Теория математической обработки геодезических измерений (стр. 2 )

По данным таблицы 1.2 (столбцы 2 и 6) строим гистограмму (рис. 1.1) — график эмпирического распределения (на выбор масштаба изображения наложим лишь условие наглядности).

Рис. 1.1 — Гистограмма и выравнивающая кривая 

Вид гистограммы позволяет действительно предположить нормальный закон распределения ошибок Di. Теоретическая кривая, наилучшим образом выравнивающая (сглаживающая) гистограмму, определяется уравнением

,

где ; ; ; ; .

Вычисление ординат кривой  выполняем, используя таблицу Приложения A. Результаты вычислений поместим в таблице 1.3.

Таблица 1.3
№ п/п	левые границы интервалов Di		yi
1	0	0	0,564	0,645	0,364
2	0,5m	0,5	0,498	―"―	0,321
3	1,0m	1,0	0,342	―"―	0,220
4	1,5m	1,5	0,183	―"―	0,118
5	2,0m	2,0	0,076	―"―	0,049
6	2,5m	2,5	0,025	―"―	0,016
7	3,0m	3,0	0,006	―"―	0,004

По данным таблицы 1.3 (столбцы 2 и 6) на графике рис. 1.1 наносим ряд точек , которые соединяем плавной кривой. Левую ветвь кривой строим по тем же ординатам.

Как видно из графика, кривая j(D) удовлетворительно сглаживает гистограмму.

6.  Применение критерия c2‑Пирсона.

Для оценки степени приближения статистического распределения (гистограммы) к теоретическому нормальному закону (кривой распределения) вычисляем величину

,

где

.

Результаты вычислений поместим в таблице 1.4.

находят по таблице Приложения B для левых границ интервалов ti.

Таблица 1.4
№	Интервалы ti		pi	mi	npi
1	–3,0	–2,5	–0,5	0,0062	0	0,20	0,20
2	–2,5	–2,0	–0,4938	0,0166	1	0,53	0,42
3	–2,0	–1,5	–0.4772	0,0440	1	1,41	0,12
4	–1,5	–1,0	–0.4332	0,0918	4	2,94	0,38
5	–1,0	–0,5	–0,3414	0,1500	6	4,80	0,30
6	–0,5	+0	–0,1914	0,1914	5	6,12	0,20
7	+0	+0,5	+0	0,1914	7	6,12	0,13
8	+0,5	+1,0	+0,1914	0,1500	2	4,80	1,63
9	+1,0	+1,5	+0,3414	0,0918	4	2,94	0,38
10	+1,5	+2,0	+0,4332	0,0440	1	1,41	0,12
11	+2,0	+2,5	+0,4772	0,0166	1	0,53	0,42
12	+2,5	+3,0	+0,4938	0,0062	0	0,20	0,20
13	+3,0	+∞	+0,5	―	―	―	―
S				1,0000	32	32,00	4,50

Число степеней свободы определяется формулой . Находим (k — число интервалов, , так как только один параметр  оценивался по выборке, а  принято равным нулю).

По таблице Приложения E по числу степеней свободы  для находим вероятность , а для  находим . Интерполируя, для  получим .

7.  Вычисление оценок скошенности  и эксцесса  и проверка соотношений:

; ,

которые являются критериями нормального закона.

Находим:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ; .

Как видно из вычислений, соотношения  выполняются.

В результате исследования приходим к выводу о том, что рассматриваемый ряд истинных ошибок является действительно рядом случайных ошибок, подчиняющихся приближенно нормальному закону, так как: