Обработка экспериментальных данных на ЭВМ (стр. 6 )

Первая процедура – запись символьного массива - строки, которая расположена над рабочей жордановой таблицей. Это – тот же массив Z, но записанный в виде строки, имеем .

Как следует из вида системы уравнений, столбец свободных членов B состоит из одних нулей.

Будем считать, что матрица M, в которой (N – 1) m строк и N (m + 1) столбцов, заполнена нулями.

Вторая процедура представляет собой следующее действие: на вход подается любая из точек и число m; на выходе – вместо группы некоторых нулей в матрице M записываются новые числа. Пусть задается точка , так что t равно одному из чисел .

Строки матрицы M естественным образом разбиваются на группы по m строк в каждой группе; первая группа – это уравнения для точки , вторая – для точки и т. д. Фиксируем в матрице M строчки , относящиеся к точке . Процедура будет вносить изменения только в эти строчки. Уравнения системы пишутся группами: для каждой точки - своя группа. В этой группе участвуют только многочлены и . Так что в матрицу M изменения надо будет вносить только в столбцы, соответствующие переменным . Вне этих столбцов изменений не будет.

Полученная в результате система линейных алгебраических уравнений имеет в качестве решения не один, а множество сплайнов. Среди них с помощью тех или иных дополнительных условий в некоторых задачах можно выбрать несколько сплайнов, один сплайн или даже не выбрать ни одного.

6. Алгоритмы спектрального анализа

6.1. Спектральное представление сигналов

Одним из фундаментальных положений математики, нашедшим широкое применение во многих прикладных задачах (процессы передачи информации, в теории электротехники, в исследовании движения машин, в теории корабля и др.), является возможность описания любой периодической функции f (t) с периодом Т, удовлетворяющей условиям Дирихле (согласно теореме Дирихле периодическая функция должна иметь конечное число разрывов и непрерывность производных между ними), с помощью тригонометрического ряда Фурье

, (6.1)

где - частота повторения (или частота первой гармоники); k - номер гармоники.

Этот ряд содержит бесконечное число косинусных или синусных составляющих - гармоник, амплитуды этих составляющих ak и bk являются коэффициентами Фурье, определяемыми интегральными выражениями:

,

.

Ряд Фурье можно представить в виде

, (6.2)

где амплитуда Аk и фаза jk гармоник определяются выражениями:

,

.

Гармоническим анализом называют разложение функции f (t), заданной на отрезке [0, Т] в ряд Фурье или в вычислении коэффициентов Фурье ak и bk .

Гармоническим синтезом называют получение колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических составляющих (гармоник).

Спектром временной зависимости (функции) f (t) называется совокупность ее гармонических составляющих, образующих ряд Фурье. Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью Аk (спектр амплитуд) и jk (спектр фаз) от частоты wk = kw1.

Численный спектральный анализ заключается в нахождении коэффициентов a0, a1, … , ak, b1, b2, … , bk (или A1, A2, … , Ak, j1, j2, … , jk) для периодической функции y = f (t), заданной на отрезке [0, Т] дискретными отсчетами. Он сводится к вычислению коэффициентов Фурье по формулам численного интегрирования.

На практике широко используется спектральное и временное представление сигналов. Хотя сигналы по своей природе являются случайными процессами, однако, отдельные реализации случайного процесса и некоторые специальные (например, измерительные) сигналы можно считать детерминированными (т. е. известными) функциями. Последние принято делить на периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов не существует.

Простейшим примером периодического сигнала является гармоническое колебание (или гармоника).

Важное значение понятия гармоники для теории и практики объясняется рядом причин:

1) гармонические сигналы сохраняют свою форму и частоту при прохождении через стационарные линейные электрические цепи (например, фильтры), меняя лишь амплитуду и фазу;

2) гармонические сигналы достаточно просто вырабатываются (например, при помощи автогенераторов).

Непериодическим сигналом называется сигнал, который отличен от нуля на конечном интервале времени. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из основных характеристик непериодического сигнала является его спектр. Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частоты гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Для непериодического сигнала спектр - это прямое преобразование Фурье сигнала. Спектр периодического сигнала - это дискретный спектр (дискретная функция частоты), в то время как для непериодического сигнала характерен сплошной спектр (непрерывный) спектр.

Дискретный и непрерывный спектры имеют разные размерности. Дискретный спектр имеет ту же размерность, что и сигнал, в то время как размерность непрерывного спектра равна отношению размерности сигнала к размерности частоты. Если, например, сигнал представлен электрическим напряжением, то дискретный спектр будет измеряться в вольтах [B], а непрерывный - в вольтах на герц [B/Гц]. Поэтому для непрерывного спектра употребляют также термин «спектральная плотность».

Рассмотрим теперь спектр непериодического сигнала. Для этого обобщим формулу разложения в ряд Фурье на случай, когда период Т стремиться к бесконечности. Как нетрудно заметить, при этом непериодическую функцию можно считать периодической. При увеличении Т частота первой гармоники уменьшается, и спектральные линии располагают­ся чаще. В пределе, при интервал между линиями в спектре сокращается до нуля, т. е. спектр вместо дискретного становится сплошным, непрерывным. Математически это можно выразить следующим образом:

(6.3)

и

. (6.4)

При частота может принимать любое «текущее» значение, а v переходит в дифференциал dv и переходит в . Поэтому окончательно получим:

(6.5)

Эти выражения называются преобразованиями Фурье, которые связывают между собой функцию времени s(t) и комплексную функцию s(jv) в частотной области.

Физический смысл формул состоит в том, что непрерывный сигнал s(t) имеет непрерывный спектр, т. е. представляется бесконечной непрерывной суммой (интегралом) гармонических колебаний с бесконечно
малыми комплексными амплитудами:

. (6.6)

Функция

(6.7)

имеет размерность [амплитуда/Герц] и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на полосу в 1 Гц. Поэтому эта непрерывная функция частоты s(jv) называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью. Комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определить по спектральной характеристике непериодической функции такой же формы, заданной в интервале [0, Т]. Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:

. (6.8)

Из этого соотношения следует, что огибающая сплошного амплитудного спектра непериодического сигнала и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодического сигнала совпадают по форме и отличаются лишь масштабом. Энергию непериодического сигнала получим по фор­муле:

,

где s(jv) и s(– jv) - комплексно-сопряженные величины.

Так как , то

. (6.9)

Это выражение называется равенством Парсеваля для непериодического сигнала. Оно определяет полную энергию сигнала. Отсюда следует, что s2(v) есть энергия сигнала, приходящаяся на 1 Гц полосы частот около частоты v. Поэтому функцию s2(v) иногда называют спектральной плотностью энергии сигнала s(t).

Спектр суммы нескольких сигналов

равен сумме спектров этих сигналов

.

Спектральная плотность s(jv) сигнала s(t + tз) или s(t - tз), полученного при сдвиге сигнала s(t) по оси времени на tз , определяется
выражением:

,

т. е. сдвиг функции по оси времени приводит к появлению фазового сдвига для всех частотных составляющих, равного vt.

Если s(jv) – спектр функции s(t), то спектру s[j(vo – vн)], полученному путем сдвига исходного спектра по оси частот на величину vo, соответствует функция:

.

Спектр произведения двух функций s1(t) и s2(t) определяется операцией свертки их спектров:

.

Рассмотрим несколько практических моментов спектрального анализа. Обычно, полезно вычесть среднее из значений ряда и удалить тренд (чтобы добиться стационарности) перед анализом. Иначе периодограмма и спектральная плотность «забьются» очень большим значением первого коэффициента при косинусе (с частотой 0.0). По существу, среднее - это цикл частоты 0 (нуль) в единицу времени, т. е. константа. Аналогично, тренд также не представляет интереса, когда нужно выделить периодичность в ряде. Фактически оба этих эффекта могут заслонить более интересные периодичности в данных, поэтому и среднее, и (линейный) тренд следует удалить из ряда перед анализом. Иногда также полезно сгладить данные перед анализом, чтобы убрать случайный шум, который может засорять существенные периодические циклы в периодограмме.

6.2. Дискретизация по времени. Маскировка частот

Перевод непрерывного сигнала в дискретную форму для численного анализа производится через равные интервалы времени. Пусть реализация x(t) случайного процесса задана в интервале времени от 0 до Т. Преобразование Фурье этой реализации имеет вид

. (6.10)

Для того чтобы получить периодическую функцию с периодом Т, положим, что реализация x(t) непрерывно повторяется. Основное приращение частоты . Разлагая функцию в ряд Фурье, получим , где . Из формулы (6.10) по­лучим

. (6.11)

Таким образом, величина X(n/T) определяет значения коэффициентов An и ординаты x(t) при всех t. Вид функции x(t) в свою очередь определяет величины X( f ) при всех значениях f. Этот вывод составляет содержание теоремы о дискретном представлении процесса в частотной области. Пусть преобразование Фурье X( f ) некоторой реализации x(t)
задано в интервале частот от – В до В Гц и равно нулю вне этого интервала. Интервал физически осуществимых частот составляет 0 – В Гц. Обратное преобразование Фурье имеет вид . Для того чтобы получить периодическую функцию с периодом 2В Гц, положим, что функция X( f ) непрерывно повторяется. Основное приращение времени составляет t = 1/(2B). Теперь , где . Таким образом, величина x(n/2B) определяет значения коэффициентов Сn и, следовательно функцию X( f ) при всех значениях f. Вид этой функции в свою очередь определяет ординаты x(t) при всех значениях t. Этот вывод составляет содержание теоремы о дискретном представлении процесса во временной области. Основное приращение времени 1/(2В) называется интервалом Найквиста. Предположим, что реализация процесса x(t) задана только в интервале времени от 0 до Т, а ее преобразование Фурье X( f ) – в интервале частот –В – В Гц. Тогда согласно формуле (6.10), снимая дискретные значения функции X( f ) в точках, разделенных на шкале частот коинтервалом Найквиста 1/Т в про­межутке –В – В, можно найти число дискретных значений, необходимое для описания функции x(t): N = 2B/(1/T) = 2BT. Снимая дискретные значения x(t) в точках, разделенных на шкале времени интервалом Найквиста 1/(2В) в промежутке от 0 до Т, можно найти, что N = T/(1/2B) = 2BT.
Таким образом, требуется одинаковое число дискретных значений при выборке их через коинтервал Найквиста по шкале частот и при выборке через интервал Найквиста по шкале времени. Перевод непрерывной реализации в дискретную форму для численного анализа производится через равные промежутки времени. Задача заключается в правильном выборе интервала дискретности Dt. Согласно формуле, минимальное число отсчетов, нужное для описания реализации длиной Т при ширине спектра В, есть N = 2BT. Поэтому при постоянном шаге по времени максимальный интервал дискретизации . При выборках, отстоящих друг от друга менее чем на , будут получаться коррелированные данные, число которых избыточно велико, что вызовет увеличение как объема, так и стоимости расчетов. При выборках, отстоящих друг от друга более чем на , возможно перепутывание низко - и высокочастотных составляющих процесса. Это явление называется маскировкой частот. Преобразуем непрерывный сигнал в дискретную форму, интервал времени между последовательными отсчетами составляет Dt секунд. Следовательно, скорость дискретизации равна 1/Dt отсчетов в секунду. Для того чтобы дискретная реализация содержала все те же частоты, что и исходный непрерывный сигнал, на каждый цикл соответствующего колебания должно приходиться, по меньшей мере, два отсчета. Поэтому наиболее высокая частота, которая может быть выделена при дискретизации 1/Dt отсчетов в секунду, равна 1/(2Dt) Гц. Содержащиеся в исходном сигнале более высокие частоты будут свернуты в диапазон (0…1)/(2Dt) Гц и будут неотличимы от низких частот этого диапазона. Граничная частота fc = 1/(2Dt) называется частотой Найквиста или частотой свертывания (наложения). Свертывание составляющих исходного процесса в диапазоне частот [0, fc ] представляет собой процесс гофрирования частот. Для любой частоты f из диапазона [0, fc ] замаскированными оказываются более высокие частоты (2fc ± f ), (4fc ± f ) и т. д. Истинная спектральная плотность будет искажена. Практический способ избавиться от маскировки частот при цифровом анализе заключается в том, чтобы подавить часть сигнала, которая может содержать частоты, превышающие частоту Найквиста. Это делают, ограничивая диапазон частот исходных данных с помощью низкочастотного фильтра. Вырезывающую частоту фильтра принято задавать 0,7 – 0,8 частоты fc.

Пример 6.1.

Случайные вибрации конструкции измеряются датчиком. Данные для анализа должны быть представлены в дискретном идее в диапазоне частот от 0 до 2000 Гц. Требуется определить частоту дискретизации.

Решение. Для получения данных в диапазоне частот до 2000 Гц без ошибок маскировки частот сигнал следует пропустить через фильтр с
вырезывающей частотой 2000 Гц. Частота Найквиста 2000/0,8 = 2500 Гц. Необходимый интервал дискретности Dt = 1/(2´2500) = 0,2 мс, частота съема должна составить 5000 отсчетов в секунду.

6.3. Сглаживающие окна

На практике, при анализе данных обычно не очень важно точно определить частоты основных функций синусов или косинусов. Хотелось бы найти частоты с большими спектральными плотностями, т. е. частотные области, состоящие из многих близких частот, которые вносят наибольший вклад в периодическое поведение сигнала. Это может быть достигнуто путем сглаживания значений периодограммы с помощью преобразования взвешенного скользящего среднего. Предположим, ширина окна скользящего среднего равна m (должно быть нечетным числом). Наиболее часто используемые преобразования:

– окно Даниэля;

– окно Тьюки;

– окно Хемминга;

– окно Парзена;

– окно Бартлетта.

Окно Даниэля (Daniell, 1946) означает простое (с равными весами) сглаживание скользящим средним значений периодограммы, т. е. каждая оценка спектральной плотности вычисляется как среднее m/2 предыдущих и последующих значений периодограммы.

В окне Тьюки (Blackman and Tukey, 1958), или Тьюки - Ханна (Hanning) (названном в честь Julius Von Hann), для каждой частоты весá для взвешенного скользящего среднего значений периодограммы вычисляются как

(6.12)

для j от 0 до p при p = (m - 1)/2.

В окне Хемминга (названного в честь R. W. Hamming), или Тьюки –Хемминга (Blackman and Tukey, 1958), для каждой частоты весá для взвешенного скользящего среднего значений периодограммы вычисляются как

(6.13)

для j от 0 до p при p = (m - 1)/2.

В окне Парзена (Parzen, 1961) для каждой частоты весá для взвешенного скользящего среднего значений периодограммы вычисляются как

для j от 0 до p/2, (6.14)

для j от до p. (6.15)

В окне Бартлетта (Bartlett, 1950) весá вычисляются как

(6.16)

для j от 0 до p.

За исключением окна Даниэля, все весовые функции приписывают больший вес сглаживаемому наблюдению, находящемуся в центре окна и меньшие веса значениям по мере удаления от центра. Во многих случаях все эти окна данных получают очень похожие результаты.

6.4. Дискретное преобразование Фурье

Рассмотрим особенности вычисления спектров сигналов на ЭВМ. Как следует из формул преобразования Фурье, процедура нахождения спектра сигнала требует проведения интегрирования непрерывных функций времени. Цифровые вычислительные машины в силу своей природы, оперируют с дискретизированными по времени и уровню функциями, а операцию интегрирования могут выполнять лишь приближенно на основе того или иного численного метода. В связи с этим был разработан специальный вариант преобразования Фурье, названный дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), при реализации которого обрабатываются дискретизированные значения (отсчеты) сигнала и спектра, а вместо интегрирования функции проводится суммирование ее дискретных значений. Рассмотрим вывод формулы ДПФ. Пусть задан непрерывный сигнал s(t) на интервале [0, T ] своими отсчетными значениями s1, s2, … , sN – 1, взятыми соответственно в моменты времени 0, dt,  … , (N - 1) dt полное число отсчетов N = T/dt. Мысленно предположим, что эти отсчетные значения сигнала повторяются на оси времени бесконечное число раз.

В результате сигнал становится периодическим.

Поставим в соответствие такому сигналу математическую модель в виде модулированной по амплитуде периодической последовательности d-импульсов (d-функция):

. (6.17)

Представим это выражение комплексным рядом Фурье

(6.18)

с коэффициентами

. (6.19)

Вводя безразмерную переменную Е = t/dt и выполняя преобразования последней формулы, получим:

. (6.20)

Используя фильтрующее свойство d-функций, получим искомую формулу ДПФ:

. (6.21)

6.5. Быстрое преобразование Фурье

Преобразование Фурье действительной или комплексной функции x(t), заданной на бесконечном интервале, представляет собой комплексную величину (6.10). Если область интегрирования не ограничена, то преобразования Х( f ) не существует, когда реализация x(t) обладает всеми свойствами стационарного случайного процесса. Ограничив интервал
задания функции x(t), приняв его равным [0, T ], можно построить финитное преобразование Фурье:

. (6.22)

Предположим, что функция x(t) представлена N дискретными наблюдениями с интервалом дискретности Dt. Тогда реализация x(t) представляет собой последовательность

. (6.23)

Дискретная аппроксимация финитного преобразования Фурье при произвольном f есть

. (6.24)

Для расчета функции обычно выбираются дискретные значения частоты

. (6.25)

Преобразованная последовательность дает на этих частотах преобразование Фурье

. (6.26)

Преобразование однозначно только до значения k = N /2, поскольку этой точке соответствует частота Найквиста.

Обозначим , тогда

. (6.27)

Последняя формула представляет собой преобразование Фурье последовательности x(n), содержащей конечное число N членов. Для
расчета всех X(k) необходимо выполнить примерно N 2 операций умножения и сложения комплексных чисел.

Быстрое преобразование Фурье основывается на представлении
величины N в виде ряда сомножителей и в выполнении преобразования Фурье для более коротких последовательностей, число членов в которых определяется соответствующими сомножителями. Если N может быть представлено в виде произведения p целых и больших единицы чисел:

,

то последовательность X(k) может быть найдена итеративно путем расчета суммы p слагаемых:

- преобразований Фурье, каждое из которых потребует операций с действительными числами;

- преобразований Фурье, каждое из которых потребует операций с действительными числами;

…………………………………………………………………………

- преобразований Фурье, каждое из которых потребует операций с действительными числами.

Таким образом, общее число операций над действительными числами составляет

. (6.28)

При использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ), а не стандартного метода получаем коэффициент ускорения вычислений (к. у.в.)

. (6.29)

Представим индексы n и k из формулы (6.27) следующим образом:

Фиксируя поочередно и , можно убедиться, что величины n и k принимают значения от 0 до N - 1, где N есть произведение всех значений ri . Тогда

,

где .

Величину k можно представить как

следовательно

Величина W для любого аргумента, кратного N, равна единице, поэтому при

.

При имеем

.

Экспоненциальное выражение для преобразования Фурье функции x(np – 1), состоящее из r1 членов. Переменные k0 и np – 1 принимают значения от 0 до r1 - 1, поэтому для расчета каждого значения X(k0) нужно операций умножения и сложения.

Алгоритм БПФ.

С учетом полученных преобразований выражение можно представить в виде

,

Величины типа Т часто называют «ориентирующими коэффициентами». Подставим полученные выражения в формулу преобразования
Фурье.

(6.30)

Согласно формуле (6.30), искомое преобразование Фурье может быть построено за p итераций. В формуле преобразования Фурье рассмотрим последнюю внутреннюю сумму. Пусть

.

Имея в виду все возможные значения, которые могут принимать
величины , уравнение дает преобразований Фурье функции x(np – 1), каждое из которых требует операций.

Пусть

.

Имея в виду все возможные значения, которые могут принимать величины , уравнение дает преобразований Фурье функции x(np – 2), каждое из которых требует операций.

Продолжая эти рассуждения до n-го шага, где n = 2, 3, … , p - 1, положим

Имея в виду все возможные значения, которые могут принимать
величины , уравнение дает преобразований Фурье функции x(np – n), каждое из которых требует операций.

На последнем шаге формула дает

Имея в виду все возможные значения, которые могут принимать
величины , уравнение дает преобразований Фурье функции x(n0), каждое из которых требует операций.

Последовательность действий по полученным формулам приводит к результату, суть которого есть БПФ, причем комплексные числа здесь заменены действительными.

Выражение

и есть алгоритм быстрого преобразования Фурье, оно служит основой для многих применяемых сейчас численных методов расчета преобразования Фурье.

7. Цифровые фильтры

Предмет цифровой фильтрации данных (сигналов) является введением в широкую и фундаментальную область цифровой обработки информации. Под фильтрацией понимают любое преобразование информации (сигналов, результатов наблюдений), при котором во входной последовательности обрабатываемых данных целенаправленно изменяются
определенные соотношения (динамические или частотные) между различными компонентами этих данных.

Преобразование динамики сигналов (и данных, которые несут эти сигналы) осуществляется в системах. Системы, избирательно меняющие форму сигналов (амплитудно-частотную или фазово-частотную характеристику), устранение или уменьшение помех, извлечение из сигналов
определенной информации, разделение сигналов на определенные составляющие и т. п., называют фильтрами. Соответственно, фильтры с любым целевым назначением являются частным случаем систем преобразования сигналов.

К основным операциям фильтрации информации относят операции сглаживания, прогнозирования, дифференцирования, интегрирования и разделения сигналов, а также выделение информационных (полезных) сигналов и подавление шумов (помех). Основными методами цифровой фильтрации данных являются частотная селекция сигналов и оптимальная (адаптивная) фильтрация.

Линейными называют системы, которые осуществляют преобразование линейных комбинаций входных сигналов в суперпозицию выходных сигналов. Принцип реализации линейных систем, физический - в виде специальных микропроцессорных устройств, или алгоритмический - в виде программ на ЭВМ, существенного значения не имеет и определяет только их потенциальные возможности.

В общем случае термином цифровой фильтр называют аппаратную или программную реализацию математического алгоритма, входом которого является цифровой сигнал, а выходом – другой цифровой сигнал с определенным образом модифицированной формой и/или амплитудной и фазовой характеристикой. Классификация цифровых фильтров обычно базируется на функциональных признаках алгоритмов цифровой фильтрации, согласно которому цифровые фильтры подразделяются на 4 группы:

– фильтры частотной селекции;

– оптимальные (квазиоптимальные);

– адаптивные;

– эвристические.

Наиболее изученными и опробованными на практике являются цифровые фильтры частотной селекции.

В одномерной дискретной линейной системе связь между входом и выходом (входной и выходной дискретными последовательностями значений сигнала – отсчетами), задается линейным оператором преобразования L:

. (7.1)

Это выражение отображает краткую запись линейного разностного уравнения

, (7.2)

где k = 0, 1, 2, … - порядковый номер отсчетов; Dt – интервал дискретизации сигнала; am и bn - вещественные или, в общем случае, комплексные коэффициенты. Положим a0 = 1, и, принимая в дальнейшем Dt = 1, т. е. переходя к числовой нумерации цифровых последовательностей значений сигналов, приведем его к виду:

. (7.3)

Оператор, представленный правой частью данного уравнения, получил название цифрового фильтра, а выполняемая им операция - цифровой фильтрации данных (информации, сигналов). Если хотя бы один из коэффициентов am или bn зависит от переменной k, то фильтр называется параметрическим.

При нулевых значениях коэффициентов am уравнение переходит в уравнение линейной дискретной свертки функции x(k) с оператором bn:

. (7.4)

Значения выходных отсчетов свертки для любого аргумента k определяются текущим и «прошлыми» значениями входных отсчетов. Такой фильтр называется нерекурсивным цифровым фильтром (НЦФ). Интервал суммирования по n получил название «окна» фильтра. Окно фильтра составляет N + 1 отсчет, фильтр является односторонним каузальным, т. е. причинно обусловленным текущими и «прошлыми» значениями входного сигнала, и выходной сигнал не может опережать входного. Каузальный фильтр может быть реализован физически в реальном масштабе времени. При k < n, а также при k < m для фильтра, проведение фильтрации
возможно только при задании начальных условий для точек x(-k),
k = 1, 2, … , N, и y(-k), k = 1, 2, … , M. Как правило, в качестве начальных условий принимаются нулевые значения, или продление первых отсчетов входных сигналов или его тренда назад по аргументу.

При обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности снимается. В программном распоряжении фильтра могут находиться как «прошлые», так и «будущие» значения входной последовательности отсчетов относительно текущей точки вычислений k, при этом уравнение фильтра будет иметь вид:

. (7.5)

При N ¢ = N фильтр называется двусторонним симметричным. Симметричные фильтры, в отличие от односторонних фильтров, не изменяют фазы обрабатываемого сигнала.

Так как реакция НЦФ на единичный входной импульс (а также и на любой произвольный входной сигнал) всегда конечна и ограничена размером окна фильтра, такие фильтры называют также фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Техника выполнения фильтрации не отличается от техники выполнения обычной дискретной свертки двух массивов данных.

Сумма коэффициентов фильтра определяет коэффициент передачи (усиления) средних значений сигнала в окне фильтра и постоянной составляющей в целом по массиву данных (с учетом начальных и конечных условий). Как правило, сумма коэффициентов фильтра нормируется к 1.

Имеется целый ряд методов обработки данных, достаточно давно и широко известных, которые по существу относятся к методам цифровой фильтрации, хотя и не называются таковыми. Например, методы сглаживания отсчетов в скользящем окне постоянной длительности. Так, для линейного сглаживания данных по пяти точкам с одинаковыми весовыми коэффициентами используется формула:

.

С позиций цифровой фильтрации это не что иное, как двусторонний симметричный нерекурсивный цифровой фильтр:

.

Для операции фильтрации характерны следующие основные свойства: дистрибутивность, коммутативность, ассоциативность.

Фильтрация однозначно определяет выходной сигнал y(k) для установленного значения входного сигнала при известном значении импульсного отклика фильтра h(n).

Фильтры, которые описываются полным разностным уравнением

. (7.6)

принято называть рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как в вычислении текущих выходных значений участвуют не только входные данные, но и значения выходных данных фильтрации, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные фильтры называют также фильтрами с обратной связью, положительной или отрицательной в зависимости от знака суммы коэффициентов am. По существу, полное окно рекурсивного фильтра состоит из двух составляющих: нерекурсивной части bn , ограниченной в работе текущими и «прошлыми» значениями входного сигнала (при реализации на ЭВМ возможно использование и «будущих» отсчетов сигнала) и рекурсивной части am, которая работает только с «прошлыми» значениями выходного сигнала. Фильтры такого типа называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры).

Операции, относящиеся к рекурсивной фильтрации, также известны в обычной практике, например интегрирование.

Если на вход нерекурсивного фильтра подать единичный импульс (импульс Кронекера), расположенный в точке k = 0, то на выходе фильтра получим его реакцию на единичный входной сигнал, которая определяется весовыми коэффициентами bn оператора фильтра:

. (7.7)

Для рекурсивных фильтров реакция на импульс Кронекера зависит как от коэффициентов bn фильтра, так и от коэффициентов обратной связи am .

Функция h(k), которая связывает вход и выход фильтра по реакции на единичный входной сигнал и однозначно определяется оператором преобразования фильтра, получила название импульсного отклика фильтра (функции отклика).

Определение импульсной реакции на практике требуется, как правило, только для рекурсивных фильтров. Если выражение для системы известно в общей форме, определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых начальных условиях. Сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы.

Определение импульсной реакции физической системы обычно производится подачей на вход системы ступенчатой функции (функции Хевисайда), которая равна u(k) = 1 при k ³ 0, и u(k) = 0 при k < 0:

. (7.8)

Отсюда

. (7.9)

Функция g(k) получила название переходной характеристики системы (перехода из одного статического состояния в другое).

Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является z-преобразование. Применяя z-преобразование к обеим частям равенства (7.2), c учетом сдвига функций , получаем:

, (7.10)

где X(z), Y(z) – соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Полагая a0 = 1, получаем в общей форме функцию связи выхода фильтра с его входом – уравнение передаточной функции системы в z-области:

. (7.11)

Для нерекурсивных фильтров, при нулевых коэффициентах am:

. (7.12)

При проектировании фильтров исходной, как правило, является
частотная передаточная функция фильтра H(w), по которой вычисляется ее z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов опреде­ляется алгоритм обработки данных. В общей форме для выходных сигналов фильтра:

(7.13)

После обратного z-преобразования выходной сигнал фильтра во временной области имеет вид:

. (7.14)

При подаче на вход фильтра единичного импульса Кронекера dо, имеющего z-образ d(z) = zn = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y(k) º h(k), при этом

, (7.15)

т. е. передаточная функция фильтра является z-образом ее импульсной
реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции соответственно получаем импульсную характеристику фильтра.

Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях реакция фильтра на любое ограниченное воздействие также ограничена. Критерием устойчивости фильтра является абсолютная сходимость
отсчетов его импульсного отклика.

Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе значение H(z) должно быть конечным во всех точках z-плоскости, где |z| £ 1, а следовательно, передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) на и внутри единичного круга на
z-плоскости. Полюсы H(z) определяются корнями многочлена знаменателя передаточной.

Проверка на устойчивость требуется только для рекурсивных цифровых фильтров (систем с обратной связью), нерекурсивные системы всегда устойчивы.

От z-образов сигналов и передаточных функций подстановкой в уравнение (7.10) можно перейти к Фурье-образам функций, т. е. к частотным спектрам сигналов и частотной характеристике фильтров, а точнее – к функциям их спектральных плотностей:

(7.16)

Передаточная частотная функция (частотная характеристика при а0 = 1)

. (7.17)

Аналогично z-преобразованию, частотная характеристика фильтра представляет собой Фурье-образ его импульсной реакции, и наоборот. При Dt = 1

(7.18)

В общем случае H(w) является комплексной функцией, модуль которой R(w) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент j(w) – фазово-частотной характеристикой (ФЧХ):

(7.19)

Области применения НЦФ и РЦФ обычно обуславливаются видом их передаточных функций.

В принципе, нерекурсивные цифровые фильтры универсальны и способны реализовать любые практические задачи обработки сигналов. Это и понятно, так как реакция рекурсивного цифрового фильтра на единичный импульс Кронекера представляет собой импульсный отклик нерекурсивного цифрового фильтра, а следовательно, задачи, решаемые рекурсивными фильтрами, могут выполняться и нерекурсивными, но при условии отсутствия ограничений по размерам окна. В первую очередь это касается реализации фильтров с бесконечной импульсной характеристикой с незатухающим или слабо затухающим импульсным откликом, например, интегрирующих или фильтров рекурсивной деконволюции. Ограничение по размерам окна является скорее не теоретическим, а чисто практическим. Нет смысла применять нерекурсивный фильтр с огромными размерами операторов и тратить машинное время, если та же задача во много раз быстрее решается рекурсивным фильтром.

Существенным преимуществом нерекурсивных цифровых фильтров является их устойчивость, возможность выполнения в виде двусторонних симметричных фильтров, не изменяющих фазу выходных сигналов относительно входных, и реализации строго линейных фазовых характеристик.

С другой стороны, нерекурсивные фильтры могут быть преобразованы в рекурсивные фильтры, если есть возможность z-полином передаточной функции нерекурсивного фильтра выразить в виде отношения двух коротких z-полиномов рекурсивного цифрового фильтра, что может дать существенное повышение производительности вычислений. Как правило, такая возможность имеется для сходящихся степенных рядов. Отношение двух z-полиномов позволяет реализовать короткие и очень эффективные фильтры с крутыми срезами на частотных характеристиках.

Заключение

Эмпирические исследования являются основным источником объективной информации о характеристиках процессов, протекающих в реальных объектах. Получение экспериментальной информации связано с решением ряда проблем по организации регистрации первичных параметров, их сбора и обработки.

Экспериментальные данные представляют собой лишь наборы возможных случайных значений показателей, зарегистрированных в некоторые моменты времени. Каждое зарегистрированное данное представляет собой частное проявление некоторой закономерности. В обобщенном виде цель обработки экспериментальных данных состоит в выявлении присущей этим данным закономерности путем использования сведений о каждом отдельном событии и представлении искомой закономерности в количественном виде.

Следует помнить, что результаты обработки экспериментальных данных не гарантируют достоверного описания неизвестных показателей или закономерностей, их необходимо рассматривать только лишь как более или менее удачную аппроксимацию соответствующих характеристик.

Выбор или разработка методов преобразования экспериментальных данных для оценивания требуемых показателей предполагает формализацию описания процедур первичной, предварительной и основной обработки результатов регистрации.

Первичная обработка данных направлена на преобразование зарегистрированных величин к виду, удобному для последующего хранения и обработки. При этом не требуется применения сложного математического аппарата. В ходе первичной обработки данные подвергаются «сжатию» (например, результат регистрации заносится в соответствующий классификационный разряд статистического ряда) и записываются в специальные массивы, хранящиеся в основной или внешней памяти ЭВМ.

Предварительная обработка данных связана с их обобщением, сортировкой по системным событиям и периодам наблюдения.

Основная обработка зарегистрированных данных направлена на определение тех показателей и функций, которые вытекают из целей экспериментального исследования. Реализация соответствующих процедур предусматривает широкое использование сложного математического аппарата с большим объемом вычислений.

Предварительная и основная обработка выполняются в фоновом режиме, поэтому обработка вообще может проводиться с использованием вычислительных средств вне реального масштаба времени.

Библиографический список

1. Бендат Дж., Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989.

2. Де Практическое руководство по сплайнам. – М.: Радио и связь, 1985.

3.  Н.,  В. Статистическая обработка результатов экспериментов: Учебное пособие. – М.: МГУ, 1988.

4. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980.

5.  Прикладной регрессионный анализ. В 2-х томах. – М.: Финансы и статистика, 1986 – 1987.

6.  Фильтр Калмана – Бьюси. – М.: Наука, 1982.

7.  М.,  В.,  И. Программное обеспечение статистической обработки данных: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1984.

8.  Численное решение задач методом наименьших квадратов. – М.: Наука, 1986.

9.  Прикладной анализ временных рядов. – М.: Мир, 1982.

Учебное издание

Наталья Александровна Задорина

Обработка экспериментальных данных на ЭВМ

Учебное пособие

Зав. РИО М. А. Салкова

 В. Калинина

Компьютерная верстка

Подписано в печать 20.04.2009.

Формат 60´84 1/16. Уч.-изд. л. 6,25. Тираж 100. Заказ 19.

Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П. А. Соловьева (РГАТА)

Адрес редакции: 3

Отпечатано в множительной лаборатории РГАТА

3