Методический анализ результатов ЕГЭ – 2006 по математике в Краснодарском крае (стр. 3 )

1.3. Функции и их свойства

Задания на проверку функциональных представлений учащихся касались: области определения и значений функций, промежутков возрастания и убывания, точек максимума (минимума), наибольших и наименьших значений функции. При ответе на указанные вопросы учащиеся могли исследовать функции элементарными методами или с помощью производной. В работу были включены задания разного уровня сложности (базового, повышенного и высокого).

Исследование функций элементарными методами

На базовом уровне проверялось умение исследовать какое–либо одно свойство функции: найти область определения или множество значений функции. Так, например: «Найдите область определения функции » или «Найдите область определения функции » – с заданиями этого типа справились от 52 до 72 % учащихся, выполнявших это задание (в среднем 63,1 %). Поскольку выполнение этого задания сводится к решению квадратного неравенства (), то снижение результата по сравнению с дробно-рациональными неравенствами (см. табл. 1.2) может свидетельствовать либо о незнании области определения логарифмической функции, либо о неумении решать простейшие квадратные неравенства, что показывает на некоторый формализм в усвоении методов решения квадратных неравенств.

В других вариантах, как указывалось выше, было задание «Укажите область определения функции ».

Задачи на нахождение множества значений функций были представлены следующими заданиями: «Найдите наибольшее целое значение тригонометрической функции » или «Найдите наименьшее целое значение тригонометрической функции » – с этими заданиями справились от 57 до 71 % учащихся (в среднем 65,8 %) при планируемой трудности 60-70 %. В других вариантах проверялось знание области определения показательной функции: «Найдите множество значений функции » или «Найдите множество значений функции », с которым справились от 57 до 76 % учащихся (в среднем 66,8 %). Таким образом, можно отметить, что различия в усвоении множества значений тригонометрической и показательной функции незначительны, и эта тема может считаться усвоенной выпускниками 2006 г. нашего края.

Исследование свойств функций по графику было представлено следующими заданиями:

«На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок».

При выполнении этого задания около 30 % учащихся указали неверный ответ (№4). В среднем с заданием справилось 65,8 % учащихся, из чего можно сделать вывод: учащиеся, в принципе, правильно понимают, что график нечетной функции должен быть симметричным относительно начала координат, но в тоже время неправильно представляют центрально-симметричную кривую.

В других вариантах необходимо было найти множество значений функции по графику, например: «На рисунке изображен график функции, заданной на промежутке . Укажите множество значений этой функции».

1)
2)
3)
4)

Правильно решили задачи такого типа от 36 до 69 % учащихся (в среднем 47,8 %), при уровне планируемой трудности выполнения задания
60-70 %. Анализируя ответы, которые отмечали выпускники, можно заметить, что в 40 % ответов учащиеся путают область определения с множеством значений функции. Этот факт свидетельствует о несформированности проверяемых знаний учащихся Краснодарского края.

На повышенном уровне исследование функций элементарными методами было представлено следующими задачами: «Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке » – с этими заданиями в среднем справилось 12,6 % учащихся. Аналогичные задания в других вариантах отличались видом функции. Например: «Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке », с которыми в среднем справилось 11 % учащихся.

Для решения заданий такого типа в курсе алгебры и начал анализа есть стандартный алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке с помощью производной. Однако, поскольку в указанных задачах рассматривается сложная функция, у которой внутренняя функция является квадратичной, то элементарными методами можно найти наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции на данном отрезке, а затем воспользоваться свойствами монотонности внешней функции. В этом состоит трудность, из-за которой подобные задания становятся заданиями повышенного уровня сложности.

В вариантах КИМ-2005 впервые предлагались задания повышенного уровня сложности на свойства четности функций, с которыми учащиеся нашего края справились плохо. В 2006 г. задания на эту тему получили дальнейшее развитие, например: «Четная функция определена на всей числовой прямой. Для функции вычислите сумму » или «Четная функция определена на всей числовой прямой. Для функции вычислите сумму ».

Для нахождения требуемой суммы выпускники должны были подставить заданные значения в формулу, задающую функцию g(x), а затем применить понятие четной (нечетной) функции для функции f(x).

Следует отметить, что с задачами первого типа справились в среднем 16 % учащихся, а второго – 23,7 %. То, что учащиеся справились с первым заданием хуже, чем со вторым, скорее всего, обусловленj двумя фактами: во-первых, в первом задании более длинная цепочка вычислений, чем во втором, во-вторых, учащиеся меньше допускают ошибок, применяя определение четной функции , чем нечетной .

По сравнению с 2005 г. выпускники нашего края показали немного более высокие результаты, однако, учитывая, что уровень планируемой трудности этого задания 25-35 %, можно отметить, что у учащихся нашего края соответствующие навыки сформированы еще не на требуемом уровне.

Производная и ее применение

На базовом уровне проверялось умение находить производную функции. Выпускники должны были найти производные элементарных функций (степенной и показательной), используя знание таблицы производных и теорем о производной суммы двух функций. Например: «Найдите производную функции » – с этим заданием в среднем справились 87 % учащихся. С заданием «Найдите производную функции » в среднем справились 78 % учащихся. Результаты выполнения заданий показывают, что большинство учащихся нашего края овладели навыками вычисления производных указанного типа.

В заданиях повышенного уровня сложности на исследование функций по графику производной функции учащимся необходимо было найти: точку максимума (минимума) функции; наибольшее или наименьшее значение функции.

Предложенные задания проверяли понимание учащимися важных теоретических фактов: достаточных условий точек максимума (минимума), достаточных условий возрастания (убывания) функции. При выполнении этих заданий не требовалось сложных вычислений или преобразований, проверялось лишь, может ли выпускник установить связь между характером монотонности функции и знаком производной или между сменой знака производной и наличием точки максимума (минимума).

Например: «Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной . Укажите точку максимума функции на промежутке .

Подобные задания включаются в варианты КИМ уже несколько лет. Поэтому с этим заданием справились в среднем 31 % учащихся нашего края, что несколько лучше, чем в 2005 г. (20 %). Выполнение заданий другого типа вызвало большие затруднения у наших выпускников, – с ними в среднем справились всего 6,6 % учащихся. Такие задания в вариантах КИМ встретились впервые. Приведем примеры таких заданий.

«Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной . Найдите точку , в которой функция принимает наибольшее значение на отрезке .»

«Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной . Найдите точку , в которой функция принимает наименьшее значение на отрезке .»

Выполняя это задание, ученики фактически должны были воспользоваться достаточными условиями возрастания (убывания) функции и применить определение возрастающей (убывающей) функции: на промежутке возрастания (убывания) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение в правом его конце. Тот факт, что наши выпускники плохо выполнили это задание, свидетельствует о формальном усвоении ими этого раздела начал анализа.

В части 3 предлагалась текстовая задача высокого уровня сложности, при решении которой нужно было применить производную для нахождения наименьшего значения геометрической величины. Трудность задачи заключалась в том, что выпускникам нужно было самостоятельно составить модель той реальной ситуации (разметка участка определенной формы), которая описана в условии. В качестве модели выступала функция, описывающая периметр участка.

Во всех действующих учебниках представлены задачи, при решении которых в качестве модели выступают функции. Однако трудность составления модели была обусловлена сложностью выражения периметра участка через исходные данные задачи: периметр выражался через 2 переменные величины , одну из которых удавалось выразить через другую. После составления модели исследование можно было проводить, следуя известным алгоритмам.

Приведем примеры заданий.

«Требуется разметить на земле участок

ABCDEFGH площадью 1800 м, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где и . Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KL, LH и CD, при которых периметр является наименьшим».

«Требуется разметить на земле участок площадью 1300 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника , изображенного на рисунке, где м, м, м и м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин и при которых периметр является наименьшим».

«Требуется разметить на земле участок площадью 1300 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника , изображенного на рисунке, где м, м, м и м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин и при которых периметр является наименьшим».

В приведенной ниже сводной таблице 1.3 приведены результаты выполнения заданий базового уровня по разделу «Функции».

Таблица 1.3

Результаты выполнения заданий базового уровня по разделу

«Функции»

Тема	Множество значений показательной функции	Множество значений тригонометрической функции	Чтение свойств функции по графику (четность)	Чтение свойств функции по графику (множество значений)	Промежутки знакопостоянства функции	Производная функции	Область определения функции
Планируемая трудность	60% - 70%	60% - 70%	60% - 70%	60% - 70%	70% - 75%	60% - 70%	60% - 65%
Результаты 2004	29,6%-51,7%	44,8% -64,6%	63,1%-78,7%	63,1%-78,7%	56,8% -79,3%.	33,5% -80,8%	34,2%-73,9%
Результаты 2005		48,3% - 66%			60% - 85%	70% - 85%
Результаты 2006 (в среднем)	66,8%	65,8%	47,8%	65,8%	79,9%,	78%; 87%	55,5% 63,1%

Из табл. 1.3 видно, что учащиеся нашего края удовлетворительно овладели умениями аналитически исследовать функцию: находить множество значений тригонометрических функций, находить область определения логарифмической функции и находить производные суммы элементарных функций. По графику функции они могут находить множество значений функции, но в то же время, не овладели умениями распознавать четные (нечетные) функции по графику.

Проанализировав все задания базового уровня, можно сделать вывод, что все они полностью соответствуют заданиям, представленным в демонстрационном варианте 2006 и кодификаторе.

В следующей таблице выделены те темы, по которым учащиеся края показали лучшие результаты по сравнению с результатами 2005 года. Из нее видно, что по всем девяти заданиям, выполнение которых представлено в таблице, результаты значительно улучшились по сравнению с прошлым годом. Это говорит о том, что при правильной организации процесса повторения и контроля знаний имеется возможность улучшения конечного результата.

Таблица 1.4

Тема	Корни	Тригонометрические уравнения	Комбинированные уравнения	Дробно-рациональные неравенства	Показательные неравенства	Множество значений показательной функции	Множество значений тригонометрической функции	Проме-жутки знакопостоянства функции	Производная функции
Планируемая трудность	65% - 70%	60% - 65%	40% - 55%	60% - 70%	60% - 65%	60% - 70%	60% - 70%	70% - 75%	60% - 70%
Результаты 2004	55% – 69%	33,7% – 61,7%		44,8% – 72,7%	34,2%-73,9%	29,6%-51,7%	44,8% -64,6%	56,8% –79,3%.	33,5% –80,8%
Результаты 2005	52% – 90%	50,9% – 70,7%		67% – 81%			48,3% - 66%	60% – 85%	70% – 85%
Результаты 2006 (в среднем)	66,2% 91%	67,4%; 77,3%	45,2%	82,6%	77%	66,8%	65,8%	79,9%,	78%; 87%

1.4. Анализ результатов по блокам заданий, выполнение которых не учитывалось при выставлении аттестационной отметки за курс алгебры и начал анализа

Из 26 заданий, включенных в варианты КИМ, 4 задания (3 – повышенного и 1 – высокого уровня) были составлены на материале, не связанном с курсом алгебры и начал анализа 10-11 классов. Из них одно задание – текстовая алгебраическая задача, составленная на материале, изучаемом в основной школе, и три задачи – геометрические (две – по курсу стереометрии, одна – по курсу планиметрии).

В инструкции для учащихся по выполнению работы указаны номера этих заданий и говорится о том, что их выполнение не учитывается при определении аттестационной отметки по курсу алгебры и начал анализа, которая выставляется участникам ЕГЭ. Включение таких заданий объясняется необходимостью проверки материала, который традиционно контролируется на вступительных экзаменах в вузы.