Основы оценочной деятельности (стр. 11 )

3.2.3. Фактор фонда возмещения

Формула для определения фонда возмещения может быть получена из основной формулы (1) при PV = 0:

i

PMT = - FV-, (8)

n

(1 + i) - 1

если платежи проводятся в конце периода (S = 0), и

i

PMT = -FV, (9)

n+1

(1 + i+ i)

если платежи проводятся в начале периода (S = 1).

Фактор фонда возмещения показывает денежную сумму, которую необходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов n при определенной процентной ставке i остаток составил одну денежную единицу.

Пример. Каким должен быть каждый периодически выполняемый взнос, если при годовой ставке 6%, начисляемой ежемесячно на основе сложных процентов, за 10 лет будет накоплена общая суммаруб.?

Решение. При решении с использованием финансового калькулятора вводим FV =, i = 6 с клавишей "SHIFT" (ежемесячное начисление процентов), n = 10 с клавишей "SHIFT". Нажав клавиши "COMP" и "PMT", получим на экране искомое значение: -61,.

Если бы взнос проводился не в конце, а в начале каждого периода, то перед нажатием клавиш "COMP" и "PMT" нужно нажать клавишу "BGN", и на экране получился бы другой результат: -60,.

3.2.4. Текущая стоимость денежной единицы

Формулу для расчета текущей стоимости получим из формулы (1) при PMT = 0:

1

PV = -FV------

n

(1 + i)

Текущая стоимость денежной единицы представляет собой сегодняшнюю стоимость денежной единицы, которая должна быть получена в будущем при заданном периоде n и процентной ставке i.

Эта функция является обратной величиной функции накопления денежной единицы.

Функция текущей стоимости денежной единицы применяется в процедуре дисконтирования
, т. е. при определении текущей (сегодняшней) стоимости прогнозируемой (будущей) суммы денежных средств.

Пример. Какую сумму следует сегодня депонировать в банке под 5,5% годовых с ежемесячным начислением процентов, чтобы через 20 лет получитьдолл.?

Решение. Данную задачу не удается решить с использованием таблиц шести функций денежной единицы, поскольку в этих таблицах приводятся данные для целых значений процентов. Решаем поставленную задачу с применением финансового калькулятора. В качестве исходных данных с помощью соответствующих клавиш вводим FV = 2000, i = 5,5 с клавишей "SHIFT" (ежемесячное начисление процентов), n = 20 с клавишей "SHIFT". Затем нажимаем клавиши "COMP" и "PV" и получаем на экране искомое значение: PV = -6674,173868 долл.

3.2.5. Текущая стоимость единичного аннуитета

Аннуитет представляет собой серию равновеликих периодических платежей. Текущая стоимость единичного аннуитета определяется как текущая стоимость депозита, с которого в течение периода n может быть получена сумма в одну денежную единицу при процентной ставке i.

В случае обычного аннуитета платежи проводятся в конце каждого периода. Формулу для расчета текущей стоимости обычного аннуитета получим из основной формулы (1) при FV = 0, S = 0:

- n

+ i)

PV = -PMT

i

Пример. Какую ссуду может взять заемщик на 15 лет под 7,5% годовых, если он будет выплачивать по 450 долл. в месяц для ее погашения в случаях обычного и авансового аннуитетов?

Решение. Для решения поставленной задачи не удается применить таблицы шести функций денежной единицы из-за нецелого значения процентной ставки. Используем для решения финансовый калькулятор. Вводим в качестве исходных данных PMT = -450, n = 15 с клавишей "SHIFT", поскольку платежи ежемесячные, i = 7,5 с клавишей "SHIFT". После нажатия клавиш "COMP" и "PV" получим исходный размер ссуды при обычном аннуитете: PV =,04208 долл. Нажав клавиши "BGN", "COMP", "PV", получим размер ссуды при авансовом аннуитете: PV =,43609 долл.

3.2.6. Взнос на амортизацию денежной единицы

Взнос на амортизацию денежной единицы представляет собой равновеликий регулярный платеж, необходимый для полной амортизации кредита в денежную единицу, по которому выплачивается процент i в течение периода n.

Формулу взноса на амортизацию для обычного аннуитета получим из основной формулы (1) при FV = 0, S = 0:

i

PMT = -PV

- n

+ i)

Формулу взноса на амортизацию для авансового аннуитета получим из формулы (1) при FV = 0, S = 1:

i

PMT = -PV-------

1-n

(1 + i+ i)

Пример. Каким будет размер ежемесячных взносов в конце каждого периода, если заемщик взял ссуду на покупку дома в размере долл. на 25 лет под 6,2% годовых?

Решение. Задачу решаем с применением финансового калькулятора. Вводим с помощью одноименных клавиш PV = , n = 25 с клавишей "SHIFT", i = 6,2 с клавишей "SHIFT". Для получения решения нажимаем клавиши "COMP" и "PMT", и на экране появится искомое значение: PMT = -1969,74629 долл.

Финансовый калькулятор позволяет решать задачи, которые практически невозможно решить с использованием таблиц шести функций денежной единицы.

Пример. Сколько времени потребуется для того, чтобы увеличить основную сумму 5000 долл. до суммыдолл. при годовой ставке 5,4%, начисляемой в виде сложных процентов ежемесячно?

Решение. Приведем расчет на финансовом калькуляторе. В качестве исходных данных вводим с помощью одноименных клавиш PV = -5000, FV =, i = 5,4 с клавишей "SHIFT". Затем нажимаем клавиши "COMP", "n" и получаем результат: n = 154,379021 месяца.

3.3. Математические методы, применяемые

в сравнительном подходе

Наиболее эффективными для использования в сравнительном подходе являются методы корреляционного анализа.

Зависимость стоимости y от некоторых факторов x, x... x является

1 2 n

не функциональной (точной), а такой, что определенным значениям x, x...

1 2

x соответствует групповая средняя результативность стоимости y. Такая

n

зависимость y = y(x, x... x ) показывается корреляционной и изучается

1 2 n

с применением корреляционного анализа.

Выполняя корреляционный анализ, оценщик может решить целый ряд задач.

Первоочередной задачей является измерение тесноты связей стоимости y и

факторов x, x... x, влияющих на стоимость объекта оценки. Первоначальные

1 2 n

предположения о существующих связях необходимо математически подтвердить

или опровергнуть соответствующими расчетами с применением корреляционного

анализа.

На следующем этапе корреляционного анализа следует произвести выбор тех факторов, которые оказывают большее влияние на стоимость объекта оценки. Выбор факторов выполняется по уровню тесноты их связи со стоимостью оцениваемого объекта. Выбранные факторы затем используются на последующих этапах корреляционного анализа.

Одним из важных достоинств корреляционного анализа является обнаружение неизвестных связей и соответствующих параметров, влияющих на стоимость объекта оценки.

С применением корреляционного анализа могут изучаться различные зависимости стоимости от влияющих на нее факторов: линейная, нелинейная и другие виды зависимостей. В рамках корреляционного анализа строится математическая модель изучаемой зависимости стоимости от факторов - уравнение корреляции, которое часто называют уравнением регрессии.

Одним из назначений корреляционного анализа является оценка тесноты связей между стоимостью и соответствующими факторами. Тесноту связи между стоимостью y и некоторым фактором x можно измерить путем сопоставления их уровней. Когда с увеличением величины фактора x пропорционально увеличивается стоимость y объекта оценки, отмечается наличие прямой или положительной связи.

Когда же с ростом стоимости y величина фактора x уменьшается, это свидетельствует о наличии обратной, или отрицательной, связи.

Теснота линейной связи измеряется коэффициентом корреляции r. Этот коэффициент принимает значения в интервале от -1 до +1. В случае положительной связи коэффициент корреляции r >= 0. В случае отрицательной связи коэффициент корреляции также будет отрицательным.

Когда коэффициент корреляции равен -1, это значит, что исследуемая зависимость носит обратный строго точный (функциональный) характер. Если же r = 1, то исследуемая зависимость является прямой функцией. Когда r = 0, отсутствует связь между стоимостью и соответствующим параметром объекта оценки.

Считается, что при |r| <= 0,3 связь является слабой, при 0,3 <= |r| <= 0,7 теснота связи средняя, а при |r| >= 0,7 связь сильная. Следовательно, при |r| >= 0,7 установленную связь можно использовать для оценки стоимости объектов.

В случае множественной корреляции (при наличии нескольких факторов) тесноту связи необходимо измерять не только между каждым фактором и стоимостью объекта оценки, но и между каждой парой факторов. В случаях функциональной или очень тесной связи между какими-то факторами один из них необходимо исключить.

Огромное значение в корреляционном анализе имеет выбор числа аналогов n и числа факторов k. На практике для выбора допустимого соотношения между числом аналогов и числом факторов пользуются следующим простым соотношением:

2

(n + m) <= (n - m

В оценочной деятельности в зависимости от класса объектов оценки можно использовать различные виды корреляционных уравнений.

3.3.1. Однофакторные зависимости

Наиболее широкое распространение имеют однофакторные линейные зависимости, которые являются самыми простыми для построения и использования.

Уравнение линейной зависимости имеет вид:

y = a + a x , (15)

0 1 1

где y - стоимость объекта оценки; x - основной фактор, от которого

1

зависит стоимость объекта оценки; a, a - первоначально неизвестные

0 1

параметры уравнения.

Параметры a и a в уравнении (15) определяются по методу наименьших

0 1

квадратов, в соответствии с которым должна быть минимизирована сумма

квадратов отклонений между теоретическими и фактическими значениями

стоимости y:

2

S = SUM (a + a x - y) -> min. (16)

0 1 1

Для определения параметров a и a по формуле (16) берутся и

0 1

приравниваются к 0 частные производные S по a и a соответственно:

0 1

dS 2

--- = 2 SUM (a + a x - y) = 0; (17)

da 0 1 1

0

dS 2

--- = 2 SUM (a + a x - y) x = 0; (18)

da 0 1 1

1

Преобразовав выражения (17) и (18), получим систему нормальных

уравнений для определения a и a :

0 1

na + a SUM x = SUM y; (19)

0 1 1

2

a SUM x + a SUM x = SUM x y. (20)

Решая систему двух линейных уравнений (19) и (20) с помощью определителей по методу Крамера, найдем искомые параметры:

2

SUM x SUM y - SUM x SUM x y

1 1 1

a = -------; (21)

0 2 2

n SUM x - (SUM x )

1 1

SUM x y - SUM x SUM y

1 1

a = ; (22)

1 2 2

n SUM x - (SUM x )

1 1

Чтобы определить, насколько точно линейная функция (15) воспроизводит стоимость объектов оценки, вычислим коэффициент корреляции:

n SUM x y - SUM x SUM y

1 1

r =

_______________________________________

/ 2 2┌ 2 2┐

/ n SUM x - (SUM x ) │SUM y - (SUM y) │

\/ 1 1 └ ┘

Частным случаем линейной зависимости является прямая пропорциональная зависимость:

y = a x. (24)

1 1

По методу наименьших квадратов записывается сумма квадратов отклонений теоретической стоимости объекта оценки от реальной стоимости:

2

S = SUM (a x - y) -> min. (25)

1 1

Берем частную производную сумму S по искомому параметру a и получаем:

1

dS

--- = 2 SUM (a x - y)x = 0, (26)

da 1 1 1

1

откуда определяем параметр a :

1

SUM x y

1

a = -----

1 2

SUM x

1

Коэффициент корреляции в этом случае также определяется по общей формуле (23).

Пример. Необходимо построить математическую корреляционную модель вида

(23) для определения стоимости y компактных статистических катков,

предназначенных для укладки асфальта, в зависимости от их массы x. Данные

1

об аналогичных статистических катках приведены в табл. 3.

Таблица 3

Взаимосвязь между стоимостью статистических катков

и их массой

Масса, т	0,25	0,28	0,25	0,29	0,29	0,30	0,32	0,35	0,35	0,38
Стоимость, тыс. руб.	11	12	10	13	14	14	15	16	17	18

Параметр a можно рассчитать по формуле (27):

1

43,83

a = ------ = 45,9723.

1 0,9534

Тогда модель (24) будет иметь вид:

y = 45,9723x . (28)

1

Коэффициент корреляции, полученный по формуле (23), составит r = 0,979. Коэффициент корреляции, близкий к 1, показывает, что линейная зависимость (28) достаточно точно моделирует зависимость стоимости статистических катков рассматриваемого класса от их массы.

Более просто и быстро можно построить и оценить ту же модель (28) с

применением финансового калькулятора. Для этого в режиме линейной

корреляции "LR" на финансовом калькуляторе CASIO FC-100 необходимо попарно

ввести исходные данные из табл. 3, нажимая клавиши "x y " и "DATA". После

0 0

ввода данных, нажав клавиши "SHIFT" и "B", получим значение a. А нажав

1

затем клавиши "SHIFT" и "r", получим значение коэффициента корреляции r.

Следует отметить, что с применением финансового калькулятора CASIO FC-100 можно строить и нелинейные однофакторные модели корреляции:

1) логарифмическую зависимость

y = a + a ln x ; (29)

0 1 1

2) экспоненциальную зависимость

a x

1 1

y = a e ; (30)

0

3) степенную зависимость

a

1

y = a x . (31)

0

В большинстве случаев стоимость объекта оценки зависит от нескольких факторов, поэтому наибольшее применение находят многофакторные модели.

3.3.2. Многофакторные зависимости

В настоящее время из всевозможных многофакторных зависимостей наибольшее распространение получили линейные зависимости, имеющие следующий вид:

y = a + a x + a x , (32)

где y - стоимость объекта оценки; x и x - факторы, от которых зависит

1 2

стоимость; a, a, a - первоначально неизвестные параметры модели.

0 1 2

Для определения параметров модели по методу наименьших квадратов составляем и приравниваем нулю выражение для суммы квадратов отклонений теоретических и фактических значений стоимости:

2

S = SUM (a + a x + a x - y) -> min.

В этом выражении приравниваем нулю частные производные:

dS

--- = SUM (a + a x + a x - y) = 0, (33)

da

0

dS

--- = 2 SUM (a + a x + a x - y)x = 0, (34)

da

1

dS

--- = 2 SUM (a + a x + a x - y)x =

da

2

После преобразований выражений (33), (34), (35) получим следующую систему нормальных уравнений:

┌

│na + a SUM x + a SUM x = SUM y

│

│

│ 2

< a SUM x + a SUM x + a SUM x x = SUM x y (36)

│

│

│ 2

│a SUM x + a SUM x x + a SUM x = SUM x y.

└

Для определения параметров a, a, a систему уравнений (36) необходимо

0 1 2

решить методами подстановок, определителей или с применением

соответствующей компьютерной программы.

После построения математической модели линейной корреляции (определения

значений параметров модели a, a, a ) необходимо выполнить статистический

0 1 2

анализ результатов.

Предварительно рассчитываются суммы квадратов объяснимых и необъяснимых ошибок:

2

Y = SUM (y - y ) , (37)

н/об выч ср

где Y - сумма квадратов не объяснимых построенной математической

н/об

моделью ошибок; y - среднее значение стоимости; y - вычисление по

ср выч

модели значения стоимости для каждого аналога;

2

Y = SUM (y - y) , (38)

об выч

где Y - сумма квадратов объяснимых ошибок; y - фактические значения

об

стоимости для каждого аналога.

Далее необходимо рассчитать следующие критерии достоверности модели:

1. Дисперсия результата:

Y

2 н/об

S = , (39)

yx n - k - 1

где n - число аналогов; k - число факторов.

2. Среднее квадратическое отклонение S.

yx

3. Дисперсии параметров модели:

2

S

2 yx

S = -------; (40)

a 2

1 (SUM x )

2 1

SUM x -

1 n

2

S

2 yx

S = -----

a 2

2 (SUM x )

2 2

SUM x -

2 n

4. Оценка значимости параметров модели:

│a │

│ 1│

t = ----, (42)

a S

1 a

1

│a │

│ 2│

t = --

a S

2 a

2

Критическое значение величины значимости параметров модели определяется по таблице t-распределения Стьюдента.

5. Коэффициент определенности:

Y

2 об

R = %. (44)

Y + Y

об н/об

6. Коэффициент Фишера:

(n - k - 1)Y

об

F = %. (45)

R kY

н/об

Критическое значение F данного коэффициента определяется по таблице

кр

Фишера - Снедекора. Если F > F то подтверждается гипотеза соответствия в

R кр

уравнении корреляции связей реально существующим. Это будет подтверждать

достоверность построенной математической модели.

7. Коэффициенты эластичности:

x

1ср

Эx = a ----, (46)

1 1 y

ср

x

2ср

Эx = a ----, (47)

2 2 y

ср

где x - среднее значение величины фактора x ; x - среднее

1ср 1 2ср

значение величины фактора x ; y - среднее значение стоимости.

2 ср

Коэффициент эластичности показывает, как изменяется значение стоимости при единичном изменении величины соответствующего фактора.

Пример. Требуется построить математическую модель рынка земельных участков в Московской области (Горьковское направление), рассчитать параметры двухфакторной линейной функции и провести оценку достоверности модели. Исходные данные представлены в табл. 4.

Таблица 4

Исходные данные для составления модели

Показатель	Аналог 1	Аналог 2	Аналог 3	Аналог 4	Аналог 5
Площадь участка, 100 кв. м	12,0	15,0	13,0	11,5	12,0
Назначение	ИЖС	ИЖС	ИЖС	ИЖС	ИЖС
Наличие благоустройства	Свет, газ	Свет, вода	Свет, газ	Свет, вода	Все коммуникации подведены
Направление	Горьковское ш.	Горьковское ш.	Горьковское ш.	Горьковское ш.	Горьковское ш.
Расстояние от МКАД, км	30	20	22	5	8
Цена, долл.	20 000	35 000	25 000	35 000	40 000
Корректировка на уторгование	0,95	0,95	0,95	0,95	0,95
Скорректированная стоимость, долл.	19 000	33 250	23 750	33 250	38 000
Цена, долл/100 кв. м	1 583	2 217	1 827	2 891	3 167

В качестве математической модели выберем двухфакторную линейную

зависимость вида (32), где x - благоустройство (наличие коммуникаций);

1

x - расстояние от МКАД.

2

В данном примере имеются 5 аналогов (n = 5) и 2 фактора (k = 2). Такое

соотношение между числом аналогов и числом факторов по формуле (15)

2

является допустимым, поскольку действительно (5 + 2) <

В соответствии со шкалой, приведенной в табл. 5, присвоим ранги объектам-аналогам согласно их местоположению (расстоянию от МКАД) и благоустройству (наличию коммуникаций).

Таблица 5

Ранжирование значений факторов

Ранг	Расстояние от МКАД, км	Коммуникации
5	1 - 5	Все коммуникации
4	5 - 10	Свет, вода
3	10 - 30	Свет, газ
2	30 - 50	Газ, вода
1	50 и более	Отсутствуют

Результаты ранжирования представлены в табл. 6.