Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Российская академия народного хозяйства и государственной службы

при Президенте Российской Федерации

Факультет финансов и банковского дела

ВВЕДЕНИЕ

В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

студент__1 курса ___________________________________________

___________________________________________________________

____________________________________________________________

группы №______

Москва

2012

Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. Элементы теории множеств

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают некоторую совокупность объектов различной природы, объединенных по каким–либо общим признакам.

Объекты, составляющие множество называются его элементами. Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита или , а элементы, составляющие множество принято обозначать малыми буквами латинского алфавита .

Множество называется конечным, если количество его элементов можно выразить каким - то определенным числом, в противном случае называется бесконечным.

Число элементов конечного множества называется его мощностью.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Ø.

Для числовых множеств в математике приняты определенные обозначения: - множество натуральных чисел; - множество целых чисел; - множество рациональных чисел; - множество действительных чисел.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если любой элемент из является элементом , то множество называется подмножеством множества , что обозначается как .

Два множества и называются равными, то есть , если их элементы совпадают или, если, что то же самое, и .

Если и , то называется строгим (собственным) подмножеством множества и обозначается как .

Пересечением двух множеств и называется множество =, состоящее из элементов, которые принадлежат и множеству и множеству.

Объединением двух множеств и называется множество =, состоящее из элементов, которые принадлежат одному из множеств, либо , либо .

Разностью двух множеств и называется множество =, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству , и не принадлежат множеству .

Дополнением множества до множества называется множество С=, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству .

Считают, что между множествами и установлено соответствие, если для любого элемента указаны соответствующие ему элементы .

Соответствие между и называется взаимно-однозначным, если для любого элемента существует единственный элемент и, наоборот, для любого элемента существует единственный элемент .

Два множества называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

2. Понятие функции одной переменной

Пусть даны два непустых множества и . Соответствие (закон) , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается .

При этом является независимой переменной или аргументом, - зависимой переменной или значением функции, множество называется областью определения функции, множество - областью значений функции, а буква f обозначает закон соответствия.

Функция может быть задана тремя основными способами: аналитически, таблично или графически.

Функция называется возрастающей на , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция, только возрастающая или только убывающая на , называется монотонной.

Функция называется четной, если и нечетной, если. Иначе называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция , определенная на множестве называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует число , такое что для всех выполняется неравенство . Иначе функция называется неограниченной.

Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при любом значение и . При этом число называется периодом функции.

Функция называется явной, если она задана, в которой правая часть не содержит зависимой переменной и неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной.

Пусть есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией от переменной , определенной на множестве с областью значений . Тогда заданная на множестве функция называется сложной функцией.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

К основным элементарным относятся следующие функции: степенная функция у=хα, αR; показательная функция у=ах, а › 0, а≠1; логарифмическая функция y=logax, а › 0, а≠1; тригонометрические формулы и обратные тригонометрические формулы.

При нахождении области определения элементарной функции надо обращать внимание на следующие моменты:

1) дробные выражения определены только для тех значений, при которых знаменатель отличен от нуля;

2) корни четной степени определены только для тех значений , при которых подкоренное выражение неотрицательно;

3) функция y=logax определена для ; определена на всей числовой оси, исключая точки , ; определена на всей числовой оси, исключая точки , ; определена на всей числовой оси, исключая точки , ; и определены при .

Если аналитическое выражение функции представляет собой алгебраическую сумму нескольких слагаемых или произведение нескольких сомножителей, то область определения функции находится как пересечение областей определения всех слагаемых или всех сомножителей.

Пример. Найти область определения функции .

Решение. Находим решение системы неравенств . Область определения данной функции есть пересечение трех областей: = (рис.1).

Ответ: или .

3. Числовая последовательность и ее предел

Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность {}: .

Другими словами, числовая последовательность — это функция натурального аргумента: .

При этом числа называются членами последовательности, число — общим или - м членом данной последовательности.

Число называется пределом числовой последовательности , если для любого сколько угодно малого числа , существует такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Геометрический смысл предела числовой последовательности состоит в том, что при все члены последовательности будут заключены в -окрестности точки , какой бы узкой она не была. Вне этой окрестности может быть только конечное число членов данной последовательности (рис.2).

Пример. Показать, что предел

Решение.

Ответ: число является пределом последовательности с общим членом .

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε (сколь малым бы мы его не взяли) существует номер такой, что при выполняется неравенство.

Пример. Показать, что последовательность с общим членом является бесконечно малой.

Решение. .

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А (сколь большим бы мы его не взяли) существует номер такой, что при выполняется неравенство , то есть какое бы большое число А мы не взяли, найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности окажутся больше А.

Пример. Показать, что последовательность с общим членом является бесконечно большой.

Решение. .

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Если - бесконечно малая последовательность, - бесконечно большая последовательность, , то и .

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3) Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Пример. Последовательность бесконечно малая, так как , последовательность - бесконечно большая, - бесконечно малая, - ограничена, так как . Следовательно, - бесконечно малая последовательность.

Свойства бесконечно больших последовательностей:

1. Произведение бесконечно большой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть бесконечно большая функция.

2. Сумма бесконечно большой функции и ограниченной функции есть бесконечно большая функция.

3. Частное от деления бесконечно большой функции на функцию, имеющую предел, есть бесконечно большая функция.

5. Предел функции

Число называется пределом функции при , стремящимся к (или в точке ), если для любого, даже очень малого числа , найдется такое число , что для всех и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Обозначается .

Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений , достаточно близких к , значения функции мало отличаются от числа (по абсолютной величине).

Число называется пределом функции при , если для любого числа , найдется такое число (), что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Примеры функций имеющих пределы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. не существует.

6. Основные теоремы о пределах

Пусть и .

Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела.

Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функции равен сумме пределов этих функций, то есть .

Теорема 3. Предел произведения конечного числа функции равен произведению пределов этих функций, то есть .

Следствия:

1. Предел постоянной равен самой постоянной, то есть .

2. Предел целой положительной степени переменной, имеющей предел, равен той же степени предела самого основания, то есть .

4. Постоянный множитель можно вынести за знак предела, то есть .

Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю, т. е. , где .

Теорема 5. Если и , то.

Теорема 6. Если в некоторой окрестности точки при достаточно больших имеет место неравенство , то предел .

Теорема 7. Если в некоторой окрестности точки функция заключена между двумя функциями и , т. е. , то функция имеет тот же предел .

7. Вычисление пределов

7.1. Непосредственное вычисление

Непосредственное вычисление заключается в непосредственном применении основных теорем о пределах без предварительного преобразования выражения под знаком предела и состоит в подстановке вместо аргумента его предельного значения.

Задания для решения в аудитории

Вычислить предел:

7.2. Раскрытие неопределенностей вида

В этом случае числитель и знаменатель необходимо разложить на множители и сократить. Часто для этого используются формулы: , где ; ; .

Пример. .

Иногда в случае неопределённости можно и числитель, и знаменатель умножить на сопряжённое выражение для числителя или знаменателя.

Задания для решения в аудитории

Вычислить предел.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

7.3. Раскрытие неопределенностей вида

В этом случае числитель и знаменатель необходимо разделить на переменную в наибольшей степени.

Пример.

Таким образом, если числитель и знаменатель дроби многочлен, то предел дроби при равен:

1. Отношению коэффициентов при старших степенях, если старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя;

2. Бесконечности, если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя;

3. Нулю, если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя.

Задания для решения в аудитории

Вычислить предел.

1. .

2. .

3. .

7.4. Раскрытие неопределенностей вида

В этом случае можно умножить на сопряжённое.

Пример.

Иногда необходимо привести к общему знаменателю.

Пример..

Задания для решения в аудитории

Вычислить предел.

1. .

2. .

8. Замечательные пределы

8.1. Первый замечательный предел

Первый замечательный предел: .

Частные случаи: ; ; ; ; ; ; ; ; .

Для нахождения первого замечательного предела часто требуется применить формулы тригонометрии: , , , , , .

Пример 1..

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6. .

Пример 7.

Задания для решения в аудитории

Вычислить предел.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

8. .

8.2. Второй замечательный предел

Второй замечательный предел: или .

Пример 1. .

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

. Выполним замену . Отсюда . Подставим в последний предел .

Задания для решения в аудитории

Вычислить предел.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

9. Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует , такое, что для , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Другими словами функция непрерывна в точке , если существует предел и он равен значению функции в этой точке, то есть .

Число называется пределом функции слева в точке , если для любого числа , существует число , такое что при , выполняется неравенство

Предел слева записывают так: .

Аналогично определяется предел функции справа: .

Пример. Найти правосторонний предел и левосторонний предел функции .

Решение. и .

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем . Если же , то не существует и функция не является непрерывной.

Точка называется точкой разрыва функции , если в точке не является непрерывной.

Разрывы функции можно классифицировать следующим образом:

1. Разрыв первого рода, точка называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы, т. е. .

2. Разрыв второго рода, точка называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию .