Высшая математика (стр. 5 )

 =  = P(x, y, z) + Q(x, y, z) + R(x, y, z)

и определяется тремя скалярными функциями P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – проекциями вектора на координатные оси.

Пусть в области V  R3 задано векторное поле  = (P, Q, R) и функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) имеют частные производные в точке M(x, y, z)  V по х, у, z соответственно. Тогда дивергенция или расходимость векторного поля в точке М, обозначаемая , определяется по формуле

.

С физической точки зрения характеризует мощность находящегося в точке М источника или стока векторного поля , то есть мощность находящегося в точке М источника, если и стока, если . В случае, когда , в точке М нет ни источника, ни стока.

Ротор или вихрь векторного поля  = (P, Q, R) это вектор, который обозначается и вычисляется следующим образом:

.

Для удобства запоминания ротора его можно записать с помощью символьного определителя:

.

Линия L называется ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения. Для гладкой линии L в качестве ориентирующего вектора может быть выбран единичный вектор , направленный в каждой ее точке по касательной к ней в сторону перемещения. Линия называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная. Если уравнение линии y = f(x), то гладкость означает, что функция y = f(x) – дифференцируемая.

Если задано векторное поле  = (P, Q, R) и некоторая замкнутая, ориентированная (кусочно-гладкая) кривая L в пространстве R3, то криволинейный интеграл

называется циркуляцией векторного поля вдоль контура L, где  – единичный вектор, направленный по касательной к кривой L и указывающий направление обхода по контуру.

Число

называется плотностью циркуляции векторного поля в точке М в направлении вектора . Вектор  – единичный вектор касательной. Плотность достигает максимума в направлении и равна , т. е. .

Поток П векторного поля , через ориентированную поверхность S равен значению интеграла по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности. Для потока векторного поля принято представление:

.

Пусть S – замкнутая кусочно–гладкая поверхность, единичный вектор внешней нормали к которой . Тогда поток П вектора  = (P, Q, R) через замкнутую ориентированную в направлении внешней нормали поверхность S можно вычислить с помощью формулы Остроградского–Гаусса:

.

Пример 1. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля в точке М0(1, – 1, 0).

Решение. Наибольшая плотность циркуляции векторного поля в данной точке М0 достигается в направлении ротора поля и численно равна . Найдем:

,

. Тогда

.

Ответ: .

Пример 2. С помощью формулы Остроградского – Гаусса вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону поверхности пирамиды, ограниченной плоскостью (р): х + 3у + z = 3 и координатными плоскостями х = 0, y = 0, z = 0.

Решение. Заданная векторная функция определена и дифференцируема в каждой точке области (V), ограниченной поверхностью пирамиды (рисунок 1).

Рисунок 1 – Чертеж области V

Тогда поток векторного поля в заданном направлении можно вычислить по формуле Остроградского – Гаусса:

.

Найдем дивергенцию векторного поля :

Тогда

.

Вычислим тройной интеграл по области V, получим:

= =

= =  = 

= .

Ответ: П = .

Задание 4. Пусть однозначная функция определена в некоторой области G комплексной плоскости z и точки z и z  + ∆z принадлежат области G. Приращение функции w в точке z имеет вид:

, где .

Производной функции в точке называется предел отношения при по любому закону, если он существует, т. е.

.

Если в точке z существует производная , то функция называется дифференцируемой в точке z.

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были дифференцируемы в точке (x, y) как функции двух действительных переменных и выполнялись соотношения:

, .

Эти соотношения называются условиями Коши-Римана.

Производную можно найти по одной из формул:

f ′(z) =  =  + i; f ′(z) =  – i;

f ′(z) =  – i; f ′(z) =  + i.

Пример. Показать, что функция f(z) = iz3 + z2 – 3iz дифференцируемая всюду на комплексной плоскости и записать ее производную.

Решение. Определим действительную и мнимую части функции f(z) = iz3 + z2 – 3iz, т. е. представим функцию в виде

.

Так как , то

f(z) = iz3 + z2 – 3iz = i(x + iy)3 + (x + iy)2 – 3i(x + iy) = 

= i(x3 + 3x2yi – 3xy2 – y3i) + x2 + 2xyi – y2 – 3xi + 3y = 

= x3i – 3x2y – 3xy2i + y3 + x2 + 2xyi –y2 – 3xi + 3y = 

= (y3 + x2 – y2 – 3x2y + 3y) + i(x3 – 3xy2 + 2xy – 3x).

Следовательно,

u(x, y) = y3 + x2 – y2 – 3x2y + 3y,

v(x, y) = x3 – 3xy2 + 2xy – 3x.

Проверим выполнение условий Коши–Римана:

,  .

Найдем частные производные функций u(x, y) и v(x, y):

.

Условия Коши-Римана выполняются при всех значениях х и у, следовательно, функция f(z) = iz3 + z2 – 3iz является дифференцируемой на всей комплексной плоскости. При этом

 = 2х – 6ху – i(3y2 – 2y–3x2 – 3).

Ответ:  = 2х – 6ху – i(3y2 – 2y–3x2 – 3).

Задания 5,6. Любая комплексная функция f (t) действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) f (t) – кусочно–непрерывная при t ≥ 0, это значит, что она либо непрерывна, либо в каждом конечном интервале имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода;

2) f (t) ≡ 0 при t < 0;

3) при t → ∞ функция f (t) растёт не быстрее некоторой показательной функции (имеет ограниченную степень роста), т. е. существует такое положительное число М и такое неотрицательное число s, что для всех t ≥ 0 выполняется неравенство

| f (t) | ≤ M∙est, М > 0, s ≥ 0.

Точная нижняя грань s0 ≥ 0 тех значений s, для которых выполняется указанное условие 3, называется показателем роста функции f(t).

Изображением функции f(t) по Лапласу (преобразованием Лапласа) называется функция F(p) комплексного переменного p = s + i из некоторой области D комплексной плоскости p, определяемая равенством

F(p)=.

Связь между функциями f(t) и F(p) будем обозначать в дальнейшем следующим образом: f(t)  F(p) или F(p)  f(t).

Первую запись следует читать так: «Оригинал f (t) имеет изображение F (p)». Вторую запись следует читать так: «Изображение F (p) имеет оригинал f (t)» или «f (t) является оригиналом изображения F (p)». Используются также и другие обозначения.

Основные свойства преобразования Лапласа

1. Теорема единственности. Оригинал f(t) вполне определяется своим изображением F (p) с точностью до значений в точках разрыва функции f(t).

Из теоремы следует, что если два изображения F (р) и Φ (р) совпадают, то совпадают между собой и соответствующие им оригиналы во всех точках, за исключением точек разрыва. То есть, если

F (p)  f(t), Ф (p)  φ (t) и F (p) ≡ Ф (p), то f (t) ≡ φ (t)

во всех точках непрерывности f (t).

2. Теорема линейности. Если f (t)  F (p), g (t)  G (p) для любых действительных или комплексных постоянных с1 и с2, то

с1f (t) + с2g (t)  с1 F (p) + с2 G (p), Re p > s0(k) (k = 1,2),

т. е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

3. Теорема подобия. Если f (t)  F (p), Re p > s0, то для любого числа а > 0:

f (аt) = , Re p > аs0,

т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.

4. Теорема запаздывания. Если f (t)  F (p), Re p > s0, то для любого положительного числа τ

f (t – τ)  e– рτF (p), Re p > s0.

5. Теорема о смещении изображения (затухания). Если f(t)  F(p), Re p > s0, то для любого действительного или комплексного числа α

eαtf (t)  F(р – α), Re (р – α) > s0,

т. е. умножение оригинала на функцию eαt, влечёт за собой «смещение» переменной p.

6. Теорема дифференцирования оригинала.  Если функции f(t), f ′(t), … , f (t) являются функциями-оригиналами, то

f ′(t)  p F (p) – f(0),

f ″(t)  p2F (p) – p∙f(0) – f ′(0),

…

f (t)  pF (p) – pf(0) – pf ′(0) – … – f (0).

Величина f (0), k=0, 1, …, n – 1, понимается как f (t).

7. Теорема об интегрировании оригинала. Если функция f (t) является оригиналом и f (t)  F (p) (Re p > s0) то функция g(t) =  также является оригиналом и

g(t)  F (p), Re p > s0,

т. е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.

На основании определений оригинала и изображения и основных свойств преобразований Лапласа составлена таблица основных формул соответствия (таблица 8).

Таблица 8 – Таблица основных формул соответствия

Номер формулы	Оригинал	Изображение
1	1
2	eαt
3	sin ωt
4	cos ωt
5	sh ωt
6	ch ωt
7	eαt∙sin ωt
8	eαt∙cos ωt
9	t
10	tn
11	tn∙eαt
12	t∙sin ωt
13	t∙cos ωt
14	t∙sh ωt
15	t∙ch ωt

Пример 1. Найти изображение функции

,

используя основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа.