Методический анализ результатов ЕГЭ – 2006 по математике в Краснодарском крае (стр. 2 )

Анализ ответов, выбранных учащимися при вычислении значений логарифмических выражений, показывает, что частично ошибки связаны с правилами выполнения действий с рациональными числами («правила знаков» - 5-6 классы).

Тригонометрические выражения

В 2006 г. в варианты КИМ были включены задания базового уровня на применение ограниченного набора тригонометрических формул, наиболее употребляемых в ходе изучения курса алгебры и начал анализа. При этом для получения более полной информации о подготовке учащихся были использованы задания другого типа – с кратким ответом. Ученики должны были самостоятельно провести преобразования и в требуемой форме самостоятельно представить окончательный ответ. Например, «Найдите значение выражения , если » или «Найдите значение выражения , если » – с этими заданиями справились
30-53 % учащихся нашего края (в среднем 39,9 %) при планируемой трудности 40-55 %. В других вариантах встречались следующие задания: «Найдите значение выражения , если , » или «Найдите значение выражения , если , » – с заданиями справились 19-42 % учащихся края (в среднем 28,2 %).

Таким образом, в целом учащиеся показали невысокие результаты при выполнении заданий с кратким ответом. Отметим, что изменение формы предъявления задания базового уровня сложности (вместо выбора ответа требовалось самостоятельно записать краткий ответ) привело к снижению средних результатов выполнения задания и к увеличению числа учащихся, вообще не приступавших к выполнению задания. Так, к некоторым заданиям с кратким ответом по тригонометрии не приступали до 24 %.

В заданиях повышенного уровня сложности нужно было вычислить значение тригонометрического выражения (применяя свойства периодичности тригонометрических функций или формулы приведения). Например, «Найдите значение выражения , если » – это задание было одинаковым в 45 вариантах, выполняемых учащимися нашего края. С ним справились в среднем 34 %. Отметим, что подобное задание может служить образцом задания, проверяющего выделенный контролируемый элемент (умение вычислять значение тригонометрического выражения) на повышенном уровне.

Для наглядности представим в сводной таблице 1.1 рассмотренные выше результаты выполнения заданий базового уровня на тождественные преобразования выражений.

Таблица 1.1

Результаты выполнения заданий базового уровня на тождественные
преобразования выражений

Тема	Степени	Корни	Логарифмы	Тригонометрия
Планируемая трудность в 2006 г.	80-85 %	65-70 %	70-75 %	40-55 %
Результаты 2004 г.	57-67 %	55-69 %	52-83 %	26-55 %
Результаты 2005 г.	46-78 %	52-90 %	42-77 %	39-65 %
Результаты 2006 г. (в среднем)	75,1 %; 86,1 %	64,9 %; 66,2 %; 91 %	61,3 %; 75,1 %	28,2 %; 34 %; 39,9 %

Данные в табл. 1.1 свидетельствуют о недостаточном овладении на базовом уровне участниками экзамена некоторыми из основных контролируемых элементов содержания по данному разделу курса.

В тоже время явно видно, что с заданиями базового уровня на преобразование иррациональных выражений и степеней учащиеся нашего края справляются лучше, чем с преобразованиями логарифмических и тригонометрических выражений.

1.2. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Уравнения, неравенства и их системы содержатся во всех частях вариантов КИМ. В первой части – самые легкие, базового уровня трудности. Во второй – более сложные, и, наконец, в третьей части – самые сложные, требующие хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций, связанных с определенными требованиями, предъявляемыми в условии задания к корням уравнения (неравенства).

Задания в вариантах КИМ достаточно полно отражают многообразие видов уравнений и методов их решений, изучаемых в 10-11 классах средней школы. В них включены показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и уравнения комбинированного вида; показательные, логарифмические и дробно-рациональные неравенства.

Кроме того, содержится ряд заданий на исследование функций, при выполнении которых требуется решить различные неравенства. Таким образом, набор типов уравнений и неравенств является достаточно представительным. Рассмотрим результаты их выполнения.

Иррациональные уравнения

В первой части работы были представлены иррациональные уравнения базового уровня сложности, например: «Решите уравнение » или «Решите уравнение » – с уравнениями этого типа справились 36-47 % учащихся (в среднем 42,5 %) при планируемой трудности
40-55 %. Анализ ответов, представленных выпускниками, показывает, что типичной ошибкой является включение «посторонних корней».

Учитывая, что в 2005 г. учащиеся нашего края с уравнениями такого типа справились на уровне 23 %, можно отметить некоторое улучшение результата учащихся, участвующих в экзамене в 2006 г.

Логарифмические уравнения

В работу были включены простейшие логарифмические уравнения базового уровня сложности, которые представлены во всех действующих учебниках. Например, «Решите уравнение » или «Решите уравнение » – с уравнениями этого типа справились 49-68 % учащихся (в среднем 57,2 %). При решении уравнений такого типа можно с помощью одного действия (преобразования разности логарифмов в логарифм частного) привести исходное уравнение к простейшему. Далее уравнение решается устно. Несмотря на то, что результаты решения логарифмических уравнений учащимися в 2006 г. несколько выше аналогичных результатов 2005 г., думается, что они могут быть еще выше.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения базового уровня сложности были включены во все варианты КИМ. Например: «Решите уравнение » или «Решите уравнение » – с этими заданиями справились 74-81 % учащихся (в среднем 77,3 %). В других вариантах были представлены уравнения типа , , с которыми учащиеся справились на уровне 51-76 % (в среднем 67,4 %), т. е. умножать сложные выражения учащиеся нашего края могут лучше, чем делить.

Комбинированные уравнения

Варианты КИМ 2006 г. отличались от вариантов предыдущих лет тем, что в них были включены задания на решение комбинированных уравнений как базового, так и повышенного уровней сложности. Причем были использованы два типа заданий – с кратким ответом и развернутым ответом. Впервые выпускникам предлагались простые комбинированные (линейно-показательные) уравнения базового уровня сложности, представленные заданиями с кратким ответом. Например, «Решите уравнение ». Эти уравнения решаются стандартным методом – разложением на множители сводятся к линейным уравнениям. С уравнениями этого типа справилось 39-51 % учащихся, принимавших участие в экзамене (в среднем 45,2 %)

Включение подобных уравнений обеспечило проверку понимания и владения основными методами решения уравнений. Трудность этого уравнения, по-видимому, для наших школьников заключалась в необычном его виде. Т. е. малейшее отклонение от образцов, на которых проводится обучение, приводит к снижению результата. Этот факт говорит о некотором формализме в обучении математике.

На повышенном уровне, в заданиях с кратким ответом проверялось владение функционально-графическим методом решения различных комбинированных уравнений (содержащих корень четной степени и тригонометрические функции, композицию показательно-тригонометрической и квадратичной функций).

Например, «Решите уравнение » или «Решите уравнение », с которыми справилось от 6 % до 18 % учащихся (в среднем 11,3 %) при планируемой трудности
25-35 %. В других вариантах встречались задания: «Решите уравнение » или «Решите уравнение », с которыми справилось 5-18 % учащихся, участвовавших в экзамене (в среднем 12,1 %).

Поскольку в левой и правой частях уравнения представлены разные виды функций, то учащиеся должны были применить функционально-графический метод. Анализируя свойства функций в обеих частях уравнения, учащиеся могли бы заметить, что у одной из них существует наибольшее значение, а у другой – наименьшее. К сожалению, следует отметить, что даже сильные учащиеся нашего края продемонстрировали невысокие результаты при решении уравнений указанного типа. Любое из этих заданий можно использовать в качестве образца конкретизации требований стандарта, связанных с умением решать комбинированные уравнения повышенного уровня.

На повышенном уровне в заданиях с развернутым ответом (С1) проверялось умение решать комбинированные уравнения (иррационально-показательные и иррационально-логарифмические), отбирая корни с учетом области определения уравнения, а также умение грамотно записать свое решение.

Например, «Решите уравнение »;

«Решите уравнение »;

«Решите уравнение ».

Следует отметить, что, по сравнению с рассмотренными выше уравнениями повышенного уровня сложности с кратким ответом, эти уравнения проще. После упрощения правой части каждое из уравнений сводится к стандартному показательному или логарифмическому уравнению, сводящемуся к квадратному. Однако учащиеся должны были указать множество значений переменной, на котором полученное уравнение будет равносильно данному уравнению и грамотно записать решение, применяя соответствующую математическую символику. Правильное выполнение этих заданий характеризует математическую компетентность выпускников. Предполагалось, что с ними должны справиться учащиеся, имеющие школьную отметку «5».

Неравенства. Системы неравенств

В вариантах КИМ были представлены показательные, логарифмические и дробно-рациональные неравенства, были также включены задания, выполнение которых проверяло владение графическим способом решения неравенств, а также задания, сводящиеся к решению системы неравенств (показательных, логарифмических, рациональных).

Дробно-рациональные неравенства

В варианты КИМ на базовом уровне были включены дробно-рациональные неравенства, например: «Решите неравенство » или «Решите неравенство » – с этими заданиями учащиеся нашего края справились на уровне 79-87 % (в среднем 82,6 %). В сравнении с 2005 г. результат решения дробно-рациональных неравенств лучше.

Показательные неравенства

Показательные неравенства базового уровня были представлены неравенством , которое было одинаковым в 45 вариантах, выполняемых учащимися нашего края. С помощью одного действия ( представляется как степень с основанием 3) оно сводилось к простейшему показательному неравенству с основанием, большим единицы. Такие неравенства представлены во всех действующих учебниках. С заданием, в среднем, справились 77 %, что свидетельствует об успешном овладении выпускниками нашего края этим типом заданий.

Логарифмическое неравенство базового уровня сложности было представлено следующим заданием: «Укажите область определения функции », которое было одинаковым в 45 вариантах, выполняемых учащимися нашего края. С заданием, в среднем, справились 55,5 % учащихся.

Из анализа неверных ответов, выбираемых участниками экзамена, можно сделать вывод, что они не учитывают область определения логарифмической функции, неправильно меняют знак неравенства при переносе логарифма в другую часть неравенства. Наличие подобных ошибок указывает на серьезную недоработку в процессе изучения темы «Логарифмические неравенства»: учащимися не в должной мере освоен стандартный алгоритм решения неравенств.

Графическое решение неравенств

В каждый вариант КИМ 2006 г. входило задание на проверку овладения графическим методом решения неравенств. Предлагались три типа заданий базового уровня.

«На рисунке изображен график функции , заданной на отрезке . Укажите те значения , для которых выполняется неравенство ».

1)
2)
3)
4)

Задания такого типа встречались в 45 вариантах, которые решали учащиеся нашего края. В среднем они справились с этим заданием на 63,1 %, при норме 60-70 %.

В других вариантах встречались задания на определение промежутков знакопостоянства функции по графику функции. Например: «Решите неравенство , если на рисунке изображен график функции , заданной на промежутке ».

1)
2)
3)
4)

С этим заданием учащиеся в среднем справились на 79,9 %, т. е. можно сделать вывод, что умения использовать графики при решении неравенств у учащихся нашего края развиты на должном уровне.

Задания, сводящиеся к неравенству с модулем (к системе неравенств)

В варианты ЕГЭ 2006 г. впервые было включено задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом (С2), решение которого сводится к составлению модели, в качестве которой выступает неравенство, содержащее дробно-рациональное или показательное выражение под знаком модуля.

Например, «Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций меньше, чем 0,6» или «Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций меньше, чем 6,3».

