Теория математической обработки геодезических измерений (стр. 4 )

,

т. е.  — дисперсия такого измерения, вес которого равен единице.

Дисперсии результатов измерений , как правило, неизвестны. Заменяя неизвестные дисперсии их оценками, т. е. квадратами средних квадратических ошибок, получаем следующие формулы веса

,
,

где m — средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице (сокращённо m называют ошибкой единицы веса).

Одной из причин введения весов является возможность установить их, не зная величин mi. Так, в нивелирной сети веса назначают по формуле

,

где Li — длины ходов в км. Эта формула получена из формулы , пользуясь произвольностью выбора m.

Зная среднюю квадратическую ошибку единицы веса и вес i‑го измерения, можно вычислить среднюю квадратическую ошибку i‑го измерения по формуле

.

Задача 4.1. Вес угла равен 9. Найти среднюю квадратическую ошибку этого угла, если ошибка единицы веса равна 15″.

Решение. Находим среднюю квадратическую ошибку угла

, .

4.2 ОБРАТНЫЙ ВЕС ФУНКЦИИ ОБЩЕГО ВИДА

Пусть дана функция , где  — независимо измеренные величины. Известны веса аргументов .

Используя формулы и , получаем формулу для вычисления обратного веса функции некоррелированных аргументов.

.

Если аргументы  коррелированы, т. е. коэффициенты попарной корреляционной связи отличны от нуля, , то обратный вес функции вычисляется по формуле

.

Задача 4.2. Найти веса следующих функций

1.  ;

2.   

если ; ; ; , .

Решение:

1.  ; ;

2.  ; .

4.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА НЕЗАВИСИМЫХ МНОГОКРАТНЫХ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Пусть имеется ряд многократных неравноточных измерений одной и той же величины: , истинное значение Х которой неизвестно. Известны веса результатов измерений: .

Под математической обработкой ряда неравноточных измерений понимают:

1. Определение наиболее надёжного значения измеряемой величины — среднего весового, или общей арифметической средины (наилучшей оценки неизвестного истинного значения):

,

где x0 — наименьшее значение из ряда , а .

2. Определение по формуле Бесселя средней квадратической ошибки измерения с весом, равным единице (оценки параметра ):

,

где  — уклонения от среднего весового, которые обладают свойствами:

а)  ,

б) 

3.  Определение средней квадратической ошибки наиболее надёжного значения

.

4.  Построение доверительного интервала, с заданной вероятностью b накрывающего неизвестное истинное значение X

.

4.4 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЯДА НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Задача 4.3. Отметка узлового репера получена по шести ходам, известны средние квадратические ошибки по каждому ходу  (в мм). Найти наиболее надёжное значение отметки репера и произвести оценку точности.

Таблица 4.1
№	(м)	(мм)		(мм)			(мм)
1	196,529	6,3	0,25	+12	+3,00	+36,0	+1	+0,25	00,2
2	,522	8,4	0,14	+5	+0,70	++3,5	–6	–0,84	05,0
3	,517	9,1	0,12	+0	+0	++0	–11	–1,32	14,5
4	,532	4,3	0,54	+15	+8,10	121,5	+4	+2,16	08,6
5	,530	5,2	0,37	+13	+4,81	+62,5	+2	+0,74	01,5
6	,520	7,5	0,18	+3	+0,54	++1,6	–8	–1,44	11,5
å			1,60		17,15	225,1		–0,45	41,3

Решение:

Веса вычисляем по формуле

,

где *).

1.  Вычисление наиболее надёжного значения отметки репера:

,

, .

Вычисление уклонений от среднего весового , а также сумм , , непосредственно в таблице 4.1.

Контроль вычислений:

a)  ; ;

b)  ; .

Контроль выполнен.

2.  Вычисление средней квадратической ошибки измерения с весом, равным единице

.

3.  Вычисление средней квадратической ошибки наиболее надёжного значения:

.

Оценим надёжность определения m и :

;

.

Ответ: .

5 ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В геодезии часто приходится измерять большие группы однородных величин, причём каждую величину для контроля измеряют дважды.

5.1 ДВОЙНЫЕ РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Пусть однородные величины измерены равноточно дважды и получены результаты измерений:

Составим разности по формуле

.

Наиболее надёжные значения определяемых величин находим по формуле:

.

Для оценки точности используем разности .

а)  При отсутствии систематических ошибок разности di можно рассматривать как истинные ошибки самих разностей, так как истинное значение разностей равно нулю ().

Применяя к ряду  формулу Гаусса , находим:

.

Тогда средняя квадратическая ошибка отдельного результата измерений будет определяться по формуле:

.

Оценка точности наиболее надёжных значений определяется по формуле:

.

б)  Если в результатах измерений присутствуют систематические ошибки, то величина

существенно отличается от нуля.

В этом случае из каждой разности необходимо исключить остаточное влияние систематических ошибок, т. е. получить разности

.

Рассматривая разности  как уклонения от среднего , применяя формулу Бесселя, находим

.

Средние квадратические ошибки отдельного результата измерений и наиболее надёжных значений измеряемых величин находим по формулам:

,
.

Заметим, что в этом случае необходимо выполнить контроль вычислений по формулам

a)  , где ; b)  .

Для определения значимости отклонения от нуля применяют неравенство

,

где выбирают из таблиц Стьюдента по заданной вероятности и числу степеней свободы , а при  коэффициент t выбирают из таблиц интеграла вероятностей по заданной вероятности . Так, для  , и неравенство  принимает вид:

.

Иногда применяют более жёсткий критерий обнаружения систематических ошибок

,

который получен, исходя из требования .

Оценку точности начинают с проверки условия или . Если, например, неравенство  выполняется, то делают вывод о том, что систематическими ошибками можно пренебречь и оценку точности следует выполнять по формулам (5.4–5.5).

Если неравенство  не выполняется, делают заключение о том, что систематическими ошибками пренебрегать нельзя, необходимо обработку вести по формулам (5.7, 5.9, 5.10).

5.2 ДВОЙНЫЕ НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Пусть каждая из однородных величин Хi () измерена дважды и независимо, причём измерения в каждой паре равноточны, а пары между собой неравноточны. Известны веса рi результатов измерений. Получены разности di с весами .