Математическое моделирование в компонентах природы (стр. 2 )

2.  , Ольгаренко -техногенные комплексы: Учебное пособие. – Новочеркасск, НГМА, 2003. – 155 с.

3.  , Молдованов инженерной экологии: Учеб. для ВУЗов. – 2-е изд., испр. и доп.- М.: Высшая школа, 2001. – 510 с.

Дополнительная литература

1.  , Тер-Абрамянц методов математического и физического моделирования при исследованиях конструкций мелиоративных гидротехнических сооружений. В сб. науч. тр. Теория и практика мелиорации. – М.: ВНИИГиМ, 1989. – С. 31-43.

2.  Физика для всех. Том 1. Общая физика. Пер. с англ. – М.: Мир, 1974. – 382 с.

3.  Лотов в экономико-математическое моделирование / Под ред. . – М.: Наука, 1984. – 392 с.

Абакумов. О. О влиянии продольных берегозащитных сооружений на динамику берегов. «Водные ресурсы» № 1, 2003, С. 55—60. Юрченко технологии обоснования мелиораций. – М.: Изд-во «Сопричастность», 2000. – 283 с. Jones J. W. Using expert systems in agricultural models / Agricultural engineering № 7, 1985, P. 21-22.

 

1.2.1. Основные понятия математического моделирования

Что такое математическая модель?

Математическая модель - приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Создание математических моделей - это мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Анализ созданной модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технические средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; прогнозировать новые явления.

Процесс изучения явления с помощью математической модели можно подразделить на 4 этапа.

·  Первый этап - формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

·  Второй этап - исследование математических задач, к которым приводят математическое моделирование. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа модели, и вычислительная техника - мощное средство для получения количественной выходной информации как результата решения сложных математических задач.

·  Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть определение адекватности и достоверности модели. Это выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры её были заданы, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами.

·  Четвёртый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются, и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей математической модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Тогда возникает необходимость построения новой, более совершенной модели.

Этапы разработки математической модели показаны на следующем рисунке 3.

Рисунок 3. Этапы разработки математической модели

В реальной практике моделирования обычно присутствуют только второй и третий этапы, так как законы функционирования объекта были исследованы ранее другими учеными, а четвертый этап можно представить как начало разработки следующей модели. Тем самым, моделирование сводится к разработке математического и алгоритмического аппарата решения во времени и/или пространстве ранее разработанных законов и определению методов и условий применения этого аппарата.

Многие ученые различают два основных вида математического моделирования: детерминантное и стохастическое. Первое из них основывается на объективных законах функционирования реального объекта, второе на выявленных в процессе изучения объекта статистических закономерностях его функционирования. Для сложных объектов может применяться и смешанный вид моделирования, когда одни параметры его моделируются детерминантно, другие стохастически. Например, моделирование влагопереноса в почвенном профиле орошаемого поля базируется на объективных законах движения почвенной влаги (то есть детерминантно), однако такой важный параметры этого моделирования, как эвапотранспирация или суммарное водопотребление, может моделироваться как детерминантно (методом Пенмана), так и стохастически (биоклиматический метод Алпатьевых).

Важно отметить, что жесткое противопоставление стохастического и детерминантного моделирования не является научно обоснованным. Оба метода имеют право на существование, особенно если учесть, что экспериментальное изучение большинства явлений выявляло именно стохастические закономерности, которые затем получали теоретическое объяснение и становились объективными законами. Так, например, второй закон Ньютона, в авторской формулировке, гласит, что изменение импульса силы равно изменению импульса тела: . Это соотношения было получено Ньютоном экспериментально, при этом для неизменной силы и массы из него получается следствие: . Для современников и самого Ньютона было удивительно, что стохастически определенный коэффициент пропорциональности между силой и ускорением пропорционален гравитационной массе, определяющей силу притяжения между двумя телами по открытому тем же Ньютоном закону . Это удивительное совпадение было объяснено только через несколько столетий в общей теории относительности Эйнштейна.

1.2.2. Стохастическое моделирование

Что такое стохастическое моделирование

Стохастическое моделирование – вид моделирования, при котором закономерности протекающих в моделируемом объекте явлениях основываются на данных наблюдений за объектом, методах теории вероятности и математической статистики, и не опираются на объективные законы.

Можно сказать, что при стохастическом моделировании моделируемый объект рассматривается как «черный ящик», о внутреннем содержании которого ничего не известно, а его поведение предсказывается по накопленным ранее данным о реакциях объекта на различные внешние воздействия или состояния окружающей его среды.

