Аналитические решения уравнений навье-стокса в трехмерной геометрии (стр. 4 )

(11.15)

Если мы умножим это уравнение на функцию и проинтегрируем по переменным ,,,, то получим исходное уравнение (11.1).

Введем три взаимно перпендикулярных вектора:

(11.16)

Замечание. Мы использовали формулу .

Вектор можно представить в виде разложения по векторам , и :

, (11.17)

где , ,

.

Сначала рассмотрим случай решения первого вида для скорости (см. (4.12)):

. (11.18)

В этом случае переменные и не зависят от переменных и .

Уравнение (11.15) примет вид

(11.19)

Умножим это уравнение на вектор . Получим

. (11.20)

Для решения первого вида

. (11.21)

Умножим уравнение (11.19) на вектор :

(11.22)

Используем формулу (11.16).

(11.23)

Используем формулу (11.12). Введем обозначение

. (11.24)

Получим

(11.25)

Отметим, что для несжимаемой жидкости

(11.26)

Умножим уравнение (11.19) на вектор :

(11.27)

Эквивалентная формула имеет вид

(11.28)

Введем обозначения

. (11.29)

В результате формула для давления примет вид

(11.30)

Найдем выражение для скорости. Очевидно, что скорость в решении первого вида записывается как

(11.31)

Рассмотрим выражение:

(11.32)

Воспользуемся выражениями (5.4), (5.5), (5.13), (5.15), (5.16).

(11.33)

Введем обозначения:

(11.34)

(11.35)

Получим выражение

(11.36)

Рассмотрим выражение:

(11.37)

Воспользуемся выражениями (5.4), (5.5), (5.13), (5.15), (5.16), (11.16).

Напомним, что

. (11.38)

Также используем формулу

. (11.39)

Получим

(11.40)

Введем обозначения:

(11.41)

Для краткости записи в следующем выражении введем обозначение .

(11.42)

Получим выражение

(11.43)

Введем обозначение

. (11.44)

Тогда скорость в решении первого вида записывается как

(11.45)

Отметим, что компонента скорости связана с компонентами и уравнением (11.25). Соотношения между коэффициентами разложения данных компонент по угловым переменным и можно найти из уравнения, полученного преобразованием формулы (11.25). При этом необходимо использовать формулы (11.16) и (11.24).

Получим

(11.46)

Разложив компоненты скорости и произведения векторов по сферическим функциям и , мы получим необходимые соотношения.

Формула (11.10) для давления в решении первого вида записывается как

(11.47)

Введем обозначение

(11.48)

Получим

(11.49)

Связь компонент скорости и давления выражается уравнением, полученным из выражений (11.29)-(11.30). Оно имеет вид

(11.50)

Разложив компоненты скорости, давления и произведения векторов по сферическим функциям и , мы получим соотношения между соответствующими коэффициентами угловых разложений.

Формула для плотности в трехмерной геометрии примет вид (см. (11.8))

(11.51)

Введем обозначение

. (11.52)

Формула для плотности примет вид

. (11.53)

Связь компонент плотности и скорости выражает формула (11.12). Для получения связи коэффициентов угловых разложений она имеет вид

. (11.54)

Уравнение движения во втором приближении с учетом силы гравитации имеет вид

(11.55)

Учтем влияние силы гравитации на решение первого вида. Запишем выражение для давления в виде

. (11.56)

Градиент этого выражения равен

. (11.57)

Если мы подставим выражение (11.57) в уравнение (11.55), то слагаемое сократиться, а вместо него появится выражение . Воспользуемся формулами (10.13) и (11.8), Получим

(11.58)

Замечание. Мы выбрали знак плюс перед произведением .

Выражение под интегралом симметрично относительно переменных и . Рассмотрим это выражение

. (11.59)

Умножим это выражение на вектор и прибавим результат в правую часть уравнения (11.22). Получим вклад силы гравитации в скорость . Умножим это выражение на вектор и прибавим результат в правую часть уравнения (11.27). Получим вклад силы гравитации в давление . Дальнейшие действия очевидны.

Получим решения уравнения второго вида. В этом случае согласно уравнению (11.20) должно быть выполнено соотношение

. (11.60)

Отметим, что переменные и определены при решении уравнений Навье-Стокса в первом приближении. Согласно формуле (4.11) их значения равны

(11.61)

Тогда из уравнения (11.60) имеем

. (11.62)

Согласно (11.29)-(11.30) формула для давления примет вид

(11.63)

Согласно (11.12) формула для плотности имеет вид

. (11.64)

Решения нестационарного уравнения движения второго вида представляются формулами, аналогичными формулам (4.15)-(4.17):

, (11.65)

, (11.66)

где функция связана со скоростью формулой (11.63).

Также

, (11.67)

где функция связана со скоростью формулой (11.64).

Для определенности мы выбрали знак минус перед произведением и плюс перед произведением .

Используем формулы (5.4)-(5.5) и формулы (7.5)-(7.6).

Получим выражение для скорости

(11.68)

Введем обозначение

(11.69)

Получим выражение

(11.70)

Представим вектор в виде

. (11.71)

Соответственно вектор примет вид

, (11.72)

где

(11.73)

Направим ось по направлению вектора :

. (11.74)

Получим

(11.75)

Формула для давления выводится на основании выражений (11.63), (11.66). При этом следует учесть соотношения:

(11.76)

(11.77)

(11.78)

При выводе этих выражений использовались формулы (5.10)-(5.12), (5.15), (5.16), (11.16), (11.17). Вывод выражения для давления тривиален. Однако промежуточные формулы, используемые при выводе, и конечная формула очень громоздки. Поэтому мы выведем выражение для давления, которое имеет более компактный, но общий вид. Воспользуемся формулой (11.66). Выполним процедуры, аналогичные тем, которые выполнялись при выводе формулы для скорости. Получим

. (11.79)

(11.80)

Введем обозначение

(11.81)

Получим

(11.82)

В случае, если , получим

(11.83)

Выведем также формулу для плотности , используя формулы (11.64), (11.76). Тогда

(11.84)

Введем обозначение

(11.85)

Тогда

(11.86)

В случае, если , получим

(11.87)

Учет силы гравитации в решениях второго рода осуществляется тривиально. Для этого достаточно в формулах (11.70), (11.82), (11.86) вместо начальной скорости использовать выражение

. (11.88)

Аналогичным образом решается задача в третьем и более высоких приближениях. Заметим, что общий вид решений очевиден сразу. Несмотря на громоздкость формул они, по сути, получаются довольно просто. Полезен переход к представлению решений в тензорной форме.

Отметим, что формула давления для несжимаемой жидкости легко получается из соответствующего формулы для сжимаемой жидкости, и нам не имеет смысла рассматривать задачу нахождения давления несжимаемой жидкости отдельно.

12. Общий подход к решению уравнения неразрывности во втором и более высоких приближениях.

Мы уже убедились непосредственно, что не модифицированное, дифференциальное уравнение неразрывности (11.2) для сжимаемой жидкости решается для плоской волны. Рассмотрим интегральную предельную форму этого уравнения. Проинтегрируем данное уравнение по объему и возьмем предел при . Учтем, что

, (12.1)

так как первообразная функции под знаком интеграла является непрерывной функцией от , в том числе и при . Получим формулу

. (12.2)

Эквивалентная формула имеет вид

. (12.3)

Очевидно, что решениями уравнений (12.2), (12.3) являются выражения для плоской волны и разложения плоской волны в ряд по сферическим функциям и сферическим функциям Бесселя. При наличии источника в правой части уравнений помимо функций Бесселя решением также является разложение на основе функций Неймана (или Ганкеля).

Уравнения (12.2) и (12.3) справедливы и для несжимаемой жидкости, если в них оставить только слагаемое с величиной .

Таким образом, выводы сделанные ранее в результате решения уравнения неразрывности для линейного приближения системы Навье-Стокса, находят свое подтверждение и при решении задачи в нелинейном приближении.

Рассмотрим пример получения собственных значений во втором приближении линейного уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости. Это уравнение имеет вид

. (12.4)

Будем искать решение данного уравнения в виде

. (12.5)

Для решения первого вида

, (12.6)

где .

Тогда

. (12.7)

Отметим, что

, (12.8)

где .

Значение определено в первом приближении уравнения неразрывности. Поэтому получим

. (12.9)

Очевидно, что вектор , равный по модулю вектору , повернут относительно этого вектора на угол в 45 градусов.

Найдем собственные значения задачи для решения второго вида в частном случае, если вектор совпадает по направлению с вектором .

Необходимо учесть, что для решения второго вида

. (12.10)

Поэтому согласно формуле (12.8)

. (12.11)

При этом вектор повернут относительно этого вектора на угол в 45 градусов.

Решение второго вида приведет к уравнению

. (12.12)

Решение этого уравнения приведет к формуле

, (12.13)

где , , – произвольная угловая переменная, – постоянный фазовый множитель.

Собственные значения задачи определятся из решения системы, в которую входит уравнение (8.74) и уравнение

, , (12.14)

где – порядок аппроксимации решения задачи.

Очевидно, что уравнение (12.14) имеет те же решения, что и уравнение (8.74).

Таким образом, во втором приближении решения линейного уравнения неразрывности мы получили два сходных семейства плоских волн. Соответствующие волны каждого семейства распространяются под углом в 45 градусов по отношению друг к другу.

Решение задачи Коши (11.3), (11.4) выполняется очевидным образом. Для определения абсолютных значений волновых векторов , и неопределенных коэффициентов задачи следует использовать граничные условия и модифицированное дифференциальное уравнение неразрывности. Примеры решения таких задач будут рассмотрены в последующих работах.

Аналогичные результаты получаются и при рассмотрении более высоких приближений.

13. Заключение

Аналитический метод построения решения уравнений Навье-Стокса развит на основе подходов получения аналитических решений, используемых в квантовой механике и теории поля. Аналогичными методами также было получено аналитическое решение для уравнения переноса нейтральных частиц в трехмерной геометрии [9]. Предварительные исследования говорят о том, что подобным образом можно построить аналитическое решение системы уравнений Власова. Следует отметить, что все полученные решения строятся на основе хорошо известных сферических и цилиндрических функций, которые широко используются при решении основных уравнений математической физики. Это свидетельствует о том, что реально разработать аналитический метод построения трехмерных решений краевых задач для систем различных, в том числе нелинейных уравнений, которые описывают сложные, взаимно влияющие процессы. На основе аналитических подходов возможно значительное продвижение в построении моделей турбулентности как проявление детерминированного хаоса. Существенную роль при разработке таких аналитических методов должно сыграть развитие единого подхода к построению решений уравнений квантовой механики и уравнений, описывающих макроскопические процессы. В перспективе это позволит перейти к задачам, в которых строятся модели возникновения организованной материи из неорганизованной и живой материи из неживой.

ЛИТЕРАТУРА

1.  , Лившиц теоретической физики: Учебное пособие для вузов в 10-ти томах. Том 6. Гидродинамика. -8-ое издание, стереотипное, М.: Физматлит, 2001 г.

2.  , Лившиц теоретической физики: Учебное пособие для вузов в 10-ти томах. Том 10. Физическая кинетика. -8-ое издание, стереотипное, М.: Физматлит, 2001 г.

3.  , Райзер ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. 2-ое издание, дополненное, М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1966.

4.  Владимиров математической физики: Учебник. – 5-ое издание, дополненное, М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1988.

5.  , Уваров функции математической физики. – М.: Наука, 1984.

6.  , Корн по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

7.  Г. Шустер. Детерминированный хаос: введение. Издательство “Мир”, 1988.

8.  Жиркин теория переноса излучений в среде. Аналитический метод решения уравнения переноса излучений в трехмерной геометрии. Опубликовано в сайте: http://www.

9.  Жиркин теория переноса излучений в среде. Решение стационарного, однородного уравнения переноса излучений в трехмерной геометрии. Опубликовано в сайте: http://www. .