Электродинамика (стр. 11 )

5.  Проводящая катушка с площадью поперечного сечения S = 100 см2 состоит из N = 200 витков и равномерно вращается с периодом Т = 20 мс в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл вокруг оси, перпендикулярной вектору магнитной индукции. Концы катушки замкнуты на резистор сопротивлением R = 100 Ом. Найдите, как изменяется сила тока через резистор со временем, определите частоту изменения силы тока и максимальное значение силы тока.

• \т _ 2nNBS _i, R.l

итах--гд--1.26А]

§ 36. Передача электроэнергии на расстояние

Потери электроэнергии в линиях электропередачи. Электроэнергия производится вблизи источников топлива или гидроресурсов, в то время как ее потребители находятся повсеместно. Поэтому возникает необходимость в передаче электроэнергии на большие расстояния. При большой длине линии электропередачи ее электрическое сопротивление становится значительным. Это приводит к существенным потерям передаваемой мощности в подводящих проводах, пропорциональной сопротивлению

Электромагнетизм

127

линии г. Согласно формуле (46) потери мощности в подводящих проводах

составляют

Р2 Р = — г

" U2 '

где Р — мощность источника тока (генератора), U — передаваемое напряжение.

Оценим мощность, теряемую в подводящих проводах.

Крупный город потребляет электрическую мощность порядка 20 МВт. Из-за потерь мощности электростанция должна вырабатывать существенно большую мощность. Сопротивление 1 км двухпроводной линии из

медного провода диаметром 1 см равно: г1 = р - =1 Ом. Тогда при переда-

че электроэнергии при напряжении 200 В потери мощности на 1 км подводящих проводов составляют:

Рп = (20'*°6)2 • 1 = 1010Вт/км = 107кВт/км.

При передаче на расстояние 1000 км потери мощности составят 1010кВт. За 1 ч в подводящих проводах потери составляют 1010кВт • ч. При стоимости одного киловатт-часа 2 р. потери оцениваются в 20 млрд р./ ч. Значительно уменьшить сопротивление линии практически невозможно. Поэтому уменьшение потерь мощности в линиях электропередачи (ЛЭП) достигается за счет повышения передаваемого напряжения. Потери мощности обратно пропорциональны квадрату передаваемого напряжения. Например, электроэнергия от Самарской ГЭС в Москву передается при напряжении 400 кВ. При таком напряжении потери энергии и их стоимость уменьшаются по сравнению с предыдущим вариантом в

(400-103t л ("loo-J =4млнРаз-

Поэтому передача электроэнергии на расстояние требует сначала повышения напряжения с 20 кВ до 400—500 кВ, а затем его снижения до 220 В, сравнительно безопасно используемых потребителем. Подобное изменение напряжения — технически затруднительная проблема при передаче постоянного тока, которая практически отсутствует в линиях электропередачи переменного тока. Это определяет повсеместное применение ЛЭП переменного тока, в которых изменение напряжения осуществляется с помощью трансформаторов.

Схема передачи электроэнергии потребителю. Рассмотрим принципиальную схему передачи электроэнергии от генератора к потребителю

128 Электродинамика

Генератор ЛЭП высокого Промышленное Потребитель

электростанции напряжения предприятие

▲ 119

Принципиальная схема передачи электроэнергии на расстояние и ее распределения

(рис. 119). Обычно генераторы переменного тока на электростанциях вырабатывают напряжение, не превышающее 20 кВ, так как при более высоких напряжениях резко возрастает возможность электрического пробоя изоляции в катушке (обмотке) и в других частях генератора.

Для сохранения передаваемой мощности (снижения потерь мощности) напряжение в ЛЭП должно быть максимальным, поэтому на крупных электростанциях ставят повышающие трансформаторы. Однако напряжение в линии электропередачи ограничено: при слишком высоком напряжении между проводами возникают разряды, приводящие к потерям энергии.

Для использования электроэнергии на промышленных предприятиях требуется значительное снижение напряжения, осуществляемое с помощью понижающих трансформаторов. Дальнейшее снижение напряжения до величин порядка 4 кВ необходимо для энергораспределения по местным сетям, т. е. по тем проводам, которые мы видим на окраинах городов. Менее мощные трансформаторы снижают напряжение до 220 В (напряжение, используемое большинством индивидуальных потребителей).

В России и странах ЕС (Европейского сообщества) используется переменное напряжение с частотой 50 Гц. Такой эталон частоты выбран с учетом инерционности человеческого зрения, позволяющего различать сигналы длительностью не менее 0,05 с. Частота 50 Гц достаточна для того, чтобы человеческий глаз не замечал изменения интенсивности излучения ламп накаливания.

Электромагнетизм

129

ВОПРОСЫ

•j. Почему повышение напряжения, передаваемого в линии электропередачи, уменьшает потерю мощности в подводящих проводах?

2.  Для чего в линиях электропередачи используют повышающие трансформаторы?

3.  Чем ограничено повышение напряжения в линиях электропередачи?

4.  Зачем при передаче электроэнергии на расстояние используют понижающие трансформаторы?

5.  Почему в качестве частоты переменного напряжения используется частота 50 Гц?

§ 37. Векторные диаграммы для описания переменных токов и напряжений

Представление гармонического колебания на векторной диаграмме.

Переменное напряжение, получаемое потребителем от электростанции через ЛЭП, изменяется с течением времени по гармоническому закону.

Мгновенное значение напряжения — напряжение в данный момент времени t можно представить в виде:

и = Umcos (cot + ф0), (91)

где Uт — амплитуда (максимальное значение) напряжения, со — круговая частота колебаний, равная угловой скорости вращения ротора генератора электростанции.

Аргумент косинуса ф = Ш + tp0 определяет фазу колебаний в момент времени t.

Фаза колебаний — аргумент функции, описывающей гармонические колебания.

и = Umcos(mt + <р0)

При заданной амплитуде фаза определяет yj мгновенное значение колеблющейся величины. Начальная фаза колебаний ф0 — фаза колебаний в начальный момент времени, т. е. при t = 0.

Для наглядного описания гармонических колебаний используется метод векторных диаграмм. В методе векторных диаграмм гармоническое колебание представляют в виде вектора. А 120 Модуль этого вектора равен амплитуде колеба - Представление гармо-нии, а угол, образуемый вектором с осью X, ра - нического колебания вен начальной фазе колебаний (рис. 120). Воз - в виде вектора

, 11 кл.

130

Электродинамика

Фо=0

t = OX

то синусоидальное колебание можно представить в виде вектора длиной 1т, направленного противоположно оси У. Этот вектор имеет начальную фазу (-л/2) (рис. 121,6). Рассмотрим теперь вращение вокруг начала координат вектора с модулем Um, имеющего начальную фазу ф0 (рис. 122, а). При угловой скорости вращения со его проекция на ось X изменяется по закону Umcos (со* + ф0). Косинусоидальное колебание Umcos (со* + ф0) представляется в виде вектора длиной Um, составляющего с осью X угол ф0 (рис. 122, б). Синусоидальное колебание можно выразить как косинусоидальное:

а)

Y
	Л, sin т	со*	t=	0
О	со* ""^	Ч;		X
1т	1	,-'	Фо =	я 2

б)

121

Векторная диаграмма

для:

я) косинусоидальных

колебаний;

б) синусоидальных

колебаний

можность такого представления гармонического колебания следует из взаимосвязи гармонического колебательного движения с вращением по окружности (см. Ф-10, § 18).

Рассмотрим подробнее эту взаимосвязь, чтобы обосновать метод векторных диаграмм. Предположим, что вектор с модулем 1т в начальный момент (* = 0) направлен по оси X. Если определить начальную фазу ф0 как угол, образуемый вектором с осью X в начальный момент времени, то ф0 = 0. Пусть этот вектор вращается в плоскости XY с угловой скоростью со против часовой стрелки (рис. 121, а). Через время * вектор поворачивается на угол cot.

Проекция вектора 1т на ось X изменяется по косинусоидальному закону Imcos со*. Поэтому косинусоидальное колебание удобно представить в виде вектора длиной 1т, направленного по оси X, т. е. имеющего начальную фазу, равную нулю. Любое синусоидальное колебание можно рассматривать как косинусоидальное с определенной начальной фазой. Так как

(*-!>

(92)

/„sin со* = /mcos

Umsm (со* + ф0) = Umcos (со* + ф0 - | ],

(93)

н поэтому представить вектором длиной Um, составляющим с осью X угол р0 - 7с/2. Этот угол играет роль начальной фазы для этого вектора. При наличии двух гармонических колебаний

Электромагнетизм

131

(94)

их = Umlcos ((at + фх)

«2 = Um2COS № + Фа)

их разностью фаз Д(р = <р2 - Ф! на векторной диаграмме является угол между ними (рис. 123). Говорят, что второе колебание опережает первое по фазе на Аф или что первое колебание отстает по фазе от второго на Аф. Такая терминология связана с тем, что векторы вращаются против часовой стрелки.