Одним из видов стохастического моделирования является построение регрессионных зависимостей изучаемого (прогнозируемого) параметра от различных внешних условий: , при этом, если в регрессии используется более одного условия, говорят о множественной регрессии. Регрессионная зависимость может быть как линейной, так и нелинейной. В зависимости от вида функции различают, например, полиноминальную, экспоненциальную, степенную и т. д. нелинейные регрессионные зависимости.

Вопросами построения регрессионных зависимостей занимается специальный раздел математической статистики – регрессионный анализ.

Геометрически построение единичной регрессионной зависимости можно представить себе следующим образом:

Имеется набор точек (x1, y1); (x2, y2); (x3, y3); … ; (xn, yn), представляющих данные, полученные экспериментальным путем. Необходимо найти уравнение линии, которая проходит как можно ближе от этих точек.

В случае множественной регрессии линия, изображающая зависимость, строится не на плоскости, а в пространстве, возможно многомерном.

Построение таких линий и определение их уравнений называется аппроксимацией.

Одним из примеров применения такого типа стохастического моделирования является прогнозирование (расчет) водопотребления сельскохозяйственных культур биоклиматическим методом. В этом случае вегетационный период разбивается на фазы, внутри которых суточной потребление влаги определяется по линейной зависимости , где dсут – дефицит влажности воздуха, а k – эмпирический коэффициент, найденный по данным полевых наблюдений.

В экономике для прогнозирования нередко используются тренды, то есть зависимости различных экономических параметров от времени . В науках о природе такие тренды применяются также для эпигноза – получения данных о значениях параметра в периоды, предшествующие наблюдениям. В случае использования регрессионной зависимости для прогноза говорят об экстраполяции, для получения значений изучаемого параметра внутри диапазона известных данных – об интерполяции.

Важно отметить, что хотя вышеописанные методы не базируются на реальных законах поведения объектов моделирования, необходимо учитывать при аппроксимации тенденции поведения изучаемого параметра при различных условиях, свойства применяемых функций, границы допустимых значений для экстраполяции. Например, в условиях ограниченности водных ресурсов рост урожайности, на первый взгляд, прямо пропорционален повышению оросительной нормы. Однако, ясно, что эта тенденция будет наблюдаться до некоторой оптимальной нормы подачи воды на поле, при превышении которой начнется снижение урожая.

Ограничения стохастического моделирования:

1.  При недостатке опытных данных регрессионные зависимости недостоверны, даже если тенденции поведения модели и объекта соответствуют друг другу, а линия зависимости проходит через опытные точки. Например, через 2 точки проходит одна прямая, уравнение которой является регрессионной зависимостью. Отклонения зависимости равны 0. Даже если нам известно, что изучаемый параметр и условие связаны прямо пропорционально, всегда возможная ошибка измерений в опыте может существенно исказить результаты экстраполяции. Для большого количества данных возможная ошибка сглаживается.

2.  Если для интерполяции соответствие аппроксимирующей функции и тенденции поведения изучаемого параметра не имеет большого значения, то для экстраполяции они должны обязательно иметь одинаковый вид. Кроме этого, необходимо определить границы допустимых данных.

3.  Не всегда по имеющимся данным, даже если их достаточно много, можно получить регрессионную зависимость необходимой точности. Возможно, это связано с тем, что не учтены все факторы (условия). Например, биоклиматическую зависимость нельзя построить без учета фазы развития сельскохозяйственной культуры.

Как проверить достоверность результатов моделирования

Проверять разработанную модель на адекватность и достоверность необходимо независимо от того, какая она – детерминантная или стохастическая.

Для проверки используются экспериментальные данные наблюдений за моделируемым объектом, причем в случае детерминантной модели естественно применить все имеющиеся данные, а в случае стохастической методически более правильно случайным образом разбить опытные данные на две группы, первую из которых используют для разработки модели, вторую – для оценки ее достоверности.

В данном разделе мы будем изучать анализ достоверности на примере разработанных ранее регрессионных зависимостей.

Итак, получив регрессионную зависимость, необходимо оценить, насколько точно описывает эта зависимость имеющиеся экспериментальные данные, и допустимо ли использовать эту зависимость для интерполяции и экстраполяции данных.

Для визуальной оценки качества зависимостей простого вида вполне достаточно построенных при выполнении задания графиков (рис.4 ).

Рисунок 4. Простой вид зависимости

Для более сложных зависимостей это уже невозможно (рис.5). В связи этим используется другой простой и наглядный способ оценки достоверности модели (единичной или множественной регрессионной зависимости). Способ также является графическим и в настоящее время широко применяется в научной литературе. Суть способа следующая:

Рисунок 5. Сложный вид зависимости

Имеется набор опытных данных, включающий в себя численные значения как условий существования объекта (процесса), так и изучаемого параметра (обозначим величины этого параметра или реальные данные , где i = 1, 2, 3, … , n – номера опытов). Для этих численных значений условий по разработанной модели определим также значения изучаемого параметра или модельные данные (). Составим таблицу:

Абсцисса				…
Ордината				…

По этой таблице построим график (рис. 6), нанеся не него также линию y=x. Чем ближе расположено облако точек графика к линии y=x, тем более достоверна и точна модель (регрессионная зависимость).

Обратите внимание, что этот способ позволяет оценить приближенность вашей модели к реальным (экспериментальным) данным в тех случаях, когда зависимость имеет сложный вид (например, колебания уровня грунтовых вод во времени, различные случаи множественной регрессии и т. д.). Для рассмотренных в задании 1 простых регрессионных зависимостей обычно вполне достаточно построенного нами графика.

Рисунок 6 . Диаграмма оценки достоверности модели

Еще один критерий достоверности – это R2, уровень достоверности аппроксимации, как он называется в Microsoft Excel. Более точное название, пронятое в России – коэффициент детерминации. Так называется квадрат коэффициента корреляции, который указывает на тесноту и направление связи между фактическими и модельными величинами. Он является безразмерной величиной и обозначается R. Рассчитывается по формуле:

(1)

Изменяется коэффициент корреляции от -1 до +1. Чем ближе он к +1 или к -1, тем теснее прямая или обратная линейная корреляционная связь. Считается, что при R < 0,3 – корреляционная зависимость слабая, 0,3 – 0,7 – средняя; > 0,7 – сильная.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации. Он показывает долю (%) тех изменений, которые в данном явлении зависят от изучаемого фактора.

С другой стороны, для оценки расхождения реальных и модельных значений было решено использовать коэффициент, предложенный Г. Тейлом и рекомендованный и для экономико-математических моделей (1984). Коэффициент Тейла (U) вычисляется по формуле:

, (2)

где Ypi и YMi – реальные и модельные значения соответственно; N – количество опробований.

Коэффициент Тейла изменяется от нуля до единицы. Он равен нулю в случае полного совпадения реальных и модельных значений и равен единице при очень большом их расхождении.

Другим современным критерием оценки достоверности модели является критерий Нэша – Сатклиффа, который вычисляется по формуле:

%, (3)

где Ypi и YMi – реальные и модельные значения соответственно; YСР – среднее реальное значение.

Критерий Нэша – Сатклиффа изменяется от 0 до 100 %. Чем он больше, тем выше достоверность разработанной модели.

1.2.3. Детерминантное моделирование

Что такое математическое детерминантное моделирование?

Математическим детерминантным моделированием называется решение уравнений, описывающих объективные физические, химические или другие законы поведения изучаемого объекта (процесса) в пространстве и/или времени.

В принципе, математическое моделирование может проводиться и вручную, без использования вычислительной техники, но в настоящее время под ним подразумевается решение вышеуказанных уравнений именно на компьютерах с помощью специальных программ – моделей. Эти программы в основном базируются на специальном разделе математики – численных методах, разработанных специально для поиска решений таких уравнений, которые не решаются аналитически. Например, найти численное значение определенного интеграла, подынтегральная функция которого не поддается аналитическому интегрированию, найти значения переменной, для которой известна не ее функциональная зависимость от ряда параметров , а первая или вторая производная такой функции, возможно включающая в себя и саму искомую переменную, то есть дифференциальное уравнение.

Компьютерное математическое моделирование может использоваться и в тех случаях, когда решаемые уравнения достаточно просты, но требуют такого большого числа исходных данных, которое невозможно без ошибок и избыточных трудозатрат обработать вручную. Например, при моделировании водопотребления по методу Пенмана используются ежесуточные данные о поступлении солнечной радиации, максимальной и минимальной суточной температуре, скорости ветра, влажности воздуха и так далее.

Как связаны стохастическое и детерминантное моделирования?

При моделировании сложных объектов и явлений одни составляющие моделируются стохастически, другие детерминантно. Кроме этого, для оценки точности и достоверности моделей обоих типов могут применяться одни и те же методы теории вероятности и математической статистики.

Однако существует и более глубокая, фундаментальная связь между этими типами моделирования. Она связана с наличием погрешностей и ошибок измерения всех известных человеку величин, и накоплением этих ошибок при использовании большого числа параметров модели.

Представим себе, что мы разрабатываем так называемую продукционную модель – зависимость урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры от условий ее произрастания.

Во-первых, урожай зависит от обеспеченности посевов влагой: У = F(W). Такая модель имеет низкую точность хотя бы потому, что не учитывает потребность растений в тепле. Добавив в модель параметр температуры, мы получим более достоверную модель У = F(W,t). Затем учтем в модели такие важные параметры, кок содержание питательных элементов и гумуса, структурность почвы, фитосанитарные условия (воздействие болезней, сорняков и вредителей), содержание микроэлементов и так далее.

Мы получим целый ряд моделей с все увеличивающимся числом параметров: У = F(W, t, p3, p4, … pn ) , точность которых, как нам кажется, должна постоянно возрастать, стремясь к какому-то уровню максимальной (100 %) точности. Конечно, не по линейному закону, ведь каждый следующий параметр имеет меньшее значение для урожая и, значит, вносит меньший вклад в повышение точности.

В реальности этого не происходит. Начиная с некоторого добавленного параметра, точность модели начинает снижаться. Это связано с накоплением ошибок (рис. 7 ).

Рисунок 7. Зависимость точности модели от числа параметров

Таким образом, при первоначальном анализе объекта и определении структуры модели необходимо найти оптимальное число учитываемых параметров, отбросив те, которые не влияют в нужной мере на моделируемый фактор, а снижают точность за счет накопления ошибок.

1.2.4. Моделирование продуктивности растений

Для прогнозирования урожайности сельскохозяйственных культур применяются различные, в основном стохастические модели продукционных процессов, то есть процессов накопления урожая в зависимости от различных климатических, почвенных и других факторов. Одной из известных моделей продуктивности растений является модель . Она имеет вид:

(5)

где U0 – потенциальная урожайность данной культуры при оптимальных условиях и агротехнике; Квл, КТ, КП, Кзас, Кзагр – коэффициенты, учитывающие неоптимальное увлажнение почвы, обеспеченность теплом, питательными веществами, снижение урожайности из-за засоления и загрязнения почвы.

Набор коэффициентов может быть увеличен или уменьшен для повышения точности модели (см. предыдущий раздел).

Определить коэффициент влияния влажности на продуктивность можно по следующим формулам :

(6)

(7)

где i – номер декады вегетационного периода; n – число декад вегетационного периода; αi – вклад каждой декады в урожайность, сумма всех αi должна быть равна единица; ω – относительная влажность расчетного (корнеобитаемого) слоя почвы в каждую декаду; θ – объемная влажность почвы; θВЗ – влажность устойчивого завядания; p – пористость почвы; γ – коэффициент чувствительности растения к неоптимальной влажности почвы в данную декаду.

Зависимость коэффициента β от влажности имеет нелинейную, несимметричную куполообразную форму.

Коэффициент, учитывающий влияние температуры на продуктивность определяется по аналогичной зависимости.

1.2.5. Основные особенности природных сред

Что такое сплошная среда?

Сплошная среда – механическая система, обладающая бесконечным числом внутренних степеней свободы, ее движение в пространстве описывается не координатами и скоростями отдельных частиц, а скалярным полем плотности и векторным полем скоростей.

Математические модели большой части природных процессов основываются на концепции сплошной среды.

Сплошная среда – механическая система, обладающая бесконечным числом внутренних степеней свободы, ее движение в пространстве описывается не координатами и скоростями отдельных частиц, а скалярным полем плотности и векторным полем скоростей. В зависимости от задач, к этим полям могут добавляться поля других физических величин (концентрации, температуры, поляризованности и др.). Свойство сплошной среды не изменяться с течением времени называется несжимаемостью.

Как видим, термин «сплошная среда» не означает, что в ней не может быть пор или трещин, содержащих жидкости, газы или взвесь мелкодисперсных частиц. Твердая фаза сплошной среды может быть непористой (строго говоря, слабопористой), пористой или капиллярной.

Пористая среда описывается в основном как сплошная среда, свойства которой не выражаются через свойства составляющих элементов, а описываются на основе показателей, осредненных в некотором объеме (в идеальном случае – в бесконечно малом объеме). Изменяющиеся в пространстве и времени значения этих показателей образуют поле (влажности, температуры, концентрации отдельных ионов или суммы солей).

Природные и искусственные среды могут быть однофазными (твердые, жидкие, газообразные) и многофазными (атмосфера, почва, газо - и нефтесодержащие породы, суспензии и эмульсии).

