Обработка экспериментальных данных на ЭВМ (стр. 1 )

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ НА ЭВМ

Рекомендовано Методическим Советом Рыбинской государственной авиационной технологической академии имени П. А. Соловьева в качестве учебного пособия

Рыбинск 2009

УДК 681.3.06

 А. Обработка экспериментальных данных на ЭВМ: Учебное пособие. – Рыбинск: РГАТА, 2009. – 100 с.

Учебное пособие написано на основе курса лекций по обработке экспериментальных данных на ЭВМ для направления 230100 Информатика и вычислительная техника, специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем.

В учебном пособии рассматриваются основные задачи, возникающие при обработке экспериментальных данных. Содержит описание
методов и моделей обработки экспериментальных данных; большое внимание уделяется вопросам применения указанных методов и моделей в инженерной практике.

Рецензенты: кафедра боевого применения автоматизированных систем управления войсками и связью Военной академии связи имени , г. Санкт-Петербург;

генеральный директор «Луч», канд. техн. наук
.

ISBN -302-2 Ó , 2009

Ó РГАТА, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...................................................................................................................................... 4

1. Общая характеристика экспериментальных данных.................... 6

1.1. Типы измерений и характер ошибок в них.................................................................... 6

1.2. Задачи, возникающие при обработке экспериментальных данных......................... 6

2. Основы теории статистических решений.............................................. 10

2.1. Детерминированные и случайные процессы.............................................................. 10

2.2. Основные характеристики случайных процессов..................................................... 16

2.3. Эмпирическая функция распределения....................................................................... 19

2.4. Наиболее важные функции распределения................................................................ 21

2.5. Оценки параметров распределения.............................................................................. 24

2.6. Распределение выборочных характеристик............................................................... 27

2.7. Задача точечного оценивания параметров................................................................. 30

2.8. Интервальная оценка параметров распределения.................................................... 33

2.9. Проверка статистических гипотез................................................................................. 37

3. Корреляционный анализ........................................................................................ 47

4. Регрессионный анализ............................................................................................ 53

4.1. Задача регрессионного анализа.................................................................................... 53

4.2. Выбор вида уравнения регрессии................................................................................. 55

4.3. Вычисление коэффициентов уравнения регрессии. Метод наименьших квадратов 57

4.4. Критерий значимости линии регрессии....................................................................... 59

4.5. Множественная линейная регрессия............................................................................ 61

4.6. Нелинейные модели регрессии..................................................................................... 63

4.7. Проблемы практического использования модели множественной регрессии.. 64

5. Интерполяция и сглаживание экспериментальных данных 67

5.1. Задача интерполяции. Методы интерполяции........................................................... 67

5.2. Сглаживание экспериментальных данных сплайн-функциями.............................. 72

6. Алгоритмы спектрального анализа............................................................ 74

6.1. Спектральное представление сигналов....................................................................... 74

6.2. Дискретизация по времени. Маскировка частот........................................................ 79

6.3. Сглаживающие окна......................................................................................................... 81

6.4. Дискретное преобразование Фурье.............................................................................. 83

6.5. Быстрое преобразование Фурье.................................................................................... 84

7. Цифровые фильтры...................................................................................................... 89

Заключение............................................................................................................................ 97

Библиографический список................................................................................... 98

Введение

Широкое применение методов обработки экспериментальной информации связано:

– с математизацией биологических, социологических и других наук;

– с совершенствованием техники экспериментальных исследований;

– с широким применением ЭВМ, в т. ч. встроенных в измерительную аппаратуру и снабженных математическим обеспечением для обработки данного класса экспериментов;

– с повышением требований к качеству данных, диктуемым развитием теории.

Целью обработки экспериментальных данных является выявление закономерностей в характеристиках исследуемых объектов и процессов. Результаты обработки экспериментальных данных позволяют оценить качество объекта, они необходимы для оперативного управления процессами, решения задач адаптации объекта к изменившимся условиям или формирования требований ко вновь создаваемым системам.

Методы обработки экспериментальных данных начали разрабатываться более двух веков тому назад в связи с необходимостью решения практических задач по агробиологии, медицине, экономике, социологии. Полученные при этом результаты составили фундамент такой научной дисциплины, как математическая статистика. Первыми работами, положившими начало статистике как самостоятельной науке, были книги Дж. Граунта «Естественные и политические наблюдения, перечисленные в прилагаемом оглавлении и сделанные над бюллетенями смертности …» (1662 г.) и У. Пети «Два очерка по политической арифметике, относящиеся к людям, зданиям, больницам Лондона и Парижа» (1682 г.).

В последние 20 – 30 лет математический аппарат обработки экспериментальных данных получил значительное развитие в связи с необходимостью решения принципиально новых задач. И к настоящему времени он включает множество различных направлений, которые выходят за пределы классической математической статистики. Многие методы нашли применение при исследовании технических и человеко-машинных систем, а также при обработке результатов имитационного (статистического) моделирования.

Современный уровень естественно-научного эксперимента характеризуется большими потоками информации. При этом визуальный просмотр данных, не говоря уже об анализе, не возможен без применения ЭВМ. Машинная автоматизация обработки приводит к потере таких факторов, как опыт, интуиция исследователя (если при создании программ обработки не предусмотреть возможности выявления абсурдных данных во входном потоке информации, ЭВМ обработает все подряд и выдаст результат, далекий от истинного). В силу наличия ошибок измерений, случайного характера экспериментальных данных способы обнаружения и парирования абсурдных наблюдений должны быть статистическими.

Многие эксперименты имеют уникальный характер и требуют дорогостоящего оборудования. При этом необходимо максимальное использование полученной информации, извлечение из нее всех возможных выводов с указанием степени доверия к ним, обусловленной методикой проведения эксперимента и используемыми методами обработки.

Расширение области применения статистических методов в обработке экспериментальных данных связано с внедрением достижений атомной и ядерной физики (использование радиоактивных изотопов для исследования характеристик изучаемых процессов и т. д.) в смежных с физикой науках – химии, биологи, геологии, медицине. Объекты, рассматриваемые в ядерной физике, описываются уравнениями квантовой механики, имеющими стохастический характер. Это продиктовано вероятностной природой причинно-следственных связей. Модели для рассматриваемых процессов являются вероятностными.

При проведении эксперимента и обработке экспериментальных данных широко используется радиоэлектронная экспериментальная и регистрирующая аппаратура, а учет приборных искажений от нее основан на теории случайных процессов, анализе временных рядов, теории фильт­рации.

Обработка результатов экспериментов предполагает знание основных понятий и методов теории вероятностей и математической статистики. Выявление характерных классов задач в обработке экспериментальных данных и стандартных методов их решения позволяет выделить обработку результатов экспериментов из многообразия задач прикладной статистики. Например, для класса спектрометрических экспериментов наиболее распространенным статистическим методом обработки является метод наименьших квадратов или его заменители, а в социальных науках и биологии широко применяются дисперсионный и корреляционный анализ, которые сравнительно мало используются при обработке спектрометрических экспериментов.

Кроме того, при обработке результатов эксперимента большее внимание, чем обычно в статистике, уделяется особенностям организации измерений и процесса обработки информации на ЭВМ. Эти особенности приводят к видоизменению или полной замене статистических методов при обработке реальных данных.

1. Общая характеристика
экспериментальных данных

1.1. Типы измерений и характер ошибок в них

По отношению к интересующим величинам измерения могут носить прямой характер и косвенный характер. Измерения носят прямой характер, когда измеряются непосредственно величины , а косвенный, когда измеряются функции от совокупности интересующих величин. Прямое измерение является частным случаем косвенного измерения.

Неопределенность экспериментальных данных может быть вызвана различными причинами. В простейшем случае неопределенность в наблюдениях обусловлена инструментальными ошибками и носит аддитивный характер. Для наблюдаемых величин y справедливо y = A(x) + e, где А – оператор, описывающий причинно-следственные связи, x – набор факторов (причин); e – инструментальные искажения. По y определяется либо механизм процессов А, либо значения ненаблюдаемых факторов x. В более сложных случаях сама причинно-следственная модель является стохастичной, к тому же сохраняется неопределенность, вызванная ошибками измерений.

Ошибки могут носить как систематический, так и случайный характер. В первом случае ошибки возникают всегда, когда имеет место, вызвавшие их причины, и обычно приводят к характерным изменениям результатов. Действие же случайных ошибок имеет нерегулярный характер, и приводит как к завышению, так и к занижению измеряемых величин по сравнению с истинными значениями. При обработке результатов экспериментов необходим корректный учет и систематических и случайных ошибок.

1.2. Задачи, возникающие при обработке экспериментальных данных

Для применения статистического анализа необходима вероятностная модель регистрируемых величин. Получаемые выводы о природе измеряемых величин могут быть как общими (например, независимость измерений, аддитивный характер искажений), так и содержать детальную информацию (например, закон распределения полностью определенный или с точностью до параметров). Проблема построения модели не является чисто математической, а требует детального знания изучаемого в эксперименте процесса, методики проведения эксперимента и измерений, и решается в сотрудничестве с экспериментаторами. Даже самые убедительные доводы в пользу конкретной модели измеряемых величин являются неполными, могут приводить к ошибочным заключениям из-за наличия неучитываемых факторов, влияния величин друг на друга посредством, не рассмотренных третьих величин и т. д. Поэтому предлагаемая модель должна быть проверена на экспериментальном материале. Такая проверка выполнима, если имеется достаточно большое число наблюдений, и позволяет выделить целесообразные методы дальнейшей обработки.

Полученная экспериментальная информация обычно неоднородна по качеству. Наряду с основной массой данных, измеренных с возможно малыми ошибками, имеются грубые промахи в измерениях, вызванные экспериментальными ошибками или сбоями при фиксации результатов, а также при вводе их в ЭВМ. Без анализа данных на качественность, устранения грубых промахов или уменьшения их влияния на результаты последующей обработки можно прийти к ложным выводам об изучаемом объекте. Поскольку визуальный контроль большого объема информации во многих экспериментах невозможен, приведение данных к однородности осуществляется с помощью ЭВМ по статистическим критериям.

Для интерпретации, полученной экспериментальной информации, необходимо «свернуть» ее так, чтобы потери информации были минимальными. Это возможно при учете закона распределения данных, при выборе соответствующих оптимизационных методов. Поэтому процесс «свертки» экспериментальной информации имеет в основе статистическую теорию оценок параметров. Полученная свертка информации в большинстве случаев непригодна для интерпретации из-за наличия систематических аппаратурных искажений, фоновых «загрязняющих» эффектов. Полный учет этих искажений и фонов потребовал бы усилий по созданию их математических моделей и проведению измерений для определения параметров этих моделей, что сравнимо по трудоемкости с основным экспериментом и его анализом. Ввиду малости вклада искажений в наблюдаемые величины используют огрубленные модели для систематических искажений, а их параметры определяют из небольшого числа сопутствующих основному эксперименту измерений.

Актуальной является проблема соответствия предлагаемой модели экспериментальным данным. Нередко эта модель является огрубленной, не вполне адекватной изучаемому процессу. Эта приближенность обнаруживается как сопоставлением результатов интерпретации с фактами
соответствующей конкретной науки, так и статистическими методами. Вычитая из наблюдаемых величин результаты предсказания их в рамках рассматриваемой модели, получаем остатки, которые могут статистически исследоваться на случайность, либо на тренды определенного вида. Если результаты такого сравнения указывают на систематические расхождения между моделью и экспериментом, то модель нуждается в доработке, введении в нее дополнительных факторов или в полной замене.

После проведения обработки и интерпретации экспериментальной информации нередко целесообразно вернуться к постановке эксперимента. Обычно некоторые условия эксперимента поддаются контролю и управлению. В зависимости от их изменения меняются и величины случайных и систематических искажений. Эти проблемы решаются в математической теории планирования эксперимента, а также с помощью имитационного моделирования на основе метода Монте-Карло.

Часто запланированная серия опытов выполняется до конца, получают весь набор экспериментальных данных, который подвергают обработке после проведения эксперимента (off-line-обработка). Если результаты требуют коррекции условий проведения эксперимента, то меняют значения регулируемых параметров и проводят новую серию наблюдений, которые затем обрабатывают. Однако нередко обработка наблюдений проводится параллельно с их получением (on-line-обработка). Такая обработка проводится, если результаты обработки используются для непрерывного управления экспериментом. При этом алгоритмы off-line-обработки неудобны, требуют слишком много времени, что делает невозможным эффективное управление. Например, необходимо вычислить
выборочное среднее по выборке объема n наблюдений. В случае off-line-обработки , что требует n + 1 операций. Если же используется on-line-обработка, данные поступают непрерывно:

,

где – выборочное среднее по n наблюдениям.

В общем виде можно выделить 5 этапов обработки данных.

1. Сбор данных.

2. Регистрация (может включать передачу). В некоторых практических приложениях можно выполнять всю необходимую обработку данных, используя непосредственно сигналы, поступающие в реальном масштабе времени. Однако в большинстве случаев такой подход непрактичен, и поэтому требуется запоминание в той ли иной форме или передача сигналов.

3. Подготовка. Исходные данные обычно представляют собой непрерывные изменения электрического напряжения, снимаемые с датчиков. На этой стадии необходимо произвести ряд операций, с помощью которых сигналы с датчиков переводятся в форму, удобную для дальнейшего анализа. Подготовка включает редактирование, масштабирование и предварительную обработку. Редактирование – это последовательность операций, применяемых до начала анализа с целью выявить и исключить аномальные и искаженные сигналы, которые могли возникнуть при сборе и регистрации данных, например, за счет высокого уровня помех, снижения уровня сигнала при плохой работе датчика. Масштабирование или дискретизация – это процесс определения моментов времени, в которые должны быть произведены отсчеты. Перевод непрерывного сигнала в дискретную форму для численного анализа производится через равные интервалы времени.

4. Оценивание основных свойств. Корректность методов анализа случайных процессов, а также интерпретация результатов анализа в значительной степени зависят от некоторых основных свойств анализируемого процесса. К их числу, в первую очередь, относятся стационарность, присутствие периодических составляющих и нормальность процесса. Стационарность процесса играет важную роль потому, что методы анализа нестационарных процессов существенно более громоздки, чем в стационарном случае. Если установлено, что в процессе содержатся периодические составляющие, то это позволяет в дальнейшем избежать ошибок при интерпретации результатов анализа. Предположение о нормальности позволяет существенно упростить аналитическое исследование свойств случайного процесса, не содержащего периодических составляющих. Оценивание основных свойств процесса, т. е. этих трех фундаментальных характеристик, рассматривается как отдельная операция, выполняемая до начала детального анализа. Однако на практике она зачастую осуществляется как составная часть общего анализа.

5. Анализ. Методы, при помощи которых изучаются свойства случайных процессов логично можно разделить на две группы: методы анализа отдельных реализаций и методы анализа ансамбля реализаций при известных статических свойствах каждой отдельной реализации.

Схема оценивания статистических свойств отдельных реализаций включает определение среднего значения, среднего квадрата, ковариационной функции, спектральной плотности, плотности вероятности, анализ нестационарных и переходных процессов, анализ реализаций периодического и почти периодического процесса, специальные методы анализа.

Процедура определения наиболее важных характеристик совокупности реализаций включает анализ отдельных реализаций, проверку коррелированности реализаций, проверку эквивалентности некоррелированных реализаций, оценивание взаимных ковариационных функций, оценивание функций когерентности, оценивание частотных характеристик и др.

2. Основы теории статистических решений

2.1. Детерминированные и случайные процессы

Любые данные, полученные в результате наблюдения реального физического явления, можно отнести к детерминированному или недетерминированному типу. Детерминированные процессы – это процессы, которые можно описать явными математическими формулами. На практике часто встречаются физические явления, которые с высокой степенью приближения могут быть описаны точными математическими соотношениями. Например, движение спутника по околоземной орбите, измерение температуры воды по мере ее нагревания по сути своей являются детерминированными процессами.

Однако существует множество других физических явлений, имеющих недетерминированный характер. Например, высота волн на море, электрический сигнал на выходе генератора шума – это процессы, которые невозможно описать во всех деталях. Невозможно предсказать точное значение этих процессов в будущие моменты времени. Эти процессы случайны по своей сути и должны описываться не точными уравнениями, а при помощи осредненных статистических характеристик.

Во многих случаях трудно решить, относится ли рассматриваемый физический процесс к детерминированным или случайным. Можно утверждать, что встречающиеся на практике физические процессы не могут быть в полной мере детерминированными, т. к. нельзя исключить возможности того, что в будущем произойдет какое-нибудь событие, которое повлияет на явление, порождающее процесс, непредсказуемым образом. Можно утверждать, что нет и истинно случайных процессов, т. к. может оказаться, что при достаточно полном знании основных механизмов явления порождаемый этим явлением процесс можно описать математическими формулами. Вообще говоря, ни один физический процесс нельзя считать строго детерминированным, т. к. всегда существует возможность того, что полученные в результате эксперимента данные будут носить иной характер, чем предполагалось, вследствие непредвиденного события, изменившего весь ход процесса. С другой стороны, ни один физический процесс не имеет строго случайной природы, т. к. при условии достаточно полного знания механизма изучаемого процесса его можно описать точными математическими соотношениями.

С практической точки зрения решение о случайности или детерминированности конкретного физического процесса основывается на способности воспроизвести процесс в ходе контролируемого эксперимента. Если многократное повторение эксперимента приводит к одним и тем же результатам, то этот процесс можно считать детерминированным. Если же повторение опыта в идентичных условиях приводит к разным исходам, то такой процесс можно считать случайным.

Процессы, описывающие детерминированные явления, могут быть периодическими или непериодическими. Примером периодического процесса является синусоидальный процесс, поведение которого во времени математически выражается формулой

, (2.1)

где Х – амплитуда; f0 – циклическая частота, Гц; q – начальный фазовый угол. Периодические процессы можно разделить на полигармонические и гармонические. Процесс, описанный формулой (2.1), является гармоническим. К полигармоническим процессам относятся периодические процессы, которые математически представляются функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы времени:

, (2.2)

где n = 1, 2, …; Тр – период; – основная частота.

Полигармонические процессы могут быть представлены рядом
Фурье:

(2.3)

или

(2.4)

Полигармонические процессы состоят из постоянной компоненты Х0 и бесконечного множества синусоидальных компонент, называемых гармониками с амплитудами Хn и начальными фазами qn . Частоты всех гармоник кратны основной частоте f1. В некоторых случаях компонента с основной частотой может отсутствовать.

Например, периодический процесс формируется в результате сложения трех синусоидальных волн с частотами 60, 75 и 100 Гц. Наибольший общий делитель равен 5 Гц, т. е. основная частота f1 = 5 Гц, а период Tp = 0,2 с.

Гармонические процессы представляют собой частный случай полигармонических процессов. Физические явления, описываемые полигармоническими процессами, встречаются намного чаще, чем явления, порождающие простые гармонические процессы.

Непериодические процессы делятся на почти периодические и переходные. Если процесс образован суммой двух и более гармонических процессов с соизмеримыми частотами, то такой процесс будет периодическим. Однако если процесс образован суммой двух и более гармонических процессов с произвольными частотами, то он, как правило, не будет периодическим, а именно, сумма двух и более гармонических процессов будет периодическим процессом тогда и только тогда, когда отношение двух любых частот есть рациональное число. Почти периодические процессы определяются математически как функция времени:

, (2.5)

причем fn / fm не для всех значений индексов являются рациональными числами. На практике почти периодические процессы порождаются физическими явлениями, в которых одновременно действуют гармонические процессы, не связанные между собой.

Например, процесс - периодический, т. к. – рациональные числа.

Процесс – непериодический, т. к. - иррациональные числа.

По определению переходные процессы – это все непериодические процессы, за исключением почти периодических (затухающие колебания, линейные функции, ступенчатые и т. д.).

Процесс, описывающий случайное физическое явление, нельзя выразить математической формулой, поскольку каждое наблюдение данного явления дает невоспроизводимый результат. Функция времени, описывающая случайное явление, называется выборочной функцией. Множество всех выборочных функций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явления, называется случайным или стохастическим процессом.

Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. Стационарные случайные процессы в свою очередь делятся на эргодические и неэргодические. Нестационарные случайные процессы классифицируются по особенностям их нестационарностей.

Если физическое явление описывается случайным процессом, то свойство этого явления можно оценить в любой момент времени путем усреднения по совокупности выборочных функций, образующих случайный процесс. Совокупность выборочных функций также называют ансамблем. Среднее значение этого случайного процесса в момент времени t1 можно вычислить, взяв мгновенные значения всех выборочных функций ансамбля в момент времени t1, сложив эти значения и разделив на число функций. Аналогичным образом ковариацию значений случайного процесса в два различных момента времени вычисляют путем усреднения по ансамблю произведений мгновенных значений в моменты времени t1 и t1 + t. Среднее значение и ковариационная функция случайного процесса {x(t)} определяется формулами (2.6) и (2.7) соответственно:

, (2.6)

. (2.7)

В формулах (2.6) и (2.7) суммирование производится в предположении равновероятности всех выборочных функций.

В общем случае, когда mx(t1) и Rxx(t1, t1 + t) зависят от момента времени t1, случайный процесс {x(t)} называется нестационарным. В случае, когда mx(t1) и Rxx(t1, t1 + t) не зависят от момента времени t1, случайный процесс {x(t)} называется слабо стационарным или стационарным в широком смысле. У слабостационарных процессов mx(t1) является постоянной, а Rxx(t1, t1 + t) зависит только от t.

Для определения полного набора функций распределения, задающих структуру случайного процесса {x(t)}, нужно вычислить бесконечное число моментов, смешанных моментов высших порядков. В том случае, если все они не зависят от времени, случайный процесс называется строго стационарным или стационарным в узком смысле.

В большинстве случаев характеристики стационарного случайного процесса можно вычислить, усредняя по времени в пределах отдельных выборочных функций, входящих в ансамбль. Например, если взять k-ю выборочную функцию ансамбля, то среднее значение mx(k) и ковариационная функция Rxx(t, k), вычисленные по k-й реализации, равны

, (2.8)

. (2.9)

Если случайный процесс стационарен, а среднее значение mx(k) и ковариационная функция Rxx(t, k), вычисленные по различным реализациям, совпадают, то случайный процесс называется эргодическим. Эргодические случайные процессы образуют очень важный класс случайных процессов, т. к. все свойства эргодических процессов можно определить по единственной выборочной функции. На практике стационарные случайные процессы часто оказываются эргодическими. Именно по этой причине свойства стационарных случайных явлений можно определить по единственной реализации.

К нестационарным процессам относятся все случайные процессы, не удовлетворяющие условию стационарности. Если не наложены дополнительные условия, то свойства нестационарных случайных процессов обычно зависят от времени и могут быть установлены только путем усреднения в отдельные моменты времени по ансамблю выборочных функций, образующих процесс. На практике часто не удается получить достаточное для точной оценки свойств процесса число реализаций. Этим объясняется отставание в развитии практических методов измерения и анализа нестационарных случайных процессов. Понятие «стационарность» относится к средним по ансамблю свойствам случайного процесса. Однако на практике часто говорят о стационарности или нестационарности данных, представляющих единственную реализацию случайного явления. В этом случае стационарность понимается в несколько ином смысле. Если о единственной реализации говорят как о стационарной, то обычно имеют в виду, что ее свойства, определенные на коротких интервалах времени, существенно не изменяются от интервала к интервалу. Пусть среднее значение и ковариационная функция оценены по небольшому интервалу длиной T с началом в точке t1, т. е.

, (2.10)

. (2.11)

Если выборочные величины, определенные по формулам (2.10) и (2.11), сильно изменяются с изменением начального момента времени t1, выборочная функция называется нестационарной. Если выборочные величины не изменяются существенно с изменением начального момента времени t1, реализация называется стационарной.

Неопределенность экспериментальных данных может быть обусловлена различными причинами. В простейшем случае неопределенность в наблюдениях обусловлена инструментальными ошибками. В более сложных случаях сама причинно-следственная модель стохастична, неопределенность, вызванная ошибками измерений, сохраняется.

Ошибки могут иметь как систематический, так и случайный характер. В первом случае искажения возникают всегда, когда имеют место обуславливающие их причины, и приводят к характерным изменениям результатов. Действие же случайных ошибок имеет нерегулярный характер, приводит как к завышению, так и к занижению измеряемых величин по сравнению с истинными значениями. При обработке результатов экспериментов необходим корректный учет и систематических и случайных ошибок.

2.2. Основные характеристики случайных процессов

Методы обработки экспериментальных данных опираются на базовые понятия теории вероятностей и математической статистики. К их числу относятся понятия генеральной совокупности, выборки, эмпирической функции распределения.

Под генеральной совокупностью понимают все возможные значения параметра, которые могут быть зарегистрированы в ходе неограниченного по времени наблюдения за объектом. Такая совокупность состоит из бесконечного множества элементов. В результате наблюдения за объектом формируется ограниченная по объему совокупность значений параметра x1, x2, …, xn . С формальной точки зрения такие данные представляют собой выборку из генеральной совокупности. Наблюдаемые значения xi называют вариантами, а их количество – объемом выборки n.

Для описания основных свойств случайных процессов используются четыре статистические функции:

– среднее значение квадрата случайного процесса – дает представление об интенсивности процесса;

– плотность распределения – характеризует распределение значений процесса в фиксированных точках;

– автокорреляционная функция;

– спектральная плотность.

Среднее значение квадрата реализации {x(t)} определяется по формуле

. (2.12)

Физический процесс можно рассматривать в виде суммы статической, т. е. не зависящей от времени, и динамической или флуктуационной составляющей. Статическую составляющую можно получить, вычисляя среднее значение по формуле (2.8). Динамическая составляющая определяется дисперсией процесса – средним квадратом отклонения от среднего значения.

Плотность распределения случайного процесса определяет вероятность того, что значения процесса в произвольный момент времени будут заключены в определенном интервале. Основная цель получения плотности вероятности физического процесса состоит в получении вероятностных законов для его мгновенных значений. Эту функцию также можно использовать для того, чтобы отличить гармонический процесс от случайного. Опытные специалисты могут по плотности распределения выявить нелинейные физические эффекты.