Электродинамика (стр. 17 )

лллллГеометрическая оптика

207

АО = ОА

1	\?		2'	J?
	~. t*nl —	\aj_a/ /А'	^_—,.—

a /

# S'

ВОх = ОхВ В

Ы^\

В'

о.)

А 172

Построение изображения в плоском зеркале

^173

Изображение предмета:

а) конечных размеров; б) в небольшом зеркале

Мнимое изображение точечного источника в плоском зеркале находится в зеркально симметричной точке.

Изображение источника конечных размеров строится как совокупность изображений всех его точек. Однако для построения изображения прямой светящейся стрелки АВ достаточно построить изображения крайних точек, которые затем соединяются отрезком прямой А'В' (рис. 173, а).

Изображение источника находится в симметричной точке даже в том случае, если зеркало имеет конечные размеры и не находится между предметом и его изображением (рис. 173, б). В этом случае изображение предмета можно наблюдать лишь из ограниченной области. Для определения границ этой области вначале находят мнимое изображение предмета S в симметричной точке S', а затем из этой точки проводят лучи через крайние точки зеркала L и М. Из области между этими, отраженными от зеркала, лучами и можно наблюдать мнимое изображение S' предмета S. Если точечный источник S — Солнце, то в этой области видны солнечные зайчики.

ВОПРОСЫ

1 ■ Дайте определение угла падения волны и угла ее отражения.

2- Сформулируйте закон отражения света и докажите его с помощью принципа Гюйгенса. ■ В чем состоит принцип обратимости лучей?

208

Электромагнитное излучение

4.  Объясните с помощью принципа Гюйгенса отражение сферического волнового фронта от плоской поверхности.

5.  Какое изображение называют мнимым? Объясните, как строится изображение точечного источника и предмета конечных размеров в зеркале, а также точечного источника в небольшом зеркале.

ЗАДАЧИ

1.  Пучок параллельных лучей распространяется в горизонтальном направлении (вправо) в плоскости чертежа. Как необходимо расположить плоское зеркало, чтобы после отражения от него пучок шел вертикально вверх? [45°]

2.  Луч света падает под углом а на зеркало, плоскость которого расположена перпендикулярно плоскости чертежа. На какой угол повернется отраженный луч при повороте зеркала относительно горизонтальной оси на угол р? [2р]

3.  Какой наименьшей высоты должно быть зеркало и каким образом оно должно быть расположено на вертикальной стене, чтобы человек ростом Я видел себя в зеркале во весь рост? [0,5 Я]

4.  Человек ростом Я = 1,8 м, стоя на берегу озера, видит в воде отражение Луны, находящейся под углом а = 30° к горизонту. На каком расстоянии от берега человек видит в воде отражение Луны? [3,1 м]

5.  Точечный источник света расположен между двумя плоскими зеркалами, расположенными под углом 45° друг к другу. Постройте все изображения источника в зеркалах. Сколько их будет? [7]

§ 55. Преломление волн

Закон преломления. В дальнейшем, говоря о распространении волн в пространстве, мы будем рассматривать для определенности световые волны видимого диапазона.

На границе раздела двух сред свет, падающий из первой среды, отражается в нее обратно. Если вторая среда прозрачна, то свет частично может пройти через границу раздела сред. При этом, как правило, он меняет направление распространения, или испытывает преломление.

Преломление — изменение направления распространения волны при прохождении из одной среды в другую.

Выведем закон преломления с помощью принципа Гюйгенса. Обозначим скорость волны в первой среде через vx, а во второй через v2.

Рассмотрим процесс возникновения преломленной волны (волны, прошедшей во вторую среду) при падении плоской волны на плоскую границу двух сред.

Геометрическая оптика

209

Как и при отражении, предположим, что фронт АВ падающей волны ограничен лучами, направленными в точки А и В' границы раздела (рис. 174, а).

Фронт падающей волны образует с поверхностью раздела угол а. Таков #се угол падения волны. В момент времени х точка В фронта волны попадает в точку В' (ВВ' = i^t). Вторичная волна от точки А за это же время распространяется на расстояние АА' = v2x. На рисунке 174, а показаны фронты вторичных волн, распространяющихся из точек А, 1, 2, 3. Огибающей этих волн является плоский фронт А'В' преломленной волны.

Проведем преломленные лучи в точках А ж В' перпендикулярно фронту А'В', составляющие с перпендикулярами к границе раздела угол р.

Угол преломления — угол между преломленным лучом и перпендикуляром к границе раздела, восставленным в точке падения.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АА'В' и ABB'.

Углы Z АВ'А' и р равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Приравнивая выражения для гипотенузы АВ', общей для ААА'В' и ААВВ', получаем:

возникновение преломленной волны; б) изменение направления пути колонны

sin a sin р '

210

Электромагнитное излучение

Тогда закон преломления можно сформулировать следующим образом.

.. Закон преломления волн

Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных двух сред, равная отношению скоростей света в этих средах:

!М = ^. (162)

sin р v2 Падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред в точке падения лежат в одной плоскости.

Преломление волн при переходе из одной среды в другую вызвано тем, что скорости распространения волн в этих средах различны.

Можно наблюдать изменение направления распространения фронта колонны ABCD, идущей по асфальтовому шоссе, если, начиная с границы АС, она попадет в грязь (рис. 174, б). Это происходит потому, что скорость v2 каждого участника движения по грязи заметно меньше скорости их его движения по асфальту. На рисунке 174, б показаны расположения колонны в моменты времени: t = О, когда первый участник А колонны попадает в грязь, и t = т, когда в нее попадает последний участник С {ВС = Ujt; АА' = v2x).

Абсолютный показатель преломления среды. Максимальной скоростью распространения взаимодействия является скорость света в вакууме. В любой среде свет распространяется с меньшей скоростью. Физической величиной, характеризующей уменьшение скорости распространения света в среде по сравнению со скоростью света в вакууме, является абсолютный показатель преломления среды.

Абсолютный показатель преломления среды — физическая величина, равная отношению скорости света в вакууме к скорости света в данной среде:

п=-. (163)

v

Абсолютный показатель преломления среды показывает, во сколько раз скорость распространения света в данной среде меньше, чем скорость света в вакууме:

v = -п

(164)

Геометрическая оптика

211

Для любой среды п > 1.

Чем больше абсолютный показатель преломления среды, тем меньше скорость распространения света в ней. При сравнении абсолютных показателей преломления двух сред используют понятие оптической плотности среды.

Оптически более плотная среда — среда с большим показателем преломления.

Оптически менее плотная среда — среда с меньшим показателем преломления.

Используя выражение (164) для двух сред с показателями преломления пг и п2, можно представить закон преломления в следующем виде.

Закон преломления

Отношение синуса угла падения	к синусу угла преломления равно
отношению	абсолютных	показателей	преломления второй среды
к первой:
		sin а sin р	_ п2 щ'	(165)

Если луч света переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную (гах < га2), то угол преломления оказывается меньше угла падения (р* < а).

Преломленный луч ближе прижимается к перпендикуляру к границе раздела, чем падающий (рис. 175, а).

Для рассмотрения противоположного случая можно воспользоваться принципом обратимости лучей. Если луч света идет из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (га2 > пг), то угол преломления оказывается больше угла падения а > (3. Преломленный луч больше отклоняется от перпендикуляра к границе раздела, чем падающий (рис. 175, б).

\ а

Стекло \ пг А

jsing _ п2 sin р ~ 1ГХ а)

	а '
Воздух		«1
Стекло	к	п2

sin [3 sin а

б)

4175

Преломление светового луча:

а) при падении из опти
ки менее плотной сре
ды в оптически более
плотную;

б) при падении из оп
тически более плот
ной среды в оптически
менее плотную среду

212

Электромагнитное излучение

Таблица 8 Абсолютный показатель преломления

При переходе луча света из вакуума (пг = 1) в среду с показателем преломления тг2 = п закон преломления можно записать следующим образом:

= п.

