Высшая математика (стр. 6 )

Решение. Найдем изображение каждого из слагаемых функции

.

Из таблиц соответствия известно, что

1  .

По теореме об интегрировании оригинала имеем

t2  .

Так как sin ωt  , то sin 2t  . Тогда по теореме о смещении изображения (затухания) получим

e– t sin 2t .

Из таблицы соответствия

cos ωt  .

Применяя теорему подобия, находим

cos 2t  .

Для нахождения изображения функции применим теорему о дифференцировании изображения. Получим

t∙cos 2t .

Далее, применяя теорему линейности преобразования Лапласа, получим

f(t) = 2 + t2 + e– t sin 2t + t∙cos 2t = 2∙1 + t2 + e– t sin 2t + t∙cos 2t 

2∙ +  +  + .

Следовательно,

.

Ответ: .

Применение операционного исчисления к решению линейных

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

и непрерывной правой частью

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (1)

f (t) – непрерывная функция действительного переменного.

Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

(2)

где  –  заданные числа (задача Коши).

Будем предполагать, что функция f (t) является оригиналом. Искомую функцию y(t) и её производные также предполагаем оригиналами. Полагаем f(t) F (p), y(t) Y(p).

Для решения поставленной задачи (1), (2) перейдём от уравнения (1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y(p) и F(p).

Применяя два раза теорему о дифференцировании оригинала, получим:

у′(t)  pY(p) – y0,

y″(t)  p2Y(p) – py0 – у0′

Далее, применяя теорему линейности, перейдём от уравнения (1) к операторному уравнению:

. (3)

Из уравнения (3) выразим .Искомое частное решение y(t) является оригиналом, соответствующим данному изображению. Оно определяется с помощью таблиц соответствия.

Пример 2. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Обозначим через y(t) искомое частное решение, через Y(p) – его изображение. Тогда

у′  pY(p) – y(0) = pY(p),

y″  p2Y(p) – py(0) – у′(0) = p2Y(p),

2t – 2   = .

Операторное уравнение будет иметь вид

откуда

.

Дробь представим в виде суммы простых дробей и найдем коэффициенты этого представления:

Из системы:

Откуда .

Тогда

.

Используя таблицы соответствия, найдём: Y(p)  t – etsin t.

Таким образом, искомое частное решение

y(t) = t – etsin t.

Ответ: y(t) = t – etsin t.

Задание 7. Рассмотрим задачу Коши для бесконечной однородной струны. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

при начальных условиях

u(x, 0) = f(x),

.

Искомое решение задачи Коши для бесконечной струны u(x, t) определяется по формуле

,

которая называется формулой Д’Aламбера или решением Д’Aламбера.

Пример. Методом Д’Aламбера найти уравнение u = u(x, t) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением

если в начальный момент t0 = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями

u(x, 0) = f(x), .

Здесь начальная форма струны f(x) = ex, а начальная скорость ее F(x) = cos2x.

Решение. Искомое решение u(x, t) найдем по формуле Д’Aламбера:

.

Так как f(x) = ex, F(x) = cos2x, то

и(х, t) =  =  =

.

Ответ: и(х, t) = .

Задание 8. Рассмотрим задачу линейного программирования:

max(min)Z = c1x1 + c2x2,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Строим область допустимых решений Ω, которая является пересечением полуплоскостей, определяемых неравенствами системы ограничений вида ai1x1 + ai2x2 ≤ bi, i = 1, …, m. Известно, что прямая ai1x1 + ai2x2 = bi делит плоскость на две полуплоскости, причем для любой точки (x1; x2) одной полуплоскости ai1x1 + ai2x2 ≤ bi, а для любой точки (x1; x2) другой полуплоскости ai1x1 + ai2x2 ≥ bi. Другими словами, решением неравенства

ai1x1 + ai2x2 ≤ bi

является одна из полуплоскостей, ограниченная прямой ai1x1 + ai2x2 = bi (и является выпуклым множеством).

Чтобы уточнить, какая полуплоскость является решением конкретного неравенства, достаточно подставить в него координаты любой точки одной полуплоскости: если числовое неравенство верно, то эта полуплоскость является решением неравенства, если нет – то другая. На практике удобно в качестве такой точки выбирать начало координат х = 0, у = 0. Искомая область Ω является пересечением построенных выпуклых множеств и также является выпуклым множеством.

Вектор  = (с1; с2), где с1 = , с2 = , называется вектором градиентом целевой функции Z = Z(х1; х2). Он показывает направление наискорейшего возрастания функции. Вектор –  (антиградиент) показывает направление наискорейшего убывания функции.

Вектор  = (с1; с2) перпендикулярен к прямым Z = const, которые называются линиями уровня целевой функции.

Порядок графического решения задачи линейного программирования (ЗЛП):

1) с учетом условий ограничений строим область допустимых решений Ω;

2) строим вектор  = (с1; с2) наискорейшего возрастания целевой функции;

3) проводим произвольную линию Z = Z0 (проще провести линию нулевого уровня Z = 0) перпендикулярно вектору ;

4) при нахождении maxZ(х1; х2) перемещаем линию уровня Z = Z0 в направлении вектора так, чтобы она касалась области Ω в ее крайнем положении (крайней точке). При нахождении minZ(х1; х2) поступаем аналогично, перемещая линию уровня в антиградиентном направлении;

5) определяем оптимальные планы

Х1* = (*, *) и Х2* = (*, *)

и экстремальные значения целевой функции

Zmin = Z(Х1*) и Zmax = Z(Х2*).

Пример. Решить задачу линейного программирования графическим методом:

max(min) Z = 3x1 + 2x2,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Решение. Построим область допустимых решений Ω. Из теории следует, что это будет выпуклое множество. Для этого запишем уравнения границ области допустимых решений. Заменив в ограничениях знак неравенства знаком равенства

x1 + 2x2, = 14, (I)

x1 – 4x2, = – 22, (II)

x1 – x2, = 2, (III)

построим эти прямые.

Определим полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам ограничениям. Пересечение этих полуплоскостей образует треугольник АВС, который и является областью допустимых решений Ω. Покажем ее на рисунке 2 штриховкой.

Рисунок 2 – Область допустимых решений Ω

Строим вектор  = (3; 2) – градиент целевой функции Z(х1; х2).

Далее проводим линию нулевого уровня 3x1 + 2x2, = 0, перпендикулярную вектору  = (3; 2).

Перемещаем линию нулевого уровня в направлении вектора . Первой точкой контакта линии уровня с треугольником АВС является точка А и, следовательно, Zmin = Z(А). Последняя точка контакта – точка С, и следовательно, Zmax = Z(C).

Найдем координаты точек A и С и вычислим экстремальные значения целевой функции.

Точка A – точка пересечения прямых (I) и (II).

А(2; 6), Zmin = Z(А) = Z(2; 6) = 3·2 + 2·6 = 18.

Точка С – точка пересечения прямых (II) и (III).

С(10; 8), Zmax = Z(C) = Z(10; 8) = 3·10 + 2·8 = 46.

Ответ: Zmin = 18, Zmax = 46.

Вопросы для подготовки к зачету

1 Поверхностные интегралы

1  Поверхностные интегралы первого рода: определение, вычисление, свойства, приложения.

2  Поверхностные интегралы второго рода: определение, вычисление, свойства, приложения.

3  Формула Остроградского-Гаусса.

4  Формула Стокса.

2 Элементы теории поля

5  Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля.

6  Производная по направлению скалярного поля.

7  Градиент скалярного поля. Свойства градиента. Связь между производной по направлению и градиентом скалярного поля.

8  Векторное поле. Векторные линии и векторные трубки.

9  Поток векторного поля через поверхность.

10  Дивергенция векторного поля и ее физический смысл. Свойства дивергенции.

11  Циркуляция векторного поля.

12  Ротор (вихрь) векторного поля.

13  Дифференциальные операции 2-го порядка.

14  Простейшая классификация векторных полей.

15  Оператор Лапласа в криволинейных координатах.

3 Элементы теории функции комплексной переменной

16  Определение функции комплексной переменной и ее геометрическое изображение.

17  Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

18  Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.

4 Элементы операционного исчисления

19  Оригинал и изображение. Основные определения. Теоремы существования изображения и единственности оригинала.

20  Основные свойства преобразования Лапласа: теоремы линейности, подобия, смещения, запаздывания.

21  Дифференцирование и интегрирование оригиналов.

22  Дифференцирование и интегрирование изображений.

23  Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразований Лапласа.

24  Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразований Лапласа.

5 Основные уравнения математической физики

25  Основные понятия об дифференциальных уравнениях в частных производных.

26  Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

27  Вывод уравнения колебаний струны.

28  Решение уравнения колебаний бесконечной струны методом Д’Аламбера.

29  Решение уравнения колебаний ограниченной струны методом разделения переменных (методом Фурье).

30  Вывод уравнения теплопроводности.

31  Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом Фурье.

32  Уравнение Лапласа. Задача Дирихле.

33  Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом разделения переменных.

Элементы линейного программирования

34  Постановка общей задачи математического программирования. Различные эквивалентные формы записи задач линейного программирования (ЗЛП).

35  Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования.

36  Симплекс метод решения задачи линейного программирования.

37  Решение основной задачи линейного программирования табличным методом.

38  Транспортная задача и ее экономико-математическая модель. Решение транспортной задачи методом потенциалов.

Список использованных источников

1 Герасимович, анализ: справочное пособие. / , , . – Минск: Выш. шк., – 1990. – Т.2.

2 Жевняк, математика. / , . – Минск: Выш. шк., 1988. Ч.4.

3 Пискунов, и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985. – Т.2.

4 Индивидуальные задания по высшей математике: учебное пособие. В 4 ч. Ч. 3, Ч.4. / [и др.]; под общ. ред. . – Минск: Выш. шк., 2007.

5 Письменный, лекций по высшей математике: полный курс / . – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – (Высшее образование).

6 Кузнецов, математика. Математическое программирование: учебник. / , В. А Сакович, ; под общ. ред. . – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск: Выш. шк., 2001. – 351 с.

7 Сборник задач и упражнений по высшей математике. Математическое программирование: учеб. пособие. / , , и др.; под общ. ред. , . – 2–е изд., перераб. и доп. – Минск: Выш. шк., 2002. – 447 с.

8 Кузнецов, к решению задач по математическому программированию: учеб. пособие. / , , ; под общ. ред. . – 2–е изд., перераб. и доп. – Минск: Выш. шк., 2001. – 448 с.

Учебное издание

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания

Составители:

Исакова Валентина Михайловна

Юрченко Ирина Викторовна

Редактор А. А. Щербакова

Технический редактор Т. В. Багуцкая

Подписано в печать. 2012. Формат 60×84 1∕16.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная.

Усл. печ. л. . Уч.-изд. .

Тираж экз. Заказ.

Учреждение образования

«Могилевский государственный университет продовольствия».

ЛИ № 000/0131913 от 01.01.2001.

Пр-т Шмидта, 3, Могилев.

Отпечатано в учреждении образования

«Могилевский государственный университет продовольствия».

Пр-т Шмидта, 3, Могилев.