Основы взаимодействия заряженных частиц с диэлектрическими материалами (стр. 2 )

Нижний предел интегрирования определяется из соотношения:

1 – [ V(rmin)/Eотн)] – ( b2/r2min) =

Имеются определенные трудности численных расчетов интегралов вида (1.3) сингулярных на нижнем пределе. Точный аналитический расчет интеграла (1.3) возможен только для некоторых потенциалов ион-атомного взаимодействия: кулоновского, 1/r2 и потенциала твердых шаров.

Как видно из формулы (1.3), значения Q при заданном прицельном параметре b определяются видом потенциала ион-атомного взаимодействия. Взаимодействие многоэлектронного движущегося иона и атома мишени можно рассматривать как кулоновское взаимодействие их ядер с зарядами Z1e и Z2e, экранированных электронными оболочками. Поэтому V(r) принято аппроксимировать кулоновским потенциалом с подходящей функцией экранирования:

V(r) = (Z1Z2/ r)× F(r/a), (1.5)

F(r/a) и a – функция и характерная длина экранирования.

При высоких энергиях налетающих ионов, когда ядра сталкивающихся частиц сближаются на расстояние меньшее радиусов электронных оболочек, потенциал ион-атомного взаимодействия должен иметь кулоновский вид. Поэтому при больших значениях E1 F(r/a) должно стремиться к единице. Это общее свойство различных функций экранирования, используемых в практических расчетах. Рассмотрим некоторые из них.

1. Функция экранирования, введенная Ж. Мольером [8]:

F(r/a) = i exp (-bir/a), (1.6)

С1=0,35 ; C2=0,55 ; C3=0,1; b1=0,3 ; b2=1,2 ; b3=6,0 и i=1.

2. Универсальная функция экранирования, введенная Бирзаком с соавторами [9]:

F(r/a) = i exp (-bir/a), (1.7)

C1=0,1818; C2=0,5099; C3=0,2802; C4=0,2817; b1= 3,2; b2= 0,9423; b3= 0,4028; b4= 0,2016.

3. “Kr-C”: С1=0,191; C2=0,474; C3=0,335; b1=0,279 ; b2=0,637; b3=1,919.

Результаты модельных расчетов траекторных параметров некоторых ионов в диэлектриках с применением различных потенциалов ион-атомного взаимодействия будут представлены ниже в п. п. 1.1.3.

Таким образом, будем считать, что угол рассеяния в СЦМ известен. При рассмотрении движения ускоренного иона и атома отдачи (АО) после столкновения необходимо уметь переходить от угла Q в СЦМ к углам рассеяния налетающего иона (Q1) и атома отдачи (Q2). Связь между ними определяется из соотношения [10]:

tgQ1= sin/(cos+ M1/M2) , Q2=/2 –Q

Проанализируем соотношение (1.8). Пусть М1=М2: Q1=Q/2 и Q1+Q2=p/2. Следовательно, частицы равной массы при упругом рассеянии разлетаются под прямым углом. При M1<<M2 Q1Q и угол разлета Q1+Q2=(p+Q)/2. При Q=p имеем Q1+Q2=p, т. е. легкая частица отражается назад.

Зная величину Q, определим величину энергии T1, переданную атому мишени в упругом столкновении:

T1= E0× [4M1M2/(M1+M2)2] sin2(Q/2) = g E0 sin2(Q/

Величина g называется кинематическим коэффициентом и определяет наибольшую передаваемую в лобовом столкновении энергию (Q=, T1= g×E0).

Для удобства рассмотрения процессов упругого рассеяния обычно все расчеты проводят в безразмерных единицах, определяемых следующим образом:

e= a M2E1/[Z1Z2e2(M1+M2)] – приведенная энергия,

(1.10)

r= pa2 N Rg – приведенная длина.

Тогда удельные потери энергии в упругих столкновениях можно выразить в безразмерных единицах:

(de/dr)=(dE/dx) × (e/E) × (x/r). (1.11)

Отметим, что в физике ион-атомных столкновений очень удобно пользоваться величиной e2=1,44 эВ×нм.

Имеется целый ряд простых аппроксимаций величины (de/dr)n в зависимости от приведенной энергии. На практике для аналитических оценочных расчетов часто используют формулу, предложенную :

(de/dr)n =Ae1/2/(B+e),

(1.12)

A=0,45; B=0,3; 0,05e10.

Таким образом, общая схема описания процесса упругого рассеяния налетающего иона на первоначально покоящемся атоме мишени состоит в корректном выборе потенциала ион-атомного взаимодействия и расчете по формуле (1.3) угла рассеяния Q в системе центра масс.

Энергия, передаваемая атомами мишени в дальнейшем, приводит к активации следующих процессов:

- ионизация мишени атомами отдачи;

- образование вакансий;

- фононное рассеяние в столкновениях, в которых переданная энергия Т < Ed, где Ed – пороговая энергия смещения.

Перед тем, как рассмотреть возможность описания данных процессов в рамках TRIM(SRIM)-алгоритма, необходимо отметить, что в полимерных мишенях понятия “вакансия” и “межузельный атом” теряет свой смысл. В ОМ при выбивании атомов из молекулярной цепи образуются разорванные ненасыщенные химические связи. Поэтому естественно понятие вакансии отнести к разорванной связи, принадлежащей молекулярной цепи. Понятие “межузельный атом” следует приписать ненасыщенной связи, принадлежащей выбитому атому. Тогда правильно будет определен термин “рекомбинация” вакансии с межузельным атомом [11].

В бескаскадных вариантах TRIM(SRIM)-алгоритма для расчета числа созданных радиационных дефектов (Nn) применяется модифицированная модель Кинчина-Пиза [12]:

Nn = 0, если Ed > En;

Nn = 1, если Ed < En < 2,5·Ed; (1.13)

Nn = k·En/(2·Ed), если En > 2,5·Ed, k = 0,8.

Здесь En – упругая составляющая переданной в столкновении энергии, определяемая по формуле:

En = T/[1 + kd·g(ed)], (1.14)

где kd = 0,1334·Z22/3·M2-1/2; g(ed) = ed + 0,40244·ed3/4 + 3,4008·ed1/6;
ed = 0,01014·Z2-7/3·T.

Коэффициент k в модели Кинчина-Пиза в случае органических мишеней нуждается в корректировке из-за формирования в ОМ специфических каскадов. Физическая причина появления таких каскадов – наличие значительного количества легких атомов водорода в мишени, которые практически всю полученную в упругих столкновениях энергию тратят на ионизацию среды. Подробно такие эффекты будут рассмотрены во второй главе.

1.1.2. “Магическая ” формула для расчета угла рассеяния в СЦМ.

Широкое использование TRIM(SRIM)-алгоритма [13,14] в задачах моделирования движения ускоренных ионов в твердом теле во многом обусловлено простотой и вместе с тем достаточной корректностью описания процесса упругого рассеяния ионов на атомах мишени. Основная проблема рассмотрения процесса упругого рассеяния в рамках метода МК состоит в многократном расчете угла рассеяния q налетающей частицы в СЦМ. Так при моделировании 104 ионных траекторий в режиме учета движения атомов отдачи (103…104) приходится рассчитывать до 1010 таких интегралов, что для ПЭВМ конца прошлого столетия было невозможно. В большинстве известных программ данный вопрос решается путем использования аналитических формул, основанных на ряде грубых приближений, часто неприемлемых, как в случае тяжелых ионов и низких энергий. Эти недостатки свойственны наиболее известным ранним версиям программам реализации метода МК – PIBER (Program for Ion Beam Exposure of Resist)[15] и MARLOWE [16]. Программа TRIM отличается от всех остальных применением несложного аналитического выражения для расчета q, которое часто называют “магической” формулой.

Для расчета Q во всех программах TRIM(SRIM) используется соотношение:

cos(Q/2) = (r + p + d)/(r + r0), (1.15)

где r = r1 + r2; d = d1 + d2; r1, r2 – радиусы кривизны траекторий; d1, d2 – небольшие поправочные параметры; p – прицельный параметр; r0 – расстояние наибольшего сближения. Вывод данной формулы вытекает непосредственно из геометрии рассеяния (рис.1.2)

Рис. 1.2. Геометрия рассеяния в системе центра масс [ ].

Расстояние наибольшего сближения определяется по формуле (1,4). Из этой формулы методом Ньютона за два-три шага можно определить r0 c точностью порядка 0,1%. Радиус кривизны r в СЦМ определяется исходя из определения центробежной силы fc [ ].

Было бы удобнее выразить Er в величинах Z1·Z2·e2/a и длину в единицах а. Таким образом, вводится понятие приведенной энергии:

e = a·Er/(Z1·Z2·e2), (1.16)

где а – длина экранирования.

В результате всего перечисленного, формула (1.13) принимает вид:

cos(Q/2) = (B + Rc + D)/(R0 + Rc), (1.17)

где B = p/a; Rc = r/a; R0 = r0/a; D = d/a – величины, выраженные в единицах длины экранирования.

При высоких энергиях атомные столкновения могут быть описаны при помощи неэкранированного потенциала Кулона, то есть резерфордовского рассеяния. Таким образом, формула для Q должна асимптотически приближаться к резерфордовскому результату с увеличением приведенной энергии e. Для достижения этого записываем формулу для Q при резерфордовском рассеянии, а затем при помощи подгоночных параметров переходим к случаю с меньшей энергией:

D = A·(R0 – B)/(1 + G), (1.18)

где A = 2·a·e·Bb; G = g·[(1 + A2)1/2 – A]-1; a = 1 + C1·e-1/2; b = (C2 + e1/2)/(C3 + e1/2);
g = (C4 + e)/(C5 + e).

Величины С1…С5 – подгоночные параметры, определяемые потенциалом ион-атомного взаимодействия. Значения Ci рассчитаны для трех наиболее распространенных потенциалов: универсального, Kr-C и мольеровского и приведены в табл.1.1.

Отметим, что в базовой версии TRIM-85 [17] допускается возможность выбора потенциала ион-атомного взаимодействия. В дальнейших версиях авторы применяют только универсальный потенциал, что, видимо, не совсем правильно. Следует заметить, что в литературе имеются отличные от “магической формулы” параметрические зависимости угла рассеяния от приведенной энергии и прицельного параметра [18].

Все вышесказанное не используется для больших значений e. При e > 10 для увеличения скорости вычислений используется кулоновский потенциал, так как все заметные отклонения и передача энергии происходят при достаточно близких столкновениях. Тогда:

sin2(q/2) = [1 + (2·e·B)2]

Таблица 1.1

Значения констант Ci для избранных потенциалов [ ].

Потенциалы	Мольер	Kr-C	Универсальный
С1	0,674300	0,788700	0,992290
С2	0,009611	0,011660	0,011615
С3	0,005175	0,006913	0,007122
С4	10,000000	17,160000	14,813000
С5	6,314000	10,790000	9,306600

Угол рассеяния y в лабораторной системе получился из соотношения:

y = arctg[(sinq)/(cosq + M1/M2)]. (1.20)

Азимутальный же угол рассеяния F выбирается случайно: F = 2·p·Rn, где Rn – случайное число от 0 до 1.

1.1.3. Универсальный алгоритм вычисления угла рассеяния.

Магическая формула может быть использована только для трех потенциалов ион-атомного взаимодействия − Мольера, универсального и С-Кг, что существенно ограничивает ее использование для решения ряда важных прикладных задач. “Магическая формула” была приемлема в то время, когда существовало существенное ограничение в быстродействии компьютеров. Сейчас, когда существуют мощные быстродействующие компьютеры, можно перейти к прямому расчету классического интеграла рассеяния, что является более точным решением проблемы. Универсальный алгоритм вычисления угла рассеяния мы рассмотрим на примере программного комплекса TREK-1 [19], работающего с любым видом заданного потенциала ион-атомного взаимодействия. Основная трудность заключается в том, что необходимо выбрать достаточно быстрый алгоритм вычисления классического интеграла рассеяния (КИР). Выражение для классического интеграла рассеяния можно представить в виде:

, (1.21)

где ,, b – прицельный параметр, a- длина экранирования, e - приведенная энергия, Ф(x)- функция экранирования. Прямое вычисление (1.21) в программах МК моделирования не применялось из-за сингулярности на нижнем пределе, т. к. величина определяется путем решения трансцендентного уравнения: . Для расчета в [19] адаптировали метод вычисления интегралов типа (1.21), предложенный в [20] к процедуре метода МК. Заменой переменных X=X0/cos(pz/2) интеграл (1.21) приводится к виду [20]:

, (1.22)

где дается выражением:

. (1.23)

На основе приведенных выше формул нетрудно организовать вычислительный процесс, для чего необходимо выбрать соответствующую рассматриваемой задаче функцию экранирования Ф(x). Далее следует определить расстояние наибольшего сближения X0. Для его расчета мы использовали метод, предложенный в [20], а также предусмотрели возможность прямого численного решения уравнения (1.4). В качестве начального приближения брали , что соответствует неэкранированному кулоновскому потенциалу.

Рассмотренный подход реализован с помощью пакета Borland Delphi 5.5 и подпрограмм ANGLE, входящая в TREK-1, тщательно тестировалась. Результаты расчета qс по программе ANGLE для разных потенциалов ион-атомных взаимодействий совместно с данными [20] приведены в таблице 1.2 [21]. В последней колонке приведены значения qс, полученные с использованием “магической” формулы. Как следует из таб.1.2, данный алгоритм дает значения qс близкие к “магической” формуле, но позволяет работать с широким кругом потенциалов ион-атомных столкновений.

Отметим, что для вычисления интеграла (1.21) можно использовать замену переменных, предложенную Робинсоном [ ] x=x0/(1-z2), или метод, описанный в [ ]. Для малых углов рассеяния для вычисления угла рассеяния можно также использовать импульсное приближение [ ]:

, (1.24)

где n – степень потенциала.

В таблице 1.3 приведены расчеты по программе TREK-1 траекторных параметров (Rp, DRp) , числа созданных радиационных дефектов NV при имплантации ряда ионов в ПММА (полиметилметакрилат –С5H8O2) при использовании в качестве потенциалов ион атомного взаимодействия универсального, Мольеровского и С-Kr потенциалов.

Таблица1.2.

Рассчитанные по программе ANGLE значения угла рассеяния qс для ряда значений приведенной энергии и прицельного параметра.

e	b	qсM (рад.)	qсU (рад.)	qсC-Kr (рад.)	qсMag. (рад.)
1E-3 1E-3 1E-1 1E-1 1E+1 1E+1	5E+01 2E+01 2E-01 8E+00 2,5E-2 1E+00	3,02 0,12 2,86 0,081 2,15 0,056	3,05 0,14 2,94 0,082 2,30 0,056	3,02 0,10 2,86 0,062 2,17 0,059	2,99 0,10 2,86 0,062 2,17 0,059

Результаты расчетов показывают, что широко рекламируемый авторами [ ] универсальный потенциал, не имеет каких-либо преимуществ перед С-Kr-потенциалом при моделировании имплантации ионов различных масс в легкие мишени. Как и ожидалось, для легких ионов все три потенциала дают практически одни и те же значения траекторных параметров. Для более тяжелых ионов отличие имеет место в области доминирования упругих потерь энергий ( до 21 %) и с ростом энергии внедряемых частиц, разница быстро уменьшается.

1.2. Процессы непругого взаимодействия ионов в диэлектрических материалах.

Описание процессов неупругой передачи энергии налетающим ионом в электронную подсистему гораздо более сложно, так как при этом происходят электронные переходы в атомах, ионизация, перезарядка иона и ряд других сложных физических процессов [22-23]. К настоящему времени отсутствует единая теория описания неупругих процессов потери энергии, позволяющая рассчитать зависимость (dE/dx)e в широком диапазоне энергий на­летающих ионов, приемлимая для численной реализации. Принято весь энергетический диапазон разбивать на три области: область низких энергий E25 кэВ/а. е.м., область высокой энергии E200 кэВ/а. е.м. и промежуточную область 25 кэВ/а. е.м E200 кэВ/а. е.м. Для каждой из этих областей мы приведем расчетные формулы, пригодные для оценок неупругих потерь энергии.

Область низких энергий. Наглядная физическая модель для описания неупругой передачи энергии была предложена [24]. Он допустил, что в процессе столкновения иона с атомом мишени их электронные оболочки перекрываются (близкие столкновения) и возможен взаимный переход электронов. Такой переход требует затрат энергии, что и будет отождествлено с неупругими потерями. Фирсовым получена следующая формула для потерь энергии в неупругих столкновениях:

(dE/dx)e= 2,34 ×10-23N0(Z1+Z2) ×V1, (1.25)

где V1 – скорость иона (см/с) , N0 – атомная плотность (см-3), (dE/dx)e– неупругие потери энергии (эВ/cм).

Подобный результат был получен И. Линхардом и М. Шарфом в 1961 г.:

(de/dr )= -k e1/2,

k=G1/G2, где G1 и G2 определяются следующими выражениями:

G1= Z1/6 (Z1Z2)0,5(M1+M2)3/2,

(1.26)

G2= (Z12/3 + Z22/3)3/4M13/2M21/2.

Область высоких энергий. Тормозную способность высокоэнергетичных ионов (E > 200 кэВ/а. е.м.) можно рассчитать, основываясь на представлениях классической механики [25] c использованием импульсного приближения. Для этого рассмотрим передачу энергии летящим ионом одному из электронов атома мишени. Пусть b – прицельный параметр. В ходе столкновения электрон получил приращение импульса d py. Так как компонента силы Fx изменяет знак в точке x=0, то dpx=0. Тогда электрону при столкновении передается энергия W=d Py2/ 2 me. Время столкновения t примерно составляет dt 2b/V1, где V1 – скорость иона. Взаимодействие между электроном атома мишени и ионом будем считать кулоновским. Тогда:

dpy= dFyt = (Z1e2/b2) (2b/V1) , W= (2Z12e4/meV12) (1/b2). (1.27)

Видно, что неупругие потери энергии, которые мы отождествим с W, должны убывать с ростом прицельного параметра как 1/b2. По определению:

(dE/dx)e= – NZ2 T(b)2pb db.

Необходимо отметить, что в формуле (1.27) Tmin соответствует bmax, а Tmax bmin . Тогда имеем:

(dE/dx)e= N0 Z2 W(b) 2pb db= (4Z12e4N0Z2) ln(bmax/bmin), (1.28)

где Z2 – число электронов в атоме.

1. Определим Tmax и соответствующее ему значение bmin.

Максимально возможная энергия, передаваемая в упругом столкновении, есть: Tmax= g(M1V12)/2. Учитывая, что в данном случае M1 >>me , то g 4me/M1 и Tmax= 2meV12. Приравняем W= 2 meV12 и получим, что bmin =Z1e2/( meV12).

2. Определим T min и соответствующее ему значение bmax.

В определении Tmin имеется отличие от процесса передачи энергии в упругих столкновениях, где Tmin можно положить равной нулю. Приравняем Tmin энергии ионизации атома I0. Тогда получим:

I0=2Z12e4/( meV12b2max ), bmax= 2Z1e2/(2meV12)0,5 и

(dE/dx)e = ln (2meV12/I0

Проведенные расчеты дают вклад только прямых столкновений с электронами мишени. Но существует еще слагаемое, обусловленное резонансной передачей энергии на большие расстояния. С его учетом полная тормозная способность должна быть в два раза больше:

(dE/dx)e =ln (2meV12/I0

Отметим, что (dE/dx)e не зависят от массы налетающей частицы и с точностью до логарифмического множителя обратно пропорциональны 1/V12.

Главное - это следствие, вытекающее из формулы (1.29). Пусть в мишень (Z2,M2) внедряются ускоренные ионы (ZA,MA) и (ZB,MВ) c одной и той же скоростью V1. Тогда:

(dE/dx)A =ln (2meV12/I0),

(1.31)

(dE/dx)B=´ln (2meV12/I0)

и, следовательно, поделив одно на другое, получим

(1/Z2A)(dE/dx)A = (1/ZB2) (dE/dx)B . (1.32)

Поэтому неупругие потери энергии одной частицы могут быть выражены через потери энергии другой в одном и том же веществе. Имеются эмпирические формулы для расчета тормозной способности протонов (Sp):

(1/Sp) = (1/Sв) + (1/Sн), (1.33)

где Sн и Sв - тормозная способность протонов в области низких и высоких энергий. Наиболее простой вид аппроксимации: Sн=С0,

Sв=ln [(C2/E)+C3E] [26]. В программах TRIM применена более сложная формула, использующая семь подгоночных параметров [ ].

Используя полученное соотношение, тормозную способность любых ионов можно выразить через известную тормозную способность протонов:

Se(V1)=Z2эфф(V1)´Sp(V1), (1.34)

где Z эфф - эффективный ионный заряд.

Физически Zэфф лучше всего может быть представлен в виде среднего заряда частицы, воздействующего на электроны мишени. Поэтому следует ожидать, что значение Zэфф находится в интервале Z*< Zэфф< Z1, где Z1 - заряд ядра иона (определяет рассеяние электронов вблизи ядра иона), а Z* - зарядовое состояние иона (определяет рассеяние электронов на больших удалениях от ядра). На промежуточных расстояниях заряд ядра частично экранирован оставшейся частью электронной оболочки. Для удобства расчетов экранирование можно аппроксимировать простой функцией вида exp (- r/l).

Область средних энергий – наиболее сложная для расчетов неупругих потерь энергии. Одной из наиболее часто используемых на практике теорий, позволяющей провести расчеты в этой области, является теория Брандта - Китагавы (БК) [27]. В отличие от теории Бора, в которой допускалось, что все электроны иона, имеющие орбитальные скорости ниже скорости частицы, срываются с ее оболочек, в теории БК принят другой подход. Зарядовое состояние иона определяется на основе допущения, что все электроны иона, чьи скорости меньше, чем относительная скорость иона Vr по отношению к скорости Ферми Vf электронов в твердом теле, обдираются. Таким образом, теории Брандта-Китагавы отражает, во многом, роль материала мишени в обменных процессах. Относительная скорость Vr иона по отношению к скорости Ve - валентных электронов в твердом теле можно определить как [27]:

Vr= < ½V1-Ve½>. (1.35)

Для классического электронного газа имеем:

0,5 meVe2 = (3/5)Ef , Ve= (3/5)1/2Vf . (1.36)

Подставляя (1.36) в (1.35) и проводя соответствующие преобразования, получим:

Vr = V1 ´[1 + (Vf2/5V12)], при V1³Vf (1.37)

Vr = 0,75´Vf [1 + (2V12/3Vf2) - (V14/15Vf4), при V1<Vf.

Главным допущением при выводе формулы (1.37) считалось, что валентные электроны и электроны проводимости, ответственные за тормозную способность при низких энергиях, рассматривались по аналогии с ферми-газом.

Поэтому последовательность расчета тормозной способности ионов средних энергий в твердом теле можно представить следующим образом.

1. Рассчитать по формулам (1.35) относительную скорость.

2. Рассчитать степень ионизации q =1-N/Z1, где N - число электронов, связанных с ионом. Для получения значения q применяют эмпирическую формулу:

q = 1 - exp [0,803Yr0,3 - 1,317Yr0,6 -0,382 Yr - 0,00898 Yr2], (1.38)

где Yr= Vr/(V0 Z12/3) - эффективная ионная скорость, V0 - боровская скорость.

3. Рассчитать длину экранирования l:

l =. (1.39)

4. Рассчитать эффективный заряд g :

g = q + (1-q) ln [ 1 +(2 lVf/a0V0)2) ]. (1.40)

5. С помощью формул (1.33), или им подобным [ ], рассчитать тормозную способность протонов.

6. Согласно формуле (1.34) получить окончательный результат: Se(V) = (Z1g)2 ´SH.

Описанная схема расчета Se(V) используется в широко известных программах типа TRIM моделирования процесса ионного легирования и распыления твердых тел ионной бомбардировкой.