУ по распределению весовых долей по видам контроля.

«Чтобы методическое обеспечение учебного процесса стало действительно системным, в нем должны быть отражены проектные разработки всех элементов педагогической системы (ПС), характерной для данного предмета или специальности» [27].

В 1.1 данной работы нами обоснована оптимизация процесса обучения математике будущих экономистов путем усовершенствования элементов методической системы обучения на основе принципа профессиональной направленности и образовательных технологий. Соответствующие оптимальные изменения были отражены в учебно-методическом комплексе дисциплины «Математика в экономике»: в рабочей программе дисциплины, программе дисциплины для студентов (ПДС), тестах для текущего, рубежного контролей и экзамена, методических указаниях к практическим занятиям, методических материалах к выполнению домашних заданий.

Приведем содержание дисциплины «Математика в экономике».

Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе

1.1 Цели изучения дисциплины:

1 Освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать экономические задачи с приложением, в случае необходимости с использованием компьютерной техники.

2 Помочь студентам усвоить математические методы, дающие возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей деятельности студентов как специалистов.

3 Формировать умения и навыки самостоятельного анализа исследования экономических проблем, развивать стремление к научному поиску путей совершенствования своей работы.

4 Формировать навыки самостоятельной работы с учебной литературой.

1.2 Задачи дисциплины:

1  Изучение фундаментальных понятий высшей математики и их приложений в экономике.

2  Овладение математическими методами, приемами исследования и решения математически формализованных задач.

3  Овладение простейшими численными методами и знакомство с их реализацией на ЭВМ.

4  Формирование научного мировоззрения, развитие логического и алгоритмического мышления.

5  Развитие математической интуиции.

6  Воспитание математической культуры.

1.3  В результате изучения дисциплины студенты должны знать:

1 Основные определения, теоремы, правила, методы линейной алгебры и аналитической геометрии и их практическое применение.

2 Основные определения, теоремы, правила, методы дифференциального исчисления и их практическое применение.

3 Основные определения, теоремы, правила, методы интегрального исчисления и их практическое применение.

4 Основные определения, теоремы, правила, методы теории дифференциальных уравнений и их практическое применение.

5 Основные определения, теоремы, правила, методы теории рядов и их практическое применение.

6 Основные определения, теоремы, правила, методы теории вероятностей и их практическое применение.

7 Основные определения, теоремы, правила, методы математической статистики и их практическое применение.

1.4  В результате изучения дисциплины студенты должны уметь:

1 Решать задачи из линейной алгебры и аналитической геометрии.

2 Решать задачи из дифференциального исчисления.

3 Вычислять неопределенные и определенные интегралы.

4 Решать дифференциальные уравнения.

5 Исследовать числовые и степенные ряды.

6 Решать задачи из теории вероятностей.

7 Решать задачи из математической статистики.

1.5 Перечень предшествующих дисциплин: алгебра и начала анализа, геометрия, информатика.

Содержание дисциплины

ТЕМАТИЧЕСКИЙ План ДИСЦИПЛИНЫ
№ п/п	Наименование разделов	Количество часов
Лекц.	Прак.	СРС
1	2	3	4	5
1.	Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии	6	3	18
2.	Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.	6	3	18
3.	Интегральное исчисление	4	2	12
4.	Дифференциальные уравнения	2	1	6
5.	Теория рядов	2	1	6
6.	Теория вероятностей	6	3	18
7.	Математическая статистика	4	2	12
ИТОГО:	30	15	90

Содержание теоретического курса

Раздел 1 Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии

Тема 1 Матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Теорема Лапласа. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Экономическая интерпретация матрицы.

Тема 2 Системы линейных уравнений и неравенств. Совместность систем уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Система n линейных уравнений с n переменными. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Система m линейных уравнений с n переменными. Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений. Системы линейных неравенств и исследование их решений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Модель международной торговли.

Тема 3 Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Евклидово пространство. Системы линейно зависимых и линейно независимых векторов. Системы ортогональных векторов. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по базису. Векторы в экономических задачах. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы.

Тема 4 Уравнение линии на плоскости. Различные виды уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Уравнения прямой в пространстве. Различные задачи для прямых и плоскости в пространстве. n-мерная плоскость (гиперплоскость). Экономические приложения линейных зависимостей.

Раздел 2 Введение в анализ. Дифференциальное исчисление

Тема 5 Понятие функциональной зависимости. Способы задания и свойства функций. Основные элементарные функции, их графики (линейная, степенная, показательная, логарифмическая функции). Построение графиков сложных функций методом преобразования графиков. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Предел функции, односторонние пределы. Бесконечно малые и теоремы о бесконечно малых. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва функции и их классификация.

Тема 6 Понятие производной и дифференциала функции. Производные элементарных функций. Производная сложной, обратной и неявной функции. Производные высших порядков. Предельные издержки. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференциал суммы, произведения и частного. Правила Лопиталя.

Тема 7 Исследование функций. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Признаки возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функций и построения графиков. Нахождение максимума прибыли.

Тема 8 Функции нескольких переменных. Область определения. Линия уровня. Непрерывность функции. Частные производные. Полный дифференциал. Производная по направлению и градиент функции. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Раздел 3 Интегральное исчисление

Тема 9 Неопределенный интеграл. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод подстановки и интегрирование по частям.

Тема 10 Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Основные методы интегрирования. Геометрические и экономические приложения определенных интегралов. Несобственные интегралы.

Раздел 4 Дифференциальные уравнения

Тема 11 Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения. Задача Коши. Уравнения с разделенными переменными. Уравнения с разделяющимися переменными.

Раздел 5 Теория рядов

Тема 12 Числовые ряды. Понятие числового ряда. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов.

Тема 13 Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций. Функциональный ряд. Ряд Фурье.

Раздел 6 Теория вероятностей

Тема 14 Случайные события. Классификация событий. Вероятность. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

Тема 15 Случайные величины и законы распределения случайных величин. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности. Их свойства, графики. Числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, моменты, мода, медиана, квантили).

Тема 16 Законы распределения дискретных случайных величин. Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Числовые характеристики.

Тема 17 Законы распределения непрерывных случайных величин. Равномерное, показательное распределения. Нормальный закон распределения. Их функции распределения и числовые характеристики. Независимые случайные величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.

Тема 18 Многомерные случайные величины Понятие многомерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины. Закон распределения двумерной случайной величины. Условные законы распределения. Условное математическое ожидание. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Ковариация. Коэффициент корреляции. Двумерный нормальный закон распределения.

Тема 19 Функция случайных величин. Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин: распределение хи-квадрат с m степенями свободы, распределение Стьюдента с m степенями свободы (распределение t(m), распределение Фишера (распределение F).

Тема 20 Закон больших чисел. Неравенства Маркова, Чебышева. Теоремы Чебышева, Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Раздел 7 Математическая статистика

Тема 21 Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики вариационного ряда: среднее значение, дисперсия, мода, медиана, начальные и центральные моменты, ассиметрия и эксцесс. Эмпирическая функция распределения и ее график.

Тема 22 Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Точечные оценки. Метод моментов, метод максимального правдоподобия. Понятие интервального оценивания. Доверительные интервалы для оценки параметров нормального распределения.

Тема 23 Проверка статистических гипотез. Основные понятия. Общая схема проверки. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Критерий согласия Пирсона хи-квадрат.

Тема 24 Дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном анализе.

Тема 25 Корреляционный анализ. Основные понятия. Проверка значимости параметров связи.

Содержание практических занятий

1 Матрицы. Сложение, умножение матриц. Вычисление определителей. Обратная матрица. Ранг матрицы.

2 Системы линейных уравнений и неравенств. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса.

3 Векторы. Сложение, вычитание, скалярное произведение векторов. Ранг системы векторов, разложение вектора по базису.

4 Уравнение линии на плоскости. Различные уравнения плоскости и прямой в пространстве.

5 Понятие функциональной зависимости. Предел функции. Непрерывность функции.

6 Понятие производной и дифференциала функции.

7 Исследование функций. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.

8 Функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции двух переменных.

9 Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Методы интегрирования неопределенного и определенного интегралов. Приложения определенного интеграла.

10 Дифференциальные уравнения.

11 Теория рядов. Необходимые и достаточные условия сходимости числового ряда.

12 Теория вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

13 Повторные независимые испытания.

14 Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины и их законы распределения.

15 Понятие многомерной случайной величины. Закон распределения системы двух случайных величин.

Темы для самостоятельного изучения

Тема 2 Системы линейных уравнений и неравенств. Системы линейных неравенств и исследование их решений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Модель международной торговли.

Тема 3 Векторы. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы.

Тема 5 Понятие функциональной зависимости. Способы задания и свойства функций. Основные элементарные функции, их графики (линейная, степенная, показательная, логарифмическая функции). Построение графиков сложных функций методом преобразования графиков.

Тема 10 Определенный интеграл. Геометрические приложения определенных интегралов.

Тема 13 Функциональные ряды. Ряд Фурье.

Тема 15 Случайные величины и законы распределения случайных величин. Моменты, мода, медиана, квантили случайных величин.

Тема 18 Многомерные случайные величины. Понятие многомерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины. Закон распределения двумерной случайной величины. Условные законы распределения. Условное математическое ожидание. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Двумерный нормальный закон распределения.

Тема 21 Генеральная совокупность и выборка. Числовые характеристики вариационного ряда: среднее значение, дисперсия, мода, медиана, начальные и центральные моменты, ассиметрия и эксцесс.

Тема 24 Дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном анализе.

Тема 25 Корреляционный анализ. Основные понятия. Проверка значимости параметров связи.

Содержание самостоятельной работы студентов

№ п/п	Вид СРС	Форма контроля	Объем в часах
1	Подготовка к лекционным занятиям	Конспект	25
2	Подготовка к практическим занятиям	Конспект	7,5
3	Выполнение домашних заданий	Тетрадь для практических занятий	15
4	Изучение материала, не вошедшего в содержание аудиторных занятий	Реферат	11
5	Подготовка к двум контрольным работам	Контр. работа 1 Контр. работа 2	3,5
6	Выполнение расчетно-графической работы	Коллоквиум	18
7	Подготовка к контрольным мероприятиям	РК1, РК2	10
Итого	90

В 1.1 данной работы изложены пути совершенствования методической системы обучения будущих экономистов экономико-математическому моделированию. Нами подготовлен учебно-методический комплекс дисциплины «Экономико-математическое моделирование», в котором отражены проектные разработки всех элементов методической системы обучения.

Приведем содержание дисциплины «Экономико-математическое моделирование».

Цели и задачи преподавания дисциплины, ее место

в учебном процессе

1.1  Цели изучения дисциплины: овладение студентами системой знаний, умений и навыков, дающих представление об экономико-математическом моделировании, его языке и символике, методах, алгоритме, периодах развития экономико-математического моделирования; формирование у студентов умений строить модели реальных экономических процессов, исследовать эти процессы по заданным моделям, конструировать приложения моделей; приобщение студентов к опыту творческой деятельности; ознакомление студентов с ролью экономико-математического моделирования в современной экономике.