(166)

Вещество	п
Воздух	1,003
Лед	1,31
Вода	1,333
Этиловый спирт	1,36
Бензин	1,5
Стекло	1,52
Кварц	1,54
Алмаз	2,42

sin а sin (3

Измеряя угол падения а и угол преломления р, с помощью формулы (168) можно найти абсолютный показатель преломления среды.

Значения абсолютного показателя преломления некоторых сред приведены в таблице 8.

Полное внутреннее отражение. Если пучок света переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную (п1 < п2), то при любом угле падения существует как отраженный, так и преломленный пучки света (рис. 176).

Рассмотрим подробнее случай, когда свет распространяется от точечного источника S из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (вакуум). Если угол падения небольшой, то свет как преломляется, так и отражается (лучи 1 ш 2 на рис. 177). С ростом угла падения а возрастает угол преломления р" (р* > а), а также интенсивность преломленного луча.

При некотором угле падения ос0 угол преломления достигает своего максимального значения (Зтах = 90° (луч 3).

В соответствии с законом преломления света (165):

Вакуум

Падающий Отраженный

Преломлен сеет

176

я.

sin 0С0 1 . (I \

. ппо = - ; ос0 = arcsin - .
sin 90 п и V п )

Одновременное отражение и преломление света

Полное внутреннее отражение

Геометрическая оптика

213

Если угол падения а > а0 (луч 4), преломление света во вторую среду прекращается, свет полностью отражается от границы раздела, как от зеркала — возникает явление полного внутреннего отражения.

Полное внутреннее отражение — явление отражения света от оптически менее плотной среды, при котором преломление отсутствует, а интенсивность отраженного света практически равна интенсивности падающего.

Угол полного внутреннего отражения ос0 — минимальный угол падения света, начиная с которого возникает явление полного внутреннего отражения.

Для границы раздела стекло—воздух угол полного внутреннего отражения равен:

ал

42°.

1

1,52

arcsm

Испытывая полное внутреннее отражение, световой сигнал может распространяться внутри гибкого стекловолокна (световода). Свет может покидать волокно лишь при больших начальных углах падения и при значительном изгибе волокна (рис. 178). Использование пучка, состоящего из тысяч гибких стекловолокон (с диаметром каждого волокна от 0,002—0,01 мм), позволяет передавать оптические изображения.

Волоконная оптика — система передачи оптических изображений с помощью стекловолокон (световодов).

Волоконно-оптические устройства используются в медицине в качестве эндоскопов — зондов, вводимых в различные внутренние органы (бронхиальные трубы, кровеносные сосуды и т. д.) для непосредственного визуального наблюдения.

В настоящее время волоконная оптика вытесняет металлические проводники в системах передачи информации.

▲ 178 Распространение света в световоде

Мы отмечали ранее (см. § 51), что увеличение несущей частоты передаваемого сигнала увеличивает объем передаваемой информации. Частота видимого света на 5—6 порядков превосходит Несущую частоту радиоволн. Соответственно с

214

Электромагнитное излучение

помощью светового сигнала можно передавать в миллион раз больше информации, чем с помощью радиосигнала. Необходимая информация по волоконному кабелю передается в виде модулированного лазерного излучения. Волоконная оптика необходима для быстрой и качественной передачи компьютерного сигнала, содержащего большой объем передаваемой информации.

Полное внутреннее отражение используется в призматических биноклях, перископах, зеркальных фотоаппаратах, а также в светоотражате-лях (катафотах), обеспечивающих безопасную стоянку и движение автомобилей.

ВОПРОСЫ

1.  Какое физическое явление называют преломлением света? Какой угол называют углом преломления?

2.  Сформулируйте закон преломления света и докажите его с помощью принципа Гюйгенса.

3.  Какую физическую величину называют абсолютным показателем преломления? Что она характеризует?

4.  Запишите закон преломления света при переходе границы сред с абсолютными показателями преломления п, и п2. Чем отличается ход луча при его преломлении в оптически более плотную среду от преломления в оптически менее плотную?

5.  Какое физическое явление называют полным внутренним отражением? Как вычислить угол полного внутреннего отражения? Как используется полное внутреннее отражение в волоконной оптике?

ЗАДАЧ И

1.  Найдите скорость распространения света в алмазе. [1,24 ■ 108м/с]

2.  Длина волны зеленого света в воздухе X = 540 нм. Какой будет длина волны этого излучения в воде? [406 нм]

3.  Луч света падает из воздуха в воду под углом 60°. Найдите угол между отраженным и преломленным лучами. [79°]

4.  При каком угле падения а луча из воды в стекло отраженный луч перпендикулярен преломленному? [48,4°]

5.  На дне пруда глубиной 40 см сидит лягушка, прячущаяся под круглым листом, который плавает на поверхности воды. Каким должен быть минимальный радиус листа, чтобы лягушку не увидели преследователи, находящиеся над поверхностью воды? [45 см]

Геометрическая оптика

215

§ 56. Дисперсия света

Призма Ньютона. В вакууме электромагнитные волны различных частот (длин волн) распространяются с одной и той же скоростью с = 3 • 108м/с. Однако в среде скорости распространения монохроматических волн разных частот отличаются друг от друга.

Монохроматическая волна — электромагнитная волна определенной постоянной частоты.

Монохроматические волны разных частот распространяются в одной среде с различными скоростями.

Дисперсия света — зависимость скорости света в веществе от частоты волны.

Различным скоростям распространения волн соответствуют разные абсолютные показатели преломления среды (п = c/v). Поэтому можно утверждать, что дисперсия света — зависимость абсолютного показателя преломления от частоты световой волны. Подобная зависимость была наглядно подтверждена в 1666 г. Исааком Ньютоном, направившим тонкий пучок солнечного света на стеклянную призму. Белый свет не является монохроматическим, а содержит электромагнитные волны различных частот. За призмой наблюдалось разложение белого света в цветной спектр: семь основных цветов — красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый плавно переходили друг в друга (рис. V, а на цветной вклейке, с. 288). Наименьшее отклонение оск от первоначального направления падения испытывают красные лучи, а наибольшее — фиолетовые аф. Это означает, что абсолютный показатель преломления гаф для волн, соответствующих фиолетовому цвету, больше, чем Для волн, соответствующих красному пк. Цвет, видимый и воспринимаемый глазом, определяется частотой световой волны.

Частота уф фиолетового света больше частоты красного. Таким образом, из опыта Ньютона следует, что абсолютный показатель преломления возрастает с увеличением частоты света. Учитывая, что длина волны света обратно пропорциональна частоте (Я. = c/v), можно утверждать, что абсолютный показатель преломления уменьшается с увеличением длины световой волны. На рисунке V, б на цветной вклейке (с. 288) приведена зависимость абсолютного показателя преломления стек-Ла (флинтгласа) от длины волны света.

Объяснение явления дисперсии. Выясним, почему скорость распространения света в веществе и, следовательно, абсолютный показатель Реломления зависит от частоты света. Рассмотрим распространение све-

216

Электромагнитное излучение

а) б)

Зависимость времени запаздывания световой волны от амплитуды

вторичной волны Е2:

а) малая амплитуда Е2; б) большая амплитуда Е2

та в прозрачной среде. Под действием напряженности Е1 электрического поля световой волны валентные электроны атомов среды начинают совершать вынужденные гармонические колебания с частотой, равной частоте колебаний вектора Ех. Колеблющиеся электроны начинают с определенным временем запаздывания излучать вторичные волны той же частоты и напряженности Е2 ^рис. 179). Результирующая волна (сумма первичной Ех и вторичной Е2 волн) также запаздывает по сравнению с первичной волной. Чем большее амплитуда вторичной волны, тем больше время запаздывания, тем меньше скорость распространения и больше абсолютный показатель преломления среды.

Амплитуда вторичной волны является амплитудой вынужденных колебаний валентного электрона атома и, согласно формуле (131) (см. Ф-10), зависит от частоты со следующим образом:

F 1

£ \щ - со2|

где со0 — частота собственных колебаний, или (по порядку величины) угловая скорость вращения электрона вокруг ядра.

С ростом частоты (со < со0) знаменатель дроби уменьшается, а амплитуда вторичной волны возрастает. При этом увеличивается время запаздывания, уменьшается скорость распространения волны и возрастает абсолютный показатель преломления среды. Такую дисперсию называют нормальной.

При нормальной дисперсии абсолютный показатель преломления среды возрастает с ростом частоты света (и соответственно убывает сростом длины волны).

Геометрическая оптика

217

ВОПРОСЫ

1.  Какую волну называют монохроматической?

2.  Какое физическое явление называют дисперсией?

3.  Какая зависимость абсолютного показателя преломления стекла от частоты следует из опыта Ньютона?

4.  Как время запаздывания световой волны зависит от амплитуды вторичной волны? Как амплитуда вторичной волны зависит от частоты света?

5.  Какая дисперсия называется нормальной?

§ 57. Построение изображений

и хода лучей при преломлении света

Изображение точечного источника. Построение изображений при преломлении света основано на использовании закона преломления волн.

Рассмотрим сначала точечный источник света Sx (рис. 180, а), находящийся в воздухе (п1 = 1) на расстоянии StA = h от границы оптически более плотной среды п2 = п. Сферический фронт волны, распространяющейся из точки Sv определяется лучами SXA и S^. Углы падения этих лучей равны 0 и а, а углы преломления 0 и (3 соответственно. Продолжения лучей (определяющих положение сферического фронта преломленной волны) расходящегося пучка пересекаются в точке S[, являющейся мнимым изображением точки Sx. Найдем расстояние S^A от мнимого изображения до границы раздела:

S[A =

АВ

tgP'

а)

б)

< 180

Изображение точечного источника:

а) находящегося

в оптически менее плотной среде;

б) находящегося

в оптически более плотной среде

218 Электромагнитное излучение

Так как АВ = htg а, то S{A = h^.

При малых углах аир можно считать, что tg а ~ sin а и tg Р ~ sin р.

Тогда

с л , sin а, S-,A = h——^ = nh.

1 sin Р

При наблюдении точечного источника из более плотной среды наблюдателю будет казаться, что источник расположен от границы раздела в п раз дальше, чем он находится на самом деле.

Рассмотрим теперь точечный источник света S2, находящийся в жидкости с показателем преломления пх = п на глубине h (рис. 180, б). Найдем изображение источника при наблюдении его из менее плотной среды (например, из воздуха (п2 = 1)).

Сферический фронт волны, распространяющейся из точки >S2, определяется лучами SgA и S2B. Углы падения этих лучей равны 0 и а, а углы преломления 0 и Р соответственно. Продолжения лучей (определяющих положение сферического фронта преломленной волны) расходящегося пучка пересекаются в точке S2, являющейся мнимым изображением точки <S2. Расстояние, на котором находится мнимое изображение от поверх-

НОСТИ ЖИДКОСТИ, S2A = -—jt.

Учитывая, что АВ = htg ос, получаем S^A = h-~^ .

/-, sin а 1

Согласно закону преломления ——х = - .

sin р п

Тогда при малых а и р tg а ~ sin а, a tg р ~ sin p.

Следовательно, S! A. = - .

с п

При наблюдении точечного источника из менее плотной среды наблюдателю будет казаться, что источник расположен в п раз ближе к границе раздела, чем он находится на самом деле. Вследствие этого эффекта предметы, находящиеся в воде, кажутся расположенными на меньшей глубине, чем в действительности (рис. 181).