Математические основы психологии (стр. 9 )

fm2 для второй школы = 0,33 • 87 = 28,71

Иными словами, из первой школы не должны были посту­пить в вуз 33 человека, а из второй 28,71. (Для большей точности вычислений по методу хи-квадрат желательно не округлять ре­зультаты вычислений, а сохранять сотые и даже тысячные зна­чения после запятой). Исходя из вновь полученных «теоретичес­ких» частот — 33 и 28,71, мы можем произвести расчет того, сколько учащихся должны были бы теперь поступить в вуз из первой и второй школ. Обозначим эти частоты как для первой и fm4 для второй школ, получим соответственно:

fm3 для первой школы = 67

для второй школы,71 = 58,29

Перепишем полученные «теоретические» частоты в новую таблицу 8.7

Таблица 8.7

Подчеркнем, что сумма по столбцам для вновь найденных «тео­ретических» частот, должна совпадать с исходной, т. е. 67 + 33 = 100 и 82 + 18 = 100, аналогично - 58,29 + 28,71 = 87 и 44 + 43 = 87. Подчеркнем также, что при расчетах «теоретических» частот им можно было бы дать и другое символическое обозначение, более привычное. Так, первую подсчитанную «теоретическую» частоту, представленную в ячейке С таблицы 8.7 можно было бы обозна­чить не как = 33, а как = 33 и так далее. Это, однако, не принципиально, главное производить вычисления строго по ал­горитму, в соответствии с формулой (8.1).

Теперь величина хи-квадрат эмпирическая подсчитывается по знакомой формуле (8.1). Для этого из величин, представленных в ячейках таблицы 8.6 вычитаются соответствующие величины, представленные в ячейках таблицы 8.7:

В данном случае число степеней свободы v = (к - 1) • (с - 1) подсчитывается как произведение числа столбцов минус 1 на число строк минус 1. Иными словами, v = (2 — 1) (2 — 1) = 1, поскольку у нас 2 строки и два столбца. И в соответствии с таб­лицей 12 Приложения 1 находим:

Полученная величина попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу Н1 о наличии различий меж­ду двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уро­вень подготовленности учащихся в двух школах оказался разным. На основе эмпирических данных мы можем теперь утверждать, что уровень подготовленности учащихся в первой школе суще­ственно выше, чем во второй. Без использования критерия хи-квадрат такого вывода мы сделать бы не могли.

Решим аналогичную задачу, т. е. задачу в которой сравнива­ются две выборки, имеющие по два значения, но другим спосо­бом.

Задача 8.6. В двух школах района психолог выяснял мнения учителей об

организации психологической службы в школе. В первой школе было опрошено 20 учите­лей, во второй 15. Психолога интересовал вопрос: в какой школе психологическая служба поставлена лучше? Учителя давали ответы по номинативной шкале — нравится (да), не нравится — (нет).

Решение. Результаты опроса представим в виде четырех­польной таблицы 8.8:

Таблица 8.8

Величина эмпирического значения хм-квадрат подсчитывается здесь по-другому, согласно следующей формуле:

где N = А + В + С + D — или общее число учителей, приняв­ших участие в опросе.

Подставляем исходные данные в формулу (8.6) получаем:

В данном случае число степеней свободы v = (к - 1) • (с - 1) подсчитывается как произведение числа столбцов минус 1 на число строк минус 1. Иными словами, v == 1, поскольку у нас 2 строки и два столбца.. И, в соответствии с таб­лицей 12 Приложения 1 находим:

Полученная величина попала в зону незначимости. Ины­ми словами, следует принять гипотезу Но об отсутствии разли­чий между двумя эмпирическими распределениями. Таким обра­зом, уровень организации психологической службы в обоих школах оказался одинаковым.

Теперь решим задачу, в которой сравниваются две выборки, имеющие по четыре значения каждая.

Задача 8.7. В двух школах района выяснялась успешность зна­ния алгебры учащимися десятых классов. Для это­го в обеих школах были случайным образом ото­браны 50 учащихся и с ними проведены конт­рольные работы. Проверялось предположение о том, что существенной разницы в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах не существует.

Решение. Результаты контрольных работ представим сразу в виде таблицы:

Таблица 8.9

В таблице 8.9 — число учащихся первой школы, получив­ших оценку 2 в контрольной работе по алгебре, — число уча­щихся первой школы, получивших оценку 3 в контрольной ра­боте по алгебре, — число учащихся первой школы, получив­ших оценку 4 в контрольной работе по алгебре и т. д.

Подчеркнем, что «визуальный» анализ данных таблицы 8.9 по­казывает, что во второй школе число «двоечников» в три раза боль­ше, чем в первой, и, наряду с этим, число «отличников» в два раза меньше, чем в первой школе. Казалось бы, можно сделать вывод о том, что вторая школа показывает существенно худшие результаты, чем первая. Однако подобные утверждения можно делать только на основе статистической обработки экспериментальных данных.

В общем случае для подобных задач подсчет эмпирического значения хи-квадрат осуществляется по формуле (8.7), являю­щейся модификацией формулы (8.2):

(8.7)

В общем случае для подобных задач подсчет эмпирического значения хи-квадрат осуществляется по формуле (8.7), являю­щейся модификацией формулы (8.2):

Подставим данные нашего примера в формулу (8.7), получим:

Число степеней свободы в данном случае равно

v = (к - 1) • (с - 1) =•= 3. По таблице 12 Приложения 1 находим:

Полученные различия попали в зону незначимости. Иными словами следует принять нулевую гипотезу Но о сходстве или о том, что уровень знания учащимися алгебры в двух разных шко­лах статистически значимо не отличается между собой. Выше, при простом визуальном анализе экспериментальных данных мы высказывали предположение, что во второй школе успеваемость учащихся по алгебре существенно хуже, чем в первой, однако, критерий хи-квадрат показал, что это далеко не так.

Задачи, аналогичные рассмотренной выше, т. е. с большим числом значений в сравниваемых выборках можно решить и дру­гим способом, используя хорошо знакомую нам формулу (8.1). Рассмотрим этот способ на примере решения задачи 8.8.

Задача 8.8. Каково сходство в степени удовлетворенности ра­ботой на одном предприятии у двух неравных по численности групп? (Можно рассматривать эту задачу как продолжение задачи 8.3).

Решение. Для решения этой задачи психолог провел на том же предприятии (как в задаче 8.3) опрос о сте­пени удовлетворенности работой еще в одной группе, но уже из 80 респондентов. Теперь у пси­холога есть две выборки испытуемых, первая — 65 человек и вторая — 80 человек. Полученные данные позволяют использовать критерий хи-квадрат по разному:

•  во-первых, на новой выборке из 80 респондентовможно решить задачу, аналогичную задаче 8.3;

•  во вторых, объединив две выборки можно опять решить задачу, аналогичную задаче 8.3;

•  в третьих, можно сравнить распределения вы­бора альтернатив двух выборок (первой и вто­рой), т. е. сравнить степень удовлетворенности работой двух групп респондентов и решить не­обходимую нам задачу 8.8.

Для решения задачи 8.8 на основе знания эмпирических час­тот первого и второго обследований, необходимо вычислить «теоретические» частоты по всей совокупности данных, поскольку в противном случае невозможно будет применить формулу (8.1).

Это осуществляется следующим образом: сумма эмпиричес­ких частот

65 + 80 = 145 равна общему количеству респондентов, опрошенных психологом.

Представим долю частот первой выборки в виде дроби: 65/145=0,45. Представим долю частот второй выборки также в виде дроби: 80/145=0,55.

Особо подчеркнем, что «теоретические» частоты необходимо рассчитать для каждой альтернативы (вариантов ответов) от­дельно для обоих выборок.

Для этого по каждой альтернативе суммируем эмпирические частоты первой и второй выборок. Поскольку, для первой аль­тернативы в первой выборке , а во второй выборке , то их сумма будет равна 8 + 18 = 26. Для второй альтернативы в первой выборк, а во второй тогда их сумма равня­ется 22 + 20 = 42. И так далее для каждой альтернативы.

«Теоретическая» частота каждого варианта ответа в обоих вы­борках получается как результат умножения суммы эмпиричес­ких частот на соответствующую процентную долю, представлен­ную в виде десятичной дроби.

Поскольку частоты выбора первого варианта ответа (альтернативы) составляют в обеих выборках 8 + 18 = 26, то

fm для 1-й выборки = 26 0,45 = 11,7

fm для 2-й выборки = 26 ■ 0,55 = 14,3.

Поскольку частоты выбора второго варианта ответа (альтернативы) составляют в обеих выборках 20 + 22 = 42, поэтому:

fm для 1-й выборки = 42 • 0,45 = 18,9

fm для 2-й выборки = 42 • 0,55 = 23,1j

Поскольку частоты выбора третьего варианта ответа (альтер­нативы) составляют в обеих выборках 18 + 14 = 32, поэтому:

fm для 1-й выборки = 32 • 0,45 = 14,4

fm для 2-й выборки = 32 0,55 = 17,6.

Поскольку частоты выбора четвертого варианта ответа (аль­тернативы) составляют в обеих выборках 11 + 9 = 20, поэтому:

fm для 1-й выборки = 20 • 0,45 = 9

для 2-й выборки = 20 ■ 0,55 =11.

Поскольку частоты выбора пятого варианта ответа (альтерна­тивы) составляют в обеих выборках 13 + 12 = 25, поэтому:

fm для 1-й выборки = 25 • 0,45 = 11,25

fm для 2-й выборки = 25 • 0,55 = 13,75.

Следует помнить, что суммы рассчитанных «теоретических» частот по каждой альтернативе, должны совпадать с суммой эмпирических частот по этой же альтернативе. Проверим пра­вильность этого положения для рассчитанных «теоретических» частот:

Для первого варианта ответа 11,7 + 14,3 = 26 = 8 + 18

Для второго варианта ответа 18,9 + 23,1 = 42 = 22 + 20

Для третьего варианта ответа 14,4 + 17,6 = 32 = 14 + 18

Для четвертого варианта ответа 9 + 11 = 20 = 9+ 11

Для пятого варианта ответа 11,25 + 13,75 = 25 = 12 + 13

Теперь, для того чтобы использовать формулу (8.1), нужно объединить полученные эмпирические и «теоретические» часто­ты двух выборок в стандартную таблицу 8.10. Поскольку сравни­ваются только две выборки, то вместо одной альтернативы в таблице 8.10 будет две альтернативы под номерами 1.1 и 1.2 — это соответственно две первые альтернативы для первой и для второй выборки и так далее:

При сопоставлении двух эмпирических распределений число степеней свободы определяется по формуле: v = (к - 1) (с - 1), где к — число строк в таблице эмпирических частот только для первой выборки (или только для второй); с — количество срав­ниваемых распределений.

В нашем случае к = 5, с = 2, следовательно v = (5 — 1) • (2 — 1) = 4.

По таблице 12 Приложения 1 находим:

Полученные различия попали в зону незначимости. Т. е. сле­дует принять нулевую гипотезу Но о сходстве. Иными словами, распределения двух выборок значимо не отличаются между со­бой, и, следовательно, у двух групп опрошенных респондентов отсутствуют предпочтения в выборе удовлетворенности или не­удовлетворенности работой.

Число переменных в сравниваемых выборках может быть до­статочно большим. В этом случае целесообразно использовать специальный прием группировки значений по интервалам. Чис­ло интервалов удобнее всего получать, используя таблицу 8.11.

Таблица 8.11

В двух следующих задачах сравниваются две выборки, в кото­рых значений переменных столь много, что предыдущие спосо­бы сравнения оказываются трудновыполнимыми.

Задача 8.9. Психолог сравнивает два эмпирических распреде­ления, в каждом из которых было обследовано 200 человек по тесту интеллекта. Вопрос: различа­ются ли между собой эти два распределения?

Решение Представим эмпирические данные в виде таблицы 8.12, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения

Таблица 8.12

Для случая равенства числа испытуемых в первой и второй выборках расчет производится по формуле (8.8):

Где частоты первого распределения, а — частоты второго. N — число элементов в каждой выборке. В нашем случае в каждой из выборок оно равно 200.

Произведем расчет по формуле (8.8), основываясь на резуль­татах таблицы 8.12:

= ,78 - 2 • 200 = 419,1= 19,12

В данном случае число степеней свободы v = ( - 1) ■ (с - 1) =•= 8, где к число интервалов разбиения, а с чис­ло столбцов. В соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:

Полученные различия попали в зону неопределенности. Пси­холог может как принять, так и отклонить гипотезу Но.

Рассмотрим еще одну аналогичную задачу, в которой число значений в каждой из выборок различно. В этом случае использу­ют другую формулу расчета.

3 а д а ч а 8.10. Психолог сравнивает два эмпирических распреде­ления, в каждом из которых было обследовано по тесту интеллекта разное количество испытуе­мых. Вопрос — различаются ли между собой эти два распределения?

Решение. Представим эмпирические данные сразу в виде таб­лицы 8.13, отметив при этом, что число градаций IQ увеличилось, в отличие от таблицы 8.12, до 150.

В таблице 8.13 произведены предварительные расчеты, не­обходимые для вычисления эмпирического значения критерия хи-квадрат при условии разного числа испытуемых в первой и второй выборках. В этом случае расчет производится по форму­ле (8.9):

Где частоты первого распределения, — частоты второго. N — сумма числа элементов в первой nl и второй п2 выборках. В на­шем случае оно равно 177 = 124 + 53, а сумма уже подсчитана в нижней строчке последнего столбца таблицы 8.13. Осталось произвести расчет по формуле (8.9.)

В данном случае число степеней свободы v = (к - 1) ■ (с - 1) = (10-1)-(2-1) = 9, где к число интервалов разбиения, а с число столбцов. В соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:

Полученная величина эмпирического значения хи-квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует примять ги­потезу Нх о том, что распределения уровней интеллекта в двух неравных по численности выборках статистически значимо отли­чаются между собой.

8.1.3. Использование критерия хи-квадрат для сравнения показателей внутри одной выборки

Критерий хи-квадрат может быть применен и для выявления сходства или различия внутри одной, но численно достаточно большой выборки. В этом случае вычленяются показатели (а их может быть два и больше), по которым и осуществляется сравне­ние. Этот аспект применения критерия хи-квадрат сближает его с коэффициентом корреляции, который также находит степень свя­зи между двумя или большим числом признаков. Различие между этими двумя методами прежде всего в том, что для подсчета ко­эффициента корреляции необходимо знать все величины сравни­ваемых признаков, а для использования критерия хи-квадрат важ­но знать только уровни (градации) сравниваемых признаков.

При сравнении показателей с помощью критерия хи-квадрат нулевая гипотеза Но звучит так: сравниваемые признаки не вли­яют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: меж­ду признаками связи нет, корреляция не отличается от нуля.

Соответственно альтернативная гипотеза звучит следую­щим образом: сравниваемые признаки влияют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: между признаками связь есть, корреляция значимо отличается от нуля.

В этих случаях применение критерия хи-квадрат основывает­ся на использовании так называемых многопольных таблиц или, как их еще называют, таблиц сопряженности, т. е. таких таблиц, эмпирические данные в которых представлены размерностью большей чем 2x2.

В этом случае расчет эмпирического значения критерия хи-квадрат может осуществляться по следующим двум формулам:

(8.10)

где di разность между эмпирическими и «теоретическими» ча­стотами;

fm. есть вычисленная, или «теоретическая» частота.

где к — число строк многопольной таблицы

т — число столбцов многопольной таблицы

N— общее число значений (элементов) в многопольной таблице, оно всегда является произведением N= к ■ т

— элементы многопольной таблицы

Cj — суммарные значения по строкам многопольной таблицы

— суммарные значения по столбцам многопольной таблицы

Проиллюстрируем все вышесказанное решением примера, взя­того с некоторыми модификациями из учебного пособия «Психо­логическая диагностика» под ред. и , М. Изд-во УРАО, 1997 г.

Задача 8.11. Влияет ли уровень интеллекта на профессиональ­ные достижения?

Решение. (Первый способ решения по формуле 8.10). Для решения этой задачи 90 человек оценили по сте­пени их профессиональных достижений и по уровню интеллекта. При разбиении на уровни (градации признака) по обоим признакам было взято три уровня. Для показателя профессиональ­ных достижений были получены следующие час­тоты признака: 20 человек с высоким уровнем профессиональных достижений, 40 со средним и 30 с низким. Первая группа составляет 22,2% вы­борки, вторая — 44,4% и третья — 33,3% от всей выборки. При разбиении по уровню интеллекта было взято три равных по численности группы, в каждой по 30 человек: уровень интеллекта ниже среднего, средний и выше среднего. В процентах каждая группа составляет 33,3% от всей выборки. Все эмпирические данные (частоты) представле­ны ниже в таблице 8.14:

Таблица 8.14

Для удобства каждая ячейка таблицы обозначена соответству­ющей латинской буквой: А, В, С и т. д. Таблица 8.14 устроена сле­дующим образом: в ячейку, обозначенную символом А, заносят­ся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают следующей характеристикой: ниже среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических час­тот) оказалось 20. В ячейку, обозначаемую символом В, заносят­ся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: средние по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось 5. В ячейку, обозначенную символом С, заносятся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: выше среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось также 5. Заметим, что 20 + 5 + + 5 = 30, т. е. числу испытуемых, имеющих уровень интеллекта ниже среднего. Подобные «разбиения» были проделаны для каж­дой ячейки таблицы 8.14. Подчеркнем, что в круглых скобках в каждой ячейке таблицы представлены вычисленные для этой ячейки «теоретические» частоты.

Покажем, как для каждой ячейки таблицы 8.14 найти соот­ветствующую «теоретическую» частоту. Это делается следующим образом. Для каждого столбца таблицы подсчитываются так на­зываемые «частости» в процентах:

Полученные величины «частостей» дают возможность под­считать «теоретические» частоты для каждой ячейки таблицы 8.14. Они служат основой для подсчета «гипотетических» (а по сути теоретических) частот, т. е. таких частот, которые при за­данном соотношении экспериментальных данных должны были бы быть расположены в соответствующих ячйках таблицы 8.14. (Вспомним решение задачи 8.5).

Согласно этому положению «теоретическая» частота для ячейки А подсчитывается следующим образом. 30 человек имеют уровень интеллекта ниже среднего, поэтому 33,3% от этого чис­ла должны были бы попасть в группу с профессиональными до­стижениями ниже среднего уровня. Находим эту «гипотетическую величину так:

Аналогично «теоретическая» частота для ячейки D считается следующим образом: 30 человек имеют средний уровень интел­лекта, поэтому 33,3% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

Аналогично «теоретическая» частота для ячейки G считается следующим образом: 30 человек имеют высокий уровень интел­лекта, поэтому 33,3% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями выше среднего уровня.

Находим эту «гипотетическую» величину так:

Рассмотрим, как производится подсчет для ячейки В. 30 че­ловек имеют низкий уровень интеллекта, поэтому 44,4% от это­го числа должны были бы попасть в группу с профессиональны­ми достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» так:

Аналогично производится подсчет для ячейки Е. 30 человек имеют средний уровень интеллекта, поэтому 44,4% от этого чис­ла должны были бы попасть в группу с профессиональными до­стижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

Аналогично производится подсчет для ячейки Н. 30 человек имеют уровень интеллекта выше среднего, поэтому 44,4% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

Рассмотрим, наконец, как производится подсчет для ячейки С. 30 человек имеют низкий уровень интеллекта, поэтому 22,2% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессио­нальными достижениями выше среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

Расчет «теоретических гипотетических» частот для оставших­ся ячеек проведите самостоятельно.

Проверим правильность расчета «теоретических» частот для всех столбцов таблицы 8.14: 10 + 10 + 10 = 30; 13,3 + 13,3 + 13,3 = 39,9 40; 6,7 + 6,7 + 6,7 = 20,1 20.

Теперь все готово для использования формулы (8.1).

Для проверки правильности расчета «теоретических» частот в случае сравнения двух эмпирических наблюдений (см. раздел 8.2) или для сравнения показателей внутри одной выборки мо­жет использоваться следующая формула (8.12):

Число степеней свободы подсчитаем по знакомой формуле: v = {к - 1) • (с - 1) =•= 4 где к число строк, ас-число столбцов и в соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:

Полученные эмпирическая величина критерия хи-квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу Я, о том, что уровень интеллекта влияет на успешность профессиональной деятельности.

Решение. (Второй способ решения по формуле 8.11).

Подставим данные таблицы 8.14 в формулу (8.11) получим:

Как и следовало ожидать, эмпирическое значение хи-квадрат получено то же самое, что и при первом способе решения. Все дальнейшие операции уже проделаны выше при первом спосо­бе решения данной задачи, поэтому не будем их повторять. Бе­зусловно, что второй способ существенно проще первого, од­нако, при расчетах по формуле (8.11) можно легко допустить ошибки. Подчеркнем, что как первый, так и второй способы расчета эмпирического значения хм-квадрат позволяют работать с таблицами практически любой размерности: 3 х 4, 4 х 4, 5 х З, 5 х б и т. п.

Для применения критерия хн-квадрат необходимо соблюдать следующие условия:

1.  Измерение может быть проведено в любой шкале.

2.  Выборки должны быть случайными и независимыми.

3.  Желательно, чтобы объем выборки был > 20. С увеличением объема выборки точность критерия повышается.

4.  Теоретическая частота для каждого выборочного интервала не должна быть меньше 5.

5.  Сумма наблюдений по всем интервалам должна быть равна общему количеству наблюдений.

6.  Таблица критических значений критерия хи-квадрат рассчитана для числа степеней свободы v, которое каждый раз рассчи­тывается по определенным правилам.

В общем случае число степеней свободы определяется по формуле:

v = с - 1, где с — число альтернатив (признаков, зна­чений, элементов) в сравниваемых переменных.

Для таблиц число степеней свободы определяется по фор­муле: v = (к - 1) • (с-1), где к — число столбцов, с — число слрок.

8.2. Критерий Колмогорова—Смирнова

Этот критерий используется для решения тех же задач, что и критерий хи-квадрат. Иначе говоря, с его помощью можно срав­нивать эмпирическое распределение с теоретическим или два эмпирических распределения друг с другом. Однако если при применении хи-квадрат мы сопоставляем частоты двух распреде­лений, то в данном критерии сравниваются накопленные (куму­лятивные) частоты по каждому разряду (альтернативе). При этом если разность накопленных частот в двух распределениях оказы­вается большой, то различия между двумя распределениями яв­ляются существенными.

3 а д а ч а 8.12. Предположим, что в эксперименте психологу

необходимо использовать шестигранный игральный кубик с цифрами на гранях от 1 до 6. Для чисто­ты эксперимента необходимо получить «идеаль­ный» кубик, т. е. такой, чтобы при достаточно большом числе подбрасываний, каждая его грань выпадала бы примерно равное число раз. Задача состоит в выяснении того, будет ли данный ку­бик близок к идеальному?

Решение. Подбросим кубик 120 раз и сравним полученное

эмпирическое распределение с теоретическим. Поскольку теоретическое распределение являет­ся равновероятным, то соответствующие теоре­тические частоты равны 20. Распределение эмпи­рических и теоретических частот представим со­вместно в таблице 8.15:

Для подсчета по критерию Колмогорова—Смирнова необхо­димо провести ряд преобразований с данными таблицы 8.15. Представим эти преобразования в таблице 8.16 и объясним их получение:

Таблица 8.16

Символом FE в таблице 8.16 будем обозначать накопленные теоретические частоты. В таблице они получаются следующим об­разом: к первой теоретической частоте 20, добавляется вторая частота, также равная 20, получается число 20 + 20 = 40. Число 40 ставится на место второй частоты. Затем к числу 40 прибавляется следующая теоретическая частота, полученная величина 60 — ставится на место третьей теоретической частоты и так далее.