Теория математической обработки геодезических измерений (стр. 5 )

Наиболее надёжные значения измеряемых величин находит по формуле .

Критерий обнаружения систематических ошибок имеет вид:

.

Если неравенство выполняется, то делают заключение о том, что систематическими ошибками можно пренебречь. Затем находят:

1.  Среднюю квадратическую ошибку измерения с весом, равным единице,

.

2.  Средние квадратические ошибки наиболее надёжных значений

.

Если условие  не выполняется, то необходимо найти остаточное влияние систематических ошибок

и исключить его из каждой разности. Получают разности, свободные от влияния систематических ошибок

.

Оценка точности выполняется следующим образом:

1.  Определяется средняя квадратическая ошибка измерения с весом, равным единице

.

2.  Вычисляются средние квадратические ошибки наиболее надёжных значений

.

5.3 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ ДВОЙНЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ РЯДА ОДНОРОДНЫХ ВЕЛИЧИН

Задача 5.1. Одни и те же линии измерены дважды равноточно. Выполнить оценку точности по разностям двойных измерений.

Таблица 5.1
№	(м)	(м)	(мм)
1	120,389	120,380	+9	81	+6,3	39,7
2	136,468	136,462	+6	36	+3,3	10,9
3	133,223	132,229	–6	36	–8,7	75,7
4	124,536	124,537	–1	1	–3,7	13,7
5	140,457	140,449	+8	64	+5,3	28,1
6	143,682	143,688	–6	36	–8,7	75,7
7	139,158	139,149	+9	81	+6,3	39,7
S				335	+0,1	283,5

Решение:

1.  Составим ряд разностей .

2.  Согласно критерию обнаружения систематических ошибок вычисляем левую и правую части неравенства :

; .

Вывод: левая часть неравенства  оказалась больше его правой части, следовательно, систематическими ошибками пренебрегать нельзя.

3.  Находим остаточное влияние систематических ошибок по формуле :

; ,

затем исключаем его из каждой разности, находим  и суммы , , непосредственно в таблице 5.1 и выполняем контроль вычислений по формулам :

1.  : , ;

2.  : .

Контроли выполнены.

4.  Находим среднюю квадратическую ошибку одного измерения

.

5.  Определяем среднюю квадратическую ошибку наиболее надёжных значений измеряемых величин

.

6.  Находим относительные средние квадратические ошибки:

,

.

Применение менее жёсткого критерия — неравенства  — к данной задаче приводит к следующим результатам. Находим для  и  (из Приложения D) . Получаем, что

; ,

т. е. левая часть неравенства  меньше его правой части, следовательно, с вероятностью 0,95 согласно этому критерию систематическими ошибками можно пренебречь и дальнейшую оценку точности следует выполнять по формулам (5.4–5.5):

, .

Как видно, величины и практически не изменились, однако влияние систематических ошибок с использованием этого критерия выявить не удалось.

6 КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Студент допускается к сдаче зачёта и в последующем к экзамену по 1‑й части курса ТМОГИ после выполнения контрольных работ №1 и №2 и положительной оценки их рецензентом. К рецензированию принимается только полностью выполненная работа.

Если в условии задачи нет указаний на индивидуальное задание, каждый студент выполняет при решении контрольной работы тот вариант задачи, номер которого совпадает с последней цифрой шифра студента. Если последней цифрой шифра является нуль, студент выполняет вариант №10.

После получения рецензируемой работы необходимо тщательно изучить замечания рецензента и внести в работу соответствующие исправления, рекомендуемые рецензентом.

Студент, являясь на зачёт, представляет направление из деканата и зачтённые контрольные работы.

6.1 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Задача №1

В ящике имеется n деталей, среди которых m стандартных. Сборщик наугад вынимает две детали. Найти вероятность того, что

1)  обе извлечённые детали окажутся стандартными;

2)  хотя бы одна из двух деталей окажется стандартной.

Указания:

а)  n и m взять из таблицы 6.1 согласно номеру варианта;

б)  вероятность выразить числом, в котором удерживаются три значащих цифры;

в)  см. п. 1.5 и задачу 1.4 раздела I методических указаний.

Таблица 6.1
№ варианта	число деталей	№ варианта	число деталей
всего n	стандартных m	всего n	стандартных m
1	40	32	6	23	18
2	35	28	7	25	19
3	29	22	8	16	10
4	30	21	9	18	12
5	27	20	10	24	16

Задача №2

Для контроля качества продукции случайным образом отобрано четыре изделия. Известно, что в каждом отдельном испытании вероятность появления бракованного изделия постоянна и равна , где i — последние цифры шифра студента (например, для шифра 21п–312 вероятность ).

1).  Определить вероятности следующих событий:

а)  в выборке окажется ровно k бракованных изделий () (выполнить контроль вычислений),

б)  число бракованных изделий будет не менее двух,

в)  число бракованных изделий будет не более трëх,

г)  появится хотя бы одно бракованное изделие;

2).  Построить ряд распределения, многоугольник распределения, вычислить и построить график функции распределения случайной величины — числа появлений бракованных изделий;

3).  Определить вероятнейшее число появлений бракованных изделий (по формуле и графику многоугольника распределения);

4).  Определить вероятность того, что число появления бракованных изделий будет заключено в пределах от 2 до 4;

5).  Найти математическое ожидание, дисперсию (по основной и контрольной формулам), и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины — числа появления бракованных изделий.

Указание. Для решения задачи следует изучить пп. 1.6, 2.2, 2.4, 2.5 и задачи 1.5, 1.6, 2.1, 2.4 раздела I методических указаний.

Задача №3

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины D (ошибки измерения) соответственно равны 2 мм и 4 мм.

Найти вероятности того, что

1)  случайная ошибка D примет значение, заключённое в интервале ;

2)  случайная ошибка D примет значение меньшее, чем b.

Таблица 6.2
№ варианта	a, мм	b, мм	№ варианта	a, мм	b, мм
1	–1	++9	6	–3	++7
2	+0	+10	7	+3	++8
3	–2	++7	8	+1	++6
4	–4	++5	9	+2	++7
5	–5	++6	10	+4	+10

Указание: