Аналитическая геометрия (стр. 1 )

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИНАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАЕИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И

КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

Кафедра Алгебры и Математической логики

В. Г.ШАРМИН

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методический комплекс

Дидактические материалы для самоконтроля, текущего контроля знаний. Сборник заданий.

010101.65 – математика

Тюмень 2009

Шармин геометрия.

Учебно-методический комплекс.

Дидактические материалы для самоконтроля, текущего контроля знаний. Сборник заданий для студентов специальности «Математика». Тюмень: 2009, 32 с.

Дидактические материалы для самоконтроля, текущего контроля знаний. Сборник заданий для студентов специальности «Математика» соответствуют требованиям ГОС ВПО для специальности «Математика»

Дидактические материалы для самоконтроля, текущего контроля знаний опубликованы, как раздел Рабочей учебной программы дисциплины «Аналитическая геометрия» на сайте ТюмГУ: http://www. umk. *****

Рекомендована к электронному изданию кафедрой алгебры и математической логики Института математики и компьютерных наук. Утверждена проректором по учебной работе ТюмГУ.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: , д. ф.-м. н., профессор

© Тюменский государственный университет, 2009

© , 2009

Пояснительная записка.

Настоящие методические указания предназначены для студентов следующих специальностей и направлений: «Математика», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Прикладная информатика в экономике», «Информационные системы и технологии», «Компьютерная безопасность», «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», «Механика. Прикладная математика» и «Математика. Компьютерные науки». Они также могут быть использованы при обучении студентов других естественнонаучных направлений и специальностей.

Методические указания содержат образцы решений традиционных для курса «Аналитической геометрии» задач. Поэтому данное пособие сборник использовать в комплексе с любыми имеющимися в распоряжении преподавателя и студента учебниками и задачниками.

Каждое задание методических указаний имеет 25 вариантов и направлено на формирование у студентов умения решать типовые задачи по определенной теме. Различные варианты в задании, как правило, имеют одинаковую степень трудности, что дает возможность более объективно подойти к контролю знаний студентов.

Ниже приведены образцы решения некоторых типичных задач для подготовки к контрольным работам, а также задания для самостоятельного решения.

ЗАДАЧА 1. Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декар­товой системе координат. Найти:

1.  Уравнения сторон треугольника.

2.  Уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно стороне AB.

3.  Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.

4.  Периметр треугольника ABC.

5.  Углы треугольника ABC.

6.  Длину высоты СН.

7.  Уравнение медианы АМ.

8.  Уравнение высоты СН.

9.  Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;

10.  Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.

11.  Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.

12.  Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.

Сделать чертеж.

ВАРИАНТЫ.

1.  А(-5,2); В(5,7); С(1,-1). 2.  А(-1,11); В(14,6); С(2,2). 3.  А(4,0); В(-6,-5); С(-2,3). 4.  А(4,-8); В(-11,-3); С(1,1). 5.  А(-11,-10); В(13,17); С(1,1). 6.  А(-6,5); В(4,10); С(0,2). 7.  А(-3,11); В(12,6); С(0,5). 8.  А(2,-3); В(-10,-8); С(-6,0). 9.  А(4,-2); В(-11,3); С(1,7). 10.  А(-10,9); В(14,6); С(2,0). 11.  А(-3,3); В(7,8); С(3,0). 12.  А(-1,9); В(14,4); С(2,0). 13.  А(10,-4); В(0,-9); С(4,-1). 14.  А(-1,-7); В(-16,0); С(-4,2). 15.  А(-12,11); В(12,18); С(0,3). 16.  А(2,9); В(12,14); С(8,6). 17.  А(0,16); В(15,5); С(3,1). 18.  А(1,-2); В(-9,-7); С(-5,1). 19.  А(0,-6); В(-15,-1); С(-3,3). 20.  А(-9,9); В(15,16); С(3,0). 21.  А(-7,7); В(3,12); С(-1,4). 22.  А(-2,12); В(13,7); С(1,3). 23.  А(7,-6); В(-3,11); С(1,-3). 24.  А(1,-5); В(-14,0); С(-2,4). 25.  А(-4,15); В(20,22); С(8,6).

26.  А(-5,8); В(5,13); С(1,5). 27.  А(1,7); В(16,2); С(4,-2). 28.  А(9,-5); В(-1,-10); С(3,-2). 29.  А(4,-10); В(-11,-5); С(1,-1). 30.  А(-13,13); В(11,20); С(-1,4). 31.  А(1,4); В(11,9); С(7,1). 32.  А(2,8); В(17,3); С(5,-1). 33.  А(0,-7); В(-10,-12); С(-6,-4). 34.  А(2,-8); В(-13,-3); С(-1,1). 35.  А(-11,14); В(13,21); С(1,5). 36.  А(-8,6); В(2,11); С(-2,3). 37.  А(3,9); В(18,4); С(6,0). 38.  А(5,-1); В(-5,-6); С(-1,2). 39.  А(3,-7); В(-12,-2); С(0,2). 40.  А(-5,10); В(19,17); С(7,1). 41.  А(2,5); В(12,10); С(8,2). 42.  А(-2,4); В(13,-1); С(1,-5). 43.  А(8,-3); В(-2,-8); С(2,0). 44.  А(5,-9); В(-10,-4); С(2,-3). 45.  А(-14,12); В(10,19); С(-2,3). 46.  А(-2,2); В(8,7); С(4,-1). 47.  А(-2,10); В(13,5); С(1,1). 48.  А(6,-1); В(-4,-6); С(0,2). 49.  А(3,-9); В(-12,-4); С(0,0). 50.  А(-4,11); В(20,18); С(8,2).

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 1.

Пусть А(-3,10); В(2,13); С(8,-2).

1. Составим уравнение стороны АВ треугольника АВС. Для этого используем уравнение прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и В(x1.y1):

.

В нашем случае оно примет вид:

или

Аналогично находятся уравнения остальных сторон треугольника АВС:

АС:

ВС:

2. Составим уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно прямой АВ. Поскольку прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Уравнение искомой прямой можно составить, как уравнение прямой, проходящей через данную точку C(x0,y0) перпендикулярно данному вектору :

В нашем случае С(8,-2) и Имеем:

или

3.Прямая лежащая на плоскости, разбивает ее на две полуплоско­сти с границей l, которые задаются неравенствами:

или

Для того чтобы определить, каким из неравенств задается данная полуплоскость доста­точно в левую часть уравнения прямой l подставить координаты любой точки, принадле­жащей этой полуплоскости, и определить знак полученного числового выражения.

В рассматриваемом случае, треугольник АВС лежит по отношению к прямой АВ в той полуплоскости, которой принадлежит точка С. Найдем неравенство, задающее эту полу­плоскость. Для этого в левую часть уравнения прямой АВ подставим координаты точки С:

Таким образом, искомая полуплоскость задается неравенством:

Аналогично получим неравенства, задающие две другие полуплоскости:

и

4. Длина отрезка с концами А(x0,y0) и В(x1.y1) вычисляется по формуле:

.

Тогда

Аналогично

Таким образом, периметр треугольника АВС равен

лин. ед.

5. Косинус угла между векторами и находится по формуле:

Найдем косинус угла ВАС. Так как вектор с началом в точке А и концом в точке В имеет координаты (5,3), а вектор с началом в точке А и концом в точке С имеет координаты (11,-12), то получим:

Аналогично вычисляя, получим:

и .

6. Для нахождения длины высоты СН воспользуемся формулой, с помощью которой вы­числяется расстояние от точки до прямой

Итак, для рассматриваемой задачи:

7. Найдем уравнение медианы АМ. Для этого сначала вычислим координаты точки М, а потом составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Точка М делит отре­зок ВС пополам, поэтому ее координаты равны:

и .

Тогда уравнение прямой АМ имеет вид:

или

8. Прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент k, зада­ется уравнением:

Прямые СН и АВ перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты удовлетворяют условию , а так как угловой коэффициент прямой АВ равен , то угло­вой коэффициент прямой СН равен . Запишем уравнение прямой СН:

или

9. Прямая ВК проходит через точки В и К. Координаты точки В известны. Чтобы найти ко­ординаты точки К достаточно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых АМ и СН:

решением которой является К

Теперь можно записать уравнение прямой ВК, так как известны координаты двух точек, через которые она проходит.

10. Точка Р – точка пересечения биссектрисы внутреннего угла С со стороной АВ. Осно­вание биссектрисы внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Тогда точка Р делит сто­рону АВ в отношении Найдем координаты точки Р

и

Далее остается записать уравнение прямой, проходящей через точки С и Р:

Упрощая последнее уравнение, получим:

11. Прямая A1B1 симметрична прямой АВ относительно точки С. Тогда точка С является серединой отрезков АА1 и ВВ1.

Координаты точек А, В и С известны. По формулам для вычисления координат точки, де­лящей отрезок пополам, найдем координаты точек A1 и B1.

A1(19, -6) и В1(14, -17).

Далее можно записать уравнение прямой, проходящей через две точки.

12. Точка С1, симметричная точке С, принадлежит прямой СН, и точка Н является середи­ной отрезка СС1.

Поэтому найдем координаты точки Н, как точки пересечения прямых СН и АВ:

Решив последнюю систему уравнений, получим, что Н

Найдем координаты точки С1:

и

ЗАДАЧА 2. Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин в декартовой системе ко­ординат. Найти:

1.  Уравнения граней тетраэдра.

2.  Уравнение плоскости, проходящей через вершину A параллельно грани BCD.

3.  Уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.

4.  Систему неравенств, задающую внутреннюю область тетраэдра.

5.  Уравнение ребра СВ.

6.  Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру СВ.

7.  Объем тетраэдра.

8.  Площадь грани АВС.

9.  Угол АВС.

10.  Двугранный угол при ребре СВ.

11.  Длину высоты, опущенной из вершины D.

12.  Уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной ребру АВ.

13.  Уравнение высоты тетраэдра, проходящей через точку D.

14.  Основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.

15.  Координаты точки Р симметричной точке D относительно грани АВС.

Сделать чертеж.

Варианты	точки	x	y	z	точки	x	y	z
1	A	3	-10	4	C	5	6	-1
	B	9	9	4	D	2	6	3
2	A	8	-10	7	C	6	3	-8
	B	7	3	7	D	8	5	3
3	A	4	-7	8	C	5	8	-1
	B	8	3	4	D	8	1	5
4	A	7	-5	3	C	5	7	-4
	B	7	5	8	D	9	6	5
5	A	8	-8	8	C	7	8	-10
	B	9	5	5	D	3	8	6
6	A	8	-10	6	C	3	9	-10
	B	5	-6	2	D	8	8	-9
7	A	5	-7	5	C	9	8	-7
	B	7	9	7	D	8	9	5
8	A	9	8	6	C	4	9	4
	B	8	-9	5	D	6	9	-7
9	A	6	8	3	C	5	8	6
	B	5	8	9	D	7	9	9
10	A	9	9	8	C	4	8	9
	B	9	-6	6	D	9	8	-5
11	A	4	7	9	C	1	9	1
	B	9	-9	3	D	8	6	-5
12	A	5	8	1	C	2	3	9
	B	3	-6	7	D	8	8	-8
13	A	9	9	8	C	7	3	8
	B	9	-9	6	D	4	6	-6
14	A	9	9	6	C	5	6	5
	B	3	-8	7	D	9	8	-8
15	A	6	7	8	C	5	9	6
	B	7	-7	4	D	6	8	-9
16	A	7	-7	0	C	6	2	-4
	B	5	-2	0	D	8	9	-3
17	A	7	4	8	C	9	6	6
	B	5	6	4	D	8	5	3
18	A	3	-5	3	C	9	6	-8
	B	0	2	2	D	3	6	6
19	A	6	6	3	C	2	9	4
	B	9	4	9	D	4	5	5
20	A	6	2	9	C	4	7	8
	B	3	-9	7	D	5	4	-5
21	A	7	9	9	C	7	7	9
	B	3	-6	9	D	6	7	-8
22	A	3	6	6	C	8	6	9
	B	8	-7	4	D	6	6	-5
23	A	8	3	9	C	7	1	9
	B	6	-10	7	D	7	9	-10
24	A	9	6	4	C	8	5	2
	B	8	-9	6	D	1	6	-4
25	A	9	-7	5	C	7	6	-4
	B	8	-5	8	D	2	5	-4
26	A	8	8	3	C	7	3	9
	B	8	9	7	D	8	3	7
27	A	8	-5	9	C	4	9	-5
	B	9	9	7	D	7	8	8
28	A	1	5	5	C	8	5	3
	B	3	7	6	D	3	9	6
29	A	6	9	3	C	9	3	5
	B	9	7	6	D	6	4	7
30	A	8	-6	2	C	4	7	-6
	B	2	7	9	D	4	6	9
31	A	8	-7	7	C	8	5	-8
	B	7	9	9	D	0	6	3
32	A	8	-4	1	C	8	7	-4
	B	2	6	8	D	4	8	2
33	A	7	-9	3	C	3	8	-9
	B	8	4	6	D	9	5	7
34	A	6	-5	9	C	6	5	-10
	B	9	-4	9	D	7	5	-10
35	A	8	-6	5	C	9	6	-5
	B	6	3	8	D	9	9	7
36	A	4	8	4	C	8	5	7
	B	8	-8	6	D	9	5	-8
37	A	6	7	1	C	8	4	8
	B	7	7	8	D	7	7	7
38	A	4	9	9	C	7	1	8
	B	8	5	9	D	7	5	7
39	A	9	-3	8	C	6	3	-10
	B	5	9	7	D	6	2	2
40	A	9	-7	3	C	8	6	-4
	B	5	5	8	D	6	4	9
41	A	8	-7	4	C	7	6	-3
	B	7	3	7	D	7	6	9
42	A	9	-10	6	C	8	7	-7
	B	6	3	5	D	9	3	8
43	A	5	-8	9	C	8	7	-6
	B	6	-5	5	D	5	5	-4
44	A	4	-2	7	C	9	8	-7
	B	9	4	7	D	5	2	7
45	A	9	4	8	C	4	4	7
	B	5	-9	7	D	6	5	-7
46	A	7	1	4	C	7	4	8
	B	9	6	9	D	7	8	4
47	A	8	9	4	C	7	6	5
	B	3	9	9	D	8	4	5
48	A	7	5	9	C	4	6	7
	B	4	-10	3	D	2	8	-7
49	A	4	5	9	C	7	9	6
	B	8	-6	8	D	4	4	-7
50	A	9	9	2	C	9	3	6
	B	6	-2	4	D	7	1	-9

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 2.