Методический анализ результатов ЕГЭ – 2006 по математике в Краснодарском крае (стр. 4 )

При интерпретации результатов выполнения этих заданий следует иметь в виду, что часть учащихся, не заинтересованных в получении свидетельства о сдаче ЕГЭ по математике для поступления в вузы или ссузы, могла просто пропустить эти задания. Это позволило бы им иметь больше времени для решения алгебраических заданий и получить более высокую аттестационную отметку по курсу алгебры и начал анализа, которая учитывается при выставлении итоговой отметки по алгебре в аттестат. В этой связи не представляется возможным распространить результаты ЕГЭ по этим заданиям на всех выпускников средней школы.

1.4.1. Текстовые задачи

В 2006 году в каждый вариант КИМ была включена одна текстовая задача (задание В9). При их решении можно было использовать различные математические модели (составить уравнение или систему уравнений), применить факты, изученные в теме «Пропорции» и «Проценты».

В задачах на составление уравнений или систем уравнений были представлены два типа сюжетов: «на проценты» и «на работу».

Например: «Резервуар заполняется водой за 1 час 15 минут с помощью трех насосов, работающих вместе. Производительности насосов относятся как 2:3:5. Сколько процентов объема будет заполнено за 45 минут совместной работы первого и третьего насосов?» – с задачами этого типа справились от 3 до 18 % выпускников (в среднем 7,7 %).

В других вариантах были представлены задачи типа: «Два автопогрузчика, работая вместе, загружают один вагон за два часа. При этом производительности труда первого и второго автопогрузчиков относятся как 4:7. Оба автопогрузчика начали загружать вагон вместе, но через некоторое время первый автопогрузчик вышел из строя и второй заканчивал работу один. Сколько часов проработал первый автопогрузчик, если вся погрузка длилась 3 часа?» – с этими задачами в среднем справились 4,2% учащихся.

Невысокий процент решения текстовых задач, включенных в варианты КИМ-2006, как уже отмечалось, частично объясняется тем, что этот материал, изученный в средней школе, не проверяется в рамках обязательного экзамена по курсу алгебры и начал анализа в старшей школе и скорее всего не повторялся теми выпускниками, которые не планировали сдачу экзамена по математике для поступления в вуз. Отметим, что традиционно и в основной школе результаты решения текстовых задач подобного типа невысокие.

1.4.2. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин

Каждый вариант КИМ содержал три геометрических задачи – 2 задачи повышенного уровня (одна – планиметрическая и одна – стереометрическая) и одну стереометрическую задачу высокого уровня сложности. Все задачи были вычислительного характера. Для их решения учащиеся должны были знать свойства плоских фигур, пространственных тел и уметь использовать их для вычисления значений искомых геометрических величин. Отметим, что приводить обоснования к решениям задач Части 2 от учащихся не требовалось.

Стереометрическая задача, включенная в часть 3, представляла собой задачу высокого уровня сложности, проверявшую умение не только применять известные геометрические факты при рассмотрении предложенной в задаче нестандартной конфигурации, но и записывать решение задачи, приводя вычисления и необходимые обоснования ключевых моментов представленного решения.

Планиметрия

Планиметрические задачи повышенного уровня, включенные в варианты КИМ в июне 2006 года, были составлены на материале темы: «Четырехугольники». Были представлены задачи из двух разделов: «Параллелограмм» и «Равнобедренная трапеция, описанная около окружности». Решение задач, относящихся к первому разделу, включало общий для всех этих задач ключевой момент решения – использование свойств параллельности сторон параллелограмма и свойств углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Решение задач второго раздела основывалось на свойстве средней линии трапеции и свойстве сторон равнобедренной трапеции, описанной около окружности.

Кроме того, в ходе решения задач проверялось умение применять ряд свойств фигур и формул, с помощью которых вычислялись искомые в задаче величины. В зависимости от способа решения конкретной задачи нужно было уметь применить 1-2 факта из следующего перечня:

·  признаки подобия треугольников;

·  пропорциональность сторон подобных треугольников;

·  признаки равнобедренного треугольника;

·  определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника (решение прямоугольных треугольников).

Следует отметить, что указанный перечень соответствует определенным способам решения задач. В то же время, любую из задач можно решить различными способами. В силу этого, указанный перечень может быть другим (при других способах решения задач).

Параллелограмм

Этот раздел в вариантах 2006 года был представлен следующими задачами:

«В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника CDP, если АК = 12, ВК = 9, РК = 15».

«В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону CD в точке Т и прямую AD в точке М. Найдите периметр треугольника АВМ, если СТ = 8, ВТ = 10, TD = 12».

«В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону CD в точке Т и прямую AD в точке М. Найдите периметр треугольника ВСТ, если ВС = 12, АВ = 33, МТ = 28».

Решение задач этой группы требовало применения свойства биссектрисы угла, проведенной в параллелограмме. Необходимо было выявить равнобедренные треугольники, возникающие при построении биссектрисы, затем отметить подобные треугольники и из соответствующих пропорций найти длины неизвестных сторон. Все представленные задачи различались заданными отрезками и их величинами, данными в условии задачи.

К решению задач такого типа приступило около 25 % выпускников нашего края, из которых правильно решили эти задачи в среднем 3,1 % учащихся.

Равнобедренная трапеция, описанная около окружности

Варианты этого года содержали следующие задачи данного раздела:

«Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 12, а косинус угла при основании трапеции равен ».

«Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 6. Найдите косинус угла при большем основании трапеции, если ее средняя линия равна».

«Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 6, а косинус угла при основании трапеции равен ».

Существенным при решении этих задач было использование фактов, что у трапеции, описанной около окружности, суммы противолежащих сторон равны, средняя линия равна полусумме оснований трапеции и, следовательно, для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, боковая сторона равна средней линии. Далее, выделив прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции, а одним из катетов – высота трапеции, равная диаметру вписанной в трапецию окружности, необходимо было выразить из него соответствующую тригонометрическую функцию угла при основании трапеции.

Различия в задачах заключались в том, какие из элементов были даны, а какие требовалось вычислить.

С такими задачами справились в среднем 2,7 % учащихся, а приступали к решению – около 28 % выпускников Краснодарского края.

На основании полученных статистических данных, характеризующих только процент выполнения задания в целом (процент числа верных ответов), можно лишь выявить число учащихся, овладевших умениями применять весь комплекс геометрических фактов, необходимых для решения планиметрических задач, и невозможно однозначно определить, какие из этих фактов усвоены лучше, а какие хуже. Тем не менее, эти данные позволяют сделать некоторые выводы относительно овладения учащимися отдельными умениями. В 2006 году общая тенденция низких результатов решения задач по планиметрии не изменилась и, как и раньше, говорит о весьма слабой подготовке по планиметрии не только выпускников в целом, но и тех учащихся, которые продемонстрировали более высокий уровень математической подготовки.

Стереометрия

В варианты КИМ-2006 было включено по одной задаче повышенного уровня, составленных на материале темы «Многогранники» (призма). Данные задачи проверяли знания о свойствах таких пространственных фигур, как четырехугольная призма (параллелепипед) или прямая треугольная призма, умение применять их для вычисления элементов фигур и построения линейного угла, соответствующего углу между плоскостями.

При решении стереометрических задач учащимся необходимо было воспользоваться некоторыми сведениями из планиметрии, такими как: свойства параллелограмма; свойства ромба, формула площади треугольника; определение тригонометрических функций угла прямоугольного треугольника (решение прямоугольных треугольников).

Четырехугольная призма

В задачах, связанных с четырехугольной призмой, была задана плоскость, проходящая через ребро одного и вершину другого основания. Рассматривался угол между этой плоскостью и плоскостью основания. Были представлены две разновидности задач:

«Основание прямого параллелепипеда ABCDA1В1С1D1 – ромб ABCD с углом 30° и стороной, равной 4. Тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью ADС1 равен 1,5. Найдите боковое ребро параллелепипеда».

«Основание прямого параллелепипеда ABCDA1В1С1D1 – параллелограмм ABCD, в котором . Тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью B1AD равен 1,5. Найдите высоту параллелепипеда».

Ключевым моментом решения этих задач является построение линейного угла данного двугранного угла, после чего необходимо было рассмотреть два прямоугольных треугольника и воспользоваться последовательным выражением одной стороны прямоугольного треугольника через другую сторону и тригонометрическую функцию соответствующего угла этого треугольника.

К решению этих задач приступало в среднем 22 % учащихся, а правильно их решили 3,7 % выпускников нашего края.

Треугольная призма

Так же как и в предыдущей серии задач, в задачах, связанных с треугольной призмой была задана плоскость, проходящая через ребро одного и вершину другого основания. Рассматривался угол между этой плоскостью и плоскостью основания. Например:

«Основание прямой призмы ABCA1В1С1 – треугольник ABC, в котором ВС = 9, sinС =0,25. Боковое ребро призмы равно 27. Найдите тангенс угла между плоскостями АВ1С и ABC».

«Высота прямой призмы ABCA1В1С1 равна 21. Основание призмы - треугольник ABC, площадь которого равна 4,5, ВС = 6. Найдите тангенс угла между плоскостями А1ВС и ABC».

Ключевым моментом решения этих задач является построение линейного угла данного двугранного угла, после чего необходимо было рассмотреть два прямоугольных треугольника и воспользоваться последовательным выражением одной стороны прямоугольного треугольника через другую сторону и тригонометрическую функцию соответствующего угла этого треугольника.

К решению этих задач приступало в среднем 27% учащихся, а правильно их решили 5% выпускников нашего края.

По задачам на треугольную призму, результаты несколько лучшие, чем по задачам на четырехугольную призму. Видимо, это объясняется тем, что построение сечения в треугольной призме было проще: оно состояло в соединении трех точек, задающих сечение, а в четырехугольной призме нужно было построить недостающие следы секущей плоскости.

Следует отметить, что подобные задачи являются типичными и часто использующимися в практике преподавания. Для успешного решения указанных задач достаточно было владеть основными понятиями стереометрии и уметь вычислять элементы прямоугольных треугольников.

Полученные результаты свидетельствуют о слабой стереометрической подготовке учащихся нашего края.

Кроме геометрических задач повышенного уровня, Часть 3 вариантов КИМ-2006, как и в 2году, содержала одно задание по стереометрии высокого уровня сложности (С4).

В 2006 году стереометрические задачи высокого уровня сложности (C4), включенные в Часть 3, проверяли умения выпускников школ применять известные геометрические факты при решении задач на взаимное расположение многогранников и тел вращения, записывать обоснования ключевых моментов решения и выполнять вычисления, необходимые для получения окончательного ответа.

Эти задачи были одной и той же тематики – комбинация многогранников и сферы. Предлагались две комбинации: правильная треугольная пирамида и описанная около нее сфера, а также четырехугольная пирамида, основанием которой является прямоугольник, и описанная около нее сфера. Причем в каждой из этих задач центр сферы лежит в основании пирамиды. Для решения каждой задачи нужно было определить место нахождения центра сферы, основание высоты пирамиды, а также точки, лежащей на прямой, равноудаленной от двух других точек, не лежащих с этой прямой в одной плоскости. Согласно сложившейся традиции все задачи С4 являлись задачами на вычисление, причем вычислительная часть любой задачи была сравнительно проста, а анализ заданной геометрической конфигурации, наоборот, достаточно сложен, именно поэтому данные задачи отнесены к задачам высокого уровня сложности.

Приведем примеры основных типов заданий, включенных в варианты КИМ-2006

I группа задач:

№1. Около правильной пирамиды описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания пирамиды, площадь сферы равна . Точка лежит на ребре так, что . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Найдите объем пирамиды .

№ 2. Около правильной пирамиды описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания пирамиды. Точка лежит на ребре так, что . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Объем пирамиды равен . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды .

II группа задач:

№ 1. Основанием пирамиды является прямоугольник . Плоскость перпендикулярна плоскости , тангенс угла равен , тангенс угла между прямой и плоскостью равен . Точка лежит на ребре , . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит в плоскости основания пирамиды, радиус этой сферы равен . Найдите объем пирамиды .

№ 2. Основанием пирамиды является прямоугольник . Плоскость перпендикулярна плоскости , тангенс угла равен , тангенс угла между прямой и плоскостью равен . Точка лежит на ребре , . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Объем пирамиды равен 10. Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите радиус этой сферы.

Помимо анализа геометрической конфигурации задачи и элементарных фактов планиметрии, учащиеся в подобной задаче должны были использовать следующие стереометрические факты: построение (установление) угла между прямой и плоскостью; формулы нахождения объема пирамиды и площади сферы; построение прямой, перпендикулярной данной плоскости.

Анализ работ учащихся, показывает, что подавляющее большинство выпускников, по-прежнему, не смогли записать теоретическое обоснование своего решения. Это можно объяснить тем, что необходимые для этого навыки недостаточно отрабатываются в школе в силу небольшого времени на изучение курса геометрии. Однако, с нашей точки зрения, низкий процент 0,0%-0,02% учащихся, получивших за выполнение задания С4 от 1 до 4 баллов, в значительной степени объясняется плохой подготовкой учащихся по геометрии.

2. Выводы и рекомендации

В 2006 году ЕГЭ по математике в Краснодарском крае сдавали 39777 выпускников и экзамен был обязательным. По сравнению с 2005 годом (48554 ученика) значительно уменьшилось общее число участников экзамена.

1.  В 2006 году по сравнению с 2005 годом наблюдается тенденция некоторого повышения уровня подготовки выпускников по курсу алгебры и начал анализа, хотя процент двоек (22,3%) все еще высок.

2.  По сравнению с 2005 годом наблюдается тенденция незначительного повышения уровня геометрической подготовки выпускников, хотя в целом уровень этой подготовки низкий. Однако при интерпретации этого вывода следует иметь в виду, что часть учащихся, не заинтересованных в получении свидетельства о сдаче ЕГЭ по математике для поступления в вузы или ссузы, скорее всего, просто пропустили эти задания.

3.  Формально усваивается теоретическое содержание курса алгебры и начал анализа, поэтому учащиеся не могут применить изученное в ситуации, которая даже незначительно отличается от стандартной.

4.  У многих учащихся отсутствуют навыки самоконтроля, что зачастую приводит к появлению ответов, невероятных в рамках условия решаемой ими задачи.

5.  На недостаточном уровне усвоено содержание важных разделов курса математики старшей школы – «Иррациональные уравнения», «Логарифмические уравнения и неравенства», «Преобразования логарифмических выражений», «Преобразования тринометрических выражений».

Итоги ЕГЭ - 2006 по математике позволяют высказать некоторые общие рекомендации, направленные на совершенствование процесса преподавания математики в Краснодарском крае и подготовку учащихся средней школы к ЕГЭ - 2007.

·  Внедрение в практику работы школы личностно-ориентированных методов преподавания математики даст возможность усилить внимание к формированию базовых умений у слабых учащихся или у тех, кто не ориентирован на более глубокое изучение математики, а также обеспечить продвижение учащихся, имеющих возможность и желание усваивать математику на более высоком уровне.

·  Для своевременной корректировки системы подготовки учащихся к ЕГЭ по математике необходимо выявить пробелы в знаниях учащихся. С этой целью провести диагностические тестовые работы (на базовом уровне) по математике для учащихся 11-х классов.

·  По результатам диагностики и итогов предыдущих лет обучения по предмету в каждом классе выделить группы «успешных», «средне успешных» и «мало успешных» учащихся для осуществления разноуровневого процесса обучения.

·  Параллельно с изучением новых тем в курсе алгебры и начал анализа с первых дней обучения в 11-х классах предусмотреть возможность повторения плохо усвоенных.

·  При необходимости, для некоторых учащихся составить индивидуальные планы подготовки к ЕГЭ – 2007.

·  На уроках повторения проводить регулярный контроль усвоения знаний (через диагностические работы) на базовом уровне в соответствии со спецификацией КИМов ЕГЭ-2007.

·  Развить систему внутришкольных и межшкольных факультативов, в основу работы которых положить разноуровневое преподавание.

·  Организовать обмен опытом работы учителей математики Краснодарского края с выездом в ОУ.

·  Необходимо существенно усилить внимание к преподаванию курса геометрии в основной и старшей школе, делая акцент не только на овладение теоретическими фактами курса, но и на формирование умения проводить обоснованные решения геометрических задач и математически грамотно их записывать.

Литература

1.  к. п.н. (руководитель), , к. п.н., , к. п.н., , к. физ.-мат. н. / Результаты Единого государственного экзамена (май-июнь 2006года). Математика. Аналитический отчет Федерального института педагогических измерений. М, 2006.

2.  . Методический анализ результатов ЕГЭ – 2005 по математике в Краснодарском крае. Научно-методический журнал «Кубанская школа», 3-4, 2005