Аналитическая геометрия и линейная алгебра (стр. 2 )

-  изучение теоретического материала дисциплины на лекциях;

-  самостоятельное изучение теоретического материала дисциплины с использованием Internet-ресурсов, информационных баз, методических разработок, специальной учебной и научной литературы;

-  закрепление теоретического материала при проведении практических занятий, выполнения индивидуальных заданий.

6. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов (СРС)

Самостоятельная работа студентов по дисциплине включает текущую самостоятельную работу.

6.1  Текущая самостоятельная работа

Текущая самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студентов, развитие практических умений и представляет собой:

ü  работа с лекционным материалом, поиск и обзор литературы и электронных источников информации по темам курса;

ü  выполнение индивидуальных заданий;

ü  опережающая самостоятельная работа;

ü  изучение тем вынесенных на самостоятельную проработку;

ü  подготовка к практическим занятиям;

ü  подготовка к контрольной работе;

ü  подготовка к экзамену.

6.2  Творческая проблемно-ориентированная самостоятельная работа

Творческая проблемно-ориентированная самостоятельная работа направлена на развитие интеллектуальных умений, комплекса универсальных (общекультурных) и профессиональных компетенций, повышение творческого потенциала студентов и представляет собой:

ü  поиск, анализ, структурирование и презентация информации;

ü  участие в олимпиадах.

6.3  Содержание самостоятельной работы студентов по дисциплине

Темы индивидуальных заданий:

·  Определители и системы.

·  Векторная алгебра.

·  Линейные операторы и квадратичные формы.

·  Аналитическая геометрия на плоскости.

·  Аналитическая геометрия в пространстве.

Темы, выносимые на самостоятельную проработку:

·  Ортогональные и унитарные матрицы, их свойства.

·  Подпространства. Линейные оболочки. Изоморфизм линейных пространств.

·  Сопряженный, симметричный, ортогональный операторы в евклидовом пространстве, их свойства.

·  Линейные операторы в унитарном пространстве. Эрмитов оператор. Унитарный оператор.

·  Инварианты кривых второго порядка.

·  Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве.

·  Полярные координаты на плоскости и в пространстве.

6.4  Контроль самостоятельной работы

Контроль СРС студентов проводится путем проверки работ, предложенных для выполнения в качестве домашних заданий согласно разделу 6.2. и рейтинг-плану освоения дисциплины. Одним из основных видов контроля СРС является проверка индивидуальных заданий, являющихся важным звеном в освоении студентом данной дисциплины. Наряду с контролем СРС со стороны преподавателя предполагается личный самоконтроль по выполнению СРС со стороны студентов.

6.5  Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Для организации самостоятельной работы студентов рекомендуется использование литературы и Internet-ресурсов согласно перечню раздела “9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины”. Предусмотрено использование специализированного программного обеспечения в процессе освоения дисциплины.

7. Средства (ФОС) текущей и итоговой оценки качества освоения дисциплины

7.1. Текущий контроль.

Средствами оценки текущей успеваемости студентов по ходу освоения дисциплины является перечень вопросов, ответы на которые дают возможность студенту продемонстрировать, а преподавателю оценить степень усвоения теоретических и фактических знаний на уровне знакомства:

7.1.1  Вопросы

1.  Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется?

2.  В каких случаях определитель равен нулю? Что следует из равенства определителя нулю?

3.  Дайте определение минора и алгебраического дополнения элемента определителя. Сформулируйте правило вычисления определителя.

4.  Как осуществляются линейные операции над матрицами?

5.  Как перемножаются две матрицы? Свойства произведения матриц.

6.  Какова схема нахождения обратной матрицы?

7.  Дайте определения решения системы линейных алгебраических уравнений. Расшифруйте понятия «совместная», «несовместная», «определённая», «неопределённая» системы.

8.  Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

9.  Что называется рангом матрицы? Как он находится?

10.  Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

11.  При каких условиях система линейных алгебраических уравнений имеет множество решений? Когда она имеет единственное решение?

12.  Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

13.  Какие неизвестные называются свободными, а какие базисными?

14.  Какие особенности решения однородных систем линейных алгебраических уравнений Вы знаете?

15.  Как строится фундаментальная система решений?

16.  Как выполняются линейные операции над векторами? Каковы свойства этих операций?

17.  Какие вектора называются линейно зависимыми, а какие линейно независимыми?

18.  Что такое базис? Какие вектора образуют базис на плоскости и в пространстве?

19.  Какой базис называют декартовым?

20.  Что такое координаты вектора?

21.  Что называется скалярным произведением векторов? Каковы его свойства? Для решения каких задач и как оно может быть использовано?

22.  Что называется векторным произведением векторов? Каковы его свойства? Для решения каких задач и как оно может быть использовано?

23.  Что называется смешанным произведением векторов? Каковы его свойства? Для решения каких задач и как оно может быть использовано?

24.  Запишите в векторной и координатной формах условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.

25.  Прямая линия на плоскости, её общее уравнение

26.  Дайте понятие нормального и направляющего векторов прямой на плоскости, углового коэффициента.

27.  Запишите различные виды прямой и укажите геометрический смысл параметров уравнения.

28.  Запишите условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости в случае различных видов уравнений прямых.

29.  Как найти точку пересечения прямых на плоскости?

30.  Как вычисляется расстояние от точки до прямой на плоскости?

31.  Дайте определение эллипса и запишите его каноническое уравнение.

32.  Дайте определение гиперболы и запишите её каноническое уравнение

33.  Дайте определение параболы и запишите её каноническое уравнение

34.  Изложите схему приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

35.  Дайте понятие полярной системы координат.

36.  Опишите параметрический способ построения линий на плоскости

37.  Плоскость, её общее уравнение

38.  Как определяется взаимное расположение плоскостей? Запишите условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

39.  Как вычисляется расстояние от точки до плоскости?

40.  Запишите различные виды уравнений прямой в пространстве и поясните смысл параметров, входящих в уравнения.

41.  Изложите схему приведения общих уравнений прямой к каноническому виду.

42.  Как определить взаимное расположение прямых в пространстве?

43.  Как вычисляется расстояние от точки до прямой в пространстве?

44.  Как определить взаимное расположение прямой и плоскости?

45.  Как ищется точка пересечения прямой и плоскости?

46.  Назовите поверхности второго порядка и напишите их канонические уравнения.

На основе данных вопросов составлены тестовые задания, позволяющие контролировать качество усвоения студентами теоретического материала курса. Занятия, на которых предлагаются тестовые задания, указаны в рейтинг-плане дисциплины.

7.1.2. Контрольные и индивидуальные задания

Образцы индивидуальных заданий

Образцы контрольных заданий

Контрольная работа по теме «Определители и системы»

Вариант № 1

1.  Найти матрицу из уравнения

.

2.  Решить систему методом Крамера

.

3.  Решить систему методом Гаусса

.

4.  Найти фундаментальную систему и общее решение однородной системы

.

Контрольная работа по теме «Аналитическая геометрия»

Вариант № 1

1.  Даны вершины треугольника: А(6;5), B(11;0), C(17;8).

Найти:

a.   уравнение сторон AB и BC и их угловые коэффициенты;

b.   уравнение высоты, проведенной из вершины A и ее длину;

c.   биссектрису угла B;

d.   уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно AB.

2.  Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вчетверо дальше к точке M(6;-2), чем к точке B(0;-2).

3.  Привести уравнение линий к каноническому виду и построить

a. ;

b.   ;

c. .

4.  Даны координаты точек , , , и прямая

, , ,

.

Найти

a.   уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой ;

b.   уравнение плоскости, проходящей через точку и содержащей прямую ;

c.   уравнение плоскости , проходящей через три точки , , ;

d.   уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости ;

e.   точку пересечения и угол между прямой и плоскостью ;

f.   уравнение проекции прямой на плоскость.

5.  Построить поверхности

a.   ;

b.   ;

c.   .

Образцы экзаменационных билетов

Билет 1 Теоретические вопросы 1.  Понятие определителя n-го порядка. Минор. Алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке (столбцу). Свойства определителей. 2.  Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Нормальное уравнение прямой. Взаимное расположение прямых. Задачи 1.  Решить систему уравнений 2.  На плоскости xOy определены векторы , , . Разложить вектор по векторам и . 3.  Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами A(-3,0), B(2,5), C(3,2).

Билет 2 Теоретические вопросы 1.  Однородные линейные системы. Условие существования ненулевых решений однородной системы. Фундаментальная система решений. Структура общего решения однородной системы. 2.  Эллипс. Свойства. Директрисы. Эксцентриситет. Задачи 1.  Найти обратную матрицу A-1 2.  Даны вершины треугольника A(-1,2), B(3,-1), C(0,4). a.  Через каждую вершину провести прямую, параллельную противоположной стороне (составить уравнения этих прямых). b.  Составить уравнение высоты в точке B. 3.  Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной к плоскости 2x+3y-z=4.

7.2. Промежуточный контроль.

Данный вид контроля производится на основе баллов, полученных студентом при написании контрольных работ и индивидуальных заданий. Результаты промежуточного контроля оцениваются в баллах в соответствии с прилагаемым рейтинг-планом.

7.3. Итоговый контроль.

Итоговым контролем является семестровый экзамен.

8. Рейтинг качества освоения дисциплины

Таблица 3

Рейтинг-план освоения дисциплины в течение семестра

Дисциплина	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА	Число недель - 18
Институт	Физико-технический институт	Число кредитов - 4
Кафедра	Высшей математики и математической физики	Лекции - 27 час
Семестр	1	Практич. занятия – 27 час
Группы	1Б01, 0Б02, 4Е00	Лаб. работы
Преподаватель		Всего аудит. занятия - 54 час
		Самост. работа – 54 час
		ВСЕГО 108 час

Рейтинг-план освоения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» в течение семестра
Недели	Текущий контроль
Теоретический материал	Практическая деятельность	Итого
Название модуля	Темы лекций	Контролир. мат.	Баллы	Темы практических занятий	Баллы	Индивидуальные задания	Баллы
1		Понятие матрицы. Операции над матрицами.			Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование.
2	Определители. Обратная матрица.			Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка. Обратная матрица.
3	Линейные пространства. Ранг матрицы. Базис и размерность.			Линейные пространства. Линейная зависимость. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы.
4	Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса.	Тестовые задания	2	Формулы Крамера. Метод Гаусса исследования и решения систем. Однородные системы, тривиальное и нетривиальные решения. Фундаментальная система решений однородной системы.		«Определители и системы»	6	8
Всего по контрольной точке (аттестации) № 1	8
5		Однородные системы. Геометрические свойства решений системы.			Контрольная работа «Определители и системы».	8			8
6	Понятие вектора. Система координат. Проекции вектора и координаты.			Линейные операции над векторами в геометрической и координатной формах. Простейшие задачи векторной алгебры.
7	Произведения векторов. Определения и свойства.			Скалярное и векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Контрольная работа «Векторная алгебра».	6	«Векторная алгебра»	6	12
8	Евклидовы и унитарные пространства.	Тестовые задания	2	Евклидовы и унитарные пространства. Ортогональные векторы. Ортогональная (унитарная) матрица. Ортогональное дополнение.				2
Всего по контрольной точке (аттестации) № 2	30
9		Линейные операторы в конечномерном пространстве.			Задание линейного оператора. Матрицы оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
10	Билинейные и квадратичные формы.	Тестовые задания	2	Билинейные формы. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.		«Линейные операторы и квадратичные формы»	6	8
11
12	Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.			Уравнение прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.
Всего по контрольной точке (аттестации) № 3	38
13
14	Канонические уравнения и свойства эллипса, гиперболы и параболы.	Тестовые задания	2	Построение кривых по каноническим уравнениям. Свойства эллипса, гиперболы и параболы. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.		«Аналитическая геометрия на плоскости»	6	8
15
16	Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.			Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
17
18	Канонические уравнения и свойства поверхностей второго порядка.			Поверхности второго порядка. Канонические уравнения. Геометрические свойства. Контрольная работа «Аналитическая геометрия».	8	«Аналитическая геометрия в пространстве»	6	14
Итоговая текущая аттестация	60
Экзамен (зачет)	40
Итого баллов по дисциплине	100

"___"______2010 г.
Зав. кафедрой ВММФ ____________________________
Преподаватель __________________________

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

9.1. Основная литература

1.  Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1984.

2.  Лекции по линейной алгебре. - М.: Наука, 1971.

3.  Линейная алгебра и некоторые её приложения. - М.: Наука, 1975.

4.  , Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974.

5.  Курс высшей алгебры. - М.: Физматгиз, 1962.

6.  Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Физматгиз, 1966.

7.  , Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1982.

8.  , Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1980.

9.  Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1998.

10.  С. Высшая математика. - М.: Высш. школа, 1985.

Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1979.

9.2. Дополнительная литература

1.  , , Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. – Минск: Вышейшая школа, 1990.

2.  И., Учебное пособие. «Высшая математика», часть 1.

3.  И., Сборник индивидуальных заданий, «Высшая математика», часть 1.

4.  И., Сборник контрольных работ, «Высшая математика», часть 1.

5.  Линейная алгебра. Учебное пособие. - М.: Гардарики, 1999.

6.  Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1966.

7.  Ф., , Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Минск: Вышейшая школа, 1986.

9.3. Internet-ресурсы:

http://www. lib. ***** - Электронная библиотека механико-математического факультета Московского государственного университета

http://www. *****/ - Общероссийский математический портал ***** — это современная информационная система, предоставляющая российским и зарубежным математикам различные возможности в поиске информации о математической жизни в России.

http://www. *****/ - Библиотека по естественным наукам Российской Академии Наук.

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Освоение дисциплины производится на базе учебных аудиторий кафедры ВММФ ФТИ (ауд. 307, 413, 4учебного корпуса ТПУ. Аудитории оснащены современным оборудованием (компьютер, видеопроектор, интерактивная доска), позволяющим проводить лекционные и практические занятия на высоком профессиональном уровне.

Программа составлена на основе Стандарта ООП ТПУ в соответствии с требованиями ФГОС по направлению и профилю подготовки 011200 Физика.

Программа одобрена на заседании кафедры ВММФ Физико-технического института (протокол от «30» августа 2010 г.).

Автор	доцент кафедры ВММФ ФТИ
Рецензент