Пористые среды часто встречаются в компонентах природы. В них отчетливо выражены свойства проводимости, барьерности и емкости. Физически они представляют собой скопление твердых частиц различного размера, между которыми существует свободное пространство, заполненное жидкостью, газом, суспензией или эмульсией. Природные пористые среды иногда называют псевдокапиллярными. Пористое пространство в них не является системой капилляров. Это хаотично расположенные свободные объемы между частицами твердой фазы. Общее у этого пространства с капиллярами – только малые геометрические размеры, из-за которых большое значение приобретает поверхностное натяжение и другие явления, проявляющиеся на границах раздела фаз.

Капиллярная среда часто уподобляется пористой, однако отличается более регулярной структурой пористого пространства: оно состоит как бы из системы мельчайших трубопроводов различного диаметра. Капиллярная среда представлена в основном растениями и живыми организмами. В стенках капилляров идут активные биохимические и химические процессы. Основное свойство капилляров – изменчивость во времени и пространстве.

В качестве пористых сред могут рассматриваться горные породы, строительные материалы, фильтрующие смеси.

Почва также представляют собой пористую среду, обладающую отличительными особенностями:

- деформируемость твердой фазы (сжимаемость);

- наличие трещин, размеры которых меняются при изменении влажности;

- наличие преимущественных путей фильтрации и застойных зон;

- способность к набуханию и усадке;

- возможность агрегации и дезагрегации частиц твердой фазы;

- большая площадь удельной поверхности;

- зависимость структуры порового пространства от количества жидкой фазы.

Процессы, протекающие в почвах, описываются с помощью теории фильтрации как движение жидкости в сплошной (пористой) среде.

Широко распространенная в науке концепция сплошной среды не отменяет и не препятствует продолжающимся усилиям по изучению движения жидкости, газа и твердых частиц «в малом», в первую очередь для исследования явлений вблизи раздела фаз. Однако полученные результаты впоследствии встраиваются в концепцию сплошной среды, дополняя и уточняя ее.

Каковы основные свойства компонентов природы?

и выделяют три основных свойства компонентов природы: проводимость, барьерные и емкостные свойства. Они очень важны для рассмотрения многих природных процессов и хорошо описываются математическими моделями в рамках концепции сплошной среды.

1.  Проводимость – способность природного тела пропускать через себя потоки вещества и энергии. Потоки подразделяются на вещественные и энергетические.

Проводимость зависит от свойств самого природного тела, свойств потока вещества или энергии и от действующих сил, вызывающих этот поток, что можно выразить с помощью формулы, связывающей два основных понятия, характеризующих сплошную среду – поле P и поток Q. Поток вещества или энергии – это количество вещества или энергии, проходящее через поперечное сечение в единицу времени. Он равен произведению скорости V на площадь поперечного сечения S:

Q = V·S

Общий вид связи между скоростью и полем

,

где P1 и P2 – значение поля в двух точках, между которыми происходит перемещение вещества или энергии, L – расстояние между этими точками, k – коэффициент пропорциональности («проводимость»).

Поскольку значение поля от точки к точке практически всегда меняется непрерывно, а не скачком, приведенное выше соотношение записывают с помощью производной:

.

В большинстве процессов, с которыми мы встречаемся в компонентах природы, эта зависимость линейная, то есть показатель степени n равен единице:

.

2. Барьерные свойства. Природные компоненты обладают свойствами задерживать некоторые вещества, что можно назвать барьерностью.

В самом общем смысле барьер можно понимать как локальное нарушение проводимости, приводящее к ускорению или замедлению потоков веществ и круговоротов в целом.

Барьеры различаются по происхождению на природные и техногенные.

По принципам действия барьеры делятся на механические (твердое тело работает как фильтр); физические, обусловленные физическими процессами (при испарении вода переходит границу раздела фаз, а растворенное вещество выпадает в осадок); физико-химические, когда происходят процессы на границе раздела фаз (например, в почве это процессы адсорбции катионов в почвенно-поглощающем комплексе); химические (растворение и кристаллизация, синтез и разложение соединений); биологические (процессы, происходящие в растениях и живых организмах).

3. Емкостные свойства - это способность природных компонентов вмещать и удерживать определенное количество вещества или энергии при равновесии всех действующих сил.

Так, почва характеризуется свойством влагоемкости – способностью удерживать некоторое количество влаги, не стекающей в нижележащие слои. Емкостные свойства изменчивы и зависят от свойств природного тела (для влагоемкости почвы — от относительного объема порового пространства и размеров пор).