Эти задания рассчитаны на учащихся, имеющих повышенный уровень подготовки. Сложность задания обусловлена тем, что в условии задачи в явном виде не указано, какие математические действия нужно выполнить для его решения. От учащегося требуется самостоятельно проанализировать ситуацию, описанную в задании на «функционально-графическом языке», перевести предложенную ситуацию на алгебраический язык, составив тем самым ее модель. Определенная сложность задания связана с тем, что при составлении требуемой модели выпускник должен использовать неравенство, в котором дробно-рациональное или показательное выражение стоит под знаком модуля. Решение полученного неравенства обычно сводится либо к решению двойного неравенства, либо к решению системы, т. е. к использованию известного стандартного алгоритма.

Отметим, что, как и рассмотренные выше типы заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности на решение комбинированных уравнений, данное задание, безусловно, проверяет математическую компетентность выпускников (умение составить математическую модель предложенной нестандартной ситуации и исследовать ее).

Комбинированные неравенства

В каждый вариант КИМ было включено задание высокого уровня сложности С5, предполагающее решение комбинированного неравенства и проведение исследования, выявляющего значения параметра, при которых два данных числа являются решениями этого неравенства.

Приведем примеры заданий.

«Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа являются решениями неравенства ».

При решении этой задачи учащиеся должны были решить стандартное логарифмическое неравенство с неизвестной в основании логарифма, метод решения которого предполагает рассмотрение двух случаев (основание больше единицы и основание больше нуля, но меньше единицы). Для хорошо подготовленных учащихся эта ситуация вполне разрешима. Вторая часть задачи, которая состоит в поиске способа нахождения значений параметра «а», при которых указанные два числа будут решениями неравенства, является нестандартной. Именно в этой части большинство учащихся нашего края, приступивших к решению задачи, испытывали затруднения.

В другой серии вариантов были представлены задания:

«Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа являются решениями неравенства ».

Также как и в предыдущем задании, первая часть этой задачи состоит в решении комбинированного неравенства обобщенным методом интервалов с учетом области определения соответствующих функций. Эту часть решения задачи можно назвать стандартной. Вторая часть задачи, заключающаяся в поиске способа нахождения значений параметра «а», при которых указанные два числа будут решениями неравенства, является нестандартной, и в отличие от предыдущей задачи, требует еще учета ограниченности значений тригонометрических функций.

Появление таких заданий в текстах ЕГЭ позволяет продемонстрировать учащимися применение стандартных методов решения задач в нестандартных ситуациях.

Ниже представлена сводная таблица 1.2 результатов выполнения заданий базового уровня на решение уравнений и неравенств.

Таблица 1.2

Результаты выполнения заданий базового уровня на решение

уравнений и неравенств

Тема	Иррациональные уравнения	Логарифмические уравнения	Тригонометрические уравнения	Комбинированные уравнения	Дробно-рациональные неравенства	Логарифмические неравенства	Показательные неравенства	Графическое решение неравенств
Планируемая трудность	55% - 60%	60% - 65%	60% - 65%	40% - 55%	60% - 70%	60% - 65%	60% - 65%	70% - 75%
Результаты 2004		44,5% –63,1%	33,7% – 61,7%		44,8% – 72,7%	23,6% – 38,5%	34,2%-73,9%	29,6% – 50,8%
Результаты 2005	23% – 56%	39% –52%	50,9% – 70,7%		67% – 81%	23% – 58%		58% – 85%.
Результаты 2006 (в среднем)	42,5%	57,2%	67,4%; 77,3%	45,2%	82,6%	55,5%	77%	63,1%; 79,9%

Данные в табл. 1.2 свидетельствуют о некоторых успехах учащихся Краснодарского края – участников экзамена в изучении таких тем как: «Тригонометрические уравнения», «Комбинированные уравнения», «Дробно-рациональные неравенства», «Показательные неравенства», «Графическое решение неравенств» на базовом уровне. В тоже время, следует отметить, что данные в табл. 1.2 свидетельствуют о недостаточном уровне овладения на базовом уровне участниками экзамена некоторыми из основных контролируемых элементов содержания по данному разделу курса. По таким темам как «Иррациональные уравнения», «Логарифмические уравнения» и «Логарифмические неравенства» результаты выполнения заданий лучше, чем в прошлом году, но все еще ниже необходимого уровня выполнения этих заданий.