Электродинамика (стр. 12 )

о

-и.

л	Т= 27С/СО	^■1
	\/г/у	г\	. Г

YL

и_

A i3i

а)

б)

в)

Конденсатор в цепи переменного тока: а) схема включения; ) переменное напряжение и сила тока в цепи конденсатора; в) векторная диаграмма

140

Электродинамика

Следовательно, сила тока

1 = d? = ~ImSin Ю*' (104)

где Im = (uCUm — амплитуда силы тока.

Графиком зависимости силы тока от времени является отраженная от оси t синусоида (рис. 131, б). Для изображения силы тока на векторной диаграмме удобно представить выражение (105) в виде:

i = /mcos (со* + я/

Начальная фаза колебаний напряжения равна нулю, а тока — л/2 (рис. 133, в).

Колебания силы тока в цепи конденсатора опережают по фазе колебания напряжения на его обкладках на л/2.

Мгновенная мощность переменного тока на конденсаторе определяется выражением

p = iu = -0,5ImUmsin 2at. (106)

Из графика зависимости мгновенной мощности на конденсаторе от времени (рис. 132) следует, что среднее значение мощности переменного тока на конденсаторе за период Т равно нулю. Принято говорить, что элементы цепи, для которых средняя мощность переменного тока равна нулю, обладают реактивным сопротивлением. Для этих элементов разность фаз колебаний силы тока и напряжения составляет л/2. Реактивное сопротивление конденсатора называется емкостным сопротивлением. Найдем сопротивление конденсатора переменному току, или емкостное сопротивление, с помощью закона Ома как отношение амплитуды переменного напряжения к амплитуде силы тока:

**-!;-&■ 1 (107>

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте переменного тока. Конденсатор оказывает значительное сопротивление току ма-

132 ►

Зависимость мгновенной мощности на конденсаторе от времени

142

Электродинамика

<Эи-

cos art

uii	Т =	= 2п/ю
Um
'т	У		\т/г/	i \*~
0				/т	t
-1т		- -\	- - У*.—
-ит

YL

Т

и_

б)

а)

А133

Катушка индуктивности в цепи переменного тока: а) схема включения;

б) переменное напряжение и сила тока в катушке индуктивности;

в) векторная диаграмма

В любой момент времени ЭДС самоиндукции равна по модулю и противоположна по знаку напряжению на концах катушки, созданному внешним генератором:

Т dt

Ifcos (dt.

(108)

Будем искать решение уравнения (108) в виде:

i = /msin (at. Подстановка решения (109) в уравнение (108) дает:

(109)

(oLImcos (Ot = Umcos oat.

Следовательно, амплитуда силы тока 1т в катушке связана с амплитудой переменного напряжения Um законом Ома:

1я-%*, (НО)

XL

где xL = coL — индуктивное сопротивление катушки.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока. При увеличении частоты тока вихревое электрическое поле заметно препятствует тем изменениям тока, которые его вызвали.

Разность фаз между силой тока в катушке и напряжением на ней. Графиком зависимости (109) силы тока от времени является синусоида (рис. 133, б). Для изображения силы тока на векторной диаграмме удобно представить выражение (109) в виде:

Электромагнетизм

143

J =/mcos (cot - ! ). (Ill)

Начальная фаза колебаний напряжения равна нулю, а тока--- л/2

(рис. 133, в).

Колебания силы тока в катушке индуктивности отстают по фазе на к/2 от колебаний напряжения на ней.

Мгновенная мощность переменного тока в катушке определяется выражением

р = ш = 0,5ImUmsin 2ю*. (112]

Из графика зависимости мгновенной мощности в катушке от времени (рис. 134) следует, что среднее значение мощности переменного тока е катушке индуктивности за период Т равно нулю. Индуктивное сопро тивление является реактивным сопротивлением.

ВОПРОСЫ

1.  Почему при изменении силы тока в катушке в ней возникает ЭДС самоиндукции?

2.  Чему равно индуктивное сопротивление катушки?

3.  Как соотносятся фазы силы тока, протекающего через катушку индуктивности, и напряжения на ней?

4.  Чему равно среднее значение мощности переменного тока в катушке за период?

5.  Почему индуктивное сопротивление катушки называют реактивным сопротивлением?

ЗАДАЧИ

1.  Рассчитайте величину индуктивного сопротивления катушки индуктивностью L = = 20 мГн на частоте 50 Гц. [6,28 Ом

2.  Постройте график зависимости индуктивного сопротивления катушки от частоть переменного тока. Как изменится индуктивное сопротивление при увеличении час тоты в 3 раза?

3.  Катушка индуктивностью L = 10 мГн обладает активным сопротивлением 10 Ом. Прь каком значении частоты переменного тока индуктивное сопротивление катушки бу дет в 10 раз больше ее активного сопротивления? [1590 Гц

	/ ' \	Т/2/		Т/
О	г/А	1 / 1 /	ЗГ/4\

^134

Зависимость мгновенной мощности в катушке от времени

144

Электродинамика

4.  Катушка индуктивностью L = 0,35 Гн включена в сеть с действующим значением напряжения [/д = 220 В и частотой v = 50 Гц. Найдите действующее значение силы тока, протекающего через катушку. Изобразите напряжение и силу тока на векторной диаграмме. [2 А]

5.  К катушке приложено напряжение, изменяющееся с течением времени по закону u = 311cos (ЮОяг). Найдите индуктивность катушки, если действующее значение силы тока, протекающего через нее, равно 7 А. [0,1 Гн]

§ 41. Свободные гармонические электромагнитные колебания в колебательном контуре

Энергообмен между электрическим и магнитным полями. Колебания силы тока в нагрузке генератора переменного тока являются вынужденными колебаниями, возникающими под действием приложенного переменного напряжения. Такими колебаниями являются, например, колебания силы тока в резисторе, конденсаторе, катушке индуктивности.

Однако существует также замкнутая электрическая цепь — колебательный контур, в котором могут возникать свободные электромагнитные колебания.

Колебательный контур — цепь, состоящая из последовательно включенных катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С.

Обычно активное сопротивление проводов катушки пренебрежимо мало (R ~ 0).

Электромагнитные колебания заряда и силы тока в колебательном контуре сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в L—С-контуре.

Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±q0. Тогда в начальный момент времени (t = 0) (рис. 135) между обкладками конденсатора возникает электрическое поле. Полная энергия в контуре определяется энергией электрического поля конденсатора:

W=W = — . р 1С

Электромагнетизм

145

1ШИ

q = q0,i = 0,W = Wp-

LI2

9-0, i-J ,W = Wm =

-u

max

н^—_^ ■*■!

; £ '

A^—-4

+%

-%

Gbrr

с

L

ЧМИ

P 2C

q--q0,l-0,W-W

A 135

Энергообмен между электрическим и магнитным полями в колебательном контуре

146

Электродинамика

При замыкании ключа в контуре возникает возрастающий со временем ток. Этот ток нейтрализует заряд на пластинах конденсатора, приводя к его разрядке. В результате энергия электрического поля q2/(2C) уменьшается, а энергия магнитного поля катушки LI2/2 возрастает.

Полная энергия в контуре сохраняется, так как на нагревание она не эасходуется (R ~ 0). Энергия электромагнитного поля в любой момент зремени остается равной электрической энергии конденсатора в начальный момент времени:

В момент времени t = Т/4, когда конденсатор полностью разрядится, •нергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного по-1я (а следовательно, и сила тока) достигает максимального значения:

^ = ^т = ^- (П4)

Начиная с этого момента сила тока в контуре убывает; следовательно, гменьшается магнитный поток в катушке (Ф= Ы). Согласно правилу 1енца, изменению магнитного потока препятствует индукционный ток, [ротекающий в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начинает перезаряжаться, между его обкладками возникает лектрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в момент време-:и t = Т/2 обращается в нуль. В этот момент времени заряд +qQ на обклад-:ах достигнет первоначального значения, при этом знак заряда окажется ротивоположным первоначальному. Далее те же процессы начнут про-екать в обратном направлении и через такой же промежуток времени Т/2, . е. в момент времени t = Т, система вернется в первоначальное состоя-ие. После этого начнется самопроизвольное повторение рассмотренного икла. В отсутствие потерь на нагревание проводов в контуре совершают-я гармонические незатухающие колебания заряда на обкладках конден-атора и силы тока в катушке индуктивности.

Частота и период собственных гармонических колебаний. Найдем равнение этих колебаний с помощью закона Ома для колебательного онтура. ЭДС самоиндукции катушки равна разности потенциалов Uc на ластинах конденсатора:

-Li' = Uc. (115)

Учитывая, что i = q',Uc=%, получаем

С

Lq" = -\q. (Пб)

Электромагнетизм

147

Проверим подстановкой, что решением уравнения (116) является функция

q = q0cos(j)0t, (117)

для которой при t = О, q = q0. При вычислении второй производной от q по времени отметим, что ее первая производная равна силе тока:

i = g'=-g0w0sin со0* =-/„sin co0i; Im = q0®0, (118)

q" = - g0cogcos co0£. (119)

Подставим выражения для g из (117) и q" из (119) в уравнение (118):

9о

„ cos co0t.

-Lg0cogcos ш0£ =

Сокращая на g0cos со0£, получаем круговую частоту собственных колебаний в контуре:

(Оп =

1

(120)

Период собственных колебаний заряда на конденсаторе и силу тока в катушке индуктивности позволяет определить следующая формула, впервые полученная в 1853 г. английским ученым Уильямом Томсоном:

m 2л

(121)

= 2nJLC

Юп

У.

На векторной диаграмме видно, что колебания силы тока, изменяющейся по закону i = Imcos ((o0t + л/2) (сравните с формулой (118)), опережают колебания заряда на л/2 (рис. 136).

В реальном колебательном контуре свободные электромагнитные колебания являются затухающими из-за выделения джоулева тепла в проводнике катушки (R Ф 0) (а также из-за излучения электромагнитных волн). Однако на протяжении небольших интервалов времени собственные электромагнитные колебания в контуре можно считать гармоническими, происходящими по законам (117), (118).

Щ

о

V

Q0

А 136

Сила тока и заряд в колебательном контуре

ВОПРОСЫ

1 ■ Какую электрическую цепь называют колебательным контуром?

2. Почему сохраняется полная энергия электромагнитного поля в колебательном контуре?

148 Электродинамика

3.  Объясните, почему в контуре возникают гармонические незатухающие колебания заряда и силы тока.

4.  По какому закону изменяют со временем заряд на конденсаторе и силу тока в катушке индуктивности?

5.  Как зависит период собственных колебаний в колебательном контуре от величины электроемкости конденсатора и индуктивности катушки?

ЗАДАЧ И

1. Конденсатор электроемкостью 1 мкФ, заряженный до напряжения 225 В, подключи
ли к катушке с индуктивностью 10 мГн. Найдите максимальную силу тока в контуре.

[2,25 А]

2.  Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 4 мГн и плоского воздушного конденсатора. Площадь пластин конденсатора S = 10 см2, расстояние между ними d= 1 мм. Найдите период собственных колебаний в контуре. [1,18 мкс]

3.  Найдите диапазон частот v,— v2 колебаний в контуре с катушкой, индуктивность которой L = 1 мГн, и конденсатором, емкость которого может изменяться в пределах от С1 = 40 пФ до С2 = 90 пф. [530—800 кГц]

4.  Колебательный контур состоит из двух одинаковых конденсаторов, включенных последовательно, и катушки индуктивности. Период собственных колебаний контура Т = 50 мкс. Чему равен период колебаний контура, если конденсаторы включить параллельно? [ 100 мкс]

5.  Напряжение на конденсаторе емкостью С = 0,1 мкФ, включенном в колебательный контур, изменяется по закону ис = 200cos(103t). Найдите индуктивность контура и максимальную силу тока в нем. [0,1 Гн;0,2А]

§ 42. Колебательный контур з цепи переменного тока

Вынужденные электромагнитные колебания в колебательном конту-

эе. Для получения электромагнитных колебаний в реальном колебатель-юм контуре (в котором нельзя пренебречь джоулевыми потерями энергии, R Ф 0) надо компенсировать потери энергии на нагревание проводников. Такая компенсация возможна при подключении контура в цепь ге-1ератора переменного тока, осуществляющего постоянную «подпитку» сонтура энергией (рис. 137, а). Предположим, что сила переменного тока 1астотой v, протекающего через L—С—Д-контур, изменяется по гармони-гескому закону (рис. 137, б):

i = Imcos(ot. (122)

Найдем полное сопротивление колебательного контура переменному 'оку. Согласно закону Ома это сопротивление определяется отношением

Электромагнетизм

149

0

б)

а)

▲ 137

Колебательный контур в цепи переменного тока: а) схема включения; б) график изменения силы тока; в) графики напряжений на элементах цепи

амплитуды приложенного к контуру напряжения к амплитуде силы тока, протекающего в нем:

ит

Z-t*. (123)

В любой момент времени мгновенное значение приложенного напряжения равно сумме мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи: резисторе uR, катушке индуктивности uL и конденсаторе ис:

(124)

и = uR + uL + ис.

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с силой тока (см. § 39):

^RmCOS at,

(125)

U

Rm

ImR.

Колебания напряжения на катушке индуктивности опережают по фазе колебания силы тока в ней на л/2 (см. § 41):

uL = t/Lmcos (со* + л/2), (126)

иТ

1„ХТ

In(oL.

Lm m L

Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний силы тока на л/2 (см. § 40):

uc = UCmcos((x>t-it/2), (127)

150

Электродинамика

UCm ~ ImXC ~ I,

J_

lcoC

Ubm UCm

О

U,

и,

а)

б)

X

Зависимости мгновенных напряжений на элементах контура от времени приведены на рисунке 137, в. Амплитуду напряжения, приложенного к контуру, особенно легко получить с помощью векторной диаграммы в результате сложения векторов URm, ULm и UCm (рис. 138).

Изобразим на диаграмме векторы, соответствующие колебаниям силы тока 1т и напряжений URm, ULm и UCm (рис. 138, а). Сложение противоположно направленных векторов ULm и UCm дает вектор ULm - UCm, направленный в сторону большего по модулю вектора ULm. Амплитуда напряжения Um, приложенного к колебательному контуру, находится из теоремы Пифагора (рис. 138, б):

Мгновенное значение напряжения, приложенного к контуру, изменяется по гармоническому закону: и = Umcos (со* + ф), где ф — сдвиг по фазе между напряжением и силой тока:

138

Векторная диаграмма для колебательного контура:

а) напряжение на
элементах;

б) напряжение, прило
женное к контуру

Um = Ыт + (ULm - UCmY . (128)

Подставляя в выражение (130) значения амплитуд URm, ULm, UCm, получаем:

-ч.

(129)

Д2 + coZ

U =1

т то

, coi - 1/(ооС)
Ф = arctg ^—'-.

(130)

Полное сопротивление колебательного контура переменному току зависит от частоты тока:

(131)

Электромагнетизм

151

Резонанс в колебательном контуре. Если амплитуда переменного напряжения, приложенного к колебательному контуру, постоянна, то амплитуда вынужденных колебаний силы тока в контуре зависит от частоты:

1т=^ = -==ит (132)

Амплитуда силы тока будет максимальной при минимальном полном сопротивлении (знаменатель формулы (132)). Сопротивление R не зависит от частоты, а минимальное значение квадрата разности coL и 1/(соС) равно нулю. Поэтому максимальная амплитуда силы тока возникает, если:

соС Это равенство справедливо, если частота вынужденных колебаний

(133)

Полученная резонансная частота совпадает с частотой собственных колебаний в контуре.

Резонанс в колебательном контуре — физическое явление резкого возрастания амплитуды колебаний тока в контуре при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний в контуре.

Резонансная кривая — график зависимости амплитуды вынужденных колебаний силы тока от частоты приложенного к контуру напряжения.

Для построения резонансной кривой рассмотрим предельные случаи малых (со <К со0) частот и больших (со 3> со0) частот, а также случай резонанса (со = со0).

1. При малой частоте, когда со —» 0, наибольшей величиной в знаменателе равенства (132) является 1/(соС). Извлекая квадратный корень из знаменателя, получаем:

2. При высокой частоте, когда со —> °°, доминирующей величиной в знаменателе выражения (132) является coL. После извлечения квадратного корня из знаменателя, находим

152

Электродинамика

т Чл т т I m~©L' m оо*

m R
	1 \ 1

3. При резонансе Im = Um/R, поэтому график резонансной кривой имеет характерный максимум при со = со0 (рис. 139). Чем больше активное сопротивление, тем менее резко выражен резонанс.

со

О со0 ▲ 139 Резонансная кривая для колебательного контура

▲ 140 Входная цепь простейшего радиоприемника

Явление резонанса широко используется в радиотехнике: в схемах настройки радиоприемников, усилителей, генераторов высокочастотных колебаний. Колебательный контур служит для выделения сигнала требуемой частоты в схеме настройки радиоприемника на нужную станцию, ведущую передачи на определенной частоте со. Катушка контура является вторичной обмоткой трансформатора, в котором наводится переменное напряжение от катушки антенны, являющейся его первичной обмоткой (рис. 140). Собственная частота колебательного контура изменяется при изменении емкости конденсатора (со0 = 1///LC). При со0 = со принимаемый сигнал создает в контуре силу тока, заметно превышающую сигналы других частот.