Сложение двух колебаний. Сложение колебаний на векторной диаграмме происходит по правилу сложения векторов, т. е. по правилу параллелограмма или треугольника.

Рассмотрим сложение двух колебаний с одинаковой амплитудой Um:

иЛ = Umcos (at,

ТТ • / ^5)

и 2 = Umsin (at.

Найдем сначала результат сложения этих колебаний аналитически:

(-!))■

и1 + и2

U„ I cos со* + cos

cos

2C/mcos I

Следовательно,

(96)

"l + "2 = Um ^2 cos ((at - j ].

Тот же результат легко получается с помощью векторной диаграммы (рис. 124). Косинусои-Дальному колебанию соответствует вектор с модулем Um, направленный по оси X, так как ф0 = 0.

Второе колебание можно тоже записать через косинус с начальной фазой (-л/2):

"2 = ^ «COS ((at - | У

•этому колебанию соответствует вектор с моду-ем ^ш' направленный противоположно оси У, так как ф0 = л/2.

5*

0 Umcos(a>t + %) Х а)

у| Umcos(a>t + %)

иA Umsin((ot + %) б)

▲ 122

Колебания с начальной фазой на векторной диаграмме:

а) косинусоидальные;

б) синусоидальные

А 123

Разность фаз двух гармонических колебаний

)

Электродинамика

Сложение векторов дает вектор с модулем Umj2 и начальной фазой (-л/4). Такое колебание описывается зависимостью (97).

ВОПРОСЫ

1.

124 жжение колебаний на ;торной диаграмме

Дайте определение мгновенного значения напряжения, фазы колебаний и начальной фазы колебаний.

Как гармоническое колебание представляют на векторной диаграмме?

Как изображаются на векторной диаграмме косинусо-идальное и синусоидальное колебания?

Как изображаются на векторной диаграмме два синхронных колебания?

Как происходит сложение колебаний на векторной диаграмме?

ЗАДАЧИ

Напряжение меняется с течением времени по закону и = 10cos (2п/Т) (t + Г/6) В.
Найдите амплитуду, круговую частоту, начальную фазу и мгновенное значение на
пряжения в момент времени t = Т/4. [10В; 2к/Т; я/3; -8,5 В] Изобразите на векторной диаграмме гармоническое колебание силы тока
i = 4cos(10< + 3rc/4)A.

Изобразите на векторной диаграмме гармоническое колебание напряжения и = 6sin (Ы - л/3) В.

Какое из двух колебаний u, = 10cos (cot + л/4), и2 = 10sin (cot + л/4) отстает по фазе?
Чему равно это отставание? Покажите его на векторной диаграмме. [я/2]

Сложите на векторной диаграмме колебания, описанные в задаче 4. Запишите за
кон результирующего колебания. [14,14 cos rot]

38. Резистор в цепи переменного тока

ла тока в резисторе. Предположим, что в качестве нагрузки генератора >еменного тока используется резистор с сопротивлением R (рис. 125, а), пряжение, созданное генератором на концах резистора, изменяется по :ону

и = Umcos (ot. (97)

В соответствии с законом Ома сила тока в резисторе будет

(98)

U

- д = Jmcos со*,

^m ~ Um/R — амплитуда силы тока.

Электромагнетизм

133

б> и\1 Г=2я/ш 1

а)

J) Ун

R

cos cot

fcH

£/_

J

0 X

A 125

Резистор в цепи переменного тока:

а) схема включения; б) изменение со временем напряжения и силы тока;

в) векторная диаграмма

Напряжение и сила тока в резисторе синхронно меняются с течением времени по косинусоидальному закону (рис. 125, б).

Напряжение и сила тока в резисторе совпадают по фазе в любой момент времени. На векторной диаграмме (рис. 125, в) векторы Um и 1т, имеющие нулевую начальную фазу, направлены по оси X.

Действующее значение силы переменного тока. При включении в цепь переменного тока амперметра, рассчитанного на измерение постоянного тока, его стрелка будет колебаться с частотой 50 Гц. Поэтому определить величину тока, меняющегося в пределах от -1т до +1т, будет практически невозможно. Напомним, что сила тока 1 А была введена как сила постоянного тока (см. § 25). Возникает вопрос: какой переменный ток эквивалентен по действию постоянному току 1 А?

Среди известных действий электрического тока — химического, магнитного и теплового, только тепловое действие не зависит от изменения направления тока. Тепловая мощность, выделяемая в резисторе, пропорциональна квадрату силы тока (см. (44)): Р = PR.

Сила переменного тока 1 А — сила тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и постоянный ток 1 А за тот же промежуток времени.

Амперметр переменного тока измеряет действующее значение силы тока.

Действующее значение силы переменного тока равно силе постоянного тока, при котором в проводнике выделяется такое же количество теплоты, что и при переменном токе за тот же промежуток времени.

134 Электродинамика

Если переменный ток изменяется по гармоническому закону, в качестве промежутка времени выбирается период изменения тока. Чтобы найти действующее значение силы тока, протекающего через резистор, воспользуемся выражением для мгновенной мощности тока, выделяемой в резисторе:

P. = i2R= /2Rcos2cot.

Учитывая, что cos2 Ш — - (1 + cos 2(ot), получаем:

ilR

IlR

+

(99)

Р.=

cos cot.

2 2

Графиком зависимости мгновенной мощности тока от времени является косинусоида с амплитудой J2 R/2, периодом Г/2 = я/со. Косинусоида сдвинута вверх по вертикальной оси на I^R/2 (рис. 126).

Равенство количества теплоты, выделяемого за период переменным и постоянным током, означает равенство средних тепловых мощностей этих токов. Из рисунка 126 видно, что средняя мощность Р_, выделяемая за период переменным гармоническим током, равна

^ IlR

Такая же мощность Р= выделяется в резисторе при протекании постоянного тока 1Д:

Действующее значение силы переменного тока получается, если приравнять эти мощности:

0,5/<Д

(100)

126 ►

Мгновенная тепловая мощность, выделяемая в резисторе за период изменения силы тока

Электромагнетизм

135

Действующее (эффективное) значение силы, переменного гармонического тока в J2 раз меньше его амплитуды. Аналогично определяется действующее (эффективное) значение переменного гармонического напряжения:

 

(101)

U ш —2

и* Л'

В цепях переменного тока резистор часто называют активным сопротивлением.

Активное сопротивление — сопротивление элемента электрической цепи, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется во внутреннюю.

Активным сопротивлением обладают электролампы, электродвигатели, трансформаторы и т. д.

ВОПРОСЫ

1.  Как связаны между собой напряжение и сила тока в резисторе?

2.  Что означает выражение: «Сила переменного тока в 1 А»? Почему сравнивают именно тепловое действие переменного и постоянного тока?

3.  Дайте определение действующего значения переменного тока.

4.  Как связано действующее значение силы тока (или напряжения) с его амплитудным значением?

5.  Какое сопротивление в цепи переменного тока называют активным?

§39. Конденсатор в цепи переменного тока

Разрядка конденсатора. В цепи, содержащей конденсатор, постоянный ток протекать не может, так как цепь оказывается разомкнутой. Между пластинами конденсатора нет свободных носителей зарядов ни в воздухе, ни в диэлектрике, так что конденсатор является разрывом цепи для постоянного тока. Зазор между пластинами конденсатора аналогичен пробке в водопроводной системе, которая не позволяет воде постоянно циркулировать, т. е. работать в стационарном (не зависящем от времени) режиме. В то же время пробка не мешает жидкости заполнять систему, а также сливать жидкость, т - е. работать в нестационарном (зависящем от времени) режиме.

Аналогичными режимами в электрической цепи является зарядка и Разрядка конденсатора, при которых заряженные частицы перемещают-

136

Электродинамика

ся по проводникам, соединяющим пластины конденсатора, но не перемещаются в зазоре между ними. Если заряженный до напряжения конденсатор отключить от источника постоянного тока и соединить его обкладки с клеммами лампы накаливания, наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 127, а). Ток 1р, протекающий через лампу от положительной обкладки к отрицательной, приводит к разрядке конденсатора. Попадающие на отрицательную пластину положительные заряды быстро нейтрализуют ее.

Время релаксации R—С-цепи. Оценим время разрядки конденсатора емкостью С через сопротивление R. В отсутствие внешней ЭДС суммарная разность потенциалов в контуре на сопротивлении и конденсаторе равна нулю:

uR + uc = o,

или

LR+17C = 0.

Так как

/ = q' = СЩ,

то изменение напряжения на конденсаторе в единицу времени равно

(-Uc) (-Uc)

U с

RC

(102)

Величина (-Uc) в числителе формулы (102) характеризует полное изменение напряжения на конденсаторе при его разрядке. Следовательно, величина хс = RC в знаменателе формулы (102) определяет по порядку величины время разрядки конденсатора, или время релаксации R—Сцепи.

Геометрически производная U'c в формуле (102) характеризуется тангенсом угла наклона касательной к кривой Uc(t). При t = 0 касательная к

а)

С/Ги

б)

^127

Разрядка конденсатора:

а) через лампу;

б) зависимость напря
жения на конден
саторе от времени

Электромагнетизм

137

зависимости Uc(t) (рис. 127, б) пересекает ось t в точке хс = RC. Так можно найти графически время релаксации R—Сцепи.

Зарядка конденсатора. Ток смещения. При подключении конденсатора к источнику постоянного напряжения U0 в цепи возникает кратковременный импульс тока 1а, который заряжает конденсатор до напряжения источника (рис. 128, а). После зарядки конденсатора ток прекращается. Время релаксации хс = RC характеризует как время разрядки, так и время зарядки конденсатора (рис. 128, б).

При подключении к конденсатору генератора прямоугольных импульсов длительностью Т с амплитудой напряжения U0 (рис. 129, а) зависимость от времени напряжения на конденсаторе повторяет кривые зарядки и разрядки при постоянном напряжении (рис. 129, б).

В процессе зарядки ток, протекающий по подводящим проводам, или ток проводимости, создает вокруг себя переменное магнитное поле. Линиями индукции этого поля являются концентрические окружности (рис. 130). Так как подводящие проводники располагаются снаружи от конденсатора, то, казалось бы, только снаружи от него должно существовать и магнитное поле. Однако из замкнутости линий индукции магнитного поля следует постоянство его потока через любую поверхность. Поэтому, если существует магнитная индукция вне конденсатора, она должна существовать и внутри него, где ток проводимости отсутствует. Магнитное поле возникает при наличии тока. По определению

dt'

б)

<ф28

Зарядка конденсатора от источника постоянного напряжения:

а) схема зарядки;

б) изменение со време
нем напряжения на
конденсаторе

138

Электродинамика

б)

где

<ф29

Зарядка конденсатора импульсным напряжением:

а) схема зарядки;

б) зависимость
напряжения на кон
денсаторе от времени

т. е. сила тока равна изменению заряда в единицу времени. При зарядке плоского конденсатора изменение заряда на его пластинах приводит к изменению напряженности электрического поля внутри конденсатора. Напряженность электрического поля внутри плоского конденсатора (см. Ф-10, § 81) равна:

Е

= _£_ Se0e

Следовательно, сила тока внутри конденсатора связана с изменением напряженности электрического поля со временем. Такой ток называется током смещения:

Т =CFf^ ^см - Ь£0е df ■

А130

Ток смещения при зарядке конденсатора от аккумулятора

Ток смещения, порождающий магнитное поле внутри конденсатора, возникает при изменении с течением времени электрического поля в этой области.

Электромагнетизм

139

Изменяющееся во времени электрическое поле (согласно гипотезе Д. Максвелла) является (наряду с движущимися свободными зарядами) источником магнитного поля.

Магнитоэлектрическая индукция — явление возникновения магнитного поля в переменном по времени электрическом поле.

Между электрическим и магнитным полями существует взаимосвязь и прослеживается симметрия: переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле (электромагнитная индукция), а переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное (магнитоэлектрическая индукция). Эти поля образуют единое электромагнитное поле.

Емкостное сопротивление. Предположим, что в качестве нагрузки генератора переменного тока используется конденсатор электроемкостью С (рис. 131, а). Переменное напряжение на обкладках конденсатора изменяется по закону:

и = Umcos со*.

В результате периодически повторяющихся процессов зарядки и разрядки конденсатора в цепи возникает переменный ток (ток проводимости в подводящих проводах и равный ему ток смещения между обкладками конденсатора).

Установим связь между амплитудами переменного напряжения и тока в цепи. Электрический ток в цепи возникает в результате изменения заряда конденсатора: i = q'.

Заряд на его обкладках изменяется по закону:

q = Cu = CUmcos wt. (103)

и I