1.2 Задачи дисциплины:

1.  Изучение основных понятий экономико-математического моделирования, методов, моделей и их приложений в экономике.

2.  Приобретение практических навыков решения экономических задач с помощью экономико-математических методов.

3.  Знакомство с реализацией экономико-математических методов и моделей на ЭВМ.

4.  Формирование научного мировоззрения, развитие логического и алгоритмического мышления.

5.  Развитие математической интуиции.

6.  Воспитание математической культуры.

1.3 В результате изучения дисциплины студенты должны знать:

1.  Принципы построения моделей реальных экономических процессов.

2.  Методы линейного программирования.

3.  Метод нахождения оптимального решения в матричных играх.

4.  Основные понятия сетевых моделей и их применения в экономических задачах.

5.  Основные модели теории массового обслуживания и основные характеристики очередей в модели Эрланга.

6.  Метод динамического программирования и его применение в экономических задачах.

1.4 В результате изучения дисциплины студенты должны уметь:

1.  Формировать математически типичные задачи, возникающие в управлении экономическими процессами.

2.  Учитывать основные особенности, отвлекаясь от несущественных деталей.

3.  Правильно выбирать метод решения.

4.  Пользоваться разработанными алгоритмами при решении соответствующих задач.

5.  Реализовать решение экономической задачи на компьютере.

1.5 Перечень предшествующих дисциплин: математика для экономистов, информатика.

Содержание дисциплины

ТЕМАТИЧЕСКИЙ План ДИСЦИПЛИНЫ
№ п/п	Наименование тем	Количество часов
Лекц.	Лаб.	СРС
1	2	3	4	5
1	Задачи линейного программирования. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Свободные и базисные неизвестные. Базисные решения. Экономико-математические модели. Принципы построения и классификация экономико-математических моделей. Примеры экономико-математических моделей. Постановка основной задачи линейного программирования.	2	1	4
2	Геометрический метод решения двумерных задач линейного программирования. Приведение многомерных задач ЛП к двумерным.	1	1	4
3	Симплексный метод решения задач ЛП.	2	1	4
4	Метод искусственного базиса решений задач ЛП.	2	—	4
5	Двойственные задачи ЛП.	1	—	5
6	Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори.	2	1	4
7	Транспортная задача.	2	2	4
8	Матричные игры.	2	2	5
9	Нелинейное программирование (дробно-линейное программирование).	2	—	6
10	Динамическое программирование.	2	—	6
11	Потоки в сетях.	1	1	4
12	Сетевое планирование.	1	2	4
13	Задача коммивояжера.	1	2	2
14	Задачи теории массового обслуживания.	1,5	2	4
Итого:	22,5	15	60

Содержание теоретического курса

Тема 1 Задачи линейного программирования. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Свободные и базисные неизвестные. Базисные решения. Экономико-математические модели. Принципы построения и классификация экономико-математических моделей. Примеры экономико-математических моделей. Постановка основной задачи линейного программирования.

Тема 2 Геометрический метод решения двумерных задач линейного программирования. Теорема об оптимальном решении задачи линейного программирования. Пример. Приведение многомерных задач линейного программирования к двумерным.

Тема 3 Симплексный метод решения задач линейного программирования. Идея симплексного метода. Критерий проверки оптимальности найденного допустимого базисного решения. Пример.

Тема 4 Метод искусственного базиса решений задач линейного программирования. Теорема о получении допустимого базисного решения методом искусственного базиса. Пример.

Тема 5 Двойственные задачи линейного программирования. Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства. Основная теорема двойственности. Пример.

Тема 6 Задачи целочисленного программирования. Постановка задачи целочисленного программирования. Метод Гомори. Пример.

Тема 7 Транспортная задача. Постановка задачи и ее математическая модель. Построение первоначального опорного плана. Оптимальность базисного решения. Метод потенциалов. Улучшение плана перевозок. Пример.

Тема 8 Матричные игры. Основные понятия теории игр. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Цена игры. Решение игры в смешанных стратегиях. Переход от матричной игры к задаче линейного программирования.

Тема 9 Нелинейное программирование. Дробно-линейное программирование.

Тема 10 Динамическое программирование. Общая постановка задачи динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями.

Тема 11 Потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Формулировка теоремы Форда-Фалкерсона. Пример.

Тема 12 Сетевое планирование. Задача поиска кратчайшего пути. Переход к задаче линейного программирования. Решение симплекс-методом. Пример.

Тема 13 Задача коммивояжера. Постановка задачи коммивояжера. Составление математической модели и решение задачи. Пример.

Тема 14 Задачи теории массового обслуживания. Формулировка задачи системы массового обслуживания. Характеристики эффективности системы массового обслуживания. Многоканальная система массового обслуживания с отказами. Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью.

Содержание лабораторных занятий

№ п/п	Наименование тем	Содержание
1	2	3
1	Задачи линейного программирования	Система m линейных уравнений с n неизвестными. Свободные и базисные неизвестные. Базисные решения
2	Геометрический метод решения двумерных задач линейного программирования	Графическое решение двумерных задач линейного программирования
3	Симплексный метод решения задач линейного программирования	Отработка навыков решения задач ЛП симплекс-методом на компьютере
6	Задачи целочисленного программирования	Применение Excel в решении задач целочисленного программирования
7	Транспортная задача	Решение транспортной задачи на компьютере. Транспортные задачи с ограничениями на пропускные способности
8	Матричные игры	Решение матричной игры в смешанных стратегиях. Графическое решение матричной игры
11	Потоки в сетях	Задача о максимальном потоке как задача линейного программирования. Ее решение на компьютере.
12	Сетевое планирование	Задача поиска кратчайшего пути. Типовая задача управления проектом с детерминированным временем выполнения работ
13	Задача коммивояжера	Решение различных вариантов задачи о коммивояжере
14	Задачи теории массового обслуживания	Решение различных задач теории массового обслуживания

Темы для самостоятельного изучения

№ п/п	Наименование тем	Содержание
1	2	3
1	Задачи линейного программирования	Примеры экономико-математических моделей
2	Геометрический метод решения двумерных задач линейного программирования	Приведение многомерных задач линейного программирования к двумерным
5	Двойственные задачи линейного программирования	Экономический анализ задач с использованием теории двойственности
6	Задачи целочисленного программирования	Графический метод решения задач целочисленного программирования
7	Транспортная задача	Открытая модель транспортной задачи
8	Матричные игры	Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях
9	Нелинейное программирование	Дробно-линейное программирование
11	Потоки в сетях	Задача о распределении потоков в сетях
12	Сетевое планирование	Сетевой график. Критический путь
14	Задачи теории массового обслуживания	Система массового обслуживания с неограниченным ожиданием

Содержание самостоятельной работы студентов

№ п/п	Вид СРС	Форма контроля	Объем в часах
2 семестр
1	Подготовка к лекционным занятиям	Конспект	14
2	Подготовка к лабораторным занятиям	Конспект	7,5
3	Выполнение домашних заданий	Тетрадь для практических занятий	15
4	Изучение материала, не вошедшего в содержание аудиторных занятий	Реферат	14
5	Подготовка к контрольным мероприятиям	РК1, РК2	9,5
Итого	60

3.4 О методах обучения будущих экономистов математическим дисциплинам

Важная задача высшего экономического образования — подготовка высококвалифицированных специалистов по экономике, способных конкурировать на рынке труда. Такие специалисты должны обладать необходимыми математическими знаниями, поэтому педагогом-математиком в процессе обучения применяются методы и приемы преподавания, способствующие повышению качества математической подготовки. В некоторых случаях удобно при обучении студентов математическим дисциплинам воспользоваться наглядным методом (3.4.1), а исследовательский метод будет полезен как при обучении математическим дисциплинам, так и дисциплинам, широко использующим математические методы и модели (3.4.2). В 3.4.3 приведем решение одной экстремальной задачи экономики. Задачу, подобную ей, можно предложить студенту для самостоятельного решения.

3.4.1 Методику обучения студентов решению вероятностных задач можно построить на основе использования наглядности [83].

«Наглядность играет в процессе обучения непосредственные и опосредованные функции. К непосредственным функциям относятся: познавательная, управление деятельностью учащихся, интерпретационная, эстетическая, непосредственности рассуждений. К опосредованным функциям следует отнести такие: обеспечение целенаправленного внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала, реализация прикладной направленности» [84]. Известно, что «человеческое познание базируется на двух механизмах мышления (): символическом и геометрическом» [84]. По мнению лишь "сочетание двух способов представления информации (в виде последовательности символов и в виде картин-образов), умение работать с ними и соотносить оба способа представления друг с другом обеспечивают сам феномен человеческого мышления" [85]. Исходя из вышесказанного, применяя наглядность при обучении студентов решению вероятностных задач, мы рассматриваем два взаимодополняющих метода – использование формул (аналитический метод) и использование дерева вероятностей (графический метод).

Следует подчеркнуть, что при этом на практическом занятии решаются задачи с экономическим содержанием, позволяющие:

-  повысить внимание студентов к изучению теории вероятностей и математической статистики;

-  пояснить смысл вероятностных понятий;

-  раскрыть перед студентами применение теории вероятностей и математической статистики в экономике.

Рассмотрим наглядное обучение студентов решению вероятностных задач с экономическим содержанием на следующих примерах.

Задача № 55 из книги [86]. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.

Решение. Аналитический метод.

Определимся с событиями. Пусть событие

А= Из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта,

А1 = Первое изделие оказалось высшего сорта,

А2 = Второе изделие оказалось высшего сорта,

А3 = Третье изделие оказалось высшего сорта.

Тогда

. (3.4.1)

Поскольку слагаемые данной суммы являются несовместными между собой событиями, то по теореме сложения несовместных событий:

. (3.4.2)

События А1, А2, А3, , , - независимы между собой, поэтому применим теорему умножения независимых событий и получим:

Графический метод

Рисунок 3.1

Построенное нами так называемое дерево вероятностей учитывает все возможные исходы. Вершины дерева обозначают испытания. Концевым вершинам не соответствуют испытания. Ребра обозначают события. В результате получаем восемь возможностей, обозначаемых концевыми вершинами дерева.

Нас интересует событие А, поэтому искомая вероятность Р (А) вычисляется как сумма Р2, Р3, Р5:

Р(А) = Р2 + Р3 + Р5 = 0,128 + 0,128 + 0,128 = 0,384

Задача № 000 из книги [86]. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

Решение. Аналитический метод. Чтобы решить данную задачу, надо применить формулу Бейеса. Пусть гипотезами будут следующие события:

Н1 = Изделие попадает к первому товароведу,

Н2 = Изделие попадает ко второму товароведу .

Событие А = Стандартное изделие будет признано стандартным.

Тогда . (3.4.3)

Т. к. Р(Н1) = 0,55, Р(Н2) = 0,45, Р(А/Н1) = 0,9, Р(А/Н2) = 0,98, то

Графический метод

 

Рисунок 3.2

На рисунке 3.2 построено дерево вероятностей. Из четырех исходов нас интересуют первый и третий исходы, в которых изделие признано стандартным. Тогда вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, будет равна:

Р1 + Р3 = 0,495 + 0,441 = 0,936,

а вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед, равняется

.

Основные определения, свойства и соответствующие формулы из теории вероятностей и математической статистики иллюстрируются на примерах. Использование в этих примерах дерева вероятностей (графический метод) наряду с аналитическим методом способствует успешному обучению студентов теории вероятностей и математической статистике.

3.4.2 При обучении будущих экономистов математическим дисциплинам эффективным является исследовательский метод. Хотя в последние годы в Казахстане студенты-экономисты активно участвуют в олимпиадах по математике, в научных конференциях республиканского и международного уровней, а также публикуют статьи на математические темы в научных журналах, но обучение математическим дисциплинам будущих экономистов посредством исследовательского метода не приняло еще должного уровня. Конечно, при обучении математическим дисциплинам в экономическом вузе и ранее уделялось внимание исследовательскому методу, но в настоящее время в условиях введения новых экономических специальностей и новых экономических дисциплин, широко применяющих математические методы и модели, значение исследовательского метода заметно возросло.

В современных условиях обучение математическим дисциплинам будущих экономистов осложнилось качественным изменением подготовленности абитуриентов к освоению учебных программ вуза. Надо полагать, что одной из причин этого является прием абитуриентов с невысокими баллами ЕНТ на платное обучение экономическим специальностям.

«Оплачивая свою профессиональную подготовку, студент как будто бы становится более заинтересованным в ее качестве, ответственным за ее полноценность. В то же время прием в вуз абитуриентов без должной психологической и содержательной подготовки к участию в конкурсе знаний и умений их предъявлять значительно снижает уровень их подготовленности к освоению вузовского курса профессиональных знаний. Тревогу вызывает то, что возможности контрактного приема позволяют приступить к обучению в вузе и тем молодым людям, которые по разным причинам не смогли качественно овладеть школьной программой» [87]. По данным на 25.05.2003 г. в государственных и частных вузах Республики Казахстан обучалось 570 тыс. человек. На платной основе обучалось 82% от общей численности студентов, на бюджетной – 3,3%; по государственным образовательным грантам 8,7%; по государственным образовательным кредитам – 6%. В настоящее время в системе высшего образования государственных образовательных кредитов нет, есть только государственные образовательные гранты, но их выделяют экономическим специальностям меньше по сравнению с техническими специальностями. Не исключено, что при такой ситуации к обучению экономическим специальностям на платной основе могут приступить молодые люди, не овладевшие качественно школьной программой по математике.

«Методология профессиональной подготовки таких студентов изначально должна ориентироваться на формирование у них не только необходимых мотивов получения профессионального образования высшего уровня и использования соответствующих стимулов, но и на развитие у них учебных умений (общих и специальных)» [87].

Практика показывает, что становление подлинного интереса студентов «как к профессиональным и общим знаниям, так и к постижению во всей полноте культуры человечества» происходит благодаря «исследовательскому отношению людей к обустройству пространства и времени их существования и деятельности», так как по у человека присутствует исследовательский рефлекс. «В психологическом ракурсе он (исследовательский рефлекс — И. М.) обуславливает развитие любознательности человека, в практическом же – лежит в основе развития научной мысли» [87].

Таким образом, математическая подготовка будущих экономистов требует применения исследовательского метода уже с первого курса. Причем, надо согласиться с тем, что польза от применения исследовательского метода «очевидна как для категории студентов, обладающих системными знаниями школьной программы, так и для тех, которые открывают себя для знаний и знания для себя одновременно» [87].

На наш взгляд, исследовательский метод должен включать в себя:

-  исследования как часть учебного процесса (рефераты по математике; лабораторные занятия, курсовая работа и рефераты по экономико-математическому моделированию);

-  исследовательскую работу, выполняемую во внеучебное время (олимпиады по математике, научные конференции, публикация статей в научных журналах).

Одной из форм применения исследовательского метода при обучении студентов-экономистов математике и экономико-математическому моделированию является выполнение рефератов по темам, которые являются частью учебного материала этих дисциплин, но не входят в содержание аудиторных занятий, т. е. эти темы - для самостоятельного изучения. Рефераты выполняются всеми студентами и сдаются на проверку преподавателю. Основная цель подготовки реферата – показать, насколько осмыслена изучаемая тема. Написание реферата преследует и другие цели, такие как: выработка навыков самостоятельной учебно-исследовательской работы; обучение методике анализа, обобщения, осмысления информации; проверка знаний студента по изучаемой дисциплине. Реферат не является научной работой в полном смысле этого слова. В нем дается только первичное осмысление и обобщение определенного объема информации, изложенной в учебной литературе.

Основные этапы работы по подготовке реферата:

-  сбор и изучение литературы по теме реферата;

-  анализ и систематизация информации, разработка структуры реферата;

-  написание и оформление реферата.

Сбору учебной литературы предшествует подготовка библиографического списка по теме реферата. Базой для его подготовки могут быть библиографический список в учебнике по дисциплине, предметные каталоги библиотек, рекомендации преподавателя. Материал для реферата подбирают из учебной литературы, которая была включена в библиографический список. Когда накоплен достаточный материал, можно приступить к его анализу и систематизации информации. Исходя из темы реферата, в ходе анализа материала выбираются наиболее обоснованные и аргументированные записи, раскрывающие данную тему. Далее приступают к разработке плана (структуры) реферата. План можно составить разными путями:

-  первый путь – взять за исходную точку избранную тему и, исходя из нее сформулировать цель и задачи. Они дадут названия разделов и параграфов реферата;

-  второй путь — исходить из собранного материала, логика которого подскажет структуру изложения;

-  третий — смешанный, сочетающий тот и другой подходы.

Обычно план (структура) реферата включает в себя введение, основную часть и заключение. Во введении должна быть четко сформулирована цель, которую автор ставит перед собой, и пути ее реализации. Основная часть реферата содержит, как правило:

- теоретическое осмысление темы;

- изложение фактического материала, который аргументировано подтверждает теорию, изложенную в первом разделе.

Основная часть должна соотноситься с поставленными задачами. В зависимости от того, сколько задач стоит перед автором, разложена разбивка основной части на подразделы. В заключении приводятся результаты осмысления темы, выводы, к которым приходит автор реферата, а также оценка значимости этих выводов для практики или для дальнейшего изучения темы. Выводы должны прямо соответствовать поставленным задачам. Когда материал собран, осмыслен и структурирован, можно приступать к изучению и оформлению реферата. Ссылки на использованную литературу обязательны. Если при подготовке реферата использовался не один, а целый ряд изданий, то они должны быть приведены в библиографическом списке.

Элементы исследования включены в такую часть учебного процесса, как лабораторные занятия и курсовая работа по экономико-математическому моделированию. Как известно, лабораторное занятие по математической дисциплине – это аудиторное занятие, проводимое в целях приобретения и отработки профессиональных умений и навыков с помощью обучающих компьютерных программ.

В основном, на практических занятиях по математике задачи решаются аналитически, без использования компьютера (см. 2.2.1).

При изучении дисциплины «Экономико-математическое моделирование» кроме лекций и практических занятий проводятся лабораторные занятия с помощью компьютера (см. 2.2.1). Содержание лабораторных занятий приведено в 3.3. Прежде чем приступить к выполнению лабораторной работы по математической дисциплине, студенты, используя учебную литературу, изучают и осмысливают теоретический материал, соответствующий поставленной задаче, а затем, выполняя этапы реализации математической модели на компьютере, получают искомое решение.

Таким образом, лабораторное занятие не только способствует расширению и закреплению знаний у студентов по курсу экономико-математического моделирования, но благодаря ему развиваются и закрепляются навыки решения задач на компьютере, которые пригодятся студентам при выполнении курсовой работы по дисциплине «Экономико-математическое моделирование».

Приведем пример задания по теме курсовой работы «Оптимальное распределение общего плана выпуска продукции по предприятиям министерства».

Введем обозначения:

i — номер предприятия;

n — число всех предприятий;

k — вид продукции;

L — число всех видов продукции;

ak — план по выпуску продукции k-го вида;

S — вид ресурса;

m — число всех ресурсов;

bsi — число S-го вида ресурса, выделяемого i-му предприятию;

Rki — прибыль от реализации k-го вида продукции, полученной на i-том предприятии;

xki — объем выпуска k-й продукции на i-м предприятии;

bski — норма потребления S-го вида ресурсов на i-том предприятии при выпуске единицы продукции k-го вида;

hki, gki – нижняя и верхняя границы по производству k-го вида продукции на i-м предприятии.

Математическая модель состоит в нахождении xki, при которых достигается максимум прибыли

и выполняются условия:

по выпуску продукции (k = 1,2,…,L),

по используемым ресурсам (s = 1,2,...,m; i = 1,2,...,n),

по объему выпускаемой продукции на каждом предприятии hki ≤ xki ≤ gki (k = 1,2,…,L; i = 1,2,...,n).

Такая модель представлена в виде задачи, которая решается с помощью симплекс-метода.

Таблица 2.2.2 - Технико-экономические показатели 1-го завода

Вид продукции k	Норма потребления	Границы производства продукции (тыс. т.)	Прибыль от выпуска продукции Rk1 (у. е.)
S=1	S=2	hk1	gk1
1	2,0	0,5	20	80	35
2	4,0	5,0	0	50	50
3	3,0	2,0	20	160	40

Таблица 2.2.3 - Технико-экономические показатели 2-го завода

Вид продукции k	Норма потребления	Границы производства продукции (тыс. т.)	Прибыль от выпуска продукции Rk2 (у. е.)
S=1	S=2	hk2	gk2
1	1,5	0,8	0	50	30
2	4,5	4,0	20	200	55
3	3,2	2,5	0	50	36

Задача 2 Для отрасли промышленности задан план по производству:

а1 = 100; а2 = 200; а3 = 150 тыс. т.

Выпуск этой продукции надо распределить по 2-м заводам (i = 1,2). Технико-экономические показатели этих заводов даны в таблицах 2.2.2 и 2.2.3. Лимиты ресурсов для 1-го завода: b11 = 570 тыс. т; b21 = 330 тыс. т.;

для 2-го завода: b12 = 960 тыс. т.; b22 = 840 тыс. т.

Математическая модель задачи:

Применяя симплекс-метод, мы приходим к следующим результатам: если производить на первом предприятии 60 тыс. т. продукции 1 вида, 149 тыс. т. продукции 3 вида и продукцию 2 вида вообще не производить, а на втором предприятии производить 39 тыс. т. продукции 1 вида, 200 тыс. т. продукции 2 вида и не производить продукцию 3 вида, то можно достигнуть максимальной прибыли, равной 20299 у. е.

Выполняя курсовую работу по экономико-математическому моделированию, студент приобретает умение работать с научной литературой, учится анализировать, осваивает методику научных исследований. Изучение математической литературы дополняет и расширяет теоретические знания студентов по математическим дисциплинам, развивает мышление. Анализируя результаты курсовой работы, студент тем самым приобретает опыт для подготовки в будущем дипломной работы.

Рассмотрим другие формы применения исследовательского метода при обучении математическим дисциплинам будущих экономистов: олимпиаду по математике, научные конференции, публикацию статей в научных журналах. Они составляют исследовательскую работу студентов, выполняемую во внеучебное время.

«Математическая олимпиада – это организованный конкурс в решении задач повышенной трудности… Олимпиады активизируют учебное и научное творчество студентов. Они призваны возбудить интерес к математике, стимулировать увлеченность математикой» [61]. «Олимпиады играют определенную роль в повышении математической культуры» и в известной мере способствуют развитию математических способностей. Участие в олимпиаде престижно и интересно. Опишем методику проведения внутривузовской математической олимпиады. Вначале оргкомитетом и жюри разрабатывается положение о порядке проведения внутривузовской олимпиады по математике среди студентов Ι курса, которое рассматривается и обсуждается на заседании кафедры математических дисциплин, а затем вводится в действие приказом по высшему учебному заведению. Рекомендуется внутривузовскую олимпиаду проводить в два тура. Первый тур – подготовительный, заочный. Для первого тура публикуется задание, т. е. набор из десяти задач. Обычно 50% задач – по тематике программного материала, который изучают в текущем семестре; 30% задач – общекультурной значимости, требующие хорошую логику и базовые знания, а остальные 20% задач решаются с помощью специальных знаний. Студенты, готовясь к олимпиаде, повторяют весь пройденный материал, что повышает качество знаний по математике; решают задачи, читают рекомендованную литературу [88-99]. Второй тур олимпиады – очный. Обычно в нем участвуют около четверти участников первого тура. К задачам этого тура предъявляются высокие требования. Каждая задача оценивается в баллах. Большое внимание следует уделить отбору олимпиадного задания. Задания должны содержать задачи, посильные для участников олимпиады, а также нестандартные задачи, требующие хорошей математической подготовки и изобретательности. Такие задачи позволят выявить студентов, наиболее подготовленных по математике. Работы, выполненные студентами на олимпиаде, проверяются членами жюри. Работа жюри должна быть корректной в том смысле, что все участники олимпиады должны быть в одинаковых условиях. Не допускается помощь никому из участников. Нужна квалифицированная, тщательная проверка всех работ с оценкой в баллах. Каждая задача должна быть проверена внимательно, без спешки. Ни одно решение, ни одна идея, ни один метод или подход не должны быть оставлены без внимания. Проводится анализ и сравнение решений в целом по задачам. Участники олимпиады должны быть ознакомлены с результатами олимпиады. Они имеют возможность посмотреть проверенные и оцененные в баллах работы. По итогам олимпиады определяются победители и устанавливаются призовые места: первое место – одно, второе место – одно, третье место – одно. Завершается олимпиада публичным разбором студенческих работ и торжественным подведением итогов.

Автор данной работы, обучая математике в гг. курсантов Павлодарского технического колледжа МВД РК, был в этот период ответственным за проведение математической олимпиады на первом и втором курсах этого колледжа, а затем принимал участие в организации и проведении Республиканской олимпиады по физике среди вузов Республики Казахстан, которая состоялась 13-14 мая 2004 года на базе ПГУ им. С. Торайгырова.

Таким образом, готовясь к математической олимпиаде, студент приводит к хорошо отредактированному виду знания понятийного аппарата, укрепляет свои теоретические знания, приобретает навыки в проведении аналитических расчетов, графических изображений, развивает математическую интуицию.

Совместная работа преподавателя со студентом над статьей по математической дисциплине и публикация его в материалах научных конференций, а также в научных журналах носит творческий характер. В процессе работы над статьей студент систематизирует свои знания по математической дисциплине, приобретает навыки научно-исследовательской работы. Публикации студентов в материалах научных конференций и в научных журналах являются итогом поисков новых решений поставленных задач, нахождения новых идей, что позволит им в будущем стать специалистами с научным мировоззрением и владеющими экономико-математическим подходом к принятию сложных решений.

3.4.3 Рассмотрим решение экономической задачи [100], подобную которой можно предложить студенту для самостоятельного исследования.

Пусть – сумма денег, которую коммерсант хочет потратить на покупку предпочитаемых им товаров. Предположим, что он выбрал первый товар по цене , второй товар по цене и собирается перепродать первый товар с надбавкой к цене, которая характеризуется линейной зависимостью , где - количество первого товара (; – постоянная, измеряемая в тех же единицах стоимости, что и ; - коэффициент надбавки к цене первого товара, ), а второй товар с надбавкой, характеризующейся линейной зависимостью , где - количество второго товара (; - постоянная, измеряемая в тех же единицах стоимости, что и ; - коэффициент надбавки ко второму товару, ). Доход от перепродажи двух товаров выражается функцией:

. (3.4.4)

Какое оптимальное количество первого и второго товаров надо купить коммерсанту, чтобы максимизировать доход, т. е. функцию

?

При сделанных выше предположениях математическая модель экономической задачи будет выглядеть следующим образом:

(3.4.5)

Данная задача относится к экстремальным задачам экономики, поэтому требуется найти точку , в которой достигается наибольшее значение функции и которая принадлежит области , представляющей собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой .

0

Для решения задачи надо применить алгоритм нахождения наибольшего значения функции двух переменных:

а) найти все стационарные точки внутри области и вычислить значения функции в них;

б) исследовать функцию на экстремум на границе области и вычислить значения функции в точках экстремума;

в) сравнить все полученные значения: наибольшее из найденных чисел и будет наибольшим значением функции во всей области.

Вычислим частные производные:

Таким образом, внутри области функция не имеет стационарных точек, т. к. и не могут быть отрицательными числами по условию.

Найдем наибольшие значения функции на линиях, образующих границу области . На отрезке , уравнение которого , функция . Найдем стационарные точки функции :

внутри отрезка стационарных точек нет. Функция может иметь максимальное значение только в точке , т. е.

.

На отрезке , уравнение которого , функция . Найдем стационарные точки функции :

внутри отрезка стационарных точек нет. Найдем максимальное значение функции на конце отрезка , т. е. в точке :

.

Исследуем участок границы, заданной уравнением . Выразим через : . Подставив данное значение в функцию, которая выражает доход, получим:

Найдем стационарные точки функции :

.

Подставим в уравнение найденное значение :

Таким образом, ,

Вычислим значение функции при найденных значениях и :

Итак, при сделанных выше предположениях и расчетах можно прийти к следующим выводам:

1) Если коммерсант выберет только первый товар по цене , то прибыль, полученная после перепродажи этого товара по цене , будет равна ; при этом (первый случай).

2) Если коммерсант выберет только второй товар по цене , то прибыль, полученная после перепродажи этого товара по цене , будет равна ; , при этом (второй случай).

3) Если коммерсант выберет первый товар по цене и второй товар по цене , то прибыль, полученная после перепродажи этих товаров соответственно по ценам и , будет равна , но эта прибыль меньше, чем в первом и во втором случаях; , (третий случай).

4) В третьем случае коэффициенты надбавки должны быть равны, т. е. . Действительно, . Умножим обе части этого равенства на , тогда

Следовательно, если коммерсант выберет два товара, то при перепродаже он должен сделать одинаковые наценки к товарам.

5) Для третьего случая можно получить зависимость постоянной от постоянной .

Действительно, т. к. , то

.

Приведём пример. Рассмотрим третий случай, когда коммерсант выбирает два товара.

Пусть цена первого товара - 10000 тенге; 0,5; 50 тенге; 2000000 тенге. Цена второго товара - 60000 тенге. Какое оптимальное количество первого и второго товаров надо купить коммерсанту для перепродажи? Чему равна прибыль?

Решение. Вначале найдем постоянную b. Из формулы пункта 5) при известных p1, k, p2, a, I следует, что b=1800. Подставляя значение постоянной b в формулу , получим: Аналогично из формулы находим, что . Таким образом, оптимальное количество первого и второго товаров соответственно равны 100 и 16. Прибыль при этом будет равна 1тенге.

4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОЙ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ БУДУЩИХ ЭКОНОМИСТОВ

В разделе представлены результаты экспериментальной проверки эффективности усовершенствованной методической системы обучения математике будущих экономистов. Излагаются рейтинговая система оценки качества математических знаний студентов и основные положения вероятностно-статистического метода обработки экспериментальных данных. Описывается педагогический эксперимент и показано применение статистического метода для анализа результатов первого и второго рубежных контролей, а также экзамена в экспериментальных и контрольных группах.

4.1 Рейтинговая система оценки качества математических знаний студентов

Реализация Законов «Об образовании» и «О науке», Государственной программы «Образование», Стратегии индустриально-инновационного развития Республики Казахстан на годы направлена на совершенствование управления качеством учебного процесса. Один из инструментов управления им – контроль знаний студентов, являющийся «обязательным компонентом процесса обучения в вузе, а оценка знаний в вузе – это один из существенных показателей, определяющих степень усвоения студентами учебного материала, развития их мышления и самостоятельности» [101]. В настоящее время аппаратом, позволяющим объективно и точно измерить уровень знаний студентов, их объем, прочность, степень осмысления, понимание предмета, уровень творческой активности студентов при решении задач, является рейтинговая система оценки качества знаний студентов.

Рейтинговая система оценки и контроля знаний получила широкое развитие в системах образования США, Великобритании, Германии и других стран дальнего зарубежья. Необходимость внедрения рейтинговой системы оценивания качества знаний студентов отмечали в своих работах следующие авторы: , , , , и др. Педагоги , , и др., вводя в процесс обучения в вузе рейтинговую систему контроля знаний студентов, выделили ее положительные стороны, отмечая, что эта система оценивания качества знаний объективна, стимулирует способность, побуждающую студентов к самостоятельной деятельности, и удобна в использовании. Отдельным вопросам изучаемой проблемы посвящены диссертационные исследования , ,

В Казахстане рейтинговый метод оценки и контроля знаний студентов начал применяться в вузах с 1993 года. В ходе применения этого метода обнаружились его преимущества по сравнению с традиционной системой контроля знаний студентов. Рейтинговый метод оценки работы студентов потребовал от них рационально планировать свое время, постоянно и качественно трудиться, достаточно качественно и регулярно сдавать все виды самостоятельный работы. Поэтому этот вопрос рассматривался на государственном уровне, а рейтинговый контроль в течение семестра и выведение результатов рейтинга за семестр вступили в силу приказом №4 Министерства образования Республики Казахстан от 5 января 1996 года в сборнике №1 «Законодательных и нормативных актов по высшему образованию» 1996 года. Приказом № 000 Министерства образования РК от 01.01.01 года были утверждены Правила о курсовых экзаменах и зачетах в высших учебных заведениях, эти Правила должны были введены в действие с 1 января 1997 года. Таким образом, начала действовать рейтинговая система оценки знаний студентов. Одними из первых в Казахстане начали внедрять рейтинговую систему оценки знаний студентов КазНУ им. аль-Фараби, КазГМУ им. С. Асфендиярова, КазГАСА, Южно-Казахстанская государственная медицинская академия, Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова. Каждый из этих вузов разработал свою рейтинговую систему оценки знаний студентов, исходя из специфики вуза и придерживаемых принципов организации учебного процесса [102].

Приведем систему оценок знаний студентов в КазНУ им. аль-Фараби [103]. Экзаменационная оценка по дисциплине определяется как сумма максимальных показателей успеваемости по рубежным контролям (60%) и промежуточной аттестации (экзамену) – 40% и составляет 100%.

Под рубежным контролем (РК) подразумеваются результаты учебной деятельности студентов на лекционных и практических занятиях, выполнение СРС, выполнение и защита курсовой работы, коллоквиумы, контрольные работы, рефераты, эссе и другие виды текущего контроля.

Текущий контроль – это форма проверки выполнения студентом усвоения учебного материала всех видов аудиторных и внеаудиторных занятий и является составной частью рубежного контроля.

Промежуточная аттестация (ПА) по дисциплине преследует цель оценить знания, умения и навыки студента. Формой промежуточной аттестации является экзамен.

Максимальный показатель успеваемости по рубежным контролям составляет 60%. По каждой дисциплине проводятся два рубежных контроля в семестр. Студент, выполнив задания одного рубежного контроля за 7 недель, может набрать максимально 30%, а выполнив задания двух рубежных контролей за 15 недель – 60%. Рубежный контроль проставляется в виде суммы показателей успеваемости в процентах, набранных за прошедший период от начала семестра. Например, студент набрал за первые 7 недель 28%, а в следующие 8 недель набрал 26%, тогда за 15 недель проставляется 54% (28+26=54). Максимальный показатель успеваемости по промежуточной аттестации, т. е. экзамену составляет 40%. Например, студент набрал по промежуточной аттестации 37%, тогда экзаменационная оценка по дисциплине будет равна 91% (54+37=91). Знания, умения и навыки студентов оцениваются следующим образом (Таблица 4.1.1):

Таблица 4.1.1 - Система оценок с использованием буквенных символов

Оценка
По буквенной системе	В баллах	В процентном содержании	По традиционной системе
A	4,0	95-100	Отлично
A-	3,67	90-94
B+	3,33	85-89	Хорошо
B	3,0	80-84
B-	2,67	75-79
C+	2,33	70-74	Удовлетворительно
C	2,0	65-69
C-	1,67	60-64
D+	1,33	55-59
D	1,0	50-54
F	0	0-49	Неудовлетворительно

Таким образом, если оценка студента по экзамену составляет 91%, то это в буквенном выражении будет А-, а по традиционной системе – «отлично».

Следует отметить, что пересдача рубежного контроля не допускается, тогда как пересдача экзамена по одной и той же учебной дисциплине допускается до двух раз. Причем вторая пересдача экзамена принимается комиссией, назначаемой распоряжением заведующего кафедрой, а в конфликтной ситуации распоряжением декана. Конфликтная ситуация может быть вызвана предвзятым отношением экзаменатора к обучающемуся, которое выражается в необъективной оценке его знаний, либо несогласием обучающегося с экзаменационной оценкой.

Студентам, которые пропустили занятия и не смогли сдать в общеустановленные сроки рубежный контроль по болезни или другим уважительным причинам (семейные обстоятельства; командировки, связанные с участием в спортивных соревнованиях, предметных олимпиадах и т. д.), документально подтвержденным соответствующей организацией, декан факультета устанавливает индивидуальные сроки сдачи рубежного контроля согласно предоставленным документам. Обучающийся в этом случае не допускается на экзамен, и результаты набранных баллов по рубежному контролю не вносятся в базу данных компьютера до полной сдачи рубежного контроля. При этом студент может добрать баллы по рубежному контролю не более того количества баллов, которое он потерял на время своего отсутствия. Например, студент отсутствовал в общей сложности пять недель и это означает, что он пропустил одну треть занятий, если учесть, что он мог набрать за весь семестр 60 баллов, то за эти пять недель он должен добрать не более 20 баллов.

В КарГУ им. также применяется 100-балльная шкала определения рейтинга студента, но в отличие от КазНУ им. аль-Фараби вместо двух рубежных контролей проводятся текущий контроль и промежуточный контроль [104].

Непрерывный рейтинговый контроль знаний студентов проходит стадии, оптимальное сочетание которых составляют три вида взаимосвязанного контроля: текущий, промежуточный (рубежный) и итоговый. За каждый вид контроля студент должен получить определенные баллы, сумма которых формирует итоговую оценку (суммарный рейтинг).

Текущий контроль предназначен для стимулирования ритмичной работы студента. Текущий рейтинг студента складывается из баллов, полученных за:

- активное участие и полные ответы на занятиях;

- своевременное выполнение и защиту лабораторных работ;

- выполнение домашних заданий;

- качественное ведение конспектов лекций;

- посещаемость учебных занятий.

При текущем контроле учитывается активность студента при проведении нетрадиционных видов работ: круглый стол, деловые игры, дискуссии, дебаты, малые конференции и др.

Текущий контроль направлен на ежедневное взаимодействие преподавателя и студента; он дает возможность проверить правильность подхода в осмыслении и решении тех или иных учебных проблем, возникающих у студентов при изучении дисциплины. Текущий контроль осуществляется преподавателем, ведущим практические занятия.

Виды работ текущего контроля и критерии их оценок определяются самим преподавателем, в зависимости от его опыта и учебных задач. Для участия в итоговом контроле студент должен набрать минимальный рейтинг по текущему контролю.

Промежуточный контроль предназначен для подведения итогов самостоятельной работы студентов по изучению разделов дисциплины. Промежуточный контроль осуществляется лектором.

Промежуточный рейтинг студента складывается из результатов, полученных за:

- участие в коллоквиумах;

- участие в групповых и индивидуальных консультациях;

- выполнение письменных работ;

- самостоятельную работу;

- участие в научно-исследовательской работе;

- защиту курсовых работ;

- выполнение тестовых заданий.

По окончании учебного курса проводится итоговый контроль в форме экзамена.

Рейтинг допуска к итоговому контролю формируется из суммы баллов, набранных при текущем и промежуточном видах контроля.

Все виды контроля, включая итоговый, могут проводиться в традиционных (устный экзамен) и инновационных (тестирование, дискуссионные встречи и др.) формах.

Баллы, получаемые студентами на разных стадиях контроля, могут быть распределены в зависимости от уровня усвоения программного материала согласно системе оценок с использованием буквенных символов (Таблица 4.1.1).

Совершенно отличается от вышеприведенных рейтинговая система оценки и контроля знаний студентов в Павлодарском государственном университете им. С. Торайгырова. Рассмотрим ее применение к обучающему эксперименту, который проводился в первом семестре учебного года со студентами 1-го курса финансово-экономического факультета ПГУ им. С. Торайгырова и был направлен на проверку эффективности усовершенствованной методической системы обучения математике студентов-экономистов. В обучающем эксперименте по дисциплине «Математика в экономике» применялись учебно-методическое пособие «Задачи с экономическим содержанием по высшей математике», разработанная рабочая программа дисциплины, тесты для текущего и итогового контроля учебных достижений обучающихся, программа дисциплины для студентов (ПДС). Экспериментальные группы: УА-12, Эн-12, Мр-12, Мн-12. Контрольные группы: ГМУ -12, Фн-12, Фн-14. Общее количество студентов, принимавших участие в эксперименте – 91 человек. В начале семестра студенты были ознакомлены с сущностью рейтинговой системы оценки и контроля знаний, ее особенностями и назначением. Для этого они заранее получили программу дисциплины для студентов (ПДС). ПДС выполняется в виде отдельного документа и включает в себя компоненты программы, компоненты курса, политику курса.

В разделе «Компоненты программы» приводятся: тематический план дисциплины, основная и дополнительная учебная литература, выписка из рабочего учебного плана.

В разделе «Компоненты курса» приводятся: виды итогового контроля, перечень видов самостоятельной работы обучающихся (РГР, рефераты, подготовка к занятиям, задачи и т. п.), календарный график контрольных мероприятий, распределение баллов при определении первого и второго рейтингов текущей успеваемости.

В разделе «Политика курса» приводятся критерии выставления оценок по отдельным компонентам курса; штрафные санкции в случае несвоевременной сдачи домашних заданий, опозданий, пропусков, неадекватного поведения в аудитории, плагиата; поощрительные баллы; форма проведения экзамена (зачета); правила поведения на экзамене; критерии выставления экзаменационной оценки; критерии итоговой оценки; правила оспаривания итоговой оценки (апелляция).

Система оценок с использованием буквенных символов (Таблица 4.1.1) представлена, поэтому приведем таблицу распределения баллов текущей успеваемости по видам контроля (Таблица 4.1.2).

Таблица 4.1.2 – Распределение баллов текущей успеваемости по видам контроля

№	Виды контроля	Максимальное число баллов
Рейтинг 1	Рейтинг 2
	100	100
1.	Текущий контроль, в том числе:	67	62
	Активное участие и полные ответы на занятиях Посещаемость лекционных занятий Посещаемость практических занятий Выполнение домашних заданий Тестирование	16 16 8 7 20	14 14 7 7 20
2.	Рубежный контроль	33	38

Рейтинг – это оценка деятельности студента, выраженная в баллах. Рейтинг выступает как обобщенный показатель качества обучения, определяемый суммой баллов, полученных студентом за участие в различных видах работ. В течение семестра определяются результаты двух рейтингов, которые необходимы для подсчета итоговой оценки в баллах по формуле

, (4.1.1)

где И – итоговая оценка в баллах; Р1, Р2 – рейтинговые оценки соответственно первого и второго рейтингов в баллах; Э – экзаменационная оценка в баллах. Рейтинг студента складывается из баллов, полученных за текущий контроль и рубежный контроль. В течение семестра отделом мониторинга ПГУ им. С. Торайгырова проводятся два рубежных контроля, сроки которых устанавливаются централизованно учебной частью. Например, в первом семестре учебного года отдел мониторинга проводил на первом курсе финансово-экономического факультета первый рубежный контроль в конце восьмой недели семестра, а второй рубежный контроль на пятнадцатой неделе. Баллы за виды работ устанавливаются преподавателем, ведущим занятия. Участие студента в различных видах работ мы оцениваем следующим образом: посещение одной лекции – 1 балл, посещение одного практического занятия – 1 балл, выполнение домашнего задания – 1 балл, активное участие и полные ответы на одном занятии – 2 балла, качественное выполнение контрольной работы в виде тестовых заданий – 20 баллов. Из учебного плана известно, что для дисциплины «Математика в экономике» лекций – 30 часов, практических занятий – 15 часов. Получается, что в неделю 2 часа лекций и 1 час практического занятия. Так как максимальное число баллов первого рейтинга составляет 100 баллов, то при добросовестном отношении студента к учебе он может за первые восемь недель набрать 16 баллов за посещение лекций, 8 баллов за посещение практических занятий; 16 баллов за активное участие и полные ответы на занятиях, 7 баллов за выполнение домашних заданий, 20 баллов за контрольную работу и 33 баллов за первый рубежный контроль. Аналогично, учитывая, что 100 баллов – максимальное число баллов второго рейтинга, студенту за оставшиеся семь недель можно набрать 14 баллов за посещение лекций, 7 баллов за посещение практических занятий, 7 баллов за выполнение домашних заданий, 14 баллов за активное участие и полные ответы на занятиях, 20 баллов за контрольную работу и 38 баллов за второй рубежный контроль. Приняв экзамен у студентов, можно с помощью рейтинговых оценок в баллах и экзаменационной оценки в баллах по формуле (4.1.1) найти итоговую оценку в баллах.

