Геометрия 11-й класс (стр. 3 )

равны 6, 3 и 2 дм. 36 дм 3

6. Площадь трапеции равна 30 дм2, а высота 5 дм. Вычислите среднюю

линию трапеции. 6 дм

7. Радиус шара 12 см. На касательной плоскости лежит точка А, которая

удалена от точки касания на 5 см. На каком расстоянии находится точка

К от по­верхности шара? 1 см

8. Вычислите диагональ прямоугольного паралле­лепипеда, если его

измерения равны 6, 3 и 2 см. 7 см

9. Вершины прямоуголыюго треугольника лежат на сфере. Вычислите

расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если гипотенуза

его равна 24 см, а радиус сферы 13 см. 5 см

10. В окружность вписан прямоугольный треуголь­ник с катетами 12 и 5 см.

Вычислите длину окружно­сти. 13 см

11. В параллелепипеде длины ребер, исходящих из одной вершины, равны

2, 3 и 5 см. Вычислите сум­му длин всех ребер. 40 см

12. Секущая плоскость удалена от центра шара на расстояние 8 см, а радиус

шара равен 10 см. Вычис­лите площадь сечения шара. 36 см 2

13. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 5, 3 и 2 см. Вычислите

поверхность параллеле­пипеда. 62 см 2

14. Образующая конуса равна 10 см, а диаметр основания 12 см. Вычислите

площадь осевого сечения конуса. 48 см 2

15. Высота цилиндра равна 10 см, а радиус его 5 см. Плоскость пересекает

цилиндр параллельно его оси и удалена от нее на 4 см. Вычислите площадь

се­чения. 60 см 2

16. Координаты точки А(- 3; 4). Укажите коорди­наты точки В, которая

симметрична точке А относи­тельно оси ординат. B(3; -4)

17. Напишите уравнение прямой, проходящей че­рез точку М(4; 2) и

параллельно оси абсцисс, у - 2 = 0

18. В пространстве расположен параллелограмм. Чем является его параллельная

проекция на плос­кость? Параллелограмм или отрезок

19. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения

уменьшить в 2 раза? Уменьшится в 8 раз

20. В прямом параллелепипеде высота равна 10 см. В основании лежит

параллелограмм, стороны которо­го равны 4 и 3 cм, a угол между ними 30 0.

Вычислите объем параллелограмма. 60 см 3

21. Радиус основания конуса равен 6 см, а высота 8 см. Вычислите его

образующую. 10 см

22. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к основанию под углом 30°.

Вычислите высоту кону­са. 6 см

23. Радиус шара равен 6 см. Через конец радиуса под углом 60° проведено

сечение шара плоскостью. Вычислите площадь сечения. 9 см 2

24. Радиус шара равен 12 см. К нему проведена касательная плоскость. От

точки касания на расстоя­нии 9 см находится точка М в этой плоскости.

На каком расстоянии находится от поверхности шара точка M? 3 см

25. При каком условии гомотетичные фигуры рав­ны? При k = ± 1

26. Назовите четырехугольники, которые имеют одну ось симметрии.

[Равнобедренная трапеция и дель­тоид]

27. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Вычислите радиус

вписанной окружности. 2 см

28. Будут ли параллельные прямые на плоскости у = 2х + 3 и у = 2х - 3

параллельны? Да

29. В прямой треугольной призме все ребра рав­ны. Боковая поверхность равна

12 м2. Вычислите объем призмы. 2 м 3

30. В треугольнике АВС стороны АВ, АС и ВС со­ответственно равны 9 см,

15 см и 8 см. На какие от­резки биссектриса угла A делит стороку ВС? 3 и 5 см

Февраль

1. Определите форму тела, если его проекциями в горизонтальной и

вертикальной плоскости являются круги. Шар

2. Сечение насыпи имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями

14 и 10 м, а высотой 2 м. Сколько кубов земли надо завезти, чтобы возвести

на­сыпь длиной 10 м? 240 м3

3. Отрезок не пересекает плоскость, Концы его удале­ны от плоскости на

расстояния 12 и 8 см. На каком рас­стоянии находится середина отреака от

плоскости? 10 см

4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1)

перпендикулярно вектору (3; 2; 1). 3x + 2у + z - 6 = 0

5. Из точки А, лежащей на окружности, проведе­ны диаметрАВ длиной 13 см

и хорда АС длиной 12 см. Вычислите длину хорды ВС. 5 см

6. При каком условии шаровой сегмент можно на­звать шаровым сектором? Полушар

7. Даны координаты точек А( - 1; 2) и В(4; 3). Вы­числите координаты вектора

. (5; 1)

8. Диагональ боковой грани правильной четырех­угольной призмы равна 6 см,

а ее боковое ребро 5 см. Вычислите объем призмы. 55 см 3

9. Вычислите координаты точек пересечения пря­мых у = 3x - 5 и у = -3х + 13. (3; 4)

10. В основании призмы - параллелограмм, сторо­ны которого равны 4 и 5 см,

а угол между ними 300. Высота призмы равна 10 см. Вычислите объем

при­змы. 100 см3

11. Диагональ правильной четырехугольной при­змы равна 6 см, а ее высота

2 см. Вычислите сторону основания. 4 см

12. В прямоугольном параллелепипеде через кон­цы трех ребер, выходящих

из одной вершины, прове­ли сечение. Какую часть от объема параллелепипеда

составляет объем отсеченной пирамиды? 1/6

13. Высота прямой призмы равна 10 см. В основа­нии призмы - параллелограмм,

стороны которого рав­ны 3 см и 4 см, а угол между ними 150°. Вычислите

объем призмы. 60 см3

14. В прямоугольном параллелепипеде измерения относятся, как 5 : 3 : 2, а

объем его равен 240 см3. Вычислите измерения. 10, 6 и 4 см

15. Площадь основания наклонного параллелепи­педа равна 12 см2. Его боковое

ребро равно 10 см и наклонено к основанию под углом 45°. Вычислите

объем параллелепипеда. 60 см3

16. Сторона основания правильной четырехуголь­ной пирамиды равна 5 см, а

ее высота 6 см. Вычисли­те объем пирамиды. 50 см 3

17. Пирамида имеет 9 многогранных углов. Сколь­ко она имеет ребер? 16

18. Высота прямой призмы равна 10 см. В основа­нии призмы - ромб, диагонали

которого равны 3 и 4 см. Вычислите объем призмы. 60 см3

19. Запишите множество точек пространства, ко­торые не принадлежат шару с

центром в начале коор­динат и радиусом 3. х2 + у2 + z2 > 9

20. Сколько диагоналей можно провести в четырех­угольной усеченной

пирамиде? 4

21. В основании призмы лежит трапеция с основа­ниями 8 и 12 дм, а высота

трапеции 10 дм. Вычисли­те объем призмы, если ее высота равна 10 дм. 1000 дм3

22. Равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковыми сторонами по

5 см вращается вокруг вы­соты, проведенной к основанию. Вычислите объем

тела вращения. 16 см3

23. Образующая конуса равна 7 см, а его высота 6 см. Вычислите объем конуса. 26 см3

24. Диагональ правильной четырехугольной при­змы равна 6 м, а измерения

относятся, как 2 : 2 : 1. Вычислите объем призмы. 32 м3

25. Какая взаимосвязь существует между гомоте­тией и центральной

симметрией? При k = -1 они одинаковы

26. Найдите множество точек на плоскости, задан­ное уравнением 4xy = 0. Оси координат

27. Могут ли две плоскости иметь одну общую точ­ку? Нет

28. Стороны треугольника равны 8 и 5 см и заклю­чают угол 60°. Вычислите

третью сторону треуголь­ника. 7 см

29. Площадь треугольника равна 30 см2. Вычис­лите площадь проекции,

треугольника на эту плоскость, если она образует с плоскостью

треугольника двугран­ный угол 60°. 15 см2

30. Высота правильной четырехугольной пирами­ды равна 4 см, а ее боковое

ребро 5 см. Вычислите объем пирамиды. 24 см3

Март

1. Проекцией тела в горизонтальной плоскости яв­ляется круг, а в вертикальной

плоскости - равнобед­ренный треугольник. Определите форму тела. Конус

2. В основании пирамиды - прямоугольник со сто­ронами 6 и 8 см, а каждое

боковое ребро равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды. 12 см

3. В цилиндрическую банку с жидкостью опустили деталь. Вычислите объем

детали, если диаметр осно­вание банки равен 10 см, а высота жидкости в банке

поднялась на 4 см. 100 см3

4. Радиус цилиндра увеличили в два раза, а высоту уменьшили в два раза. Как

изменится объем цилинд­ра? Увеличится в 2 раза

5. Как изменится объем прямоугольного паралле­лепипеда, если высоту

увеличить в четыре раза, а ширину и длину уменьшить в два раза? Не изменится

6. Уравнение окружности х2 + у2 = 36. На каком расстоянии находятся точки

окружности от начала координат? 6 единиц

7. Боковые грани пирамиды наклонены к основа­нию под углом 60°. В основании

пирамиды - квадрат со стороной а. Вычислите боковую поверхность пира­миды. 2a2

8. Параллельны ли плоскости 2x + 3y + z – 2 = 0 и 4х + 6у + 2z - 1 = 0? Нет

9. Около какой пирамиды можно описать конус?

[Около пирамиды, боковые грани которой равны]

10. Высота прямой призмы равна 8 см. В основа­нии призмы - треугольник,

стороны которого равны 4 и 5 см и образуют угол 30°. Вычислите объем

призмы. 40 см2

11. Сторона основания правильной четырехуголь­ной призмы равна 3 см, а высота

призмы 4 см. Вы­числите поверхность призмы. 66 см2

12. Хорда, перпендикулярная диаметру, разбивает его на отрезки 1 и 9 см.

Вычислите длину хорды. 6 см

13. Отрезок АВ равен 14 см и пересекает плос­кость а. Проекция отрезка на эту

плоскость равна 7 . Под каким углом проекция отрезка пересекает

плос­кость? 45°

14. Прямоугольник со сторонами 6 и 4 см вращает­ся сначала вокруг большей

стороны, а затем - мень­шей. Одинаковы ли объемы тел вращения? Нет

15. Около квадрата описана окружность радиуса 3 см. Вычислите площадь

квадрата. 36 см2

16. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Вычислите боковую поверхность

цилиндра. S

17. У пирамиды и призмы высоты и основания рав­ны. Во сколько раз объем

призмы больше объема пи­рамиды? В 3 раза

18. В наклонном параллелепипеде провели диаго­нальное сечение. В каком

отношении оно делит объем параллелепипеда? Пополам

19. Стороны параллелограмма равны 12 и 10 см, а его площадь 60 см2.

Вычислите углы параллелограм­ма. 30° и 150°

20. В правильной четырехугольной пирамиде высо­та равна 3 дм, а боковое

ребро 5 дм. Вычислите объем пирамиды. 32 дм3

21. Сколько диаметров можно провести через точ­ку, произвольно взятую

внутри шара? 1

22. Высота конуса равна 3 дм, а его образующая 5 дм. Вычислите объем конуса. 16 дм3

23. В правильной четырехугольной пирамиде апо­фема равна 10 см и наклонена

к основанию под углом 60°. Вычислите боковую поверхность пирамиды. 200 см2

24. Существует ли пирамида, у которой 30 плоских углов? Нет

25. Прямоугольник со сторонами 5 и 4 см вращает­ся вокруг большей стороны.

Вычислите объем тела вращения. 80 см3

26. Сторона правильного треугольника равна 6 дм. Вычислите радиус

вписанного круга. дм

27. Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращается вокруг

большего катета. Вычислите боковую поверхность тела вращения. 65 см2

28. Радиус окружности, вписанной в равносторон­ний треугольник, равен 3

см. Вычислите его сто­рону. 18 см

29. Высота равностороннего цилиндра равна 10 см. Вычислите его объем. 250 см3

30. Боковые ребра треугольной пирамиды равны 2, 3 и 4 см и взаимно

перпендикулярны. Вычислите ее объем. 4 см3

Апрель

1. Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2, 4 и

4 см, описана сфера. вычислите ее поверхность. 36 см2

2. Как называется отрезок, который получается в результате пересечения двух

больших кругов шара? Диаметр

3. Сколько общих точек имеет прямая с шаровой поверхностью? 1 или 2

4. Поверхности двух шаров относятся, как 4 : 9. Как относятся их диаметры? 2 : 3

5. Радиус шара равен 3 см, а высота шарового сектора 4 см. Вычис­лите объем

шарового сектора. 24 см3

6. Радиус шара равен 5 см. Вычислите поверхность шара. 100 см2

7. Радиус основания и высота цилиндра равны по 4 см. Вычислите его объем. 64 см3

8. Как изменится объем шара, если его радиус уве­личить в 2 раза? Увеличится в 8 раз

9. Образующая конуса наклонена к основанию под углом 60°. Радиус основания

конуса r. Вычислите его боковую поверхносвь. 2r2

10. В пространстве множество точек задано урав­нением х2 + у2 + z2 = 9. На

каком расстоянии от нача­ла координат находятся эти точки? 3

11. Радиус конуса равен 4 см, а его образующая 6 см. Вычислите боковую

поверхность конуса. 24 см2

12. Радиус шара равен 1 м. Вычислите объем шара. м3

13. Образующая конуса равна 4 дм и наклонена к основанию под углом 60°.

Вычислите боковую повер­хность конуса. 8 дм2

14. Из точки, лежащей вне круга, проведены каса­тельная и секущая. Длина

секущей равна 9 см, а вне­шний ее отрезок равен 4 см. Вычислите длину

каса­тельной. 6 см

15. Высота равностороннего цилиндра равна 6 см. Вычислите боковую поверхность

цилиндра. 36 см2

16. В равностороннем треугольнике сторона равна 6 дм. Вычислите его высоту. 3 дм

17. Сторона квадрата равна 6 см. Вычислите радиус описанного круга. 3 см

18. Как изменится поверхность шара, если его ра­диус увеличить в 3 раза?

[Увеличится в 9 раз]

19. Поверхность шара равна 64 см2. Вычислите его радиус. 4 см

20. В шар вписан прямоугольный параллелепипед с измерениями 6, 3 и 2 см.

Вычислите радиус шара. 3,5 см

21. Вычислите боковую поверхность усеченного конуса, если радиусы его равны

2 и 4 см, а образую­щая 5 см. 30 см2

22. Радиус шара равен 5 см. На расстоянии 3 см от центра проведено сечение

шара. Вычислите пло­щадь сечения. 16 см2

23. На каком расстоянии находится точка М(5; - 12) от начала координат? 13 см

24. Параллельны ли плоскости 3х - 2у + z – 4 = 0 и 6х - 4у + 2z + 1 = 0? Да

25. Дуга содержит 150°. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда? 105°

26. В правильной четырехугольной пирамиде сто­рона основания равна 6 см,

боковые грани с основа­нием образуют угол 60°. Вычислите боковую

поверх­ность пирамиды. 72 см2

27. На окраску шара диаметром 2 дм требуется 20 г краски. Сколько краски

потребуется для окраски шара диаметром 6 дм? 180 г

28. Диаметр цилиндра равен 6 см, а высота 10 см. Вычислите его боковую

поверхность. 60 см2

29. Вершины треугольника, вписанного в окруж­ность, разбивают ее на части

3 : 4 : 5. Вычислите углы треугольника. 45°, 60°, 75°

30. Стороны треугольника, равные 8 и 7 см, обра­зуют угол 120°. Вычислите

третью сторону треуголь­ника. 13 см

Май

1. Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения

прямой. Вычислите объем конуса. 9 см3

2. Радиус шара 3 см. Вычислите его объем. 36 см3

3. Какую часть пирамиды отсекает ее среднее се­чение? 1/8

4. Около прямоугольного параллелепипеда с изме­рениями 1, 2 и 2 дм описана

сфера. Вычислите ее радиус. 1,5 дм

5. Вершина угла находится внутри круга, а дуги между сторонами угла и

продолжением сторон равны 120° и 60°. Вычислите угол. 90°

6. Две хорды пересекаются. Первая делится точ­кой пересечения на отрезки 2

и 10 см. Один из отрез­ков второй хорды равен 5 см. Вычислите длину вто­рой

хорды. 9 см

7. Высота конуса равна 4 см, а диаметр основания 6 см. Вычислите боковую

поверхность конуса. 15 см2

8. Напишите уравнение сферы, точки которой на­ходятся на расстоянии 2 см от

начала координат. х2 + у2 + z2 = 4

9. В равностороннем треугольнике радиус описан­ного круга равен 2 см.

Чему равна сторона тре­угольника? 6 см

10. Поверхность шара равна 36 см2. Вычислите его радиус. 3 см

11. Из концов дуги в 100° проведены касательные до взаимного пересечения.

Вычислите угол, образованный касательными. 80°

12. Сторона АВ треугольника АВС равна 12 см, а сторона АС равна 15 см. В

каком отношении биссек­триса угла А делит третью сторону ВС? 4 : 5

13. Два различных сечения шара пересекаются. Как называется линия их

пересечения? Хорда

14. Из точки А, лежащей на окружности, проведе­ны диаметр АВ длиной 15 см и

хорда АС длиной 9 см. Вычислите длину хорды ВС. 12 см

15. Вычислите угол, образованный двумя смеж­ными сторонами правильного

шестиугольника. 120°

16. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны

3, 4 и 5 см. Вычислите объем пирамиды. 10 см3

17. Во сколько раз боковая поверхность цилиндра больше осевого сечения? В раз

18. Сторона ромба равна 6 см, а его угол paвен 60°. Вычислите диагонали ромба.

6 и 6 см

19. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковые стороны

- по 5 см. Вычислите площадь треугольника. 12 см2

20. Боковая поверхность равностороннего цилиндра равна 20 см2. Вычислите

площадь его основания. 10 см2

21. Радиус шара 2 см. Вычислите его поверхность. 16 см2

22. Площадь сечения шара равна 9 см2. Сечение удалено от центра на

расстояние 4 см. Вычислите радиус шара. 5 см

23. Радиус круга, описанного около прямоугольного треугольника, равен 10 см,

а один из его катетов 12 см. Вычислите периметр треугольника. 48 см

24. В осевом сечении конуса - равносторонний треугольник со стороной, равной

а. Вычислите боковую поверхность конуса. 0,5а2

25. Вычислите угол, вписанный в дугу, которая составляет окружности. 140°

26. Перпендикулярны ли плоскости 2х + 5у + 2z - 3 = 0 и 4х - 2у + z - 1 = 0? Да

27. Даны координаты векторов (3; - 2; 1) и (2; 3; - 1). Вычислите координаты

вектора . (5; 1; 0)

28. В треугольнике АВС cos А = - . Вычислите угол А. 135°

29. Образующая конуса равна 10см, а его высота 8 см. Вычислите объем конуса. 96 см3

30. Объем шара равен 36 см3. Вычислите его поверхность. 36 см2

Билеты

для устного экзамена по геометрии в XI классе

Укажем номера пунктов учебника по вопросам теории, включенным в экзаменационные билеты. Содержание билетов соответствует учебнику: и др. "Геометрия".

Номер билета — номера пунктов:

№ 1 — п. 6; № 2 — п. 7, 9; № 3 — п. 10; № 4 — п. 16, 17; № 5 — п. 20; № 6 — п. 23; № 7 — п. 27; № 8—п. 28, 29; № 9 — п. 34, 35, 36, 38; № 10 — п. 45, 6; № 11 — п. 47; № 12 — п. 53, 54; № 13 — п. 55, 56; № 14— п. 58, 59, 60; № 15 — п. 65, 68; № 16— п. 66; № 17—п. 69; № 18—п. 70; № 19— п. 71; № 20 — п. 62, 73.

Билет 1

1. Параллельность прямой и плоскости (оп­ределение). Признак параллельности прямой и плоскости.

2. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диа­гональ которого равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Ребро правильного тетраэдра МАВС равно а.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, AС и AM.

б) Найдите площадь сечения.

Билет 2

1. Скрещивающиеся прямые (определение). Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми.

2. Площадь сечения шара плоскостью, про­ходящей через его центр, равна 16 см2. Найдите площадь сферы.

3. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а.

а) Постройте сечение куба плоскостью, про­ходящей через точки А, A1, М, где М — середина ребра DC.

б) Найдите площадь сечения.

Билет 3

1. Параллельность двух плоскостей (опреде­ление). Признак параллельности двух плоско­стей.

2. Осевое сечение конуса — правильный тре­угольник со стороной 6 см. Найдите объем конуса.

3. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды MABCD равны а.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания АС пер­пендикулярно боковому ребру MD.

б) Найдите угол между секущей плоскостью и плоскостью основания пирамиды.

Билет 4

1. Перпендикулярность прямой и плоскости (определение). Признак перпендикулярности пря­мой и плоскости.

2. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 2 см, образующая наклонена к основанию под углом 60°. Найдите площадь боковой поверх­ности конуса.

3. Основанием наклонной треугольной призмы ABCA1B1C1 служит правильный треугольник ее стороной а. Боковое ребро AA1 равно b и составляет со сторонами основания АВ и АС равные углы по 60°.

а) Докажите, что грань BCC1B1 — прямоугольник.

б) Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Билет 5

1. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Площадь основания цилиндра равна 16 см2 площадь его сечения равна 24 см2. Найдите объем цилиндра.

3. Основанием пирамиды МАВС служит равносторонний треугольник АВС со стороной а. Боковое ребро МA перпендикулярно к плоскости основания, МA = а / 2.

а) Найдите угол между плоскостями MAC и МАВ.

б) Докажите, что угол между плоскостями МВС и AВС равен 30°.

Билет 6

1. Перпендикулярность двух плоскостей (оп­ределение). Признак перпендикулярности двух плоскостей.

2. Радиус ОА шара с центром О равен 2 см. Найдите площадь сечения шара плоско­стью, проходящей через точку А под углом 45° к радиусу ОА.

3. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной а. Боковое ребро MD перпендикулярно плоскости основания пирамиды и равно b.

а) Докажите, что грань МАВ — прямоуголь­ный треугольник.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет 7

1. Понятие призмы. Площадь боковой поверх­ности прямой призмы.

2. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной 4 см вокруг одной из его сторон. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

3. Основанием пирамиды МАВС служит правильный треугольник АВС со стороной а. Грань MAC — также правильный треугольник, плоскость которого перпендикулярна к плоско­сти основания пирамиды.

а) Докажите, что высотой пирамиды служит высота треугольника MAC, проведенная из вершины М.

б) Найдите объем пирамиды.

Билет 8

1. Понятие пирамиды, правильной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пира­миды.

2. Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен 60°, диагональ равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Образующая конуса равна b и наклонена к основанию под углом . Найдите:

а) радиус вписанного шара;

б) объем шара.

Билет 9

1. Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

2. Найдите объем прямоугольного параллеле­пипеда, у которого стороны основания равны 12 см и 16 см, а диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания.

3. В усеченный конус, радиусы основания которого равны r и 2r, вписана сфера. Найдите:

а) радиус сферы;

б) отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

Билет 10

1. Вычисление длины вектора в пространстве по его координатам.

2. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при основании равен 30°. Найдите объем пирамиды.

3. В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с образую­щей цилиндра угол . Найдите:

а) радиус основания цилиндра;

б) объем цилиндра.

Билет 11

1. Скалярное произведение векторов в про­странстве.

2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 12 см, а плоский угол при вершине равен 60°. Найдите площадь полкой поверхности пирамиды.

3. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой 2т. Боковые ребра пирамиды на­клонены к плоскости ее основания под углом . Найдите:

а) высоту пирамиды;

б) объем конуса.

Билет 12

1. Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра.

2. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М— центр грани ВВ1С1С. Найдите угол между векторами

и .

3. Двугранный угол при основании правиль­ной четырехугольной пирамиды равен 60°. В пирамиду вписан шар радиуса r. Найдите:

а) высоту пирамиды;

б) апофему пирамиды.

Билет 13

1. Понятие конуса. Площадь поверхности конуса.

2. Цистерна имеет форму цилиндра, к одному из оснований которого присоединен полушар. Радиус основания цилиндра равен 3 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 36 м3?

3. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1, сторона основания которой равна 2 дм, высота — 4 дм. Найдите угол между векторами:

а) и ;

б) и .

Билет 14

1. Сфера и шар. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.

2. Длины векторов и равны соответст­венно 6 и 4, угол между ними равен 120°. Найдите скалярное произведение

3. Высота конуса равна h. Через вершину конуса под углом 45° к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Найдите:

а) радиус основания конуса;

б) площадь сечения конуса этой плоскостью.

Билет 15

1. Объем прямой призмы. Объем наклонной призмы.

2. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см, а острый угол 45°, вращается вокруг катета. Найдите объем полу­ченного тела вращения.

3. В шар вписан конус, высота которого равна радиусу r основания. Найдите:

а) образующую конуса;

б) объем шара.

Билет 16

1. Объем цилиндра.

2. Радиус основания конуса равен 6 см, а высота равна 4 см. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная осно­ванию конуса. Найдите объем отсеченного ко­нуса.

3. Дан тетраэдр МАВС, , , . Медианы треугольника ABС пересека­ются в точке О, точка К — середина отрезка МО. Выразите через векторы , , векторы и .

Билет 17

1. Объем пирамиды.

2. Найдите угол между образующей и высо­той конуса, если разверткой его боковой поверхности является полукруг.

3. Диаметр шара равен высоте конуса, осевое сечение которого — равносторонний треугольник со стороной а. Найдите:

а) радиус шара;

б) отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

Билет 18

1. Объем конуса.

2. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 10 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности призмы.

3. Сечения сферы двумя параллельными плоскостями, из которых одна проходит через

центр сферы, имеют длины 12 и 6. Най­дите:

а) площадь меньшего сечения сферы;

б) расстояние между секущими плоскостями.

Билет 19

1. Объем шара.

2. Основанием прямой призмы служит рав­нобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Плоскость, проведенная через один из катетов нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания, составляет с плоскостью основания призмы угол в 45°. Найдите объем призмы.

3. Около куба ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а, описан цилиндр. Найдите:

а) площадь осевого сечения цилиндра;

б) расстояние между прямыми A1D и BC1.

Билет 20

1. Площадь сферы.

2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной 8 см и углом 60°. Высота параллелепипеда равна меньшей диагонали ром­ба. Найдите объем параллелепипеда.

3. Стороны оснований правильной треуголь­ной усеченной пирамиды равны 12 см и 6 см, двугранный угол при основании равен 60°. Найдите:

а) высоту пирамиды;

б) площадь боковой поверхности пирамиды.