Готовимся к вступительным экзаменам по математике в Ижевскую ГСХА (заочное отделение) (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ

АКАДЕМИЯ»

ГОТОВИМСЯ

к вступительным экзаменам по математике

в Ижевскую ГСХА

(заочное отделение)

Ижевск

2010

Авторы:

(зав. кафедрой высшей математики ИжГСХА)

(ст. преп. кафедры высшей математики ИжГСХА)

Компьютерный набор

Пособие предназначено для абитуриентов, желающих принять участие во вступительном экзамене по математике на заочное отделение Ижевской ГСХА.

В пособии приводятся справочные формулы и решения примеров (стр. 5 – стр. 17); разбираются три варианта экзаменационных билетов (инженерные и экономические специальности) (стр. 18 – стр. 24). В конце брошюры предлагаются варианты для самостоятельного решения.

«Ни пуха, ни пера!»

ТРЕБОВАНИЯ К ЗНАНИЯМ И УМЕНИЯМ

ПО МАТЕМАТИКЕ

НА ВСТУПИТЕЛЬНОМ ЭКЗАМЕНЕ НА ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

АЛГЕБРА

1.  Применять формулы сокращенного умножения, производить действия со степенями.

2.  Решать линейные, квадратные (в том числе применяя теорему Виета), биквадратные, показательные, логарифмические, иррациональные уравнения и неравенства.

3.  Применять при решении неравенств метод интервалов.

4.  Решать уравнения и неравенства с модулем.

5.  Строить графики основных функций: .

6.  Строить графики путем изменения основы : ; .

7.  Решать системы уравнений и неравенств (графически, аналитически).

8.  Решать задачи с применением свойств арифметической, геометрической и бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

9.  Решать текстовые задачи на составление уравнений (на проценты, движение, совместную работу и т. д.).

10.  Дифференцировать простую и сложную функцию; решать задачи на геометрический и механический смысл производной; применять производную при исследовании функции на возрастание, убывание, точки экстремума; наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

11.  Решать задачи на исследование с параметрами.

ТРИГОНОМЕТРИЯ, ГЕОМЕТРИЯ, СТЕРЕОМЕТРИЯ

1.  Знать определения , находить эти значения на тригонометрическом круге и в прямоугольном треугольнике.

2.  Строить графики тригонометрических функций.

3.  Знать наизусть значения тригонометрических функций для основных углов .

4.  Выполнять преобразования тригонометрических выражений с помощью формул приведения и тригонометрических тождеств.

5.  Определение обратных тригонометрических функций: .

6.  Решать тригонометрические уравнения и неравенства.

7.  Решать геометрические задачи с применением основных теорем (теорема Пифагора, теорема косинусов, теорема синусов, свойств подобных треугольников и т. д.).

8.  Решать задачи на нахождение площадей треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора; длины окружности, дуги.

9.  Решать задачи на вписанную и описанную окружность.

10.  Задачи на нахождение объема и площади поверхности многогранников (призма, пирамида, параллелепипед) и тел вращения (цилиндр, конус, сфера).

11.  Знать уравнение окружности с центром в произвольной точке.

12.  Знать формулу расстояния между двумя точками.

13.  Иметь понятие о векторах и производить действия над векторами (, , ).

СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ

И РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы	(а + b)2 = a2 + 2ab + b2	(10 + 1)2 = 102 + 2×10×1 + 12 = 121
Квадрат разности	(а - b)2 = a2 - 2ab + b2	= ×50×1 + 12 = 2401
Куб суммы	(а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	(х + 1)3 = х3 + 3х2 + 3х + 1
Куб разности	(а - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3	(2 - х)3 = 8 - 12х + 6х2 - х3
Разность квадратов	a2 - b2 = (а - b)(а + b)	4 - х2 = (2 - х)(2 + х)
Сумма кубов	a3 + b3 = (а + b) (a2 - ab + b2)	8 + х3 = (2 + х)b + х2)
Разность кубов	a3 - b3 = (а - b) (a2 + ab + b2)	1 - х3 = (1 - х) (1 + х + х2)

2. Действия с дробями

а) Сложение и вычитание числовых и рациональных дробей проводится в следующем порядке:

1)  привести дроби к наименьшему общему знаменателю;

2)  найти дополнительные множители для каждой дроби (для этого наибольший общий знаменатель делим на знаменатель дроби);

3)  умножить числитель дроби на дополнительный множитель этой дроби;

4)  выполнить в числителе соответствующие действия сложения или вычитания.

Примеры:

1)  ;

2)  .

б) Умножение и деление дробей:

Чтобы умножить две дроби, нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй, знаменатель первой умножить на знаменатель второй.

Чтобы разделить какое-нибудь число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Примеры:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  .

3. Проценты

	Определение	Примеры
Процент (1%)	Процентом данного числа называется сотая доля этого числа	1% = = 0,01; 115% = = 1,15; 0,1% = = 0,001.
Нахождение процентов данного числа	а – 100 % b – х %		Найти 125% от 8 руб. 88 коп. Решение: 8,88 – 100 % х руб. – 125 % (руб.) Ответ: 11 рублей 10 копеек
Нахождение числа по его процентам	b % – а 100% – х		Найти число, если 3,5% его равны 21. Решение: 3,5 % – 21 100% – х Ответ: число равно 600.

Задачи:

1)  1000 семян сорной травы василька весят 5,6 г. Сколько семян василька в 1 кг собранной пшеницы, если процент засоренности василька равен 0,35%? Ответ: 625 семян.

2)  Мясо теряет при варке 35% своего веса. Сколько надо взять сырого мяса, чтобы приготовить 260 порций по 40 г вареного мяса в каждой.

Ответ: 16 кг.

3)  Число 37,372 округлили до десятых. Найти допущенную при этом относительную погрешность (в процентах).

Ответ: »0,07%.

4. Линейная функция и ее график

Ах+Ву+С=0

или

у=kx+b

График линейной функции – прямая линия.

Вид графика линейной функции в зависимости от вида ее уравнения

k=tga угловой коэффициент прямой у у у=kx+b у=С (k=0) (k>0) b· у=kx+b a 0 х (k<0) a 0 у=kx (b=0) х b · х=а (k=¥) х=0   у=0     – уравнение оси оу – уравнение оси ох Для построения прямой достаточно знать две точки.
Пример	Решение	График
Найти угловой коэффициент прямой и ее точки пересечения с осями координат 3х–4у+12=0.	3х–4у+12=0 –4у=–3х –12 ½:(–4) у=х+3; k= х=0 –4у+12=0 у=3 у=0 3х+12=0 х=–4 М1(–4; 0) М2(0; 3)	у М2 · 3 М1 a -4 0 х k=tga=

5. Системы линейных уравнений

а) Основные методы решения

Метод алгебраического сложения
Метод подстановки

б) Системы линейных уравнений с параметрами

Теоретический материал	Примеры и решения
(1)	1) При каких а система уравнений имеет бесконечно много решений? Решение: или . Общее решение а = -2. Ответ: а = -2.
Система уравнений имеет единственное решение (прямые L1 и L2 пересекаются).
Система (1) имеет бесчисленное множество решений (прямые L1 и L2 совпадают).
Система (1) не имеет решения (прямые L1 и L2 параллельны).

6. Квадратное уравнение

ах2+bx+с=0; а≠0

 

Дискриминант квад-ратного уравнения	Корни квадратного уравнения	Теорема Виета
D=b2–4ас	D>0	Уравнение имеет два различных действительных корня:	х1, х2 – корни квад-ратного уравнения   Для приведенного квадратного уравнения х2+px+q=0
D=0	Уравнение имеет два совпавших действительных корня:
D<0	Уравнение не имеет действительных корней.

7. Квадратная функция и ее график

; ее график – парабола с вершиной М0(х0; у0), где

	D>0	D=0	D<0
а>0 ветви направлены вверх	у 0 х0 х · · х1 · х2 М0	у 0 · х0 х х1= х2= х0	у М0 ·   0 х0 х
	Разложение на линейные множители
	ах2+bx+с=а(х–х1)(х–х2)	ах2+bx+с= а(х–х1)2	Разложить нельзя.

8. Действия со степенями

Определения и свойства степени	Примеры и решения
1)  а1 = а; (аÎR) 2) аn = а× а×…× а n (аÎR, nÎN) 3) а0 = 1; (а¹0, аÎR) 4) ; (а¹0, аÎR, рÎR, p>0) 5); (а>0, nÎN, mÎQ) 6) а х × а у = а х+у 7) (а х) у = а х×у 8) а х : а у = а х - у 9) а х × b x = (аb) х 10)	Вычислить: 1) 25=2×2×2×2×2=32 2) 0,020=1 3) 2-3= 4) 5) 6)

9. Иррациональные уравнения