Аналитические решения уравнений навье-стокса в трехмерной геометрии (стр. 2 )

Рассмотрим выражение для скорости в упрощенном виде

. (6.3)

Мы опустили интегрирование по модулю волнового вектора, поскольку оно не существенно для последующих преобразований. Для удобства обозначения мы положили

. (6.4)

Введем в правую часть равенства множитель

. (6.5)

Выделим в правой части данного выражения однородный гармонический полином степени

где .

, (6.6)

где .

Замечание. Для обоснования данной формулы удобно использовать следующее определение сферических функций:

(6.7)

Используем теорему сложения Гегенбауэра

, (6.8)

где - гамма-функция; - полином Гегенбауэра; . ;.

Замечание. В случае разделение переменных не требуется, поскольку величина принимает фиксированное значение.

. (6.9)

, (6.10)

где – полином Якоби.

Первые полиномы Якоби в явном виде выглядят следующим образом:

(6.11)

Введем обозначение:

. (6.12)

Также выполнено соотношение:

. (6.13)

Учтем также соотношение:

. (6.14)

Тогда

, (6.15)

Формула справедлива как для , так и для .

Подставим в формулу (6.5) выражения (6.6) и (6.15). Получим

Учтем, что . Получим

(6.16)

Воспользуемся формулами:

, (6.17)

, (6.18)

где и – постоянные коэффициенты.

Замечание. Данные формулы являются следствиями соотношения

В результате получим выражение:

(6.19)

Введем обозначение:

(6.20)

Тогда

(6.21)

Замечание. Функции и можно представить с помощью функций и , где .

Решения в других ортогональных системах криволинейных координат получаются аналогично. Мы можем построить решения в различных ортогональных системах криволинейных координат на основе сферических функций Бесселя. Но возможен и другой подход.

Отметим, что сферические функции Бесселя удовлетворяют частному случаю соответствующего уравнения Ломмеля (см. [9]). Уравнение Ломмеля можно получить из уравнения Бесселя путем замены переменных. Таким образом, решения уравнений Навье-Стокса строятся на основе решений дифференциального уравнения Бесселя, а также уравнения Лапласа в сферической геометрии. Напомним, что частное решение уравнения Лапласа в этой геометрии строится на основе сферических функций. В свою очередь, к решению этих уравнений сводится решение уравнения Гельмгольца в сферической геометрии. Уравнения Лапласа и Гельмгольца в различных трехмерных системах ортогональных криволинейных координат преобразуются к обобщенным уравнениям гипергеометрического типа. Решениями этих уравнений являются специальные функции, характерные для данной криволинейной геометрии. На этих функциях и должно строится решение трехмерных уравнений Навье-Стокса в различных системах криволинейных координат. Решение, представленное в этих функциях, может иметь более простой вид.

Замечание. В работе [9] доказано разделение переменных для решений, полученных в координатах: декартовых, цилиндрических, параболических, параболического цилиндра, вытянутого и сплюснутого эллипсоида вращения, конических и параболоидальных [6]. Отметим, что разделение переменных происходит также и в тороидальных координатах.

Тороидальные координаты связаны с декартовыми координатами по формулам:

, , ,

где, , , – радиус круга, полученного в сечении тора, – радиус оси тора.

Справедливо соотношение:

Пусть . Тогда , и

Далее задача решается как обычно.

7. Решение линейного нестационарного уравнения движения в трехмерной геометрии.

Очевидно, что решение нестационарного уравнения движения первого вида в сферических координатах может быть сразу же получено из соответствующего решения стационарной задачи. На основании формул (4.9), (4.13), (4.14), (5.20), (5.23) оно записывается как

.(7.1)

(7.2)

Коэффициенты , получены из коэффициентов , путем учета дополнительной переменной .

Решения нестационарного уравнения движения второго вида представляются формулами (4.15)-(4.17). Запишем их еще раз.

, (7.3)

, (7.4)

Для определенности мы выбрали знак минус перед произведением и плюс перед произведениями и .

Используем формулы (5.4)-(5.5) и формулы

, (7.5)

, (7.6)

где .

Получим сначала выражение для скорости

(7.7)

Введем обозначение

(7.8)

Смысл такого обозначения станет ясным при выводе формулы для давления.

Получим выражение

(7.9)

Представим вектор в виде

. (7.10)

Соответственно вектор примет вид

, (7.11)

где

(7.12)

Получим еще одно выражение для скорости. Направим ось по направлению вектора :

. (7.13)

Получим

(7.14)

Выведем формулу для давления. Для этого используем формулу

(7.15)

При выводе этого выражения использовались формулы (5.10)-(5.12), (5.15)-(5.16).

Тогда

Введем обозначение

(7.16)

Тогда

(7.17)

В случае, если , получим

(7.18)

8. Решение трехмерного уравнения неразрывности в первом приближении.

Нам необходимо решить еще одно уравнение, входящее в систему уравнений Навье-Стокса. Это уравнение неразрывности. В нулевом приближении оно удовлетворяется тождественно (см. (2.17)): . Рассмотрим задачу для несжимаемой жидкости. Тогда в первом приближении уравнение неразрывности имеет вид

. (8.1)

Оператор Гамильтона воздействует только на пространственные переменные. Поэтому для решения этого уравнения достаточно рассмотреть только стационарную задачу. В обобщенном виде решение уравнения стационарного движения для скорости записывается как

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

. (8.2)

Подставим выражение (8.2) в (8.1). Внесем оператор Гамильтона под знак интеграла. Получим уравнение

. (8.3)

Однако условие (8.3) означает, что решение для давления для двух видов уравнения движения равно нулю:

. (8.4)

Мы пришли к противоречию с уже полученным решением уравнения движения. Следовательно, наш метод получения решений неверен. Но не будем торопиться с выводами. Исследуем вопрос о получении уравнения неразрывности и его решении более тщательно.

Вспомним, что вязкость по физической сути является молекулярным переносом [2]. И уравнения Навье-Стокса выводятся интегрированием уравнения молекулярного переноса. В качестве наиболее простого примера, рассмотрим случай диффузии легкого газа в тяжелом. Допустим, что молекулы легкого газа движутся со скоростью в тяжелом газе, молекулы которого покоятся. Рассеяние легких молекул на тяжелых изотропное. Тогда уравнение переноса для легких молекул имеет вид

(8.5)

где – полное сечение взаимодействия молекул, движущихся со скоростью , – дифференциальное сечение упругого и неупругого рассеяния молекул, – скорость молекул до рассеяния, – скорость молекул после рассеяния, – интенсивность источника,

, .

Умножим данное уравнение на модуль импульса , где – масса легкой молекулы, и проинтегрируем его по всем возможным значениям вектора скорости. В результате получим уравнение неразрывности в виде

, (8.6)

где

. (8.7)

Если неупругие столкновения отсутствуют, то скорость молекул после столкновений не меняется. Тогда

, (8.8)

где – интегральное сечение упругого рассеяния молекул:

В результате функция приобретет вид

. (8.9)

где – сечение поглощения молекул.

Неупругое рассеяние и поглощение молекул относятся к процессам неупругих столкновений. Сечение поглощения учитывает процессы, в которых молекулы исчезают или существенно меняют свои свойства. К ним относятся химические реакции, диссоциация, ионизация и т. д. К неупругому рассеянию относятся такие акты рассеяния, в которых не выполняется закон сохранения кинетической энергии сталкивающихся молекул. Эта энергия затрачивается на возбуждение вращений и колебаний молекул. Поглощение кинетической энергии уменьшает макроскопическую скорость вещества и дает свой вклад в вязкость. Заметим, что обычно при выводе уравнения неразрывности в гидродинамике сечениями неупругих столкновений пренебрегают в силу их малости. И за основу принимают модель, в которой учитываются только упругие столкновения. В этом случае интеграл столкновений равен нулю, а вместе с ним и введенная функция:

. (8.10)

Но в теории переноса даже при учете только упругих столкновений обычно считают, что

, но . (8.11)

Если предположить, что сечение поглощения не зависит от скорости движения молекул

, (8.12)

то

. (8.13)

Такое допущение не является общим: сечения неупругих процессов существенно зависят от скорости взаимодействующих молекул [3]. А вопрос о том, насколько они малы, требует специального исследования при постановке различных задач. Существенное изменение скорости молекул часто происходит локально: вблизи границ раздела сред и на фронте ударных волн. Поэтому сечения неупругих столкновений будут различными в различных точках вещества, а само уравнение (8.6) является в общем случае нелинейным. Вывод обобщенной формы этого уравнения является нетривиальной задачей и требует привлечения экспериментальных данных. Ее решение выходит за рамки данной работы. Однако незавершенность вывода дифференциального уравнения неразрывности не является препятствием для выполнения задачи, поставленной в данной работе: доказательства существования и получение аналитических решений уравнений Навье-Стокса. Новая завершенная форма дифференциального уравнения неразрывности является дополнительным уравнением для краевой задачи. Краевые условия и уравнение неразрывности позволят найти собственные значения и значения неопределенных коэффициентов задачи. Пример решения задачи на собственные значения будет рассмотрен ниже.

Итак, в случае постоянства плотности при указанных допущениях уравнение неразрывности принимает вид

. (8.14)

Решение такого уравнения можно построить на основе экспоненциальной функции, то есть в виде плоской волны. Это дает нам основание предположить, что и решение обобщенного нелинейного уравнения (8.6) можно построить в виде плоской волны. Заметим, что функция может быть комплексной. В дальнейшем мы будем полагать, что она представлена в линейном приближении, то есть, подобна функции .

Сначала рассмотрим стационарную, плоскую одномерную задачу. В этом случае уравнение (8.6) в первом приближении запишется как

, (8.15)

где – проекция вектора скорости на ось .

Решением такой задачи являются плоские волны, распространяющиеся параллельно оси . Пусть источник расположен в начале координат. Его плотность распределения положим равную

. (8.16)

Получим уравнение

. (8.17)

Решением такой задачи являются две плоские волны, распространяющиеся из начала координат параллельно оси в противоположных направлениях. Предположим, что выражение для плоских волн имеет вид

(8.18)

где , и – постоянные величины. В этом выражении учтен скачок (разрыв) направления вектора скорости в плоскости источника.

Проинтегрируем уравнение (8.17) в малой окрестности начала координат []. Устремим пределы окрестности к нулю. Придем к уравнению

. (8.19)

Очевидно, что первообразная функции является непрерывной функцией от . Поэтому выполнено

. (8.20)

Уравнение (8.17) примет вид

. (8.21)

Обозначим

, . (8.22)

Воспользуемся формулой (8.14). В результате получим решение

(8.23)

Отметим, что наличие функции источника в правой части уравнения неразрывности свидетельствует о присутствии сингулярности (разрыва) в левой части этого уравнения.

Предположим, что функция источника в правой части уравнения (8.21) равна нулю. Получим уравнение

. (8.24)

Решением этого уравнения является выражение, представляющее плоскую волну, которая распространяется в любом направлении оси :

. (8.25)

Напомним, что первообразная этого выражения является непрерывной функцией во всей области ее определения.

Придадим уравнению (8.15) более привычный для задач гидродинамики вид. Положим

. (8.26)

Получим уравнение

. (8.27)

Для источника (8.16) решением этого уравнения являются две плоские волны, распространяющиеся из начала координат параллельно оси в противоположных направлениях. Причем эти волны представляются величинами, не зависящими от координаты , то есть постоянными векторами:

(8.28)

где – постоянная величина.

Интегрирование уравнения (8.27) в малой окрестности начала координат [] и предельный переход приведут к уравнению (8.21). Решение уравнения (8.21) приведет к выражению

(8.29)

Очевидно, что плоская волна, представленная постоянной функцией

, (8.30)

будет решением уравнения (8.24).

Обобщение полученных формул при учете зависимости решения от времени осуществляется очевидным образом. Обобщим формулы (8.21) и (8.27) на случай трехмерной геометрии. Получим уравнения

, (8.31)

, (8.32)

где – некоторый малый объем пространства, окружающий точку , – замкнутая поверхность, ограничивающая объем , – элемент объема.

Очевидно, что решение этих двух уравнений можно построить в виде наложения плоских волн (8.2), используя описанную выше последовательность действий. При этом следует учесть условия разрыва решения для плоских волн в точках источника.

Используя теорему о дивергенции, можно придать этим уравнениям эквивалентную форму

, (8.33)

, (8.34)

где – некоторый малый объем пространства, окружающий точку , – замкнутая поверхность, ограничивающая объем , – элемент объема, – элемент поверхности . Направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к поверхности, а его абсолютное значение с площадью элемента поверхности.

Мы полагаем, что функция является непрерывной вместе со всеми частными производными во всей области ее определения за исключением точек источника. В этих точках функции, представляющее решение, и их производные могут иметь разрыв. Напомним, что теорема о дивергенции применима и в точках разрыва [6], если условия разрыва учтены виде соответствующих предельных отношений. Соответствующий пример рассмотрен нами в одномерном случае.

Заметим, что на основании формул (8.31) и (8.32) мы могли бы перейти к дифференциальным уравнениям

, (8.35)

. (8.36)

Однако выражение для плоской волны (8.25) не является решением этих уравнений. Для получения такого решения в этих уравнениях необходимо учесть дополнительное слагаемое, которым пренебрегают в моделях гидродинамики. Поэтому при решении задач с несжимаемой жидкостью не следует пользоваться классическими дифференциальными формами уравнения неразрывности. Классические уравнения неразрывности могут использоваться лишь в виде интегральных предельных форм. Эти формы связывают особенность (разрыв) дивергенции решения или отсутствие этой особенности с источниками жидкости. Дифференциальные формы должны быть модифицированы. В результате получатся дополнительные уравнения для нахождения собственных значений и неопределенных коэффициентов задачи.

Мы получили уравнения (8.31)-(8.34) в случае несжимаемой жидкости для функции скорости (и ), заданной в первом приближении. Но как станет ясно впоследствии, они справедливы при представлении скорости в любом приближении. Забегая вперед, скажем, что аналогичные уравнения справедливы также и для сжимаемой жидкости, так как интегрирование уравнения (8.6) приведет к подобному результату. Впоследствии также выяснится, что выражения для плоской волны с экспоненциальной зависимостью от времени и координат являются решениями дифференциального уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости. Причем это справедливо даже в том случае, если в этом уравнении не учитывается дополнительное слагаемое, связанное с процессами поглощения энергии в веществе в процессе взаимодействия частиц его составляющих. Именно такое уравнение мы будем использовать в дальнейшем.

Вернемся еще раз к уравнениям (8.35), (8.36).

Рассмотрим интеграл

. (8.37)

Напомним, что мы учитываем скорость только в первом приближении.

В качестве поверхности выберем небольшую сферу радиуса , окружающую любую точку пространства. Пусть положение этой точки в пространстве определяется вектором .