Республика Казахстан (стр. 5 )

,

где .

.

Если рассматриваемое тело симметрично относительно вертикали центра сферы, то

Формула (7) в предположении указанной симметрии может быть записано проще:

(8)

Допустим, что на плоскости известны значения потенциала искомого тела. Мы предполагаем, что эти значения симметричны относительно начала координат и мало отличаются от значений потенциала Кеплера для сферы радиуса с центром в точке (0,0,-h). Обозначая через расстояние точки плоскости начала координат, мы задаем в следующем виде:

, (9)

где есть заданная функция переменной , а число - малый параметр.

Переменную можно выразить через косинус дополнения широты точки, лежащей на плоскости:

, (10)

где .

Соотношение (10) позволяет нам записать формулу (9) в ином виде:

. (11)

На основании формулы (8) составим левую часть этого уравнения. После простых преобразований найдем уравнение для определения функции :

.

Введем обозначения , и получим . (12)

Функция связана со значениями потенциала соотношением и может быть изображена регулярным рядом вида :

,. (13)

Подставив это разложение в правую часть уравнения (12) и отыскав решение (12) в виде степенного ряда по малому параметру :

, (14)

придем к системе уравнений для определения неизвестных коэффициентов .

Определение неизвестной функции привело к решению серии интегральных уравнений первого рода. Определив функцию , мы можем найти функцию и т. д. Определение всех функций , ,… происходит по одному и тому же способу: находятся коэффициенты разложения этих функций в ряды полиномов Чебышева второго рода, а затем составляются и самые ряды.

Решив уравнение системы относительно функции , получаем выражение , (15)

которого используем для доказательства сходимости ряда (14) . Каждый коэффициент этого ряда, составляясь в результате умножения регулярных рядов, изображающих предыдущие коэффициенты, является регулярным рядом. Обозначим через показатель регулярности, общий всем этим рядам. Из теоремы Ляпунова об умножении регулярных рядов следует, что такой показатель действительно может быть найден и может произвольно мало отличаться от ранее введенного числа как показателя регулярности ряда (13).

Рассмотрим двойную сумму формулы (15).

(16)

Без особых усилий можно доказать сходимость этого ряда для достаточно малых значений . Этот результат подтверждает то факт, что при замене интеграла

величиной, большей его, мы получаем для малых сходящийся ряд. И, следовательно,

.

Если мы поставим правую часть этого неравенства вместо соответствующего множителя формулы (15) и заменим единицей, то получим некоторое число, ограничивающее сверху модуль функции . Это число мы можем приравнять числу , которое, согласно предыдущему, ограничивает сверху функцию . Итак,

. (17)

Для функции ограничение можно получить через ограничение для заданной функции . Это неравенство для функции мы запишем в виде следующего тождества:

, (18)

здесь определяется по заданной функции . Умножим равенство (17) на , а равенство (18) на и сложим результаты умножения, придав числу все целые значения от 2 до , получим

,

здесь .

Таким образом, для определения функции мы получили трансцендентное уравнение. Полагая в этом уравнении , мы видели, что оно удовлетворяется значением функции . Следовательно, наше уравнение, которое имеет лишь один член с первой степенью , обладает единственным голоморфным решением, изображаемым степенным рядом по переменному , сходящимся вблизи нулевого значения этого параметра. Все коэффициенты степенного ряда положительны. Итак, мажоранта ряда, изображающего искомую функцию построена, и мы можем утверждать, что ряд (14) сходится и представляет решение нашей задачи для достаточно малых значений параметра или .

Следовательно, мы пришли к такому результату: если на плоскости дана такая функция , которая может быть представлена в виде ряда

(19)

с коэффициентами , удовлетворяющими условию , где и числа и даны , то можно найти под плоскостью для достаточно малых значений параметра задачи такое однородное тело плотности единица, симметричное относительно оси и мало уклоняющееся от сферы радиуса , находящейся на глубине, которое в точках плоскости обладало бы заданными значениями (19) своего потенциала Кеплера.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Кирейтов и обратная задача Дирихле для потенциала Кеплера. Новосибирск. Издательский дом, Манускрипт, 2002

2.  Об одной обратной задаче теории потенциала, Изв. АН СССР, сер. матем., 1938, №5-6, стр.551-570.

3.  Serikbaev A. About one inverse problem of potential of simple puff for the break surface // Тезисы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Алматы, 2001, стр. 1.

4.  Наметкулова задача потенциала Кеплера «в малом» // Механика и моделирование процессов технологии, 2007 №1, стр.35.

ТарГУим. , Поступило в редакцию

г. Тараз 7.04.2011г.

__________________________

Механика жӘне технология процесстерін үлгілеу

МЕХАНИКА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

ТЕХНОЛОГИИ, 2011, № 1,с. 57-60

УДК 622.692.4.053

, , А. Сарсенбаев

РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ ТРУБОПРОВОДА В РЕЖИМЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Использование любого метода динамического расчета конструкций основана на определении динамических характеристик, важнейшими из которых являются частоты, формы и декременты колебаний. Зная частоты и формы собственных колебаний можно не только полностью провести динамический расчет конструкций, но и предусмотреть возможные мероприятия по уменьшению их колебаний.

Перед экспериментальными исследованиями моделей трубопровода при свободных ее колебаниях поставлена задача определения частот и декрементов колебаний при различных эксплуатационных параметрах.

Фрагменты модели собирались из двух секций длиной 2,0 м, соединенных по образующей в стык с помощью флюсовой пайки. В торцы моделей трубопровода были вварены специальные насадки, патрубки и штуцера установки уровнемера налива жидкости, для слива и налива воды, для установления манометра и подачи воздуха компрессором.

В модели трубопровода смоделированы следующие условия закрепления на опоре: две скользящие свободноподвижные опоры в пролете, жестко закрепленная в одном и продольно подвижная в другом краю трубопровода.

При выборе возбудителя колебаний учитывались предполагаемая доминирующая собственная частота и амплитуда колебаний, при которой значения динамических напряжений достаточны для регистрации.

В работе для проведения динамических испытаний моделей трубопровода использован виброэлектродинамический стенд ВЭДС-10 индуктивного действия с рабочим диапазоном частот вибратора до 5000 Гц.

Измерение динамических перемещений осуществлялось тензорезисторным кольцевым преобразователем перемещений, который состоит из стального кольца с концевыми элементами для закрепления и наклеенными на них двумя тензорезисторами базой 5 мм. Размер и жесткость кольца прогибомера подбирались по коэффициенту преобразования и по соотношению частот колебаний модели и собственной частоты колебания кольца.

В работе использовался 24-канальной светолучевой осциллограф НО44 1 с магнитоэлектрическими гальванометрами типа МО17 с рабочей полосой частот от 0 до 400 Гц. Для записи сигналов от тензодатчиков использовалась светочувствительная осциллографная бумага УФ-100 и УФС-100, не требующая химической обработки. Для усиления сигналов от тензорезисторов использовался 10-ти канальный универсальный тензоусилитель «Топаз-3-01» в комплекте с блоком питания «Агат».

Режим свободных затухающих колебаний модели создавался начальным смещением трубопровода специальной установкой, в соответствии с рисунком 1, включающей трос и струну из высокопрочной проволоки диаметром 0,8 мм. Смещение трубопровода производилось в середине пролета (L/2) и в торце модели (L). Сброс смещения осуществлялось «перекусыванием» высокопрочной проволоки.

Исследования напряженно-деформированного состояния и динамических характеристик моделей трубопровода проводились при горизонтальных и вертикальных динамических воздействиях, что являются наиболее часто встречающимися и опасными направлениями воздействий [1, 2].

Рисунок 1 – Схема возбуждения свободных колебаний трубопровода

Трубы заполнялись водой, и рассматривались случаи пустого (0Н), частично заполненного (0,5Н;0,75Н) и полностью заполненного трубопровода (1.0Н). Одновременно рассматривались варианты отсутствия или наличия внутреннего избыточного давления (0,5 МПа, 1,0 МПа). По нашему мнению, указанные параметры моделируют основные, возможные варианты эксплуатационных режимов магистральных трубопроводов.

Схема установки тензорезисторов и прогибомеров для измерения поступательных кольцевых перемещений стенки трубопровода при динамических воздействиях представлена в соответствии с рисунком 2.

Рисунок 2 – Схема установки динамических прогибомеров и тензорезисторов

Частоту (период) свободных колебаний и вычисление логарифмического декремента осуществляли по осциллограмме (виброграмме) свободных колебаний модели трубопровода.

Так как ускорение связано с перемещениями через квадрат частоты, экспериментальное значение ускорения определялось из выражения [3]:

, (1)

откуда

, (2)

где - ускорение, м/с2; – амплитуда колебаний, м; - частота колебаний, 1/с.

Экспериментальные значения инерционной силы и жесткость трубопровода определялись по формулам:

(3)

(4)

где - приведенная масса, кг.

Анализ осциллограмм свободных затухающих горизонтальных колебаний моделей трубопровода без предварительного напряжения, показал, что резонансная частота пустой модели трубопровода наступает при 12,9 Гц, при частичном заполнении трубопровода наблюдается ее снижение до 12,1 Гц, при полном заполнении - до 11,0 Гц.

Наличие избыточного внутреннего давления снизило частоты от 12,1 Гц до 10,2 Гц при частичном заполнении и от 11,0 Гц до 9,2 Гц при полном ее заполнении.

Декременты колебаний при увеличении уровня заполнения от частичного до полного, при отсутствии избыточного давления увеличиваются в 1,24 раза, а при увеличении внутреннего давления до 1,0 МПа - в 1,18 раза при частичном заполнении и в 1,06 раза при полном заполнении модели.

Анализ осциллограмм свободных затухающих вертикальных колебаний модели показал, что собственная частота колебаний при пустом трубопроводе составила 12,8 Гц, при полном ее заполнении и внутреннем давлении 1,0 МПа – 8,2 Гц, декременты колебания соответственно 0,190 и 0,077.

Результаты приведенных экспериментов приведены в таблице 1.

Направление колебания	Уровень налива	Внутреннее избыточ-ное давление, МПа	Частота свобод-ных колебаний, Гц	Декремент колебаний
Горизон-тальное	0	0	12.9	0,132
1,0	12,8	0,122
0,5	0	12.1	0,117
1,0	10.2	0,108
1,0	0	11.0	0,112
1,0	9.2	0,104
Вертикаль-ное	0	0	12.8	0.190
1,0	10.2	0.115
0,5	0	9.6	0.115
1,0	8.2	0.07
1,0	0	8.2	0.102
1,0	7.5	0.062

Полученные результаты показывают значительное влияние параметров эксплуатации на динамические характеристики трубопровода.

Литература

1 , Зейнетдинов , конструирование трубопроводов в сейсмических районах.– М.:Стройиздат, 1988. – 184 с.

2 Напетваридзе магистральных трубопроводов и специальных сооружений нефтяной и газовой промышленности. – М.: Наука, 1980. – 171 с.

3 Вибрационные испытания различных типов специальных конструкции вплоть до разрушения // Международная конференция по сейсмостоикому строительству в Сан-Франциско. – М.: Госстройиздат, 1961. – 366 с.

ЮКГУ им. М. Ауезова, Поступило в редакцию

г. Шымкент 21.04.2011г.

____________________________

Механика жӘне технология процесстерін үлгілеу

МЕХАНИКА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

ТЕХНОЛОГИИ, 2011, № 1,с.61-67

УДК 539.3+622.023

, ,

Упруго-ползучее состояние разноориентированных тоннелей в трансверсально-изотропной среде с несплошным сцеплением наклонных слоЕв

Горизонтальные подземные полости, в виде диагональных выработок в зависимости от направления их продольной оси относительно линии простирания наклонных слоев подразделяется на три группы: штреки-полости, пройденные вдоль линии простирания слоев, квершлаги-выработки, заложенные вкрест простирания слоев и диагональные полости-выработки, занимающие промежуточное положение между штреками и квершлагами.

Напряженное и деформированное состояние этих горизонтальных полостей кроме взаимного расположения, глубины заложения, формы поперечного сечения зависит также от упругих и ползучих свойств окружающего горного массива.

Исследование закономерности распределения упруго-ползучих напряжений и перемещений вблизи полостей произвольной глубины заложения и форм сечения в зависимости также от неоднородно-трещиноватого строения является не только теоретический интерес, но и непосредственное практическое значение.

Розноориентированные подземные полостей неглубокого заложения в тяжелом транстропном массиве в зависимости от степени несплошности сцеплением мелких наклонных слоев под углом φ, когда продольные оси полостей составляют произвольный угол ψ с линией простирания плоскости изотропии, совпадающей с плоскостью щелей. Обозначим через Н глубину заложения выработок с расстоянием между их центрами L.

Уравнение обобщенного закона Гука анизотропного массива с полостями при обобщенной плоской деформации относительно декартовой системой координат Oxyz (см. рис.1) записывается в виде

; (1)

где: , ,

- коэффициенты деформации, определяемые формулами [1]:

(2)

Рисунок 1- Расчетная схема изучения напряженного состояния анизотропного массива

а) пространственный вид; б) обобщенный плоский вид; в) плоскость с периодической системой щелей

В этих формулах - эффективные упругие постоянные транстропного массива, эквивалентного по жесткости анизотропному массиву с щелями, которые зависият от упругих постоянных последнего и геометриеи щелей [2-4].

С помощью теории ползучести горных пород и методом конечных элементов в условиях обобщенной плоской деформации исследованы закономерности распределения ползучих напряжений и перемещений в близи парных диагональных полостей в весомом ползучем транстропном массиве.

Временные процессы (при t>0) вблизи подземных полостей обусловлены проявлением свойств ползучести окружающих горных пород. Для их исследования, привлекая основные принципы теории ползучести горных пород , (2) приведенные упругие постоянные и коэффициенты Ппуассона заменяются временными операторами

, (3)

, - ядро наследственности.

Как показали лабораторные исследования [5] ползучие параметры анизотропных горных пород незначительно изменяются в разных направлениях.

Поэтому в работе временные операторы задаются в виде

, .

Тогда ползучие параметры горных пород при абелевом ядре ползучести определяются формулами

;

ползучие параметры горных пород, время.