sin x=0

cos x=0

sin x=1

cos x=1

sin x=-1

cos x=-1

sin x=a

cos x=a

tg x=a

ctg x=a

17. Неравенства

1. Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

Пусть функцию можно представить в виде , где х – переменное, а х1, х2, х3 – различные действительные корни функции f(x). Тогда непрерывная функция, проходя через значение корня, меняет свой знак. Это свойство используется при решении неравенств методом интервалов.

Пример: .

Рассмотрим функцию . Она непрерывна на R. Нанесем нули функции (т. е. ее корни) на числовую ось.

- + - +

· · ·

-5 0 4 х

Проверим знак, например, в правом интервале. , а дальше знаки чередуются. Выбираем те интервалы, где знак «+» и записываем ответ.

Ответ: .

Пример: .

- + - +

· · O

-2 0 5 х

Ответ:

2. Показательные неравенства.

Пример: ; т. к. основание степени 2>1, то показательная функция возрастающая и знак неравенства сохраняется для показателей степеней.

.

Ответ: .

Пример: ; т. к. основание степени , то показательная функция убывающая и знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

+ - +

· ·

-2 2 х

Ответ:

3. Логарифмические неравенства.

Пример:

.

· O

-5 4 х

Ответ:

Пример:

 

О О

-5 3 х

Ответ:

18. Прогрессии

Арифметическая

Геометрическая

Формула общего члена

Характеристическое свойство

Формула суммы п первых членов

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (0<½q½<1)
 
. Формула суммы:

19. Дифференцирование

Табличное дифференцирование

Производная сложной функции

Основные формулы

Следствия из основных формул

Физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Пусть - зависимость пути от времени, тогда .

Скорость – производная пути по времени.

Ускорение – производная скорости по времени (вторая производная пути по времени).

Касательной к графику функции в точке х0 называется прямая, задаваемая уравнением:

значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

20. Планиметрия

Основные формулы

Квадрат а

а d а

а

Прямоугольник

d b

a

Треугольник

c h b

B

a

Равносторонний треугольник

 

a h a

 

a

Прямоугольный треугольник

B

a c

C c A

Параллелограмм

D C

b h d2 b

d1

A a B

Ромб

a a

 

a a

Трапеция b

d2 d

c h d1

a

Если a+b=c+d, то в трапецию можно вписать окружность

Описать окружность можно только в том случае, если с=d.

Окружность, круг

О· r

РАЗБОР ВАРИАНТОВ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ

(ПРОШЛЫХ ЛЕТ) НА ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Решение варианта инженерных специальностей (2005 год)

1. Решить неравенство: .

Решение: Выполним вычитание дробей:

Это неравенство эквивалентно

(т. к. 30>0)

х

О

Ответ: .

2. Изобразить на плоскости в системе ХОУ область, ограниченную линиями: у=х2-2х-3 и у=5.

Решение: у=х2-2х-3 – это парабола, ветви которой направлены вверх. координаты вершины Точки пересечения параболы с ОХ: у=5 – это прямая, параллельная оси ОХ. Тогда в системе координат ХОУ построим искомую область:

 

5 у

0 1 3 х

-4

3.  Вычислить: .

Решение: Используя свойства степени

получаем следующий результат:

Ответ: 625.

4. Решить уравнение

Решение: Применим свойства логарифмов

и учитывая область допустимых значений этого уравнения, найдем решение уравнения и неравенства одновременно:

 

O ·

-0,5 1 х

Ответ: х=1 – корень уравнения.

5. Решить уравнение

Решение: Из основного тригонометрического тождества следует, что

, то заданное уравнение имеет вид:

.

Приведем подобные и решим уравнение

Ответ: .

Решение варианта экономических специальностей (2005 год)

1. Найти 2,4% площади прямоугольного треугольника, катеты которого 18 мм и 0,035м.

Решение: 1м=100 см Þ 0,035 м=35 см

1 см=10 мм Þ 18 мм=1,8 см

Площадь прямоугольного треугольника: , где a, b – катеты треугольника; тогда (см2).

Составим пропорцию:

см2 или 7,56 мм2.

Ответ: 7,56 мм2.

2. Решить уравнение .

Решение: Применим свойства логарифмов

и учитывая область допустимых значений для логарифмической функции, имеем следующую систему неравенств и уравнения

 

· O O ·

-0,5 0,5 4 5 х

Видим, что пересечению принадлежит только один из корней: х1=-0,5.

Ответ: х=-0,5.

3. При каких значениях х график производной функции лежит не выше прямой у=2-х.

Решение: Найдем производную , используя формулы

По условию график лежит не выше прямой у2=2-х, значит, значения , тогда получаем неравенство:

.

Решаем его: .

Сначала находим корни квадратного трехчлена: .

Затем методом интервалов

+ - +

· ·

1 2 х

Таким образом, получаем . Это можно проверить на графике. Построим параболу и прямую у=2-х.

 

у

2

1

0 1 2 х

 

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4