4.2. Содержание разделов дисциплины
1. Линейная алгебра
Предмет математики. Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории. Принципы математических рассуждений и математических доказательств.
Матрицы и определители. Виды матриц. Равенство матриц, операции над матрицами и их свойства. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и свойства. Алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Обратная матрица и ее вычисление.
Системы линейных уравнений. Системы линейных уравнений, их решения и виды (совместные, несовместные, определенные, неопределенные). Методы решения: метод Гаусса, по формулам Крамера и матричный метод.
2. Аналитическая геометрия
Метод координат на плоскости. Декартова система координат, координаты точки, расстояние между точками на плоскости. Уравнения прямых на плоскости. Уравнения кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
Метод координат в пространстве. Декартова система координат в пространстве. Координаты точки, расстояние между точками. Векторы, длина вектора, операции над векторами. Скалярное произведение векторов, условия параллельности и перпендикулярности.
Комплексные числа. Комплексные числа, их формы и операции над ними. Корни многочленов.
3. Введение в математический анализ.
Действительные числа. Функции. Свойства.
Множество R действительных чисел. Изображение действительных чисел на прямой. Свойства действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные множества. Промежутки. Функции, их свойства. Операции над функциями. Композиция функций, обратная функция. График функции. Числовые последовательности,
Предел и непрерывность.
Предел последовательности, предел функции. Первый замечательный предел. Единственность предела. Предел суммы, произведения и частного. Предел композиции функций. Предельный переход в неравенствах. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Второй замечательный предел.
Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывной функции. Непрерывность основных элементарных функций. Односторонняя непрерывность и точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
4. Дифференциальное исчисление.
Дифференцируемость. Производная. Дифференциал.
Дифференцируемость функции. Производная и дифференциал, их геометрический и механический смысл. Непрерывность дифференцируемых функций. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Параметрически заданные функции и их дифференцирование.
Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Признаки постоянства, возрастания, убывания функции на промежутке. Максимум и минимум. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений. Выпуклость, точки перегиба. Асимптоты.
5. Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных, простейших иррациональных и трансцендентных функций.
Определенный интеграл. Несобственные интегралы.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменной.
Вычисление площади плоской фигуры в декартовых и полярных координатах. Объем тела вращения. Вычисление длины дуги.
Несобственные интегралы первого и второго рода.
6. Ряды.
Числовые ряды.
Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Сложение рядов и умножение ряда на число. Остаток сходящегося ряда. Необходимые условия сходимости. Гармонический ряд. Критерии Коши. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда с положительными членами. Признаки сходимости положительных рядов: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Функциональные последовательности и ряды.
Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак равномерной сходимости. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов.
Степенные ряды.
Понятие степенного ряда. Интервал и радиус сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Задача разложения функции в степенной ряд. Формула и ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.
7. Функции нескольких переменных.
Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление. Исследование на экстремумы. Неявные функции.
Функция n переменных. График функции двух переменных, линии уровня. Предел и непрерывность.
Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал. Достаточные условия дифференцируемости. Касательная плоскость. Дифференцирование сложной функции.
Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных.
Экстремум функции нескольких переменных. Определение максимума и минимума. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума для функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений. Условный экстремум.
8. Теория вероятностей
Различные определения вероятности.
Классификация событий, Классическое определение вероятности, Статистическое определение вероятности, Геометрическое определение вероятности, Элементы комбинаторики. Непосредственное вычисление вероятностей. Действия над событиями.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
Формула полной вероятности, формула Байеса.
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра–Лапласа.
Случайные величины и их характеристики.
Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
Математические операции над случайными величинами. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс.
Свойства математического ожидания и дисперсии.
Основные законы распределения.
Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Геометрическое распределение. Равномерный закон распределения. Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Нормальный закон распределения. Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин.
Многомерные случайные величины.
Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения. Функция распределения многомерной случайной величины. Плотность вероятности двумерной случайной величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции.
Закон больших чисел. Неравенство Маркова (лемма Чебышева). Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
9. Математическая статистика
10. Вариационные ряды и их характеристики.
Средние величины. Показатели вариации. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии. Начальные н центральные моменты вариационного ряда.
11. Основы выборочного метода.
Общие сведения о выборочном методе. Понятие оценки параметров. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.
12. Проверка статистических гипотез.
Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения. Проверка гипотез об однородности выборок.
13. Дисперсионный анализ.
Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.
14. Корреляционный анализ.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная парная регрессия. Коэффициент корреляции. Корреляционное отношение и индекс корреляции. Понятие о многомерном корреляционном анализе.
15. Регрессионный анализ.
Основные положения регрессионного анализа. Парная регрессионная модель. Интервальная оценка и проверка значимости уравнения регрессии. Нелинейная регрессия. Множественный регрессионный анализ.
5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
5.1. Рекомендуемая литература
1. Баврин математика для студентов вузов.– М.: Владос., 2002. – 398 с.
2. Виленкин математика. Учеб. пособие для студ. эконом., техн. и естеств.-научн. спец. вузов. – Ростов н/Дону: Феникс, 2002. – 415 с.
3. Ганов . Метод. указ. и упр. ч.1.- Барнаул: АФ МГУКИ, 2002 г.
4. Ганов математика. Метод, указ. и упр. - Барнаул: АФ МГУКИ, 1996, 1997 гг.
5. Ганов . Метод. указ. и упр. ч. З. - Барнаул: АФ МГУКИ, 2002 г.
6. Гмурман вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 470 с.
7. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 2002. – 400 с.
8. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах; учебное пособие. Часть 1. - М. : Высшая школа. -1999 г. (а также любой год издания).
9. и др. Высшая математика для экономистов. – М. ЮНИТИ-ДАНА. – 2007 г.
10. Кремер вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов. – М. ЮНИТИ-ДАНА. – 2001. – 543 с.
11. Минорский задач по высшей математике. - М., Физ.-матем. лит., 2006, - 336 с.
12. Письменный лекций по высшей математике: полный курс. М.: Айрис-пресс. – 2005, - 603 с.
6. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1. Компьютерные классы.
7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
7.1. Вопросы и задачи к зачёту
Вопросы к зачету
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.
2. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и их свойства.
3. Алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
4. Системы линейных уравнений, их виды.
5. Решение систем уравнений методом Гаусса и методом Крамера.
6. Декартова система координат на плоскости, координаты точки.
7. Уравнение линии на плоскости
8. Уравнения прямых на плоскости (с угловым коэффициентом, через две точки, общее уравнение).
9. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
10. Уравнения кривых 2-го порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы).
11. Комплексные числа, их формы и операции над ними.
12. Предел функции, его свойства.
13. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей.
14. Второй замечательный предел.
15. Непрерывные функции. Точки разрыва.
16. Основные свойства непрерывных функций на отрезке.
Задачи к зачету
1. Выполнить действия над матрицами.
2. Вычислить определитель 3-го или 4-го порядков.
3. Решить систему линейных уравнений.
4. Составить уравнения прямых (по угловому коэффициенту и точке, по двум точкам, по точке и уравнению параллельной или перпендикулярной прямой).
5. Указать уравнения параллельных и перпендикулярных прямых.
6. Указать уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы.
7. Выполнить действия над комплексными числами.
8. Вычислить предел функции.
9. Построить график элементарной функции.
10. Указать точки разрыва и промежутки непрерывности, возрастания и убывания функций.
8. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.
Контрольные работы – одна в семестр.
Зачеты и экзамены.
Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 080507.65 – «Менеджмент организации».
Программу составили:
, к. ф.-м. н, доцент
Программа одобрена и утверждена на заседании кафедры прикладной информатики Протокол № 7 от 2010 г.
Заведующий кафедрой: ____________ Ю.И. Колюжов
филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины
Математика
Специальность: 080507.65 – «Менеджмент организации».
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО КУРСА
Ведущий лектор
, к. ф.-м. н., доцент
Барнаул 2010
СТРУКТУРА КОНСПЕКТА ЛЕКЦИЙ
по дисциплине «Математика»
ТЕМА 1. Линейная алгебра
Предмет математики. Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории. Принципы математических рассуждений и математических доказательств.
Матрицы и определители. Виды матриц. Равенство матриц, операции над матрицами и их свойства. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и свойства. Алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Обратная матрица и ее вычисление.
Системы линейных уравнений. Системы линейных уравнений, их решения и виды (совместные, несовместные, определенные, неопределенные). Методы решения: метод Гаусса, по формулам Крамера и матричный метод.
ТЕМА 2. Аналитическая геометрия
Метод координат на плоскости. Декартова система координат, координаты точки, расстояние между точками на плоскости. Уравнения прямых на плоскости. Уравнения кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
Метод координат в пространстве. Декартова система координат в пространстве. Координаты точки, расстояние между точками. Векторы, длина вектора, операции над векторами. Скалярное произведение векторов, условия параллельности и перпендикулярности.
Комплексные числа. Комплексные числа, их формы и операции над ними. Корни многочленов.
ТЕМА 3: Действительные числа. Функции. Свойства.
Множество R действительных чисел. Изображение действительных чисел на прямой. Свойства действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные множества. Промежутки. Функции, их свойства. Операции над функциями. Композиция функций, обратная функция. Действительная функция действительной переменной. График функции. Числовые последовательности, подпоследовательности.
ТЕМА 4. Предел и непрерывность.
Предел последовательности, предел функции. Первый замечательный предел. Единственность предела. Предел суммы, произведения и частного. Предел композиции функций. Предельный переход в неравенствах. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Второй замечательный предел.
Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывной функции. Непрерывность основных элементарных функций. Односторонняя непрерывность и точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерно непрерывные функции.
ТЕМА 5. Дифференцируемость. Производная. Дифференциал.
Дифференцируемость функции. Производная и дифференциал, их геометрический и механический смысл. Непрерывность дифференцируемых функций. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Параметрически заданные функции и их дифференцирование.
ТЕМА 6. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Признаки постоянства, возрастания, убывания функции на промежутке. Максимум и минимум. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений. Выпуклость, точки перегиба. Асимптоты.
ТЕМА 7. Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных, простейших иррациональных и трансцендентных функций.
ТЕМА 8. Определенный интеграл. Несобственные интегралы.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменной.
Вычисление площади фигуры в декартовых и полярных координатах.
Объем тела вращения. Спрямляемые кривые. Вычисление длины дуги.
Несобственные интегралы первого и второго рода.
ТЕМА 9. Числовые ряды.
Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Сложение рядов и умножение ряда на число. Остаток сходящегося ряда. Необходимые условия сходимости. Гармонический ряд. Критерии Коши. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда с положительными членами. Признаки сходимости положительных рядов: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.
ТЕМА 10. Функциональные последовательности и ряды.
Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак равномерной сходимости. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов.
ТЕМА 11. Степенные ряды.
Понятие степенного ряда. Интервал и радиус сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Задача разложения функции в степенной ряд. Формула и ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.
ТЕМА 12. Функции нескольких переменных. Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление. Исследование на экстремумы. Неявные функции.
Действительная функция n действительных переменных. График функции двух переменных, линии уровня. Предел и непрерывность.
Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал. Достаточные условия дифференцируемости. Касательная плоскость. Дифференцирование сложной функции.
Неявные функции. Существование и дифференцируемость неявной функции.
Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных.
Экстремум функции нескольких переменных. Определение максимума и минимума. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума для функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений. Условный экстремум.
ТЕМА 13. Различные определения вероятности.
Классификация событий, Классическое определение вероятности, Статистическое определение вероятности, Геометрическое определение вероятности, Элементы комбинаторики. Непосредственное вычисление вероятностей. Действия над событиями.
ТЕМА 14. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
ТЕМА 15. Формула полной вероятности, формула Байеса.
ТЕМА 16. Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра–Лапласа.
ТЕМА 17. Случайные величины и их характеристики.
Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
Математические операции над случайными величинами. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс.
ТЕМА 18. Свойства математического ожидания и дисперсии.
ТЕМА 19. Основные законы распределения.
Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Геометрическое распределение. Равномерный закон распределения. Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Нормальный закон распределения. Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин.
ТЕМА 20. Многомерные случайные величины.
Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения. Функция распределения многомерной случайной величины. Плотность вероятности двумерной случайной величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции.
ТЕМА 21. Закон больших чисел.
Неравенство Маркова (лемма Чебышева). Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
ТЕМА 22. Вариационные ряды и их характеристики.
Средние величины. Показатели вариации. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии. Начальные н центральные моменты вариационного ряда.
ТЕМА 23. Основы выборочного метода.
Общие сведения о выборочном методе. Понятие оценки параметров. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки.
ТЕМА 24. Проверка статистических гипотез.
Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки. Проверка гипотез о числовых значениях параметров. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения. Проверка гипотез об однородности выборок.
ТЕМА 25. Дисперсионный анализ.
Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.
ТЕМА 26. Корреляционный анализ.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная парная регрессия. Коэффициент корреляции. Корреляционное отношение и индекс корреляции. Понятие о многомерном корреляционном анализе.
ТЕМА 27. Регрессионный анализ.
Основные положения регрессионного анализа. Парная регрессионная модель. Интервальная оценка и проверка значимости уравнения регрессии. Множественный регрессионный анализ. Проверка значимости уравнения множественной регрессии.
филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины
Математика
Специальность: 080507.65 – «Менеджмент организации».
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Барнаул 2010
1 курс, 1 семестр
Контрольная работа № 1
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Вариант 1.
1. Проверить, что А×В ¹ В×А, где , .
2. Решить систему уравнений: а) методом Гаусса, б) по формулам Крамера.
3. Решить систему уравнений матричным методом;
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:
А(2; 3) и B(3; 2).
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 5) и отсекающей на оси ординат отрезок b = 7.
6. Построить эллипс, заданный уравнением, найти фокусы и эксцентриситет
4х2 + 25у2 = 100.
7. Даны точки A(1; 2; 3), B(3; -4; 6), С(2; 2; 0), D(0; -2; 5). Определить координаты векторов АВ, CD и их длины.
Вариант 2.
1. Вычислить произведение А×В и В×А если это возможно:
, .
2. Решить систему уравнений: а) методом Гаусса, б) по формулам Крамера.
3. Решить систему уравнений матричным методом;
4. Показать, что прямые пересекаются, и найти координаты точки пересечения:
3х – 2y + 1 = 0 и 2х + 5y – 12 = 0.
5. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(3; 4) параллельно осям координат.
6. Построить гиперболу, заданную уравнением, найти фокусы и эксцентриситет
4х2 – 25у2 = 100.
7. Построить параллелограмм на векторах 
и 
и определить его диагонали
1 курс, 2 семестр
Контрольная работа № 1
«Предел функции, производные, неопределенный интеграл»
Вариант 1
1) Вычислить пределы:
a) 
;
b) 
;
c) 
.
2) Исследуйте функции на непрерывность, установите характер точек разрыва и постройте схематический график функции:
f(x)=arctg
3) Найдите производную следующих функций:
a) 
; b) 
;
4) Определите промежутки монотонности функции 
.
5) Найдите экстремумы функции 
.
6) Найдите асимптоты кривой 
.
7) Вычислить неопределенные интегралы:
а) 
b) 
Образец выполнения контрольной работы №1
Вариант 1.
a) 
= «
» =
=
.
b) 
«
» =
=
= 4
.
c) 
.
2) 
; 
; 
;
; 
.
3) a) 
;
b) 
;
4) 
возрастает на 
,
убывает на 
.
5) 
- не существует 
.
|
|
| 0 |
|
|
| |
| + | 0 | - | не существует | + | 1 | - |
| т. max | т. min | т. max |
6) Вертикальных асимптот 
не имеет, т. к. нет точек бесконечного разрыва;
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
