Аналитическая геометрия (стр. 2 )

Выполним чертеж.

Пусть А(1, 3, -5); В(2,-2, 4); С(5, 6, -8); D(-4, 2, 7).

1. Уравнение плоскости, проходящей через точки , , имеет вид:

Составим уравнение плоскости АВС:

Вычисляя определитель, получим

Аналогично получим уравнения других граней тетраэдра

ACD:

ABD:

BCD:

2. Поскольку искомая плоскость и плоскость BCD параллельны, то их нормальные век­торы можно считать совпадающими. Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , имеет вид:

В нашем случае имеем:

или

3. Уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векто­рам и , имеет вид:

Искомая плоскость проходит через точку. А(1, 3, -5) и параллельна векторам и Запишем уравнение этой плоскости

или

4. Плоскость разбивает пространство на два полупро­странства с границей α, которые задаются неравенствами:

или

Для того чтобы определить, каким из неравенств задается данное полупространство, дос­таточно в левую часть уравнения плоскости α подставить координаты любой точки, при­надлежащей этому полупространству, и определить знак полученного числового выраже­ния.

В рассматриваемом случае, тетраэдр АВСD лежит по отношению к плоскости АВС в том полупространстве, которому принадлежит точка D. Найдем неравенство, задающее это полупространство. Для этого в левую часть уравнения плоскости АВС подставим коорди­наты точки D:

Таким образом, искомое полупространство задается неравенством:

Аналогично получим неравенства, задающие три других полупространства:

5. Составим уравнения ребра СВ. Для этого используем уравнения прямой, проходящей через две точки и :

В нашем случае они примут вид:

или

6. Уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , записываются следующим образом:

Искомая прямая проходит через точку А, координаты которой даны, и ее направляющим вектором может служить вектор Тогда ее уравнениями являются

7. Объем тетраэдра ABCD

В нашем случае

8. Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов и Если , , , то формула для нахожде­ния площади треугольника имеет вид:

Так как (1, -5, 9), (4, 3, -3) , то

9. Косинус угла между векторами и находится по формуле:

Найдем косинус угла АВС. Так как (-1, 5, -9), (3, 8, -12) , то

10. Двугранный угол при ребре CВ – это угол между плоскостями АВС и ВСD, который равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. Нормальный вектор плоско­сти АВС имеет координаты (-12, 39, 23), а плоскости ВСD – (24, 21,20). По формуле для нахождения косинуса угла (см. предыдущий пункт) получим:

11. Объем тетраэдра равен

Так как объем тетраэдра и площадь грани АВС известны, то длина высоты, опущенной на эту грань равна

12. Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно век­тору , имеет вид:

Координаты точки D известны, координаты вектора равны (1,-5, 9). Тогда уравнение искомой плоскости

или

13. Высота DH тетраэдра, опущенная из точки D, перпендикулярна плоскости АВС, т. е. на­правляющий вектор прямой DH является нормальным вектором плоскости АВС. Он имеет координаты (-12, 39, 23). Воспользовавшись уравнениями прямой из пункта 6, запишем уравнения прямой DH

14. Для нахождения основания высоты достаточно решить систему уравнений, состоящую из уравнений прямой DH и плоскости АВС.

Предварительно запишем уравнения прямой DH в параметрической форме

Составим систему уравнений

Решив эту систему, получим

Таким образом, точка Н имеет координаты

15. Если точка Р симметрична точке D относительно плоскости АВС, то точка Н является серединой отрезка DР. Тогда координаты точки Р можно найти с помощью формул для нахождения координат точки, делящей отрезок пополам

, , .

Вычисляя по этим формулам, получим, что точка Р имеет координаты Р(.

ЗАДАЧА 3. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, заданной в декартовой системе координат xOy

.

(1)

Определить вид линии. Записать формулы преобразования координат. Построить чертеж.

Вариант	A	B	C	D	E	F
1	5	4	5	3	-2	5
2	9	-3	1	2	-5	4
3	23	36	2	-8	2	2
4	4	-2	1	2	6	-5
5	5	-3	5	1	-5	3
6	34	12	41	-7	2	2
7	9	-12	16	4	2	-3
8	2	6	-7	4	-7	2
9	1	1	1	4	-9	2
10	29	72	71	-20	15	-50
11	40	18	25	-4	-7	1
12	9	-12	16	-10	55	-50
13	9	-12	16	15	-20	-25
14	9	-6	4	1	-2	4
15	9	-3	1	-3	-9	-90
16	25	18	40	-17	-58	89
17	16	-12	9	-44	33	121
18	9	-6	4	5	-8	12
19	5	2	2	-16	-28	80
20	5	6	0	-11	-6	-19
21	1	-2	4	2	1,5	-7
22	-1	-6	4	0,5	1	-2
23	4	-6	9	-1	1,5	-2
24	9	-2	6	8	-4	-2
25	8	3	0	-13	-6	11
26	1	-2	1	-5	-3	25
27	6	-4	0	2	-3	4
28	4	-2	1	-3	1,5	-4
29	2	2	5	-3	-4	-1
30	1	-6	-4	6	4	5
31	9	12	16	-115	55	-475
32	0	4	-6	-2,5	2,5	-2
33	4	-6	9	-10	15	16
34	5	3	5	-3	-5	-3
35	0	6	5	-6	-11	-19
36	4	-2	1	-1,5	2	-7
37	4	-4	10	-4	-22	-5
38	4	2	1	8	4	15
39	1	1	1	-9	4	2
40	71	72	29	15	-20	-50
41	25	18	40	-7	-4	1
42	16	-12	9	55	-10	-50
43	16	-12	9	-20	15	-25
44	4	-6	9	-2	1	4
45	1	-3	9	-9	-3	-90
46	40	18	25	-58	-17	89
47	9	-12	16	33	-44	121
48	4	-6	9	-8	5	12
49	2	2	5	-28	-16	80
50	0	6	5	-6	-11	-19

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 3.

Пусть

.

(2)

Имеем

Вариант	A	B	C	D	E	F
0	1	-4	7	3	-3	9

Повернем систему координат xOy вокруг точки О на угол α. Получим новую систему ко­ординат x′Oy′. Формулы преобразования координат имеют вид:

.

(3)

Подставив формулы (3) в уравнение (1), получим уравнение линии γ в системе координат x′Oy′:

,

(4)

где

(5)

Если , то найдем угол α так, чтобы , то есть

(6)

или

(7)

Для рассматриваемого случая получим

(8)

Корни уравнения (8) равны

Не ограничивая общности, рассмотрим положительный корень, а также будем считать, что угол α находится в первой четверти. По данному значению тангенса найдем синус и косинус угла α по формулам:

и .

(9)

Подставив значения A, B, C, D, E, F, а также синуса и косинуса в формулы (5), найдем уравнение линии (2) в системе координат x′Oy′.

(10)

Таким образом, получаем

.

(11)

В уравнении (11) сгруппируем члены с x′ и y′ и дополним выражения в скобках до полного квадрата

или

.

(12)

Перейдем от системы координат x′Oy′ к системе координат XO′Y, осуществив параллель­ный перенос начала координат по формулам

(13)

Тогда в системе координат XO′Y линия (2) будет иметь уравнение

(14)

или

(15)

Итак, мы получили каноническое уравнение гиперболы. Чтобы записать формулы преоб­разования координат достаточно в формулы (3) подставить формулы (13) и значения си­нуса и косинуса угла α из формул (9). В результате получим:

(16)

Из формул (16) определим координаты новых базисных векторов и нового начала коорди­нат в «старой» системе координат xOy:

, и .

(17)

Выполним чертеж.

y'
Y	y
X
x'
О'
x