Учебно-методический комплекс дисциплины Математика (стр. 5 )

Составим таблицу 3

				Таблица 3
	29,000	31,016	37,750	49,167	62,000
yj	20	30	40	50	60

По точкам (; yj) построим эмпирическую линию регрессии X на Y. Эти точки расположены вблизи прямой с уравнением x = cy + d, где c и d неизвестные параметры и их нужно определить.

Для получения уравнений прямых регрессий вычислим выборочные средние

и .

33,72

31,36

Выборочные дисперсии находим по формулам и

1214

1214 – 33,722 = 76,9616.

1076,8

1076,8 – 31,362 = 93,3504.

Вычислим средние квадратические отклонения

8,7728; 9,6618.

Вычислим по формуле .

m = (20 × 20 × 7 + 20 × 30 × 3 + 30 × 20 × 52 + 30 × 30 × 110 + 30 × 40 × 13 + 30 × 50 × 1 +

+ 40 × 20 × 1 + 40 × 30 × 14 + 40 × 40 × 23 + 40 × 50 × 2 + 50 × 30 × 1 + 50 × 40 × 4 +

+ 50 × 50 × 6 + 50 × 60 × 1 + 60 × 50 × 3 + 60 × 60 × 6 + 70 × 60 × 3) / 250 – 33,72 × 31,36 =

= 281000 / 250 – 1057,4592 = 1124 – 1057,4592 = 66,5408.

Вычислим коэффициенты регрессии по формулам

66,5408 : 76,9616 » 0,8646 » 0,865;

66,5408 : 93,3504 » 0,7128 » 0,713.

а) Составим уравнение регрессии X на Y

x – 33,72 = 0,713 × ( y – 31,36 ) или x = 0,713 y + 11,366.

Прямую проведем через точки (33,72; 31,36) и (11,366; 0,00).

Уравнение регрессии X на Y показывает средний возраст мужчины, вступившего в брак с женщиной возраста y.

Содержательный смысл коэффициента регрессии 0,713 состоит в том, что при увеличении возраста женщины, вступающей в брак, на 1 год возраст супруга увеличивается в среднем на 0,713 года.

Составим уравнение регрессии Y на X

y – 31,36 = 0,865 × (x – 33,36) или y = 0,865 x + 2,206.

Прямую проведем через точки (33,72; 31,36) и (0,00; 2,206).

Уравнение регрессии Y на X показывает средний возраст женщины, вступившей в брак с мужчиной возраста х.

Содержательный смысл коэффициента регрессии 0,865 состоит в том, что при увеличении возраста мужчины, вступающего в брак, на 1 год возраст супруги увеличивается в среднем на 0,865 года.

б) Коэффициент корреляции 0,7850.

Для проверки значимости коэффициента корреляции вычислим наблюдаемое значение

; 19,958.

Критическое значение для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = n–2= = = 248 находим по таблице t1- 0,05;248 = t0,95;248 = 1,97.

Получили |tнабл| > tкр, так как 19,958 > 1,97.

Следовательно, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Коэффициент корреляции r = 0,7851 > 0 и попадает по абсолютной величине в интервал 0,7 - 0,99. Следовательно, между возрастом вступающих в брак мужчины (Х) и женщины (Y) существует прямая сильная корреляционная связь. При увеличении (уменьшении) значения одной величины соответственно увеличивается (уменьшается) среднее значение другой.

в) Используем уравнение прямой регрессии Х на Y x = 0,713 y + 11,366.

При y = 30 х = 0,713 × 30 + 11,366 = 32,756.

Средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет, равен 32,756 лет.

 

Вариант 2

1. Для изучения структуры банков по размеру кредита из 3000 банков страны по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100. Распределение банков по сумме выданных кредитов представлено в таблице:

Размер кредита, млн. руб.	1 - 6,3	6,3 - 11,6	11,6 - 16,9	11,6 - 22,2	22,2 - 27,5	Итого
Число банков	20	11	36	17	16	100

Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний размер кредита всех банков; б) вероятность того, что доля всех банков, выдающих кредит менее, чем 16,9 млн. руб., отличается от доли таких банков в выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине); в) объем выборки, при котором те же границы для среднего размера кредита всех банков (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

2. По данным задачи 1, используя критерий c2 - Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – размер кредита – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

3. Имеются данные по 50 предприятиям одной из отраслей промышленности за год. Распределение этих предприятий по двум признакам – выпуску продукции Х (млн. руб.) и численности работающих Y (чел.) – представлено в таблице:

y x							Итого:
40 - 50	1	2	3				6
50 - 60		1	5	1			7
60 - 70		1	1		8	2	12
70 - 80			4	9			13
80 - 90			2	2	5		9
9						3	3
Итого:	1	4	15	12	13	5	50

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние , построить эмпирические линии регрессии.

2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости α = 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятия, число работающих на котором равно 700 человек.

Министерство культуры Российской Федерации

Алтайский филиал федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВ»

Кафедра прикладной информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины

Математика

Специальность: 080507.65 – «Менеджмент организации»

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ И ЭКЗАМЕНУ

Барнаул 2010

I курс, 1 семестр (Зачет)

1)  Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.

2)  Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и их свойства.

3)  Алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

4)  Системы линейных уравнений, их виды.

5)  Решение систем уравнений методом Гаусса и методом Крамера.

6)  Декартова система координат на плоскости, координаты точки.

7)  Уравнение линии на плоскости

8)  Уравнения прямых на плоскости (с угловым коэффициентом, через две точки, общее уравнение).

9)  Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

10)  Уравнения кривых 2-го порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы).

11)  Комплексные числа, их формы и операции над ними.

I курс, 2 семестр (Экзамен)

Множество действительных чисел. Расширенная числовая прямая. Промежутки. Модуль действительного числа, его свойства. Ограниченные множества. Определения. Примеры. Функции (отображения). Виды отображений. Операции над функциями. Композиция функций. Обратимая функция. Обратная функция. Действительная функция действительного переменного. Способы задания. График функции. Числовые последовательности. Подпоследовательности. Монотонные и ограниченные функции. Четные, нечетные, периодические функции. Предел функции в точке. Предел последовательности. Свойства предела. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые функции. Принцип вложенных отрезков. Предел монотонной последовательности. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность композиции функций. Точки разрыва функции, их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность непрерывной функции на отрезке. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная от функции и в точке. Геометрический и механический смысл производной. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Дифференцируемость и существование производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производная и дифференциал композиции функций. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Признаки постоянства функции. Признаки возрастания и убывания функции в точке и на промежутке. Понятие максимума и минимума. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Выпуклые функции вверх (вниз). Условия выпуклости. Понятие точки перегиба. Условие существования точки перегиба. Асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и невертикальных асимптот графика функции. Схема полного исследования функции.

2 курс, 3 семестр (зачет)

1)  Понятие определенного интеграла.

2)  Необходимое условие существования определенного интеграла.

3)  Достаточное условие существования определенного интеграла.

4)  Интегрируемость непрерывной функции.

5)  Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами.

6)  Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами.

7)  Формула Ньютона-Лейбница.

8)  Интегрирование по частям в определенном интеграле.

9)  Интегрирование подстановкой в определенном интеграле.

10)  Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.

11)  Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.

12)  Вычисление объема тела вращения.

13)  Понятие длины гладкой дуги.

14)  Вычисление длины гладкой дуги.

15)  Дифференциал длины дуги.

16)  Понятие несобственного интеграла.

17)  Несобственный интеграл от положительных функций.

18)  Понятие числового ряда.

19)  Сходящиеся числовые ряды.

20)  Сложение рядов.

21)  Умножение ряда на число.

22)  Остаток сходящегося ряда.

23)  Необходимое условие сходимости числового ряда.

24)  Достаточные признаки сходимости числовых знакоположительных рядов.

25)  Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

26)  Абсолютно сходящиеся ряды.

27)  Условно сходящиеся ряды.

2 курс, 4 семестр (экзамен)

1)  Понятие степенного ряда.

2)  Теорема Абеля.

3)  Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

4)  Равномерная сходимости степенного ряда.

5)  Интегрирование степенных рядов.

6)  Дифференцирование степенных рядов.

7)  Задачи разложения функции в степенной ряд.

8)  Формулы и ряд Тейлора.

9)  Разложение в степенной ряд функции y = sin x.

10)  Разложение в степенной ряд функции y = cos x.

11)  Разложение в степенной ряд функции y = ex.

12)  Разложение в степенной ряд функции y = ln (1+x).

13)  Разложение в степенной ряд функции y = (1+x)a.

14)  Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие, виды событий, примеры.

15)  Классическое определение вероятности события.

16)  Теорема сложения вероятностей совместных и несовместных событий.

17)  Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых событий. Условная вероятность.

18)  Полная группа событий. Противоположные события.

19)  Формула полной вероятности.

20)  Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли, формула Пуассона локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Наивероятнейшее число наступления события.

21)  Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины.

22)  Непрерывная случайная величина. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины.

23)  Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины.

24)  Понятие о законе больших чисел.

25)  Вариационный ряд. Виды вариационных рядов их графическое изображение.

26)  Числовые характеристики вариационного ряда.

27)  Генеральная и выборочная совокупности.

28)  Выборка: виды, способы образования. Основная задача выборочного метода.

29)  Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность, доверительный интервал.

30)  Статистическая гипотеза, статистический критерий.

31)  Уровень значимости и мощность критерия.

32)  Построение теоретического закона распределения по опытным данным.

33)  Понятие о критериях согласия.

34)  Критерий Пирсона и схема его применения.

35)  Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

36)  Основные задачи теории корреляции.

37)  Линейная регрессия. Уравнения регрессии.

38)  Коэффициент корреляции: оценка тесноты и вида связи между признаками Х и Y.

Министерство культуры Российской Федерации

Алтайский филиал федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВ»

Кафедра прикладной информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины:

Математика

Специальность: 080507.65 – «Менеджмент организации»

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ

Барнаул 2010

1 курс, 2 семестр

1.  Вычислить предел

2.  Вычислить предел

3.  Вычислить предел

4.  Вычислить предел

5.  Вычислить предел

6.  Вычислить предел

7.  Вычислить предел

8.  Вычислить предел

9. 

10.  Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и постройте схематический график функции f(x) =

11.  Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и постройте схематический график функции f(x) =

12.  Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и постройте схематический график функции f(x)=