Работа с экспериментальными группами по реализации усовершенствованной методической системы обучения математике студентов-экономистов проводилась на основе учебно-методического комплекса [105]. Оптимальные изменения были отражены в рабочей программе дисциплины «Математика в экономике», программе дисциплины для студентов (ПДС), тестах для текущего и итогового контроля учебных достижений обучающихся, методических материалах к выполнению домашних заданий, методических указаниях к практическим занятиям, которые являются структурными элементами УМКД. Рабочая программа по математике разрабатывается на основе государственных общеобразовательных стандартов образования РК для экономических специальностей и типовых программ по математике. Содержание лекционных занятий соответствует типовой программе по математике.

«Введение рейтинговой системы тесно связано с модульным построением дисциплины, поскольку, как и рейтинговая система, модульная система имеет своей целью поставить студента перед необходимостью регулярной учебной работы в течение всего семестра. Это достигается делением дисциплины на крупные блоки, по завершении которых студент сдает промежуточные (модульные) экзамены» [101]. Следует заметить, что по завершении каждого блока вместо промежуточного (модульного) экзамена можно применять такие формы контроля, как контрольная работа, коллоквиум, собеседование и т. д. Курс математики нами был разделен на семь модулей – крупных разделов курса:

- линейная алгебра и элементы аналитической геометрии;

- введение в анализ и дифференциальное исчисление;

- интегральное исчисление;

- дифференциальные уравнения;

- теория рядов;

- теория вероятностей;

- математическая статистика.

На лекциях, практических занятиях и в самостоятельной работе студентов по всему курсу математики, где это возможно (в единстве с традиционными математическими задачами), использовались задачи с экономическим содержанием [43], [44], [47]. Использование задач с экономическим содержанием в обучении математике студентов-экономистов позволило:

- повысить внимание студентов к изучению курса математики;

- пояснить смысл математических понятий и математических утверждений;

- усвоить студентам употребляемые в задачах экономические понятия;

- раскрыть перед студентами применение математики в экономике.

После завершения первого модуля-раздела «Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии» на четвертой неделе был проведен контроль знаний студентов экспериментальных групп с помощью тестирования. Тестовыми заданиями были как традиционные математические задачи, так и задачи с экономическим содержанием. К первому рубежному контролю, который проводился для студентов экспериментальных и контрольных групп на восьмой неделе отделом мониторинга ПГУ им. С. Торайгырова, были подготовлены тесты по двум модулям-разделам «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление». Затем на одиннадцатой неделе после прохождения модулей-разделов «Дифференциальные уравнения» и «Теория рядов» студенты выполняли контрольную работу, тестовые задания которой - традиционные математические задачи и задачи с экономическим содержанием. На пятнадцатой неделе отдел мониторинга ПГУ им. С. Торайгырова провел второй рубежный контроль, где участвовали студенты экспериментальных и контрольных групп. Текущий контроль и рубежный контроль отражены в календарном графике контрольных мероприятий, который составляется заранее и приводится в разделе ПДС «Компоненты курса».

Студенты контрольных групп на практических занятиях решали традиционные математические задачи. Такие же задачи применялись и в СРС. Оценивание знаний студентов контрольных групп после изучения одного модуля-раздела или нескольких модулей-разделов не проводилось, вместо этого они выполняли как обычно расчетно-графическую работу. Тестовыми заданиями двух рубежных контролей для студентов контрольных групп служили традиционные математически задачи. Приведем общие требования к тестовым заданиям.

Тесты по дисциплинам для рубежных, текущих контролей и экзамена составляются на основе:

- государственных общеобязательных стандартов образования (ГОСО) специальностей;

- ГОСО РК 3. «Циклы социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин в структуре образовательно-профессиональных программ высшего профессионального образования», утвержденного приказом МОН РК №69 от 01.01.01 года;

- типовой программы по данной дисциплине, разработанной для каждой специальности.

Тестовые задания содержательно ориентируются на контроль знаний основных законов и процессов, понятий и терминологии, фактического материала, теоретического и прикладного значения научных достижений по разным направлениям изучаемой дисциплины. Тестовые задания должны быть направлены на систематизацию отдельных фактов и явлений, а также ориентированы на творческое обобщение и анализ. При составлении тестовых заданий нужно придерживаться следующих требований:

- логический контроль качества заданий. Логическое преимущество задания в тестовой форме заключается в возможности его естественного превращения, после ответа студента, в форму истинного или ложного высказывания;

- содержание тестового задания должно соответствовать уровню современного состояния науки, т. е. необходимо проверять знания студентов не на устаревшем, а на современном учебном и контрольном материале;

- тестовые задания должны быть составлены на основе минимальной программы по дисциплинам;

- процентное соотношение вопросов по каждой теме дисциплины должно соответствовать отведенному количеству часов по минимальной программе;

- при формулировке тестового задания необходимо использовать общепринятые названия и терминологию;

- на тестирование отводится время из расчета: по теоретическому материалу – 1 минута на одно тестовое задание; при решении математических или других задач, где тестируемый должен произвести небольшие расчеты, время увеличивается до 1,5-2 минут;

- тестовое задание должно быть составлено лексически грамотно;

- в тексте тестового задания должны отсутствовать любого вида неточности (смысловые, логические и т. д.);

- тестовое задание должно содержать только одну законченную мысль (вопрос не должен включать в себя несколько более простых вопросов);

- вопрос задания не должен содержать вводные фразы, повторы и сведения, мало связанные с основным вопросом;

- информация, содержащаяся в вопросе тестового задания, должна быть достаточной, но не избыточной;

- одно тестовое задание не должно зависеть от знания предыдущего или последующего задания;

- вопрос нельзя перегружать второстепенными деталями, преимущественные слова должны быть ключевыми для правильного понимания задания.

В тестовых заданиях используется словесный, цифровой, графический материал в сочетании с различными способами формулировки предъявления заданий. В процессе решения тестового задания должна быть использована информация, содержащаяся в условии тестового задания. Тестовые задания по каждой дисциплине должны быть разделены по темам, подтемам, учитывая трудоемкость, указанную в минимальной программе. Вопросы должны быть составлены по основным важным разделам, главам, темам, которые должны быть пропорциональны по количеству выделяемых на них часов. Тесты должны содержать 30% заданий первого (легкого) уровня, 40% заданий второго (среднего) уровня, 30% заданий третьего (сложного) уровня. К каждому вопросу предлагается 5 вариантов ответа. Требования к ответам тестового задания:

- ответ на вопрос тестового задания должен быть кратким, без лишней детализации;

- правильный вариант ответа должен содержать полную информацию;

- ответы тестового задания не должны нести случайный характер, все они должны быть ближе к истине, и только один ответ должен быть правильным;

- при переходе от вопроса к вопросу в нумерации правильных ответов не должна прослеживаться закономерность, в частности, правильным ответам нельзя присваивать один и тот же номер в разных вопросах.

Таким образом, с помощью тестов осуществляется экспериментальная проверка эффективности усовершенствованной методической системы обучения при выполнении требований к их составлению, а также при корректном применении статистических методов в обработке полученных результатов.

Для применения статистических методов нам необходимы основные понятия и формулы теории вероятностей и математической статистики [106], [107].

Вероятностный эксперимент (испытание) – эксперимент, результат которого не предсказуем заранее, так как он является случайным в силу сложного сочетания естественных причин. Событие – это любой исход или совокупность исходов какого-либо вероятностного эксперимента. Среди событий отличают случайное, достоверное и невозможное события. Событие, которое нельзя разбить на более простые, называется элементарным. Событие, представимое в виде совокупности (суммы) нескольких элементарных событий, называется составным. Вероятность события – это количественная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления. Вероятностью события А (Р(А)) называется отношение числа m элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, к числу n всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента: . Это классическое определение вероятности. Из данного определения вытекает, что , вероятность достоверного события А равна единице, вероятность невозможного события А равна нулю. При статистическом определении вероятности события А под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие А встретилось ровно m раз. В этом случае отношение называется относительной частотой (частостью) события А.

Случайной величиной называют величину, которая в результате наблюдения принимает то или иное значение, заранее не известное и зависящее от случайных обстоятельств. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного числового промежутка.

Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины называется любое правило, позволяющее находить все вероятности каждого значения этой величины. Законы распределения задаются в аналитической, графической или табличной форме. Ряд распределения – это таблица, в которой перечислены все возможные значения случайный величины и соответствующие им вероятности. Он является исчерпывающей характеристикой дискретной случайной величины. У непрерывных случайных величин ряд распределения отсутствует, поэтому он не является универсальным законом распределения случайной величины.

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х, т. е. , где х – некоторая текущая переменная. Интегральная функция распределения – универсальная характеристика случайной величины. Она существует и для дискретных и для непрерывных случайных величин, полностью и однозначно характеризуя их с вероятностной точки зрения, т. е. является одной из форм закона распределения. Плотностью вероятности (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины Х называется производная ее интегральной функции: .

Среди законов распределения в очень большом числе реальных приложений теории вероятностей используется нормальное распределение (распределение Гаусса).

Говорят, что случайная величина Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид: . Это равносильно тому, что: . Случайная величина, имеющая нормальное распределение, называется нормально распределенной или нормальной. Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами и , то символически это можно записать так: или . Важным частным случаем нормального распределения является ситуация, когда m = 0 и . В этом случае говорят о стандартизированном (стандартном) нормальном распределении. Стандартизированную нормальную случайную величину будем обозначать через , учитывая при этом, что ; . Заметим, что если , то . Для практических расчетов специально разработаны таблицы функций f(u), F(u) стандартизированного нормального распределения, однако чаще используется так называемая таблица значений функции Лапласа . Функция Лапласа имеет вид . Эту таблицу можно использовать для любой нормальной случайной величины Х при расчете соответствующих вероятностей:

(4.1.2)

График плотности вероятности нормально распределенной случайной величины Х симметричен относительно прямой . Площадь фигуры под графиком плотности вероятности должна оставаться равной единице при любых значениях m и σ. Следовательно, чем меньше значение σ, тем более крутым является график. Кроме того, справедливы следующие соотношения. ; ; . Другими словами, значения нормально распределенной случайной величины Х на 99,73% сосредоточены в области . Поскольку в наших экспериментах применяются дискретные случайные величины, то рассмотрим их важнейшие числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание М(X) для дискретной случайной величины определяется следующим образом:

, (4.1.3)

где – вероятность принятия случайной величиной значения , а k – число всех возможных значений случайной величины Х. Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т. е. приближенно равно ее среднему значению.

