Надежность в АСОИУ (стр. 3 )

В соответствии с признаком 1 такие системы будем называть прмышленными. В соответствии со вторым основным признаком для оценки и сравнения мероприятий, способных повлиять на уровень надёжности промышленных АСУ существует “экономический” критерий, и оптимальным является уровень надёжности, обеспечивающий максимум экономической эффективности.

Третий признак основан на тенденции комплектовать эти системы из арсенала средств ГПС, исключение составляют специально разрабатываемые системы.

Проблемы надёжности АСУ.

Существует ряд государственных и ведомственных документов, разработаны также методы исследования, оценки и повышения надёжности сложных систем.

Выделим три основные причины слабой прработки вопросов надёжности при создании автоматизированных систем:

1)  Основная задача: создание и прмышленное внедрение максимального количества систем. При этом вопросы эффективности надёжности остаются на втором плане.

2)  Отсутствие стандартов по надёжности АСУ. ГОСТ 171994 – 71 и ГОСТ 17195 – 71 лишь в малой степени затрагивают вопросы надёжности.

3)  При современном размахе разработок АСУ службы надёжности и проектных институтов не в состоянии выполнить необходимые работы и основной их объём падает на инженеров разработчиков АСУ, которые не обладают достаточной подготовкой и опытом и не могут квалифицировано выполнить вычисления и расчёты.

Важнейшей задачей является объединение всех работ по проблеме надёжности АСУ, выработка единой политики и создание едоного координоционного плана работ и разработки комплекса нормативно технических и методических документов по надёжности АСУ.

Выделяют три основные задачи:

1)  Установление номенклатур, характеристик и показателей надёжности изделий ГПС, обеспечивающих достаточную полноту информации, необходимой для расчёта надёжности.

2)  Разработка комплекса мероприятий, обеспечивающих достоверность показателей надёжности, указываемых в технической документации на изделия ГПС.

3)  Установление обоснованных норм на значение показателей надёжности всех видов изделий ГПС.

Надёжность включает четыре составляющих: безотказность, долговечность, ремонтопригодность, сохраняемость.

Все они связаны с определёнными случайными величинами, имеющими размерность времени.

Т – время безотказной работы.

Тв –время восстановления.

Тд – время до наступления предельного состояния.

Тс – время сохраняемости.

В теории надёжности используются следующие формы задания распределения вероятности случайных величин.

Интегральная функция F(x) – функция надёжности (3.4)

Дифференциальная f(x) – время безотказной работы (3.5)

Обратная интегральная функция G(x) = 1 – F(x) (3.6)

Функция интенсивности H(x) = f(x)/G(x) (3.7)

В качестве численных показателей:

Тср – среднее время безотказной работы

Тв. ср – среднее время восстановления

Тр. ср – средний ресурс

Тс. ср – среднее время сохраняемости

[Fв(tфикс)] – вероятность времени восстановления

[Gр(tфикс)] – вероятность того, что ресурс образца изделия превысит фиксированную величину.

Допустим, что изделия ГПС имеют избыточную структуру, поэтому свойственные им распределения Т являются простыми и определяются взаимодействием физико-химических процессов, протекающих в элементах и деталях. Тогда мы наблюдаем работоспособность системы.

Работоспособность – есть состояние изделия, в котором оно способно выполнять возложенные на него функции, а его функциональные параметры находятся в заданных пределах.

Отказ изделия можно определить как выход за заданные пределы хотя бы одного из функциональных параметров изделия.

Если функциональные параметры Z1,Z2,…,Zn, то условия работоспособности изделия можно считать:

Ziн ≤ Zi ≤ Ziв, где i=1,2,…,n (3.8)

Ziн и Ziв – нижняя и верхняя граница допуска на i-й функциональный параметр.

x1, x2,…, xN; y1, y2,…, y1K;

Zi = φi(x1, x2,…, xN; y1, y2,…, y1K), где i = 1,2,…,n (3.9)

φi(x1, x2,…, xN; y1, y2,…, y1K) = Ziн

φi(x1, x2,…, xN; y1, y2,…, y1K) = Ziв (3.10)

Эти уравнения определяют в функциональном пространстве изделия 2n поверхностей – эти поверхности ограничивают некоторую область D, все точки которой удовлетворяют совокупности неравенств (1.8) и которая называется областью устойчивости.

В формировании ФПИ участвуют ФПЭ – определяют способность изделия противостоять различным внешним нагрузкам: g1, g2,…, gu; h1, h2,…, hS.

Нагрузка не влияет на параметры ФПИ, но является причиной отказа.

Если hi >gi – то происходит отказ.

Дестабилизирующие процессы включают две группы:

1)  Процессы флуктуации значения ВВФ (как сигналов, так и нагрузки).

2)  Процессы старения и износа элементов и деталей, входящих в состав изделия. Эти процессы приводят к отказам, которые различаются как внешними проявлениями, так и мерами борьбы с ними.

В условиях эксплуатации эти процессы изменяются во времени случайным образом, т. е. обладают определёнными статистическими свойствами.

Долгая безотказная работа обеспечивается благодаря наличию:

1)  Определённых запасов функциональной устойчивости.

2)  Запасом точности по всем видам нагрузок.

При выходе мгновенного значения какого-либо фактора за эту область возникает отказ изделия:

1)  Если процесс нельзя предсказать на основе анализа самого изделия, то такие отказы называют внезапными. Они бывают двух видов: а) если причиной является случайное изменение сигнала, то такой отказ является неустойчивым (самоустраняющимся). При возвращении сигнала к норме работоспособность изделия восстанавливается (внезапный сбой); б) если отказ возник в результате скачкообразного возрастания нагрузки, то такой отказ называется устойчивым (внезапный катастрофический отказ).

2)  Если параметры изменяются под влиянием процессов старения и износа монотонно – это приводит к постепенному отказу. Такие отказы могут быть только устойчивыми и делятся на два вида: а) если причиной является изменение ФПЭ отказ называется постепенным параметрическим; б) если изделие не может противостоять номинальной внешней нагрузке возникает резкое нарушение работоспособности изделия – постепенный катастрофический отказ.

3)  Комбинированные отказы, они как неустойчивые, так и устойчивые.

4)  Отказы приработочные.

3.2. Формализованное описание структур АСУ

Структура системы – это состав её элементов, перечень выполняемых ею функций и взаимодействие элементов в выполнении указанных функций.

Первичным функционально-техническим описанием (ПФТО) будем называть обычное описание (технические документы, схемы, словесное описание и т. д.)

ПФТО является достаточно полным, т. е. содержит всю необходимую информацию о структуре системы. Язык ПФТО неформализован. Для исследования надёжности необходимо перейти к формализованному описанию системы.

Все возможные языки описания структур можно разбить на две группы:

1)  Аналитические (формулы и таблицы).

2)  Графические (языки графов).

Граф – это схемы, представляющие структуру системы, будем называть их надёжностно-функциональными схемами (НФС).

НФС – некоторое графическое изображение, отображающее элементы схемы и её функции, и позволяющее с помощью набора формальных правил для произвольной совокупности состояний (работоспособность или отказ всех элементов) однозначно определить состояние системы по каждой из выполняемых ею функций.

Если состояние системы Zj, то Zj={ x1, x2,…, xn}

n – количество элементов системы

xi – элемент системы (обозначает состояние i-го элемента)

xi = 1 – работоспособность;

xi = 0 – отказ.

– элементы системы

– функции

Стрелки отображают взаи-модействие элементов в выпол-нении функций. В графах выде-ляют узлы высшего и низшего рангов: высший (низший) ранг, если все связанные с ним рёбра графы направлены только к нему (от него)

Для выполнения функции 17 необходима работоспособность одного из элементов 13–16, элементов 11,7,5 или 11,7,6.

Для выполнения функции 3 необходима работоспособность элементов 4 и 5 или 7 и 6. Если элемент находится в состоянии отказа, то соответствующий узел в графе закрыт.

Виды соединения элементов.

1) Независимое функцио-нирование элементов

Каждый из n элементов выполняет свою функцию независимо от работы других элементов, т. е. содержит n узлов высшего и n узлов низшего ранга.

2) Последовательное соединение элементов

Все элементы участвуют в выполнении некоторых функций и каждый из них необходим.

n + 1 – м узлом включается реализуемая функция.

3) Параллельное соединение элементов

В надёжностном смысле функция выполняется если в работоспособном состоянии находится хотя бы 1 из n элементов системы.

В случае, когда рассматриваемая структура не входит в состав более сложной системы и функционирует самостоятельно, граф дополняют n+1 узлом высшего ранга, предполагая, что этот узел абсолютно надёжен.

4) Двухфункциональная система

Включает в себя два элемента и две функции, причём в выполнении одной из них участвует оба элемента, а другой только один.

Эта система отображается графом, в которой одному узлу (1) соответствует два узла (11 и 12), причём только один из них 12 имеет высший ранг. При анализе надёжности данной системы понимается, что узлы. Соответствующие одному и тому же элементу имеют не только одинаковые надёжностные характеристики (распределения случайных величин), но и реализации этих случайных величин.

5) Мажоритарная система («2 из 3»)

Трёхэлементная система, выполняющая одну функцию и сохраняющая работоспособность при работоспособности любых 2-х элементов.

6) Мостиковые системы

Широко распространены в системах энергетики. Легко вписываются в графы НФС.

С помощью всех перечисленных структур может быть описана любая система. Графы НФС отображают лишь надёжностные свойства структур в отношении выполняемых ими функций. На базе графов НФС могут строится графические отображения свойств сложных многофункциональных систем в отношении их эффективности. Эффективность некоторой функции в течени-фиксированного интервала времени как правило пропорциональна его длитель-ности. Поэтому введём понятие удельной эффективности i-й функции ei, тогда эффективность всей системы:

Еi= Σ yit ei (3.11)

где yit – двоичная переменная, принимающая значение 1, если в момент t i-я функция выполняется и 0 – в противном случае.

Уравнение (3.11) справедливо только в тех случаях, когда показатели эффективности, используемые в системе, допускают суммирование (экономические системы).

ei (i=1,…,m) – надёжностно-эффективная схема системы (НЭС).

3.3. Характеристики и показатели надёжности АСУ

Характерные особенности АСУ:

1)  Имеют, как правило, сложные и избыточные структуры, следовательно, сложную форму распределений времени безотказной работы, которые сложно сводить к одно и двух параметрическим математическим моделям.

2)  Являются сложными многоканальными и многофункциональными изделиями. При этом роль отдельных функций в общей задаче АСУ может быть различной.

3)  Для некоторых изделий существенна общая (интегральная) эффективность в некотором интервале времени.

4)  Их интегральная эффективность может рассматриваться как сумма эффективностей всех выполняемых ими функций.

5)  Они рассчитываются на длительное функционирование, в течении которого возможны многократные отказы и восстановления или замены практически всех компонентов системы.

Безотказность определяется способностью системы сохранять работоспособность в эксплуатационных условиях в течение заданного времени без вынужденных (внеплановых) перерывов.

Ремонтопригодность – характеризует приспособленность системы к предупреждению, обнаружению и устранению отказов. Это свойство является важным для АСУ, рассчитанных на длительное использование с многократным восстановлением работоспособности при возможных отказах.

Долговечность – характеризует свойство системы сохранять работоспособность до предельного состояния.

Долговечность АСУ определяется факторами морального старения и, следовательно, очень мало зависит от разработчика. Она определяется закладываемыми в систему принципами управления и очень слабо связаны со структурой системы, а также параметрами и характеристиками используемых компонентов.

Рассмотри количественные характеристики и показатели, составляющие надёжность АСУ.

Характеристики долговечности и сохраняемости наиболее просты в выборе. Здесь берутся общепринятые показатели: Тсл – время службы; Тс – время сохраняемости;

Для выбора характеристик показателей ремонтопригодности АСУ существуем специальная методика.

Для многофункциональных систем требуется задание этих свойств по каждой из выполняемых функций в отдельности. При этом характеристиками составляющих надёжности по каждой функции является распределение случайных величин: Тi и Tвi I = 1,2,…,m;

m – число функций системы.

Показателями являются числовые характеристики этих случайных величин.

Если по некоторой функции имеют место отказы нескольких видов, различающихся по вызываемости или последствиям (величина убытков пи отказе, время устранения отказов, стоимость устранения отказов и т. д.), то безотказность и ремонтопригодность должны задаваться по каждому виду отказов в отдельности.

Методы повышения надёжности. Можно привести четыре группы методов:

1)  Применение более надёжных и, следовательно, более дорогих компонентов.

2)  Введение избыточности (структурной, информационной, алгоритмической и временной).

3)  Организация интенсивного профилактического обследования системы в целом или её отдельных компонентов.

4)  Улучшение условий эксплуатации системы.

Рост сложности разрабатываемых систем обгоняет рост показателей надёжности серийно выпускаемых приборов и средств автоматизации компонентов АСУ.

3.4. Методы исследования и оценки надежности АСУ

Все методы исследования и оценки надежности АСУ (как, впрочем, и любых других объектов) четко разделяются на три группы: аналитические, экспериментальные и статистического моделирования. Особую группу составляют комбинированные методы.

Аналитические методы дают возможность оценивать надежность и проводить сравнение различных вариантов АСУ и находить оптимальные решения на самых ранних этапах проектирования. Аналитическим путем может быть определено влияние различных факторов, найдены оптимальные требования к надежности АСУ и ее компонентов, оптимальные (по критериям максимума надежности или эффективности) значения ее параметров, режимы технического обслуживания и т. п.

Аналитическое исследование, как правило, не требует больших расходов, но для достаточно сложных объектов, которыми являются АСУ, сопряжено со значительным объемом расчетов и большими затратами времени.

Существенным преимуществом является то, что решения могут быть получены в виде аналитических выражений, позволяющих вести исследование влияния различных факторов и находить их оптимальные значения в общем виде.

Необходимыми исходными данными для аналитического исследования (помимо данных о структуре АСУ) являются сведения о надежностных характеристиках всех используемых компонентов. Это недостаток, т. к. достоверные данные о надежности компонентов иногда получить невозможно. Если же данные не достоверны, то и результирующие получаемые оценки могут значительно отличаться от реальных цифр. Но даже в этом случае аналитические методы позволяют вести сравнение вариантов структуры АСУ.

К аналитическим методам – по постановке задачи – очень близок метод статистического моделирования. Сходство в том, что и тот и другой требует наличия данных о надежности компонентов системы. Однако способы получения результатов существенно различаются.

Метод статистического моделирования состоит в генерировании (с помощью специальных генераторов случайных чисел) случайных отрезков времени безотказной работы и времени восстановления отдельных компонентов АСУ и «искусственном» воспроизведении таким образом процесса функционирования АСУ. Если указанные генераторы случайных чисел будут иметь распределения вероятностей, совпадающие с распределениями Т и Тв соответствующих компонентов АСУ, то построенная модель процесса будет обладать всеми статистическими свойствами реального процесса функционирования системы. При достаточной длительности этого процесса статистические оценки характеристик и показателей надежности АСУ, полученные на его основе, могут иметь сколь угодно высокую достоверность.

Этот метод допускает разработку стандартных алгоритмов и программ, пригодных для исследований и оценки надежности широкого круга АСУ.

Положительным свойством рассматриваемого метода является также то, что врезультате моделирования реального процесса функционирования АСУ могут быть получены не только число надежностные характеристики и показатели, но и характеристики эффективности функционирования.

Недостатком метода (если не считать обычных трудностей, связанных с наличием машины, необходимостью составления и отладки алгоритма и программы и относительно высокой стоимости решения) является то, что результаты решения представляются не в виде аналитических выражений, а в виде численных оценок. В ходе решения задачи на ЭВМ не видно, как проявляется влияние отдельных факторов на конечный результат. Для этого необходимо варьировать значения отдельных факторов и анализировать множество получаемых решений. При этом объем «математического эксперимента», а вместе с ним объем машинного времени и его стоимость во много раз возрастают.

Следует отметить, что этот метод может сыграть большую роль как средство для проверки и оценки точности предлагаемых приближенных аналитических методов. Это связано с тем, что для сложных структур современных АСУ точные аналитические методы приводят к таким громоздким выражениям что практическое применение их становится невозможным. Поэтому, с одной стороны, развиваются приближенные аналитические методы, для которых всегда актуален вопрос об оценке точности приближения, а с другой -–для многих систем на этапах проектирования метод статистического моделирования оказывается единственным доступным методом.

Экспериментальные методы являются, по сути, единственным способом получения окончательного ответа на вопросы о правильности выполненной разработки системы, достигнутых результатов, реально достигнутом уровне надежности созданной системы.

Существенным преимуществом является то, что они не требуют знания надежностных свойств компонентов системы. Мало того, проведение испытаний системы в целом – при тщательном анализе возникающих отказов – позволяет уточнить данные и по надежности комплектующих в реальных условиях эксплуатации.

Основной недостаток – очень высокая стоимость.

Экспериментальная оценка надежности АСУ может реализовываться в двух вариантах: 1) организация специальных испытаний и 2) сбор статистических данных о работе системы в условиях нормальной работы или подконтрольной эксплуатации. Для крупных систем испытания системы в целом удается организовать в очень редких случаях. Более реален второй вариант, он значительно дешевле, однако результаты такой оценки получаются со значительным сдвигом во времени по отношению к моменту установки и сдачи системы.

Вследствие трудности организации и высокой стоимости испытаний АСУ на надежность для оценки надежности еже функционирующих АСУ используются комбинированный метод, состоящий в объединении экспериментального и аналитического методов. Суть такого подхода

состоит в том, чтобы использовать всю имеющуюся априорную информацию о надежности комплектующих изделий и системы в целом,, накопленную, в частности, в процессе отладки, настройки и пробных запусков системы, для сокращения объема специальных испытаний системы на надежность. Ясно, что эта априорная информация, при правильном ее учете, позволяет уменьшить объем необходимой дополнительной статистики при неизменных требованиях к точности и достоверности окончательных результатов оценки надежности АСУ.

Вопросы для самоконтроля:

1.  В чем выражаются особенности оценки надежности АСУ?

2.  Какие два пути формулирования понятия отказа системы существуют, в чем их смысл.

3.  В чем состоят проблемы надежности АСУ?

4.  Какие дестабилизирующие процессы наблюдаются в АСУ?

5.  Дайте классификацию отказам возникающим в АСУ.

6.  Что такое граф? Приведите пример графа системы. Дать объяснение построенному графу.

7.  Какие виды соединений элементов в системах Вы знаете.

8.  Приведите основные характеристики и показатели надежности АСУ.

9.  Какие методы исследования и оценки надежности АСУ Вы знаете?

Лекция 4. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПРОГРАММ ЦИФРОВЫХ ЭВМ

В современных АСУ, использующих цифровые ЭВМ, очень велико значение не только безотказной работы машин, но и программ, не имеющих скрытых ошибок. В настоящее время существует тенденция к снижению качества программ, увеличению количества ошибок в них.

Современные методы разработки и проверки программ не обеспечивают создания оптимальных программ даже при известных путях их улучшения. В практике программирования разработчику обычно трудно оценить несколько возможных решений, так как проверка программы часто возможна лишь после объединения ее частей, когда изменения в программе связаны со значительными затратами времени и средств. Кроме того, часто используются ранее составленные блоки программ, что также затрудняет оптимизацию данной программы. Не все блоки программируются одинаково тщательно и подробно, часто теряется однородность написания различных блоков. Это обнаруживается обычно слишком поздно.

Понятие ошибка программы можно определить как несоответствие между данной и некоторой “идеальной” программами. Однако, если бы “идеальная” программа существовала, не было бы проблемы. Поэтому, чтобы использовать математический аппарат теории надежности, рассматривают отказы программы–события, состоящие в переходе к неверной работе или остановке программы. После появления отказа программисты исследуют программу с целью поиска (локализации) ошибки и усовершенствования программы.

Сведения об ошибках и их исправлении выдаются на специальных извещениях. Ошибка считается исправленной, если при проведении повторного теста ошибка не обнаружена и выпущено дополнение к извещению о наличии ошибки. Время от выпуска извещения об ошибке до выпуска дополнительного извещения называется циклом отладки.

По сложности программы можно разделить на несколько типов.

Длина стандартных программ для вычисления элементарных функций не превышает сотни команд. Эти программы проверяются очень тщательно, но иногда в них обнаруживаются ошибки, обычно при специфических значениях аргумента. Проводка стандартных программ не представляет затруднений.

Более сложными программами являются трансляторы, которые применяются для преобразования алгоритмов, записанных на языке программирования в последовательность машинных команд. Трансляторы содержат 10000–50000 команд. Полную проверку транслятора обычно не удается осуществить, поэтому в процессе эксплуатации продолжается выявление ошибок.

Наиболее сложными являются программы управления в реальном масштабе времени, реализуемые на вычислительных машинах с мультипроцессором (содержат сотни тысяч команд). Полная проверка таких программ в процессе отладки невозможна. Функционирование программы может быть полностью оценено лишь в процессе применения. Ошибки программ обычно проявляются только при действии определенных входных сигналов, которые в данном случае играют роль условий работы программ.

При рассмотрении множества значений входных сигналов, ошибки программ могут считаться случайными.

4.1. Особенности оценки надежности программ

Время эксплуатации программы представляет собой последовательность чередующихся периодов наработки T(i) от момента восстановления до отказа программы и времени восстановления от момента отказа до момента восстановления, т. е. внесения в программу исправлений.

Аналогичная модель рассматривается при оценке надежности восстанавливаемых изделий, причем все случайные величины T(i) считаются одинаково распределенными (аналогично и ). При этом используются математические модели теории восстановления.

Непосредственное применение этих моделей для оценки надежности программ нецелесообразно из-за ряда особенностей случайного процесса их эксплуатации.

Во-первых, периоды наработки между отказами T(i) имеют тенденцию к увеличению с течением времени эксплуатации. Это связано с тем, что по мере выявления и устранения ошибок их общее количество в программе уменьшается, поэтому отказы программ становятся все более редкими.

Процесс совершенствования управляющих программ можно рассматривать как процесс выявления и устранения скрытых дефектов.

Существует также тенденция к уменьшению времени восстановления, так как у программистов все время накапливается соответствующий опыт. Вместе с тем можно предположить взаимную независимость случайных векторов T и Tв.

Во-вторых, большие управляющие программы обычно являются уникальными. Если для технических изделий оценки показателей надежности обычно вычисляются по статистическим данным об отказах и восстановлениях многих однотипных изделий, то при оценке надежности программ возможно лишь индивидуальное прогнозирование. Большие программы начальный период эксплуатации обычно работают в одном экземпляре и лишь после выявления и устранения подавляющего большинства ошибок, т. е. при достижении определенного уровня надежности, могут в редких случаях тиражироваться. Поэтому метод оценки надежности программ должен предусматривать период накопления экспериментальных данных с последующим экстраполированием значений показателей надежности программ. Период накопления данных должен быть сравнительно небольшим. Поэтому на практике можно получить не более двух первых моментов случайных величин.

Таким образом, для оценки надежности программ необходима новая, не применявшаяся ранее в теории надежности математическая модель потока случайных событий (отказов и восстановлений).

4.2. Оценка безотказности программ по наработке

Наработку между очередными отказами – случайную величину можно представить в виде суммы двух случайных величин:

(4.1)

Последовательно применяя (4.1) ко всем периодам наработки между отказами, получаем:

(4.2)

Случайная величина Тn – наработка до возникновения n–го отказа программы равна

(4.3)

Введем следующие допущения:

1) все случайные величины независимы и имеют одинаковые математические ожидания и средние квадратические отклонения ;

2) случайная величина пренебрежимо мала по сравнению с суммой

Основанием для второго допущения могут служить следующие соображения. В самый начальный период эксплуатации программы ошибки возникают очень часто, т. е. время мало. Сумма (5-24) быстро растет с уве­личением n, и доля быстро падает. Будем считать .

В соответствии со вторым допущением из (4.2) имеем:

(4.4)

(4.5)

При одинаковых наработка между (п - 1)-м и n-м отказами – случайная величина Т(n) — имеет матема­тическое ожидание

(4.6)

и среднее квадратическое отклонение

(4.7)

Для случайной величины Тп математическое ожида­ние

(4.8)

и среднее квадратическое отклонение

(4.9)

Чтобы вычислить значения , и , необходимо по данным об отказах программы в течение периода на­блюдения tH найти статистические оценки числовых ха­рактеристик случайной разности

(4.10)

(4.11)

где nн - число отказов программы за наработку (0, tн).

Учитывая, что при t> tн число отказов nн >1, из (4.8) и (4.9) имеем:

(4.10)

(4.11)

Поскольку случайные величины T(n) и Tn согласно (4.4) и (4.5) равны суммам многих случайных вели­чин T(n) и Tn можно считать распределенными нормаль­но c математическими ожиданиями и дисперсиями, опре­деленными по (4.6) — (4.9), (4.10) и (4.11). Так как наработка положительна, на практике используется усе­ченное на интервале (0, ∞) нормальное распределение. Обычно нормирующий множитель с≈1.

При п>nH плотность распределения наработки между очередными (п-1)-м и п-м отказами

где τ отсчитывается с момента последнего, (п—1)-го отказа.

Соответствующая функция распределения наработки между отказами

,

где – табулированная функция.

При вычислении вероятности безотказной работы программы удобно использовать условную функцию надежности (вероятность того, что случайная наработка до отказа будет больше заданной наработки, отсчитывае­мой с момента последнего (п-1)-го отказа).

(4.12)

В соответствии с (4.12) вероятность безотказной работы в течение заданной наработки после (п-1) – го отказа

(4.13)

При сделанных выше допущениях отказы программы образуют редеющий случайный поток. Ведущая функция потока, т. е. среднее число отказов, происшедших за ин­тервал наработки (0, t), при t>tн

(4.14)

где Fn(t) — функция распределения наработки до появ­ления n-го отказа.

Параметр потока отказов программ (вычисляется по наработке)

(4.15)

где

плотность распределения наработки до появления п-го отказа.

Из (4-15) имеем выражение для параметра потока отказов программы при t>tн

(4.16)

График функции ω(t) является слегка волнистой кри­вой с убывающими максимумами при значениях , где п= nн,пн+1, . . .

Ввиду сложности выражений (4.14) и (4.16) целесо­образно аппроксимировать их более простыми приближенными формулами. Практически имеет смысл приме­нить метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом аппроксимирующая функция [для ω(t) целесообразно взять Aexp(-vt)] наилучшим образом согласуется на интервале (tH, t1) с функцией, определяемой выражением (5–39), при выполнении условия

(4.17)

Приравняв нулю частные производные интеграла I1 по A и v, получим систему уравнений для определения этих числовых характеристик. Аналогично можно посту­пить при аппроксимации Q(t) функцией 1-Вехр(-γi).

4.3. Оценка готовности программ

При оценке готовности рассмотрим процесс восста­новления работоспособности программы (в календарном времени). Наработка между очередными восстановле­ниями работоспособности программы