Арифметика в позиционных системах счисления

Арифметика в позиционных системах счисления

Двоичная система счисления является минимальной системой, в которой реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи числа. В двоичной системе счисления значение каждой цифры по месту при переходе от любого данного разряда к следующему старшему разряду увеличивается вдвое.

Принцип сложения в системе счисления с основанием p.

Сложение осуществляется поразрядно. В каждом разряде цифры складываются, как десятичные цифры Затем результат переводится в p-ичную систему счисления. Пишется цифра, полученная в разряде единиц полученного числа, цифра из разряда десятков полученной суммы, если она есть, переходит в следующий разряд.

Арифметика двоичной системы счисления

Арифметика двоичной системы счисления, как и всякой другой позиционной системы, основывается на использовании таблиц сложения и умножения цифр.

+	0	1		*	0	1
0	0	1		0	0	0
1	1	10		1	0	1

Сложение 1 1 + 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 + 1 0 1 1 1 1 , 0 0 1 1 0 1 0 1 , 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 1 1 1

Умножение * 1 1 0 1 1 0 1 + 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1

Деление

| 101

101 |

110

101

110

101

110

101

111

101

101

101

0

Вычитание

 

					•	•		1
-	1	0	1	1	1	1	,	0	0	1
		1	0	1	0	1	,	1	1	0
		1	1	0	0	1	,	0	1	1

	•	•				•		•
-	1	1	0	0	0	1	,	1	0	1
		1	0	1	0	1	,	1	1	0
		1	1	0	1	1	,	1	1	1

Арифметика восьмеричной СС

Сложение:

1	1	1
+	7	2	6	8
	1	5	4	8
1	1	0	2	8

1) 68 + 48 = 610 + 410 = 1010 = 128. 2 пишем, 1 переходит в следующий разряд.

2) 28 + 58 + 18 = 210 + 510 + 110 = 810 = 108. 0 пишем, 1 - в уме.

3) 78 + 18 + 18 = 710 + 110 + 110 = 910 = 118. 1 пишем, 1 – в уме.

4) Пишем 1. Получаем 11028.

Умножение: по шагам:

* 7 2 6 8 2 3 8 + 2 6 0 2 8 1 6 5 4 8 2 1 3 4 2 8

1) Умножаем на 3: 2 1 2 * 7 2 6 8 3 8 2 6 0 2 8

2) Умножаем на 2: 1 1 * 7 2 6 8 2 8 1 6 5 4 8

3) Складываем: 1 1 + 2 6 0 2 8 1 6 5 4 8 2 1 3 4 2 8

1)  Умножаем на 3:

a.  68 * 38 = 610 * 310 = 1810 = 228. Пишем 2, 2 переходит в следующий разряд.

b.  7 * 0 + 6 = 6. Пишем 6.

c.  916 * 716 = 910 * 710 = 6310 = 3F16. Пишем F, 3 переходит в следующий разряд.

d.  Пишем 3. Получаем BB016.

2)  Умножаем на А:

a.  E16 * A16 = 1410 * 1010 = 14010 = 8C16. Пишем C, 8 переходит в следующий разряд.

b.  7 * 0 + 8 = 8. Пишем 8.

c.  916 * A16 = 910 * 1010 = 9010 = 5A16. Пишем A, 5 переходит в следующий разряд.

d.  Пишем 3. Получаем BB016.

3)  Складываем:

a.  Сносим 2.

b.  616 + С16 = 610 + 1210 = 1810 = 1216. Пишем 2, 1 переходит в следующий разряд.

c.  F16 + 816 + 116= 1510 + 810 + 110= 2410 = 1816. Пишем 8, 1 переходит в следующий разряд.

d.  316 + A16 + 116= 310 + 1010 + 110= 1410 = E16. Пишем E.

e.  Сносим 5. Получили 5E82216.

Вычитание:

	•
–	7	2	6	8
	1	5	4	8
	5	5	2	8

1) 68 – 48 = 610 – 410 = 210 = 28. Пишем 2.

2) 28 – 58 не получается, занимаем из следующего разряда 1 (т. е. 8, вспомните десятичную сс): 28 + 88 = 210 + 810 = 1010. Теперь вычитаем: 1010 – 510 = 510 = 58. Пишем 5.

3) 7 – 1 (занимали) – 1 = 5. Пишем 5. Получаем 5528.

Арифметика шестнадцатеричной СС

Сложение:

	1	1
+	1	B	C	16
	9	F	4	16
	B	B	0	16

1) C16 = 12+ 4 = 1610 = 1016. Пишем 0, 1 переходит в следующий разряд.

2) B16 + F16 + 116 = 1110 + 1510 + 110 = 2710 = 1B16. Пишем B, 1 – в уме.
3) 1 + 1 + 9=1110 = B16 . B пишем. Получаем BB016.

Умножение: по шагам:

* 9 0 E 16 7 16 3 F 6 2 16 5 A 8 C 16 5 E 8 2 2 16

1) Умножаем на 7: 3 6 * 9 0 E 16 7 16 3 F 6 2 16

2) Умножаем на A: 5 8 * 9 0 E 16 A 16 5 A 8 C 16

3) Складываем: 1 1 + 3 F 6 2 16 5 A 8 C 16 5 E 8 2 2 16

1)  Умножаем на 7:

f.  E16 * 716 = 1410 * 710 = 9810 = 6216. Пишем 2, 6 переходит в следующий разряд.

g.  7 * 0 + 6 = 6. Пишем 6.

h.  916 * 716 = 910 * 710 = 6310 = 3F16. Пишем F, 3 переходит в следующий разряд.

i.  Пишем 3. Получаем BB016.

2)  Умножаем на А:

j.  E16 * A16 = 1410 * 1010 = 14010 = 8C16. Пишем C, 8 переходит в следующий разряд.

k.  7 * 0 + 8 = 8. Пишем 8.

l.  916 * A16 = 910 * 1010 = 9010 = 5A16. Пишем A, 5 переходит в следующий разряд.

m.  Пишем 3. Получаем BB016.

3)  Складываем:

n.  Сносим 2.

o.  616 + С16 = 610 + 1210 = 1810 = 1216. Пишем 2, 1 переходит в следующий разряд.

p.  F16 + 816 + 116= 1510 + 810 + 110= 2410 = 1816. Пишем 8, 1 переходит в следующий разряд.

q.  316 + A16 + 116= 310 + 1010 + 110= 1410 = E16. Пишем E.

r.  Сносим 5. Получили 5E82216.

Вычитание:

			•	15	16
–		E	7	0	1	16
			1	F	F	16
		E	5	0	2	16

1) 1 – F не получается. Занять у 0 тоже не получается. Занимаем у 7 единицу (т. е. 1+ 110 – 1510 = 2. Пишем 2.

2) 1510 – 1510 = 0. Пишем 0.

3) 7 – 1 (занимали) – 1 = 5. Пишем 5.

4) Сносим E. Получаем E5028.

Домашнее задание

1)  Составьте таблицы сложения и умножения в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

2)  Расчетные примеры – нужно выполнить в тетради, оформить с решением (не только ответы).

Двоичная СС

1.	1101+11101,1011=
2.	,1011=
3.	1011011*100=
4.	1011011:100=
5.	,0111+,11011=
6.	110111*11=
7.	,01,11011=
8.	1011101*101=
9.	+1111011=
10.	11011=

Шестнадцатеричная СС

1.	ABC, F+123,4=
2.	563,7+ED,4=
3.	111,9+FF,1=
4.	AC7,3-4B8,4=
5.	999,9-FF,1=
6.	111.9*45=

Восьмеричная СС

1.	745,1+123,7=
2.	563,7+10,4=
3.	125,6+37,3=
4.	257,3-171,4=
5.	333,3-777,7=
6.	234,5*21=