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Она рассчитывается по формуле

. (4.1.4)

Для дискретной случайной величины

. (4.1.5)

Дисперсия характеризует разброс (рассеяние) возможных значений случайной величины относительно ее среднего значения (математического ожидания). Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Для того, чтобы представить разброс значений случайной величины в тех же единицах, что и сама случайная величина, вводится другая числовая характеристика – среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии : .

Одной из центральных задач математической статистики является выявление закономерностей в статистических данных, на базе которых можно строить соответствующие модели и принимать обдуманные решения. Под статистическими данными подразумеваются данные наблюдений за значениями некоторой случайной величины или совокупности случайных величин, характеризующих изучаемый процесс. В нашем эксперименте число баллов, набираемых студентами в экспериментальных группах, является случайной величиной X, а число баллов, набираемых студентами в контрольных группах, является случайной величиной Y. Обозначим их значения соответственно через и .

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений или реализаций исследуемой случайной величины при данном реальном комплексе условий.

Выборкой (выборочной совокупностью) называют часть генеральной совокупности, отобранную для изучения. Число элементов рассматриваемой совокупности называется ее объемом.

Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо невозможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных затрат, поэтому на практике вся генеральная совокупность практически никогда не анализируется. Для осуществления выводов о генеральной совокупности чаще всего используется выборка ограниченного объема. В нашем эксперименте для случайной величины Х объем выборки , а для случайной величины Y объем выборки . В математической теории выборки существует проблема в том, чтобы полученная информация достаточно полно отражала пропорции генеральной совокупности (проблема репрезентативности (от фр. выборки). Выборка будет репрезентативной, если отбор будет носить случайный характер.

Пусть Х - некоторая случайная величина (количественный признак), и в процессе наблюдений или опытов мы получили n значений случайной величины Х, т. е. сделали выборку из генеральной совокупности количественного признака Х. В дальнейшем мы часто будем задавать выборку в виде таблицы 4.1.3, которая называется статистическим распределением выборки.

Таблица 4.1.3

xi	х1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

Здесь – различные элементы выборки, – соответствующие частоты элементов выборки. Ясно, что . Отношение частоты ni к объему выборки n называется относительной частотой значения xi и обозначается wi , . Статистическим распределением выборки называют также таблицу, определяющую соответствие между значениями случайной величины и их относительными частотами. Значения выборки называются вариантами. Если варианты выборки расположены в возрастающем порядке, то выборка называется вариационным рядом. Варианты выборки называются равноотстоящими, если , где h – постоянное число.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней (выборочной средней ) называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности (признака выборочной совокупности).

Генеральной дисперсией Dг (выборочной дисперсией Dв) называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности (наблюдаемых значений признака) от их среднего значения (от их среднего значения ). , , , , (4.1.6)

где – значение признака (случайной величины Х), N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей, Ni и ni – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением .

Корень квадратный из генеральной дисперсии (из выборочной дисперсии) называется генеральным средним квадратическим отклонением (выборочным средним квадратическим отклонением). , .

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить методы измерения, уровни знаний в экспериментальных и контрольных группах и т. д. Очевидно, предпочтительнее тот метод измерения и тот метод обучения, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов наблюдений, т. е. наименьшую дисперсию.

Пусть нам требуется сравнить уровни знаний студентов в экспериментальных и контрольных группах. Данная задача решается путем проверки статистических гипотез.

Статистической называют гипотезу о виде закона распределения или о параметрах известного распределения. Гипотеза H0, подлежащая проверке, называется нулевой (основной). Наряду с нулевой рассматривают гипотезу H1, которая будет приниматься, если отклоняется H0. Такая гипотеза называется альтернативной (конкурирующей). При проверке гипотезы выборочные данные могут противоречить гипотезе H0. Тогда она отклоняется. Если же статистические данные согласуются с выдвинутой гипотезой, то она не отклоняется. Статистическая проверка гипотез на основании выборочных данных неизбежно связана с риском принятия ложного решения. При этом возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза, в то время как в действительности верна альтернативная гипотеза.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать буквой α, и ее называют уровнем значимости. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначают β. Тогда вероятность не совершить ошибку второго рода называется мощностью критерия. Обычно значения α задают заранее (например, 0,1; 0,05; 0,01 и т. п.), а затем стремятся построить критерий наибольшей мощности. Таким образом, если , то это означает, что исследователь не хочет совершить ошибку первого рода более чем в 5 случаях из 100.

Как мы уже условились, число баллов, набираемых студентами в экспериментальных группах, является случайной величиной Х, а число баллов, набираемых студентами в контрольных группах, является случайной величиной Y. Решим поставленную выше задачу на основе проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных случайных величин [107].

Пусть и , причем их дисперсии и неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий и :

По независимым выборкам и объемов n и r соответственно определяются , , и (для определенности пусть , в противном случае эти величины можно переобозначить). В качестве критерия проверки H0 принимают случайную величину , определяемую отношением большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей. Если H0 верна, то данная статистика F имеет F-распределение Фишера с и степенями свободы. Итак, при из таблиц критических точек распределения Фишера по уровню значимости α и числам степеней свободы ν1 и ν2 определяется критическая точка . Если – нет оснований для отклонения H0. Если – H0 отклоняется в пользу H1.

Примечания

1 Поскольку в условии статистической проверки гипотез генеральные совокупности случайных величин Х и Y должны быть распределены нормально, то для выполнения этого факта требуется, чтобы значения случайных величин Х и Y были равноотстоящими вариантами в статистических распределениях выборок для этих случайных величин. Но данные наблюдений, как правило, не являются равноотстоящими числами, поэтому соответствующей обработкой наблюдаемых значений для случайных величин Х и Y надо свести первоначальные варианты к равноотстоящим. Затем рассмотреть проверку гипотез о нормальном распределении генеральных совокупностей случайных величин Х и Y [106].

2 При сравнении уровней знаний студентов в экспериментальных и контрольных группах путем проверки статистических гипотез мы используем исправленные выборочные дисперсии и . Исправленная выборочная дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии .

Оценка называется несмещенной оценкой параметра , если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

Оценка называется состоятельной оценкой параметра , если сходится по вероятности к при , т. е. для любого при .

Оценка называется эффективной оценкой параметра , если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой альтернативной оценки при фиксированном объеме выборки n, т. е. .

Таким образом, если при сравнении уровней знаний студентов в экспериментальных и контрольных группах путем статистических проверок гипотез , то нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости α и принимается альтернативная гипотеза, т. е. генеральные дисперсии и неодинаковы, а это значит, что различие исправленных выборочных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами. Следовательно, методы обучения студентов в экспериментальных группах предпочтительнее, поскольку обеспечивают наименьшее рассеяние результатов наблюдений, т. е. наименьшую дисперсию .

4.2 Педагогический эксперимент и анализ результатов проверки эффективности обучения математике по усовершенствованной методической системе

Для подтверждения основных положений данного исследования в процессе его выполнения был проведен педагогический эксперимент ( гг.) в Павлодарском филиале Казахстанского финансово-экономического университета и Павлодарском государственном университете им. С. Торайгырова, который состоял из трех этапов: констатирующего, поискового и обучающего.

В настоящее время в условиях введения новых экономических специальностей, новых дисциплин, учебных планов, программ, учебников и т. д., учитывая при этом созданную ранее в экономических вузах Казахстана внутреннюю культуру качества высшего образования и научно-исследовательской работы, изменились методические системы обучения математическим дисциплинам будущих экономистов. В связи с этим целью констатирующего эксперимента (гг.) являлась оценка состояния процесса обучения математическим дисциплинам студентов-экономистов и выявление проблем, связанных с его осуществлением. На констатирующем этапе велось педагогическое наблюдение за работой студентов во время лекций, практических и лабораторных занятий; проводились беседы со студентами и преподавателями математических дисциплин для экономистов, посещения их занятий, ознакомления с продуктами учебно-методической работы студентов (конспектами лекций, рабочими тетрадями по практическим занятиям, рефератами, контрольными работами и т. д.). Согласно договору о творческом сотрудничестве между Омским государственным университетом (ОмГУ) и Павлодарским государственным университетом им. С. Торайгырова от 2 декабря 2003г. автором исследования осуществлена научная командировка в ОмГУ с целью обмена информацией о важнейших мероприятиях в области образования и науки, проводимых в Республике Казахстан и Российской Федерации, и опыта учебно-методической работы по подготовке специалистов в области менеджмента. По предоставленной учебно-методической документации был проведен анализ рабочих планов, учебных программ и учебных пособий по математическим дисциплинам, государственных образовательных стандартов высшего образования Российской Федерации для экономических специальностей. Был также изучен опыт работы преподавателей ОмГУ. Выводы проведенного анализа опубликованы в работах [19], [23]. На этапе констатирующего эксперимента вскрыты имеющиеся проблемы, которых достаточно в преподавании математических дисциплин студентам экономических специальностей. По-прежнему наблюдаются формализм при изложении математики для экономистов, а также рецептурный характер усвоения математического материала и слабые умения в использовании математического аппарата с применением средств компьютеризации при решении прикладных задач из курса экономико-математического моделирования, не организуется на научно-методической основе самостоятельная работа студентов и т. д. С учебного года дисциплина «Экономико-математическое моделирование» отсутствует в государственных общеобязательных стандартах образования Республики Казахстан для специальностей «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет и аудит», «Менеджмент», хотя до этого вузовский компонент ГОСО РК для названных специальностей содержал данную дисциплину [17], [19]. В государственных общеобязательных стандартах даже в дисциплину «Математика в экономике» не включены линейное, нелинейное, целочисленное программирование. В такой же ситуации – специальности «Экономика» и «Государственное и местное управление». По этой причине в некоторых вузах Казахстана на экономическом факультете не на всех специальностях, где это требуется, в учебные планы включают дисциплину «Экономико-математическое моделирование», несмотря на то, что в условиях рыночной экономики становятся актуальными вопросы использования математических подходов, методов и моделей в задачах управления предприятиями, экономико-математического моделирования в подготовке будущих экономистов, экономико-математических методов и моделей в экономических исследованиях. Если и включают «Экономико-математическое моделирование» в учебные планы, то в большинстве случаев будущими экономистами изучаются только линейное, нелинейное, целочисленное программирование, а динамическое программирование, игровые, имитационные модели, модели систем массового обслуживания, управления запасами, теория расписания, системный анализ, математическая теория оптимального управления, графовые, сетевые модели, планирование эксперимента остаются без внимания. В учебном процессе используются, в основном, учебники, учебные пособия и задачники, выпущенные в России, хотя в последние годы казахстанские вузы тоже издают учебную и методическую литературу. К сожалению, мало переведенных книг по математике и экономико-математическому моделированию авторов из дальнего зарубежья. На этапе констатирующего эксперимента был сделан анализ структуры учебной программы курса «Экономико-математическое моделирование», составленной , и утвержденной в 1993г. кафедрой «Экономическая кибернетика» КазГАУ (ныне Казахский экономический университет им. Т. Рыскулова); и учебной программы, составителями которой являются , , рекомендованной к изданию учебно-методическим объединением по экономическим специальностям вузов Республики Казахстан при КазГАУ. После анализа этих программ автором исследования была подготовлена рабочая учебная программа по данной дисциплине и предложена в печати [81]. И впоследствии рабочая учебная программа по курсу «Экономико-математическое моделирование» претерпела оптимальные изменения.

Таким образом, на констатирующем этапе изучен передовой педагогический опыт по проблеме исследования, определен объект исследования, поставлена цель, сформирован предмет, определены методы исследования.

Цель поискового этапа (гг.) педагогического эксперимента заключалась в выявлении эффективных путей совершенствования методических систем обучения математическим дисциплинам будущих экономистов и проектировании усовершенствованных методических систем обучения. В ходе поискового эксперимента оптимизировались учебно-методические комплексы дисциплин «Математика в экономике» и «Экономико-математическое моделирование». По этим дисциплинам разрабатывались и подвергались проверке рабочие программы, программы дисциплин для студентов (ПДС), тесты для текущего, рубежного контролей и экзамена, методические указания к практическим занятиям, методические материалы к выполнению домашних заданий [105]. На основе данного исследования были разработаны пробное содержание лекций и практических занятий по математическим дисциплинам. Для работы со студентами экспериментальных групп было подготовлено учебно-методическое пособие «Задачи с экономическим содержанием по высшей математике». Кроме того, изучена и обоснована система мер по обеспечению качества обучения математическим дисциплинам будущих экономистов. На данном этапе в целом были смоделированы методические системы обучения математическим дисциплинам в виде учебно-методических комплексов, выработана гипотеза, сформулированы задачи исследования.

Цель обучающего эксперимента (гг.) заключалась в проверке гипотезы исследования: в условиях кредитной системы обучения будет обеспечено более эффективное, в сравнении с имеющейся практикой, обучение математическим дисциплинам будущих экономистов, если в процессе обучения, предполагающем систему менеджмента качества и рейтинговую систему оценки и контроля знаний студентов, реализовать наряду с модульным построением курсов математических дисциплин принцип профессиональной направленности на основе образовательных технологий. Экспериментальная проверка гипотезы осуществлялась в процессе обучения математике студентов первого курса финансово-экономического факультета Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова с использованием учебно-методического комплекса этой дисциплины на материалах преподавания математики в Павлодарском филиале КазФЭУ и ПГУ им. С. Торайгырова. На основе принципа профессиональной направленности обучения в учебный материал по математике были включены как профессионально значимые фундаментальные знания, так и такие способы деятельности, аналоги которых придется осуществлять выпускникам в будущей работе по специальности. Экспериментальные группы состояли из 32 студентов специальностей «Экономика», «Учет и аудит», «Маркетинг», «Менеджмент». Контрольные группы состояли из 59 студентов специальностей «Государственное и местное управление», «Финансы». В эксперименте приняли участие 91 студентов. Во время экспериментальной проверки определение уровня приобретенных знаний, умений и навыков осуществлялось по результатам рубежных контролей и экзамена.

Для статистического анализа полученных результатов при тестировании студентов экспериментальных и контрольных групп в первом и втором рубежных контролях, а также на экзамене необходимо представить эти результаты в виде статистических распределений выборок для случайных величин Х и У. Напомним, что число баллов, набираемых студентами в экспериментальных группах является случайной величиной Х, а число баллов, набираемых студентами в контрольных группах, является случайной величиной Y. В нашем эксперименте для случайной величины Х объем выборки , а для случайной величины Y объем выборки . Результаты тестирования по математике в первом и втором рубежных контролях предоставлялись отделом мониторинга ПГУ им. С. Торайгырова. В ведомости результатов рубежного контроля для каждого студента указывалось количество правильных ответов. Согласно рейтинговой системе оценки и контроля знаний студентов в ПГУ им. С. Торайгырова число баллов за рубежный контроль вычисляется по формуле , где m – количество правильных ответов студента, k – максимальное число баллов за рубежный контроль, приведенное при распределении баллов текущей успеваемости по видам контроля (Таблица 4.1.2). Следует отметить, что в нашем эксперименте максимальное число баллов по математике за первый рубежный контроль – 33, а за второй рубежный контроль – 38. Каждому студенту на рубежном контроле выдается тест, состоящий из 25 заданий. В первом рубежном контроле, который проводился на восьмой неделе семестра, тестирование производилось по двум модулям-разделам «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».

Рассмотрим результаты тестирования в первом рубежном контроле. Представим их с помощью статистических распределений выборок для случайных величин Х и Y (Таблица 4.2.1 и Таблица 4.2.2).

Таблица 4.2.1

xi	5	8	15	16	17	20	21	22	24	25	26	28	29	30	32	33
ni	1	1	1	1	3	4	2	4	2	3	2	2	2	1	2	1

Таблица 4.2.2

yi	0	3	5	7	8	9	11	12	15	16	17	18	20	21	25	26	28	29	30	32	33
ri	3	1	2	2	1	2	5	4	3	2	7	4	3	2	6	3	1	2	2	3	1

Проверим гипотезу о нормальности случайной величины Х при уровне значимости . Вначале составим статистическое распределение равноотстоящих вариант для случайной величины Х [107], [106]. Для этого все 16 наблюдаемых значений выборки заключаем в 5 непересекающихся подынтервалов равной длины 6: (3,9); (9,15); (15,21); (21,27); (27,33). Пусть ni – количество наблюдаемых значений случайной величины Х, попадающих в i-й подынтервал; – относительная частота попадания случайной величины Х в i-й подынтервал, . Тогда интервальное статистическое распределение случайной величины Х имеет вид (Таблица 4.2.3):

Таблица 4.2.3

I	(3,9)	(9,15)	(15,21)	(21,27)	(27,33)
ni	2	1	9	12	8
wi	0,06	0,03	0,28	0,38	0,25

Поскольку первоначальная варианта 21 одновременно является концом третьего частичного интервала и началом четвертого, частота 2 этой варианты поровну распределяется между обоими частичными интервалами. Приняв середины частичных интервалов в качестве новых вариант ξi, получим равноотстоящие варианты: , , , , . В качестве частоты каждой «новой» варианты принимают общее число первоначальных вариант, попавших в соответствующий частичный интервал. В итоге получим статистическое распределение равноотстоящих вариант для случайной величины Х (Таблица 4.2.4):

Таблица 4.2.4

ξi	6	12	18	24	30
ni	2	1	9	12	8

Найдем методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Для этого составляем расчетную таблицу 4.2.5:

Таблица 4.2.5

ξi	ni	ui	ni ui
6	2	-3	-6	18	8
12	1	-2	-2	4	1
18	9	-1	-9	9	0
24	12	0	0	0	12
30	8	1	8	8	32

В качестве ложного нуля принимается – варианта с наибольшей частотой 12. Шаг выборки . Условные варианты ui определяются по формуле . После вычисления условных вариант, заполним все столбцы. Последний столбец служит для контроля вычислений по тождеству: . Контроль: . Вычисления произведены верно. Найдем условные моменты. ; . Находим выборочную среднюю: . Вычисляем выборочную дисперсию: . Выборочное среднее квадратическое отклонение будет равно: . Предполагая, что случайная величина Х имеет нормальное распределение, вычислим величины , называемые теоретическими частотами. Все вычисления сводим в следующую расчетную таблицу 4.2.6:

Таблица 4.2.6

ξi	ni
6	2	-16,32	-2,55	0,0154	1
12	1	-10,32	-1,61	0,1092	3
18	9	-4,32	-0,67	0,3187	10
24	12	1,68	0,26	0,3857	12
30	8	7,68	1,2	0,1942	6
	32

Заполним первые три столбца. В четвертом столбце записываем условные варианты, вычисленные по формуле

. (4.2.1)

В пятом столбце находим значения функции . Функция четная. Значения функции в зависимости от аргумента ui находим из таблицы. Теоретические частоты теоретической кривой находим по формуле

(4.2.2)

и заполняем последний столбец. Отметим, что в последнем столбце частоты округляются до целого числа и .

Проверим гипотезу о нормальности случайной величины Х при уровне значимости . Вычислим , для чего составим расчетную таблицу 4.2.7:

Таблица 4.2.7

ni
2	1	1	1	1	4	4
1	3	-2	4	1,3	1	0,3
9	10	-1	1	0,1	81	8,1
12	12	0	0	0	144	12
8	6	2	4	0,6	64	10,6
32	32					35

Суммируя числа пятого столбца, получаем . Суммируя числа последнего столбца, получаем 35. Контроль: ; . Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений. Найдем число степеней свободы по формуле , где s – число различных значений , l – число параметров, от которых зависит распределение. Для нормального распределения . Тогда, . По таблице критических точек распределения , уровню значимости и числу степеней свободы находим . Так как , то при уровне значимости нулевая гипотеза о нормальности случайной величины Х принимается.

Решим задачу, аналогичную предыдущей, для статистического распределения выборки случайной величины Y. Интервальное статистическое распределение случайной величины Y имеет вид (Таблица 4.2.8):

Таблица 4.2.8

I	(-2,5)	(5,12)	(12,19)	(19,26)	(26,33)
ri	5	13	18	14	9
wi	0,08	0,22	0,31	0,24	0,15

С помощью интервального статистического распределения получим статистическое распределение равноотстоящих вариант для случайной величины Y (Таблица 4.2.9):

Таблица 4.2.9

ηi	1,5	8,5	15,5	22,5	29,5
ri	5	13	18	14	9

Найдем методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Для этого составляем расчетную таблицу 4.2.10:

Таблица 4.2.10

ηj	rj	uj	rj uj
1,5	5	-2	-10	20	5
8,5	13	-1	-13	13	0
15,5	18	0	0	0	18
22,5	14	1	14	14	56
29,5	9	2	18	36	81

Проверим наши вычисления. Последний столбец служит для контроля вычислений по тождеству: . Контроль: . Вычисления произведены верно. Найдем условные моменты: ; . Вычислим выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.

; ; . Предполагая, что случайная величина Y имеет нормальное распределение, вычислим теоретические частоты . Все вычисления сводим в расчетную таблицу 4.2.11: