Основы взаимодействия заряженных частиц с диэлектрическими материалами (стр. 5 )

and Measurements

Программа TRIM, как и другие программы моделирования, методом Монте-Карло, учитывает поведение большого ансамбля частиц в твердом теле. Предполагается, что мишень аморфная, с хаотическим рас­положением атомов. Это означает, что любыми свойствами, свя­занными с направлением в кристаллической решетке, можно пренебречь.

Траектория каждого иона начинается с задания его положения, направления движения и энергии. Затем про­слеживается последовательность столкновений иона с атомами мишени; между столкновениями свободный пробег иона предпо­лагается прямолинейным. На пути каждого свободного пробега энергия частицы уменьшается на величину электронных потерь энергии, а затем, после столкновения, на так называемые ядерные, или упругие, потери энергии, т. е. на энергию, пере­данную атому мишени при столкновении. Если атом мишени получает энергию, превышающую пороговую энергию смещения Ed, то его называют первичным атомом отдачи (ПАО) и его поведе­ние прослеживается таким же образом, как и поведение нале­тающего иона. Это же остается справедливым для любых ато­мов отдачи более высокого уровня генерации (ВАО - вторич­ный атом отдачи), которые могут образоваться в ходе последу­ющих столкновений. Такой вариант работы программы называется каскадным и требует значительно большего машинного времени, чем вариант с использованием описанной в главе 1 формулы Кинчина-Пиза. В то же время он является существенно более информативным по сравнению с бескаскадным. Только при его использовании можно рассчитать коэффициент физического распыления мишени, проследить развитие каскадов столкновений, решать задачи, связанные с ионным перемешиванием в многослойных системах, а также разделить вклады имплантируемых частиц и атомов отдачи в ионизацию среды и процессы дефектообразования. Для целей расчета траекторных параметров внедряемых ионов (Rp, ΔRp, γ, β) использование каскадного варианта не оправдано, так как главную роль тут играет набор статистики. Можно сформулировать некоторые рекомендации по набору числа псевдочастиц для получения корректных значений траекторных параметров, которые, как было показано в главе 1, являются с точностью до коэффициента моментами функции распределения пробегов. Чем выше порядок момента, тем большее число траекторий псевдочастиц необходимо рассмотреть [ ]. Ранее всех от числа псевдочастиц (N) перестает зависеть проецированный пробег (N =103), затем страгглинг (N<5000). Обычно, при N<104 значения γ и β стабилизируются. Только при моделировании пространственного распределения легких ионов (Z1<10) средней энергии при N<105 зависимости ассиметрии g(N) и эксцесса b(N) носят осциллирующий характер. При N>106 осцилляции этих величин не превышают 1 Учитывая, что доминирующим механизмом потери энергии в этом случае будет являться неупругое взаимодействие с электронной подсистемой, то такой расчет не займет много времени. Здесь необходимо отметить одну существенную недоработку программ типа TRIM, связанную с корректным расчетом ассиметрии и эксцесса распределения внедренных частиц, которая проявляется при создании таблиц траекторных параметров (т. е. при широком изменении диапазона энергии частиц). В TRIM-алгоритме вся область моделирования делится всего на 100 частей и статистика набирается по соответствующим каналам. Поэтому, задать сразу широкую область моделирования нельзя, так как из-за большой ширины каналов при малых энергиях все остановившиеся частицы попадут в несколько первых каналов, при больших энергиях − в последние каналы. Возникает необходимость периодически менять размер области моделирования, что как показано в [ ], может привести даже к изменению знака ассиметрии, особенно, если ее значение близко к нулю.

Траектория атома или иона отдачи обрывается, если их энергия становится ниже предварительно заданного значения TMIN , либо если частица выходит за пределы передней или задней поверхности мишени. Обычно, величина TMIN находится в пределах 5…25 эВ и ее значение слабо влияет на результаты моделирования..

Расчет методом МК осно­ван на модели парных столкновений и траектория иона определяется рядом последовательных парных столк­новений с атомами мишени. Это допущение может не соблюдаться при очень низких энергиях, когда заметное рассеяние ионов происходит даже на большом удалении от ядер атомов мишени, а также при моделировании имплантации высокоэнергетичных ионов. В последнем случае в конце траектории в области максимума упругих потерь энергии плотность атомов отдачи становится очень высокой и пренебрегать их взаимодействием между собой нельзя.

Для достижения эффективности расчетов в программах типа TRIM «магическая формула» не используются в случае высоких энергий, т. е. при в нормированных еди­ницах. При высоких энергиях все заметные отклонения и пере­дачи энергии происходят при достаточно близких столкновени­ях, когда кулоновский потенциал только немного экранирован. В этом случае машинное время экономится путем использова­ния потенциала, изменяющегося от кулоновского до потенциала вида и далее до , для которого угол отклонения и пере­даваемые энергии рассчитывают простым аналитическим спо­собом, обеспечивающим примерно ту же самую точность в об­ласти высоких энергий, что и магическая формула при низких энергиях.

В программе TRIM для каждого столкновения прицельный параметр и азимутальный угол рассчитываются с помощью генерации случайных чисел следующим образом:

, , (2.1)

Для выбора PMAX используются различные аналитические формулы [ ]. Соотношение между PMAX и длиной среднего свободного пробега задается выражением:

, (2.2)

где N — атомная плотность мишени.

Если при очень высоких энергиях длина среднего свободного пробега становится чрезмерно большой, то производится не­зависимая проверка. Электронные потери энергии на длине сво­бодного пробега не должны превышать пяти процентов энергии иона. Если это происходит, то длина свободного пробега иона должна быть соответственно уменьшена.

В заключение следует упомянуть, что длину первого сво­бодного пробега всегда умножают на случайное число для того, чтобы переданные энергии были равномерно рас­пределены в приповерхностной области.

В программе TRIM выбор атомов мишени производится с помощью случайных чисел; при этом предполагается, что веро­ятность столкновения с атомом каждого вида пропорциональна его стехиометрическому коэффициенту (например, в мишени из столкновения с кислородом происходят вдвое чаще, чем с кремнием). Это положение не является однозначным: если легкий атом имеет меньшее сечение упругого рассеяния, чем тяжелый, то независимо от стехиометрического соотношения столкновения с атомами тяжелого компонента будут более благоприятны. В этой связи можно, используя определенные соотношения, задавать меньшие значения PMAX при рассеянии на легком атоме и большие − на тяжелых. Авторы TRIM-алгоритма считают, что данная проблема решается автоматически при использовании универсального потенциала ион-атомного взаимодействия, допускающего меньшие отклонения налетающей частицы при рассеянии на легких ионах, чем тяжелых при одних и тех же значениях прицельного параметра.

При описании неупругих потерь энергии необходимо учитывать локальные и нелокальные неупругие потери энергии. Наиболее наглядно они могут быть представлены при рассмотрении крайних состояний вещества. В газообразных мишенях энергия может передаваться элект­ронным системам сталкивающихся частиц только во время столкновения и зависит от прицельного параметра столкновения: электронов на пути свободного пробега не существует. В программе TRIM эти потери энергии вычитаются после столкновения и называются локальными потерями энер­гии. В металлах, наоборот, электронный газ заполняет все межузельное пространство ре­шетки и взаимодействует с движущимся ионом, т. е. потери энергии происходят непрерывно вдоль свободного пробега между столкновениями и должны вы­читаться прежде, чем произойдет следующее столкновение. Та­кие потери называются нелокальными потерями энергии. В про­грамме TRIM можно использовать любой из указанных спосо­бов учета электронных потерь или их сочетание. При модели­ровании распыления часто выбирают эквивалентное соотноше­ние (по 50%) локальных и нелокальных потерь. Это позволяет получить удовлетворительное согласие с экспериментальными данными по распылению, тем не менее, не существует никаких других физических оснований для использования этого правила эквивалентности при низких энергиях.

В модели нелокальных потерь энергии, т. е. в пренебреже­нии их зависимостью от параметра столкновения и страгглинга, электронные потери определяют простым способом:

, (2.3)

где — свободный пробег между столкновениями, a — электронная тормозная способности, которая подробно обсуждалась в главе 1. В модели локальных элект­ронных потерь энергии потери зависят от расстояния наиболь­шего сближения , которое входит в множитель:

, (2.4)

добавляемый к уравнению (2.3) в предположении, что .

Для того чтобы наиболее эффективно использовать реали­стичную, но достаточно сложную полуэмпирическую тормозную способность, применяют подпрограмму(RSTOP), которая рассчиты­вает 1000 значений тормозной способности для энергий иона, эквидистантно распределенных между нулем и начальной энер­гией. При работе в каскадном режиме, приходится дополнительно рассчитывать соответствующие массивы значений для атомов отдачи. Чем более сложен состав мишени, тем большее число таких массивов необходимо построить. Например, при моделировании имплантации ионов Ar+ в ПММА (С5H8O2)n, необходимо будет рассчитать следующие массивы значений размерностью 1000: ArC, ArH, ArO; CH, CO, CC; HC, HO, HH; OC, OH, OO. Для многокомпонентных мише-ней используется правило Брэгга, устанавливающее, что вклад в тормозную способность каждого типа атомов мишени пропорционален их атомной доле. Тормозную способность приходится рассчитывать для каждого слоя мишени.

Аналогичным образом устроено большинство программ TRIM. Некоторые специфические отличия имеют специализированные программы: TRIM. LE (моделирование низкоэнергетической имплантации), TRIM. SP(моделирование физического распыления) и некоторые другие. Так, в программе TRIM. SP [ ], TRSP2C(преимущественное распыление в 2-хкомпонентных системах) [ ] для повышения быстродействия алгоритма, вставлен простой тест, проверяющий наличие составляющей импульса в направлении поверхности у атомов отдачи (АО). Если, начиная с некоторой заданной глубины XMAX , АО двигается вглубь мишени, то его движение далее не отслеживается. Этот подход имеет под собой физическое обоснование: экспериментально определенная глубина выхода распыленных атомов не превышает, за небольшим исключением, нескольких десятков ангстрем. Такой простой прием позволяет существенно снизить затраты машинного времени.

Особенностью перечисленных программ реализации численной процедуры метода МК является перерасчет всех результатов на одну частицу. Так, размерность распределения атомов по глубине − [ат./ ]. Умножая данную величину на дозу облучения, мы получаем распределение концентрации внедренных частиц. При высоких дозах ионной бомбардировки изменяется состав мишени, а значит и ее плотность. То есть, в рассмотренных алгоритмах дозовые эффекты не учитываются, что существенно снижает их ценность. Авторы [ ] предприняли попытку учета динамики изменения состава мишени при ионной имплантации, создав программу TRIDYN (векторизованная версия). Программа написана на языке Fortran 77, имеет неадекватную модель неупругих потерь энергии и применима только для задач моделирования низкоэнергетичного распыления твердых тел. Энергия движущегося иона после столкновения представляется в виде [ ]:

E*=E0-T-ΔE1-ΔEnl ,

(2.5)

, .

Здесь E0- энергия иона перед столкновением, T- энергия, переданная в упругом столкновении, ΔE1 -неупругие локальные потери энергии и ΔEnl-неупругие нелокальные потери энергии. Для расчета Sel использовалась известная формула теории ЛШШ [ ]. Величина t, вычитаемая из длины свободного пробега, вычислялась по формуле: t=RCsin(θ/2), где RC – расстояние наибольшего сближения. Следует отметить, что в качестве потенциала ион-атомного взаимодействия авторы использовали “Kr-C” потенциал, а не разработанный ими универсальный. Дозовый эффект вводится посредством введения дозовой нагрузки на каждую псевдочастицу: ΔФ =Фtot /NH. Здесь Фtot –общая доза облучения, NH –общее число псевдоисторий. Разработана процедура пересчета атомной плотности и толщины мишени в результате процессов каскадного перемешивания и распыления. Отметим, что устарелая архитектура программы не позволяет ее существенно усовершенствовать.

Таким образом, программы типа TRIM (SRIM) имеют ряд несомненных преимуществ перед имеющимися аналогами, но нуждаются в серьезном совершенстве. Одно из ограничений связано с применением “магической формулы” для расчета угла рассеяния, что ограничивает выбор потенциала ион-атомного взаимодействия. Далее, пользователь должен иметь возможность сам выбирать необходимое соотношение локальных и нелокальных неупругих потерь энергии. Так, априорно, TRIM-алгоритм не годится для моделирования имплантации диэлектриков из-за заложенной схемы расчета неупругих потерь энергии. Вообще, исходя из современных тенденций в численном моделировании, сама программа должна быть открыта для пользователя, что во-первых, даст возможность ее тщательно отладить, найти ошибки, которых, как известно, в программах TRIM было достаточно. Во-вторых, выбор языка программирования, операционной системы, построение современной базы данных материалов электронной техники с возможностью ее самостоятельного расширения, возможности распараллеливания вычислений − все эти факторы весьма важны для пользователя и не нашли своего отражения в новых версиях SRIM. Программы с открытым доступам к исходным кодом, безусловно более перспективны, чем черные ящики типа SRIM, так как могут быть доработаны другими коллективами авторов, имеющих определенные наработки по каким-то может быть и достаточно узким направления. Таким примером может быть численное моделирование имплантации молекулярных ионов, облучение которыми напрямую в SRIM-схеме не предусмотрено, а интересные наработки в этой связи имеются [ ].

Основным конкурентом программ SRIM(TRIM) является в настоящее время программный комплекс Geant4 доступ к которому свободен: http://geant4.web. cern. ch/geant4/. Открытость программного кода Geant4 позволяет легко проводить его модернизацию. Так в [ ] приведены результаты вычислений по программе Geant4 с интегрированным в нее расчетом угла рассеяния в СЦМ по методу Менденхолла и Веллера [ ].

2.2. Особенности распределения атомов отдачи и классификация каскадов ион-атомных столкновений в полимерных материалах.

Физическая картина взаимодействия ускоренных заряженных частиц с многокомпонентными материалами, в частности, полимерами, существенно обогащается, когда рассмотрение процесса ведется на уровне индивидуальных ион - атомных взаимодействий. В настоящее время значительно расширились возможности машинного моделирования таких сложных процессов, как развитие индивидуальных каскадов атомных столкновений. Типичный каскад, в котором первично выбитому атому (ПВА) передано в упругом столкновении несколько килоэлектронвольт, приводит в движение 102-103 атомов и охватывает значительную область вдоль трека частицы. Задавая потенциал ион - атомного взаимодействия, можно оценить такие важные для теоретических аспектов ионной имплантации величины, как пороговая энергия разделения каскадов на субкаскады , линейные размеры каскадов и субкаскадов. Анализируя число смещений в каскадах, можно говорить о точности простых, часто используемых на практике, аппроксимаций каскадной функции типа модели Кинчина – Пиза (КП). Появляется прекрасная возможность непосредственного получения спектров ПВА для многокомпонентных мишеней. Существуют два основных метода моделирования каскадов атомных столкновений: метод молекулярной динамики и метод Монте - Карло (МК). Применение первого из них к многокомпонентным мишеням чрезвычайно сложно и используется в основном при моделировании физического распыления мишени, в то время как в методе МК этот вопрос не столь актуален.

В работах [ , ] представлены результаты моделирование каскадов атомных столкновений в известном модельном полимере – полиметилметакрилате [С5H8O2 ]n. Расчет проводился с использованием программ TRIM [ ] и TREK-1 [ ]. В таблице 2.3 приведен пример небольшого типичного каскада атомных столкновений, возникающий при столкновении имплантируемого иона с первоначально покоившимся атомом С, который получил в результате упругого столкновения 364 эВ. Дальнейшая динамика столкновений ясна из таблицы 2.3. В таких небольших каскадах статистика столкновений, задаваемая по соответствующему правилу генератором случайных чисел, может не соблюдается. Чтобы увидеть разделение каскада на субкаскады, необходимо рассмотреть случай более высокой передачи энергии. По нашим оценкам, основанным на анализе большого числа каскадов, разделение на субкаскады при имплантации в ПММА происходит, если в первичном столкновении атому отдачи (AO) передана энергия порядка 1 кэВ. В таких каскадах расстояния между точкой остановки ПВА и вторично выбитыми атомами могут достигать десятков ангстрем.

Анализ большинства каскадов атомных столкновений с энергией ПВА порядка 1 кэВ, за исключением рассмотренных ниже, показал, что они имеют сложную структуру, которую можно отождествить с субкаскадами. Аналитические оценки Мелькера дают величину для кремния примерно равную 4,7 кэВ. Данных по для органических материалов в литературе нет. Результаты наших расчетов дают основания считать для полимерных материалов величину » 1 кэВ.

Анализ каскадов атомных столкновений показал, что использование универсального потенциала дает правильную статистику столкновений. Так, частота столкновений с атомами C практически соответствует его стехиометрическому составу. Для рассмотренного каскада вероятность столкновения с атомом С равна 0,323. Стехиометрическое количество – 0,333. Частота столкновений с атомом водорода ниже, а с атомом кислорода выше стехиометрической, что физически объяснимо.

Таблица 2.3.

Пример небольшого каскада атомных столкновений.

Тип иона	Энергия, эВ	Глубина, нм	Столкно-вение	Передан-ная энергия, эВ	Прицель-ный пара-метр, нм
B C C C C C C C C C C O	95917 360 329 269 218 207 162 52 35 74 32 16	19,7 19,8 19,7 19,8 20,1 20,1 20,1 21,0 21,0 19,9 19,5 19,3	C C C C C H C C O C O C	364 26 33 13 211 17 78 40 15 48 21 10	0,0057 0,0596 0,0557 0,0723 0,0061 0,0518 0,0360 0,0322 0,0664 0,0359 0,0487 0,0687

Для подобного типа каскада число смещений неплохо описывается формулами :

Nd = K ´ n(E) / Ed, n(E) = An ´ ln[1+e/( An+B)] , (2.6)

где Ed - пороговая энергия смещения, n(Е) – упругая составляющая переданной энергии, An=A/ ke, K=0,42 , А и В – константы в формуле Юдина для упругих потерь энергии (А=0,45, В=0,3). Число смещенных атомов, рассчитанных по формуле (2.6), равно 7, что прекрасно совпадает с данными таблицы 2.3. Результаты машинного моделирования показали, что в органических материалах (ОМ) из-за высокого относительного содержания атомов водорода могут развиваться специфические каскады атомных столкновений, названные нами "ионизационными". Их отличие от обычных столкновительных каскадов заключается в том, что почти вся энергия, полученная первично выбитым атомом, идет не на смещение атомов мишени, а на ионизацию среды. Такие каскады табл.2.4 наблюдаются в том случае, если первично выбитым атомом является водород. При имплантации иона бора кинематический коэффициент gB-H = 0,3. Поэтому ионы (100 кэВ ) могут передать атому Н энергию , достигающую нескольких десятков кэВ. В столкновении табл.5 ион бора передал атому водорода энергию 25,83 кэВ. Видно, что в таком каскаде всего три атома выбиты из положения равновесия. Расчет по формулам (2.6) дает величину Nd=19. Получено, что число подобных каскадов достаточно велико в связи с преобладанием атомов H во многих полимерах. Наличием существенного влияния таких каскадов можно объяснить то обстоятельство, что результаты расчета числа вакансий при учете движения АО и без него ( быстрый МК расчет ) не совпадают. В последнем случае полное число вакансий рассчитывается по модели КП, дающей, как видно, значительную ошибку для “ионизационного” каскада. В качестве выхода из создавшегося положения мы предприняли попытку корректировки константы K в формуле КП. Для этого проведен расчет числа радиационных дефектов (РД), созданных одной частицей, при имплантации в ПММА ионов с различным Z с энергиями (50, 100 и 200 кэВ). Вычисления выполнены в каскадном варианте программы TRIM, бескаскадном варианте той же программы, а также с помощью TREK-1. Отметим, что под РД мы понимаем разрыв молекулярных цепочек [21]. Сравнивая величину , полученную разными методами, мы пришли к следующим выводам:

Таблица 2.4

Пример "ионизационного" каскада в ПММА, возникшего при передаче в упругом столкновении атому водорода 25830 эВ.

Тип Иона	Энергия, эВ	Глубина, нм	С кем столкнулся	Переданная энергия, эВ	Прицельный параметр, нм
B H H H H H H H H C	63438 8856 2529 2144 1928 1198 982 738 593 22	552 2743 3559 3608 3635 3763 3815 3886 392,5 376,0	H C H O C C C C C C	25830 15 24 12 27 40 14 10 10 18	0,001 0,006 0,005 0,012 0,008 0,008 0,013 0,016 0,017 0,038

1. При моделировании облучения ПММА протонами (каскады практически не возникают) все три способа моделирования дают один и тот же результат.

2. Уже при моделировании имплантации ионов наблюдаются отклонения беcкаскадных расчетов от каскадных в пределах%. Причем, беcкаскадные расчеты дают более высокое значение РД.

3. При расчете числа дефектов, создаваемых при облучении легкими ионами ( ) разница в возрастает, достигая%. И опять беcкаскадные расчеты дают завышение .

4. При моделировании имплантации ионов с M > 40 разница в величинах достигает насыщения, составляя% . При этом, с данными каскадных расчетов лучше согласуются результаты вычислений по TRIM 85, чем по бескаскадной версии TRIM 95.

На рис.2.3 приведены результаты вычислений для двух энергий - 50 и 200 кэВ . Кривые 1,3 - соответствуют бескаскадным расчётам (TREK-1 ), 2,4 – каскадным. Величину Ed, разделяющую "фононный" процесс и выбивание атома из своего равновесного положения, полагали равной 20 эВ. Относительно выбора величины Ed в органических материалах имеется неопределенность. В первых работах по моделированию имплантации в ПММА величина Ed полагалась равной 20 эВ без всякого обоснования. Ввести Ed для ОМ можно таким же образом, как было сделано Зейтцем для классических твердых тел. В этом случае энергию, необходимую для адиабатического смещения атома из положения равновесия в междоузлие, нужно заменить усредненным для данного полимера значением энергии, требуемой для разрыва химической связи. Такой подход, примененный к ПММА, дает величину, близкую к 20 эВ.

Учитывая важность расчетов Nv для определения величины радиационно - химического выхода деструкции , а также то обстоятельство, что каскадные расчеты при моделировании облучения тяжелыми ионами, которые особенно интенсивно используются для ионно-лучевой литографии (ИЛЛ), занимают много времени, мы модифицировали схему расчета Nd . Расчет величины Nd проводили по формуле ( 1 ) с K = 0,1 , если в качестве ПВА выступал атом H, что значительно улучшило сходимость с каскадным вариантом TRIM. Тогда простой алгоритм TREK-1 можно включить в перечень технологических программ. Время решения типичной задачи ионно-лучевой литографии составитс.

Рис. 2.3. Зависимость числа радиационных дефектов от заряда налетающих частиц :

расчёт по программе TREK-1 ( без каскадов ) : 1 – 200 кэВ, 3 – 50 кэВ ;

расчёт по программе TRIM 95 ( каскадный вариант ) :кэВ, 4 – 50 кэВ.

Важным вопросом, решаемым в процессе проведения вычислений методом МК, является выяснение роли атомов отдачи (АО) в основных физических процессах, сопровождающих прохождение заряженных частиц через мишень. В [ ] представлены результаты расчетов с учетом движения атомов отдачи для ионов различных масс внедренных в ПММА в диапазоне энергийкэВ. Число рассмотренных траекторий первичных ионов - , что позволяет набрать статистику по АО от 104 для легких частиц, до 106 для тяжелых ионов высокой энергии. Результаты проведенных расчетов с учетом движения АО позволяют сделать ряд общих выводов о роли АО в ионизации среды и образование радиационных дефектов (РД) и будут справедливы при моделировании имплантации неорганических материалов.

1. При облучении полимеров протонами и ионами He+ основной вклад в ионизацию среды и формирование РД вносят сами внедряемые частицы. Роль АО существенна только в "фононных" процессах.

2. При моделировании имплантации легких ионов по мере роста их энергии начинает проявляться вклад АО в названные процессы, и при E > 50 кэВ зависимость описывается кривой со слабо выраженным максимумом в конце траектории (рис.2.4). При этом, во всем диапазоне рассматриваемых энергий >> .

Рис. 2.4. Зависимость неупругих потерь энергии для случая имплантации ионов с энергией 50 кэВ в ПММА: 1 – вклад имплантированных ионов, 2 – вклад атомов отдачи.

3. По мере роста энергии имплантируемых ионов средних масс 10 < М < 40 возрастает вклад АО в ионизацию среды и образование РД. Зависимость неупругих потерь энергии от глубины мишени описывается кривой с максимумом, который проявляется тем лучше, чем больше масса имплантируемых частиц. Величина неупругих потерь энергии атомов отдачи в рассматриваемом случае достаточно велика, чтобы вызывать деструкцию полимера и в области R > . При E > 50 кэВ значение в максимуме превышает величину в приповерхностной области.