Высшая математика (стр. 4 )

если в начальный момент t0 = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями (начальными условиями)

u(x, 0) = f(x),

.

Задание приведено в таблице 7

Таблица 7 – Начальные условия

В-т		В-т
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20

Продолжение таблицы 7

В-т		В-т
21		22
23		24
25

Задание 8. Решить задачу линейного программирования графическим методом:

max(min)Z = c1x1 + c2x2,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Задание приведено в таблице8.

Таблица 8 – Данные задания 8

В-т		В-т		В-т
1	Z = 2x1 + x2,	2	Z = x1 + 5x2,	3	Z = x1 + 5x2,
4	Z = 2x1 + 3x2,	5	Z = 4x1 + 3x2,	6	Z = 5x1 + x2,
7	Z = 4x1 + x2,	8	Z = x1 + 4x2,	9	Z = x1 + x2,

Продолжение таблицы 8

В-т		В-т		В-т
10	Z = 2x1 + 3x2,	11	Z = 2x1 + 3x2,	12	Z = x1 + 2x2,
13	Z = 2x1 + 3x2,	14	Z = 3x1 + x2,	15	Z = 2x1 + x2,
16	Z = 3x1 + x2,	17	Z = 3x1 + 2x2,	18	Z = 2x1 + 3x2,
19	Z = x1 + 2x2,	20	Z = 3x1 + 4x2,	21	Z = 3x1 + 2x2,
22	Z = 2x1 + x2,	23	Z = 2x1 + x2,	24	Z = 3x1 + x2,
25	Z = x1 + 2x2,

Методические указания к выполнению контрольной работы

и примеры решения типовых задач

Задание 1. Стационарным скалярным полем называется пространство Rn (или его часть – область V), в каждой точке М которого определенна скалярная функция (числовая функция) u(M). В частности, в трехмерном пространстве математически скалярное поле может быть определено в данной области V заданием скалярной функции

u = u(M) = u(x, y, z).

Эту функцию, независимо от ее физического смысла, называют потенциалом скалярного поля.

При изучении скалярного поля важно знать скорость изменения функции u(x, y, z), задающей это поле, при переходе от одной точки поля к другой.

Производной функции u = u(x, y, z) в точке М0(х0, у0, z0) по направлению вектора называется предел (если он существует) отношения приращения функции Δu к величине перемещения , когда последнее стремится к нулю:

или

где – направляющие косинусы вектора .

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции u(x, y, z) в точке M0(x0, y0, z0), называется градиентом скалярного поля в точке М0

Пример. Найти производную скалярного поля в точке М1(2, 1, 1) по направлению градиента скалярного поля , вычисленного в точке М2(1, – 1, 1). Выяснить, возрастает или убывает скалярное поле в этой точке по данному направлению.

Решение. Найдем градиент векторного поля в точке М2(1, – 1, 1). По определению

Найдем частные производные функции v(x, y, z):

и вычислим их значения в точке М2(1, – 1, 1):

.

Следовательно,

,  = (– 2, 2, –3).

Далее, найдем производную скалярного поля в точке М1(2, 1, 1) по направлению по формуле

.

Для этого найдем частные производные функции u(x, y, z):

.

и вычислим их значения в точке М1(2, 1, 1):

Так как

 =  = ,

то его направляющие косинусы равны:

cosα = , cosβ = , cosγ = .

Следовательно,

.

Поскольку , то заданная функция в направлении убывает.

Ответ: . Функция в направлении убывает.

Задания 2, 3. Стационарным векторным полем называется пространство Rn (или его часть – область V), в каждой точке М которого определена векторная функция  = . В пространстве R3 в случае декартовой системы координат векторное поле записывается в виде