Учебно-методический комплекс дисциплины Математика (стр. 3 )

Найдем не вертикальные асимптоты. Их уравнение будем искать в виде .

.

7. a)

Пусть Тогда

Ответ:

b)

Интегрируем по частям:

Ответ:

Вариант 2

1)  Вычислить пределы:

a) 

b) 

c)  .

2)  Исследуйте функции на непрерывность, установите характер точек разрыва и постройте схематический график функции:

f(x)=

3) Найдите производную следующих функций:

a) ; b) .

4) Определите промежутки монотонности функции .

5) Найдите экстремумы функции .

6) Найдите асимптоты кривой .

7) a) ; b) .

2 курс, 3 семестр

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

«Числовые ряды, теория вероятности»

2 курс, 4 семестр

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

«Числовые ряды »

ВАРИАНТ 1

1. Исследовать на сходимость ряды

a) 

b) 

2. Найти область сходимости ряда

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

4. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий – с вероятностью 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

5. Ожидается прибытие трех судов с фруктами. Статистика показывает, что 1% судов привозит товар, непригодный к пользованию. Найти вероятность того, что

а) хотя бы два судна привезут качественный товар;

б) ни одно судно не привезет качественный товар.

6. В среднем 5% студентов финансово-кредитного факультета сдают экзамен по высшей математике на «отлично». Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на «отлично»:

а) два студента;

б) не менее пяти студентов.

7. Объем продаж в течение месяца – это случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами а = 500 и s = 120. Найти вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600.

²耀АРИАНТ 2

1. Исследовать на сходимость ряды

a) 

b) 

2. Найти область сходимости ряда

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

Вариант 2.

4. Среди 20 одинаковых по внешнему виду тетрадей 16 в клетку. Наудачу взяли 4 тетради. Найти вероятность того, что из них

а) две тетради в клетку;

б) хотя бы одна тетрадь в клетку.

5. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение доли изделий первого сорта среди отобранных от 0,85 не превосходило 0,01 (по абсолютной величине).

6. Из поступивших в магазин телефонов третья часть белого цвета, однако, определить цвет можно только после вскрытия упаковки. Найти вероятность того, что из шести распакованных телефонов

а) два аппарата белого цвета;

б) хотя бы один аппарат белого цвета.

7. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднее квадратическое отклонение которой равно 10000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение дня отклонится от математического ожидания не более чем на 25000 л (по абсолютной величине).

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ (ВАРИАНТ 1)

Типовое решение задания a (вариант 1)

Вычислим предел общего члена ряда, взятого по абсолютной величине . Следовательно, по следствию из необходимого признака ряд расходится.

Типовое решение задания b)

Найдем . Следовательно, по признаку Коши ряд расходится.

2. Типовое решение задания 2 (вариант 1)

Применим к ряду искомому признак Даламбера. Имеем

. Если , то . Следовательно, , а потому ряд абсолютно сходится. Если , то и ряд снова абсолютно сходится. В точках ряд имеет вид и расходится, так как его общий член не стремится к нулю. Поэтому область сходимости ряда: .

3. Типовое решение задания

Дана . Имеем . Используя известное разложение в ряд по степеням x элементарной функции имеем:

. Отсюда находим . Раскрывая скобки и переставляя члены ряда, делая приведение подобных членов, получим: . Полученный ряд сходится при .

4. Типовое решение задания

Событие Аi – «i – й стрелок попал в цель», противоположное событие – «i – й стрелок не попал в цель», i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий

Р(А1) = 0,6, Р() = 1 - Р(А1) = 1 - 0,6 = 0,4;

Р(А2) = 0,7, Р() = 1 - Р(А2) = 1 - 0,7 = 0,3;

Р(А3) = 0,75, Р() = 1 - Р(А3) = 1 - 0,75 = 0,25.

Событие А - «хотя бы один стрелок попал в цель», противоположное событие – «ни один стрелок не попал в цель».

Событие можно записать так . Результаты выстрела любого из стрелков не зависят от результатов выстрелов других стрелков. Поэтому вероятность события равна Р() = Р() = 0,4 ∙ 0,3 ∙ 0,25 = 0,03.

Искомая вероятность события А равна Р(А) = 1 - Р() = 1 - 0,03 = 0,97.

Ответ: Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна 0,97.

5. Типовое решение задания

Событие А – «судно привезет качественный товар» – происходит с вероятностью р = Р(А) = (100 – 1)/100 = 0,99; вероятность противоположного события – «судно не привезет качественный товар» q = Р() = 0,01. Число испытаний n = 3.

Применим формулу Бернулли: .

а) Событие В - «хотя бы два судна привезут качественный товар» означает, что либо два судна из трех привезут качественный товар либо все три судна привезут качественный товар. Вероятность события В равна Р(В) = Р3(k ³ 2) = Р3(2) + Р3(3).

3∙ 0,992∙ 0,011 = 0,029403;

1∙ 0,993∙ 0,010 = 0,970299;

Р(В) = Р3(k ³ 2) = 0,029403 + 0,970299 = 0,999702.

б) Событие С - «ни одно судно не привезет качественный товар». Вероятность события С равна Р(С) = Р3(0)

Р(С) = 1∙ 0,990∙ 0,013 = 0,000001.

Ответ:

а) вероятность того, что хотя бы два судна привезут качественный товар, равна 0,999702;

б) вероятность того, что ни одно судно не привезет качественный товар, равна 0,000001.

6. Типовое решение задания

Событие А – «студент сдаст экзамен по математике на «отлично»» – происходит с вероятностью р = Р(А) = 0,05; q = 1 - р = 1- 0,05 = 0,95. Число испытаний n = 100.

Так как вероятность р события А мала, число испытаний n достаточно велико и

np = 100 ∙ 0,05 = 5 < 10, то можно применить асимптотическую формулу Пуассона:

,

где l = np = 5; e -l = e -5 » 0,00674.

а) Событие В – «из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» два студента». Его вероятность

Р(В) = Р100(2) = = » 12,5´0,00674 » 0,0842.

б) Событие С – «из 100 студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов». Его вероятность равна

Р(С) = Р100(k ³ 5) = 1 – Р100(k £ 4) = 1 – (Р100(0) + Р100(1) + Р100(2) + Р100(3) + Р100(4)).

Р(С) » 1 – e -5 ´ (1 + 5 + 12,5 + 20,8333 + 26,0417) »

» 1 – 0,00674´65,375 » 0,5594.

Ответ:

а) вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» два студента, приближенно равна 0,0842;

б) вероятность того, что из 100 студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов, приближенно равна 0,5594.

7. Типовое решение задания

Вероятность того, случайная величина Х, подчиненная нормальному закону распределения, примет значения, принадлежащие интервалу [х1; х2], найдем по формуле

P (x1 £ X £ x2) .

P (480 £ X £ 600) » » 0,5 ´ (Ф(0,83) – Ф(-0,17)) »

» 0,5 ´ (Ф(0,83) + Ф(0,17)) » 0,5 ´ (0,5935 + 0,1350)) » 0,3643.

По таблице значений функции Лапласа находим значения

Ф(0,83) » 0,5935; Ф(0,17)) » 0,1350.

Ответ: вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600, приближенно равна 0,3643.

2 курс, 4 семестр

Контрольная работа № 2

«Математическая статистика»

Вариант 1

1. С целью определения средней суммы вкладов в сберегательном банке, имеющем 2000 вкладчиков, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 вкладов. Результаты обследования представлены в таблице:

Сумма вклада, тыс. руб.	5					Итого
Число вкладов	14	24	35	20	7	100

Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9488 находится средняя сумма всех вкладов в сберегательном банке; б) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для средней суммы вкладов в сберегательном банке (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,9; в) вероятность того, что доля всех вкладчиков, у которых сумма вклада больше 250 тыс. руб., отличается от доли таких вкладчиков в выборке не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).

2. По данным задачи 1, используя критерий c2 - Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – сумма вклада – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

3. Распределение 250 пар, вступивших в брак, по возрасту мужчин Х (лет) и женщин Y (лет) представлено в таблице:

y x	15 - 25	25 - 35	35 - 45	45 - 55	55 - 65	Итого:
15 - 25	7	3				10
25 - 35	52	110	13	1		176
35 - 45	1	14	23	2		40
45 - 55		1	4	6	1	12
55 - 65				3	6	9
65 - 75					3	3
Итого:	60	128	40	12	10	250

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние , построить эмпирические линии регрессии.

2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости α = 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет.

Образец выполнения контрольной работы №2

Вариант 1.

1. Решение.

От интервального распределения перейдем к дискретному, взяв в качестве представителя интервала его середину .

Для расчета выборочной средней и выборочной дисперсии составим таблицу.

Сумма вклада, тыс. руб.	Количество вкладов, ni	Середина, хi	хi - C
5	14	100	-200	-2	-28	56
	24	200	-100	-1	-24	24
	35	300	0	0	0	0
	20	400	100	1	20	20
	7	500	200	2	14	28
Суммы	100				-18	128

С = 300 - середина интервала с наибольшей частотой;