Электродинамика (стр. 4 )

R5

D*

a

I9R4

R2

2Д

>•

d a)

ФН

.5)

▲ 29

Мостик Уитстона

Рассчитаем сопротивление схемы, содержащей точки с одинаковым потенциалом.

Пусть резисторы Rl, R2, R3, R4, R5 соединены по схеме, изображенной на рисунке 29, а, называемой мостиком Уитстона. Выясним, при каком соотношении сопротивлений ток через резистор R5 не протекает, а также найдем сопротивление между точками а и & в этом случае.

Предположим, что ток через резистор R5 не протекает, тогда через резистор R3 протекает такой же ток It, как и через резистор R1. Соответственно, ток 12 будет протекать как через резистор R2, так и через R4. Отсутствие тока между точками cvid означает, что их потенциалы равны

ип

и

Фс = Фа-Следовательно, будут равны друг другу и разности потенциалов

ucb = udb,

(24)

так как

Фа - Фс = Фа - Фа-' Фс - Фб = Фа - - Фь-

С учетом закона Ома для однородного участка цепи из формулы (24) следует, что

(25)

/1Д1 = I2R2:

IXR3

I2R4.

Разделим почленно первое равенство в системе (25) на второе:

или

R\R4

ЩЩ-

(26)

Постоянный электрический ток

33

Ток через резистор R5 не протекает, если произведения сопротивлений противоположных плечей мостика равны друг другу.

Мостиковую схему используют для измерения одного из неизвестных сопротивлений, входящих в плечи мостика, например R1. Оно находится из формулы (26). Найдем сопротивление между точками а и Ь, когда jRj = R3 = R и R2 = R4 = SR, т. е. условие (26) выполняется.

Равенство потенциалов точек с и d позволяет использовать любую из эквивалентных схем, представленных на рисунке 29, б. В первой схеме резистор R5 не используется: цепь между точками cud разомкнута. Во второй схеме точки cud соединены перемычкой.

В первой схеме резисторы R и SR соединены последовательно. Это приводит к параллельному соединению двух резисторов, сопротивления которых по 4R, и результирующему сопротивлению 2R между точками а иЪ.

Во второй схеме резисторы, сопротивление которых R, соединены
между собой соединены и два резистора 3R. Первая

пара резисторов, сопротивление которых R/2, соединена со второй, имеющей сопротивление 3JR/2, последовательно. Естественно, что результирующее сопротивление между точками а и Ъ оказывается равным 2R, как и при использовании первой схемы. Результат расчета не должен зависеть от способа его получения.

ВОПРОСЫ

1.  Какова последовательность расчета сопротивления смешанного соединения проводников?

2.  В чем характерная особенность электрических схем с перемычками?

3.  Почему наличие точек с равным потенциалом облегчает расчет электрических схем?

4.  При каком условии возникает баланс плеч в мостике Уитстона?

5.  Чему равно сопротивление мостика Уитстона между точками а и Ь?

ЗАДАЧ И

1 ■ Найдите сопротивление схемы, изображенной на рисунке 30. [5Д/11 ]

2. Сопротивление стороны проволочного квадрата (рис. 31) равно R. Найдите сопро
тивления Дос, Rad, Rcd.

[Яас = вЛ/(Л +1);Rad = R(3j2 +2)/4{j2 +1);ЯМ = «]

3. Найдите сопротивление Rab, считая, что все звенья проволочной звезды имеют со
противление R (рис. 32). [7Д/6]

4- Сопротивление любого ребра проволочного каркаса куба равно R, Найдите сопротивление между наиболее удаленными друг от друга вершинами куба (рис. 33).

2~, 11 кл. [5Л/6]

34 Электродинамика

А 31

	Ri		\R
R		R		R
л\	л/			R / y^R
Л/	f л4		yR	\r

R

Л

A 32

R

R

T

R R

Y

R R

T

-L

Л

л

*1

Л

A

33

34

5. Найдите сопротивление Rab участка цепи, содержащего бесконечное число резисторов сопротивлением Л (рис. 34).

При решении следует учесть, что присоединение еще одной ячейки к бесконечному числу ячеек не изменяет полного сопротивления бесконечной цепи. [ЩЛ + V3 )]

§11. Закон Ома для замкнутой цепи

Замкнутая цепь с источником тока. Рассмотрим простейшую замкнутую (полную) цепь, состоящую из источника тока (например, гальванического элемента) с ЭДС £ и лампы сопротивлением R (рис. 35, а). Найдем направление тока и силу тока в этой цепи.

В рассматриваемой цепи (рис. 35, б) лампа вместе с подводящими проводами (аа' и ЪЪ') образует внешнюю цепь — участок цепи (аа'Ъ'Ь) вне источника тока. При подключении внешней цепи к источнику тока электрическое поле распространяется со скоростью света вдоль проводников, и свободные заряды в них почти одновременно приходят в упорядоченное движение. В цепи появляется ток. При этом скорость направленного движения зарядов оказывается значительно меньше скорости света. Примерно так нее водители автомобилей, стоящих в пробке у светофора, ви-

Постоянный электрический ток

35

Электрический ток

Медный электрод

Цинковый электрод

а)

. f---"

Электролит (серная кислота)

Г>)

а +

R

А 35

Простейшая замкнутая цепь: а) лампа, подключенная к гальваническому элементу; б) эквивалентная схема

дят разрешающий зеленый сигнал практически одновременно. Однако возможная скорость движения автомобилей в потоке невелика.

Так как направление тока определяется направлением движения положительных зарядов, то положительные заряды во внешней цепи отталкиваются от положительного полюса источника и притягиваются к отрицательному.

Следовательно, направление тока во внешней цепи — от плюса к минусу источника тока.

Согласно формуле (6) разность потенциалов между полюсами источника зависит от его ЭДС и работы силы сопротивления по перемещению единичного положительного заряда внутри источника между его полюсами:

Uab-e-ч1-

(27)

Напомним, что сила сопротивления характеризует противодействие Движению заряженной частицы (иона) со стороны молекул и ионов, с которыми она сталкивается в процессе движения в электролите.

Пренебрегая сопротивлением подводящих проводов, можно сказать, что

Фа' = Фа' ФЬ' = Фь.

поэтому

2*

Uab = Ua,h, = IR,

(28)

36

Электродинамика

где I — сила тока, протекающего через лампу, или, как говорят, во внешней цепи.

Полное сопротивление проводников, подключенных к источнику тока, называют сопротивлением внешней цепи или внешним сопротивлением (R — внешнее сопротивление).

По определению (см. Ф-10, § 83) работа силы электрического поля по перемещению единичного положительного заряда внутри источника равна разности потенциалов на внутреннем участке цепи:

^ «/г, (29)

где г — внутреннее сопротивление источника тока.

Подставляя выражение (29) в уравнение (27), получаем напряжение на зажимах источника тока:

Uab = €-Ir, (30)

или, с учетом (28),

IR = $- Ir.

■и Закон Ома для замкнутой цепи ______________

Сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна ЭДС источника и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи:

'-ТТЛ' <31>

Внешнее и внутреннее сопротивления цепи соединены последовательно, поэтому полное сопротивление цепи равно их сумме.

Обычно внешнее сопротивление значительно превосходит внутреннее (R^> г), так что

/*|. (32)

При коротком замыкании, когда R —» 0, сила тока увеличивается до

'к. з=;> (33)

возрастая по сравнению с обычным значением (32) в R/r раз.

Например, если лампочка фары автомобиля имеет сопротивление R = = 10 Ом, а внутреннее сопротивление аккумулятора г = 0,01 Ом, то сила тока может возрасти в 1000 раз. Такое возрастание силы тока может привести к выделению большого количества теплоты и стать причиной пожара. Чтобы избежать этого, в цепь последовательно включают предох-

Постоянный электрический ток

37

ранители, которые плавятся при увеличении силы тока сверх нормы и размыкают электрическую цепь.

Замкнутая цепь с несколькими источниками тока. Рассмотрим замкнутую цепь, содержащую три последовательно соединенных источника тока с ЭДС $1г £2, £3, имеющих внутренние сопротивления г1г г2, г3 и внешнее сопротивление R (рис. 36, а). Найдем направление и силу тока, протекающего в этой цепи.

Если ток в цепи создается только одним источником тока с ЭДС £, то он протекает по часовой стрелке (от плюса к минусу источника (рис. 36, б)) и равен, согласно закону Ома для замкнутой цепи,

h

R '

(34)

Дп = r1 + г2 + r3 + R — полное сопротивление цепи. В случае, когда работает только источник с ЭДС £2, ток в цепи протекает против часовой стрелки (от плюса к минусу источника) и равен

(35)

Знак минус в формуле (35) учитывает противоположное направление тока по сравнению с предыдущим случаем. Говорят, что второй источник тока включен встречно первому.

36 ►

Замкнутая цепь с несколькими источниками тока: а) ток I создается источниками £р £2, £3 °) токи Iv 1г, 13 создаются независимо источниками $v £2, £3 Со°тветственно

б)

	1	1±	г2
ь%
Г1
	т		R 1
	1		'

Электродинамика

Наконец, если ток в цепи вызван только третьим источником с ЭДС., то он будет направлен по часовой стрелке (так же как и ток /х) и равен

'з = Щ ■ (36)

Третий источник тока включен согласованно с первым. Естественно, что при одновременном включении всех источников со-(аваемые ими токи суммируются. Результирующая сила тока в цепи

/ = /1 + /2 + /3=^"д2 + ^3. (37)

Направление тока в цепи с несколькими источниками зависит от знака ггебраической суммы ЭДС. Если £\ - $2 + £3 > 0, ток протекает по часовой •релке. Если £\ - £2 + £з < ®» то £2 > £i + £з* ЭДС второго источника боль-е, чем первого и третьего, и ток будет протекать против часовой стрелки.

_ Закон Ома для цепи с несколькими источниками тока -,_„.., Сила тока в замкнутой цепи с последовательно соединенными источниками тока прямо пропорциональна алгебраической сумме их ЭДС и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи:

Ток в цепи может отсутствовать, если алгебраическая сумма ЭДС рав-1 нулю. Это может быть использовано для измерения неизвестной ЭДС.

ВОПРОСЫ

От чего зависит разность потенциалов между полюсами источника тока? Сформулируйте и запишите закон Ома для замкнутой цепи.

В чем различие встречного и согласованного включения последовательно соединенных источников тока?

Сформулируйте закон Ома для замкнутой цепи с несколькими последовательно соединенными источниками тока. Приведите формулу этого закона. Как определить направление тока в замкнутой цепи с несколькими последовательно соединенными источниками тока?

ЗАДАЧИ

В замкнутой цепи, содержащей источник тока с ЭДС £ = 12 В, сила тока I = 2 А. На
пряжение на зажимах источника U - 10 В. Найдите внутреннее сопротивление ис
точника и сопротивление нагрузки. [г = 1 Ом; R = 5 Ом]

Постоянный электрический ток

39

2.

4.

5.

При замыкании источника тока на резистор сопротивлением Д, = 10 Ом сила тока
в цепи 1^ = 1 А, а при замыкании на резистор сопротивлением R2 = 4 Ом сила тока
12 = 2 А. Найдите ЭДС источника и его внутреннее сопротивление. [12 В; 2 Ом]

В цепи, содержащей источник с ЭДС £ = 6 В, замкнутый на внешнее сопротивление
Д= 9 Ом, сила тока / = 0,6 А. Найдите внутреннее сопротивление источника тока и
силу тока короткого замыкания. [1 Ом;6А]

Два последовательно соединенных источника тока с £, = 4,5 В и £2 = 6 В с внутрен
ним сопротивлением г, = 0,3 Ом и г2 = 0,2 Ом включены согласованно. При каком со
противлении нагрузки разность потенциалов на клеммах одного из источников бу
дет равна нулю? [0,2 Ом]
Источник тока с ЭДС £ и внутренним сопротивлением г замкнут на реостат с пере
менным сопротивлением R. Постройте графики зависимости I(R) от U(R).

§ 12. Расчет силы тока и напряжения в электрических цепях

1. К аккумулятору с ЭДС £ = 6 В и внутренним сопротивлением г = 0,2 Ом присоединены параллельно друг другу лампочка и резистор с сопротивлениями i? j = 4 Ом ий2 = 1 Ом соответственно (рис. 37, а). Найдем: а) напряжение Uab на зажимах аккумулятора; б) силу тока, протекающего через лампочку.

■ Ток во внешней цепи протекает от плюса к минусу источника и растекается по элементам цепи как вода по трубам. Покажем на рисунке 37, а ток /, протекающий через аккумулятор, и токи, протекающие через лампу 11 и резистор 12.

а) Напряжение Uab на зажимах источника можно найти по формуле (30):

U

ab

$-1г.

Силу тока / определим по закону Ома для замкнутой цепи (31):

+ R'

а)

		/		б	)	/ с
а,	1	1	12 а<	■ ■
_±.				, г	+
#-					£-	г
Щ	& ' *	г
h	г	1		Ч	г т

R\R%

Д;+Д2

^37

Замена одной электрической схемы другой:

а) данная схема;

б) эквивалентная
схема

40

Электродинамика

R\R2 R\ ~ь~ Rq.

где R

сопрротивление лампочки и резистора, соединенных

параллельно, между тоючками cud (рис. 37, б). Окончательно

unh = $

г г

RiR2

(Rx + R2) J

RXR2

rRx + rR2 + RiR2

4,8 B.

б) Силу тока i\ можкно найти по закону Ома (11) для однородного проводника (участка цепи)и):

т _иы

1 ДГ

Пренебрегая сопротивлением подводящих проводов между точками ас и bd, можно считать^, что

поэтому

h

и

аЬ

= £

'cd

ab>

U^ = U

Xlo

rR1 + rR2 + RtR2

1,2 A.

2. Два последовательно соединенных источника тока с ЭДС £j = 12 В и f2 = 5 В, имеющие внуутреннее сопротивление гг = 0,2 Ом, г2 = 0,3 Ом, включены встречно. ВВнешнюю цепь источника образуют параллельно соединенные конденсататор и резистор (рис. 38). Электроемкость конденсатора С = 500 пФ, сопротютивление резистора R = 2,5 Ом. Найдем: а) силу тока, проходящего через в резистор; б) заряд на конденсаторе.

• Непроводящее пространство между обклад-
С ками конденсатора является разрывом цепи, по-

R

1Ь

этому постоянный ток через конденсатор не протекает. Подобным образом пробка в трубе не пропускает по ней воду.

Чн=н

1) Через резистор ток протекает от точки а к точке Ъ, так как ЭДС первого источника £х > £2. Согласно закону Ома, сила тока, проходящего через резистор, равна

/ =

= 2 А.

А 38

Электрическая схема с конденсатором