Математические основы психологии (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

М АТЕМ АТИЧ ЕСКИЕ ОСНОВЫ

ПСИХОЛОГИИ

Конспекты лекций

Ханты-Мансийск

2008

Математическая статистика для психологов:

Курс лекций представляет практическое руководство по математической стати­стике для психологов, не имеющих специальных математических знаний. В дос­тупной иллюстративной форме на примерах рассматриваются основные методы обработки данных, включая непараметрические и параметрические критерии оценки различий, корреляционный, дисперсионный, факторный, регрессион­ный анализы. Приведены необходимые теоретические сведения и формулы для расчета типовых задач, наиболее часто встречающихся в экспериментальных психологических исследованиях.

Материалы лекций предназначены для студентов, но может также быть исполь­зован и исследователями в различных областях науки, применяющими статис­тические методы при решении практических задач.

Введение..................................................................................... 6

Г л а в а 1

ПОНЯТИЕ ИЗМЕРЕНИЯ..................................................... 7

Специфика психологических измерений……………….8

Понятие измерения……………………………………….9

1.1. Измерительные шкалы............................................... 11

1.2.  Номинативная шкала......................................................... 12

1.3.  Порядковая (ранговая, ординарная) шкала ..................... 14

1.3.1.Правила ранжирования............................................ 16

1.3.2.Проверка правильности ранжирования.................. 17

1.3.3.Случай одинаковых рангов..................................... 19

1.4.  Шкала интервалов............................................................. 21

1.5.  Шкала отношений.............................................................. 23

1.6.  О других типах шкал…………………………………………..24

1.7.  Метрологические термины……………………………………25

Г л а в а 2

ПОНЯТИЕ ВЫБОРКИ…………………………………….. 27

2.1.Полное исследование.......................................................... 27

2.2.  Выборочное исследование................................................ 28

2.3.  Зависимые и независимые выборки.................................. 28

2.4.Требования к выборке........................................................ 28

2.5.Репрезентативность выборки............................................ 29

2.6.Формирование и объем репрезентативной (от фр. выборки....... 29

Г л а в а 3

ФОРМЫ УЧЕТА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ..... 30

3.1.  Таблицы............................................................................... 31

3.2.  Статистические ряды......................................................... 32

3.3.  Понятие распределения и гистограммы.........................

Г л а в а 4

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ................................. 34

4.1.  Мода..................................................................................... 34

4.2.  Медиана.............................................................................. 35

4.3. Среднее арифметическое.................................................... 35

4.4.  Разброс выборки................................................................ 37

4.5. Дисперсия........................................................................... 37

4.6. Степень свободы................................................................ 39

4.7. Понятие нормального распределения............................. 39

Г л а в а 5

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ

ГИПОТЕЗ................................................................................. 42

5.1.  Проверка статистических гипотез..................................... 42

5.2.Нулевая и альтернативная гипотезы............................... 42

Статистические критерии (эмпирические

и критические)……………………………………………..44

5.3.  Понятие уровня статистической значимости................... 46

5.4. Мощность критериев……………………………………49

5.4.  Этапы принятия статистического решения...................... 49

5.5.  Классификация психологических задач, решаемых с помощью
статистических методов.................................................... 50

Принятие решения о выборе метода математической

об­работки………………………………………………… 51

Г л а в а 6

СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАЗЛИЧИЙ............ 52

6.1.1........................................................................................ Параметрические и непараметрические критерии............................................................................... 53

6.1.2. Рекомендации к выбору критерия различия 54

6.2. Непараметрические критерии для связных выборок.... 54

6.2.1.Критерий знаков G..................................................... 54

6.2.2.Парный критерий Т— Вилкоксона........................... 59

6.2.3. Критерий Фридмана............................................ 61

6.2.4.Критерий тенденций Пейджа................................... 66

6.2.5.Критерий Макнамары................................................ 69

Г л а в а 7

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ НЕСВЯЗАННЫХ

ВЫБОРОК............................................................................... 73

7.1. Критерий U Вилкоксона—Манна—Уитни...............

7.1.1.Первый способ расчета по критерию U................ 73

7.1.2.Второй способ расчета по критерию U................. 76

7.2.  Критерий Розенбаума................................................. 78

7.3. - критерий Крускала—Уоллиса .......................... 80

7.4. S — критерий тенденций Джонкира............................. 84

Г л а в а 8

КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И

МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ «» ........ 86

8.1. Критерий xu-квадрат......................................................... 86

8.1.1.  Сравнение эмпирического распределения

с теоретическим.......................................................... 87

8.1.2.Сравнение двух экспериментальных распределений 94

8.1.3.Использование критерия хи-квадрат для сравнения
показателей внутри одной выборки....................

8.2.  Критерий Колмогорова—Смирнова............................

8.3.Критерий Фишера ......................................................

8.3.1.Сравнение двух выборок по качественно определенному
признаку.............................................................

8.3.2.Сравнение двух выборок по количественно определенному
признаку..................................................................

Глава 9

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАЗЛИЧИЙ......... 114

9.1. -критерий Стьюдента.................................................

9.1.1.Случай несвязных выборок.................................

9.1.2.Случай связных выборок.............. ,.....

9.2. F— критерий Фишера 118

Г л а в а 10

ВВЕДЕНИЕ В ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ANOVA..... 119

10.1.  Однофакторный дисперсионный анализ....................

10.2.  «Быстрые» методы — критерии дисперсионного анализа 131

10.2.1.Критерий Линка и Уоллеса...............................

10.4.1.  Критерий Немени................................................

Глава 11

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ........................................ 134

11.1.  Понятие корреляционной связи..................................

11.2.  Коэффициент корреляции Пирсона............................

11.З. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена......

11.3.1. Случай одинаковых (равных) рангов.............

11.4. Расчет уровней значимости коэффициентов корреляции 146

11.5. Коэффициент корреляции «».................................

11.5.1. Второй способ вычисления коэффициента «» 148

11.6.  Коэффициент корреляции «» Кендалла..................

11.7.  Бисериальный коэффициент корреляции...................

11.8.  Рангово-бисериальный коэффициент корреляции....

11.9.  Корреляционное отношение Пирсона ....................

11.10. Множественная корреляция.......................................

11.11. Частная корреляция.....................................................

Глава 12

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ........................................... 165

12.1.  Линейная регрессия.....................................................

12.2.  Множественная линейная регрессия...........................

12.3. Оценка уровней значимости коэффициентов регрессионного
уравнения.......................................................................

12.4.  Нелинейная регрессия................................. ;................

Глава 13

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ...................................................... 176

13.1.  Основные понятия факторного анализа.....................

13.2.  Условия применения факторного анализа................

13.3.  Приемы для определения числа факторов..................

13.4.  Вращение факторов.....................................................

13.5.  Использование факторного анализа в психологии...

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1.

Статистические таблицы критических значений.............

Приложение 2.

Пример использования методов математической статистики

в дипломной работе..............................................................

Литература.............................................................................

Введение

В древней китайской энциклопедии говорится, что «животные подразделяются на: а) принадлежащих Императору, б) бальза­мированных, в) прирученных, г) молочных поросят, д) сирен, е) сказочных, ж) бродячих собак, з) включенных в настоящую классификацию, и) буйствующих, как в безумии, к) неисчисли­мых, л) нарисованных очень тонкой кисточкой из верблюжей шерсти, м) и прочих, и) только что разбивших кувшин, о) из­далека кажущихся мухами». (Цит. по Мишель Фуко. Слова и вещи. Санкт-Петербург. 1994 г.) Сегодня этот перечень вызывает у нас улыбку. А не будут ли и наши статистические выкладки казаться столь же забавными нашим далеким потомкам? Кто знает?

«Зрелость науки обычно измеряется тем, в какой мере она использует математику. Сама же математика не является наукой в эмпирическом смысле, но представляет собой формальную ло­гическую, символическую систему, своего рода игру знаков и правил», — так начинает c свой капитальный труд «Экспериментальная психология», оказавший большое влияние на становление психологии не только за рубежом, но и в нашей стране. Как же психологи используют математику?

Из истории психологии хорошо известно, что, например, психофизика начала свое развитие с установления математичес­ких закономерностей (знаменитая формула Вебера—Фехнера). В настоящее время математические процедуры обязательно входят в такие разделы психологии как психометрика, психодиагности­ка, дифференциальная психология. Современная психогенетика, например, широко использует такой раздел высшей математи­ки, как структурное моделирование и т. д.

С другой стороны, многие фундаментальные психологичес­кие теории, например: теория деятельности , те­ория развивающего обучения , психоанализ Фрей­да, трансактный анализ Берна и другие хорошо известные тео­рии, были созданы без всякой опоры на математику. В то же вре­мя главное отличие отраслей психологических знаний, исполь­зующих математические методы, заключается в том, что их предмет исследования не только может быть описан, но измерен. Возможность измерения того или иного психологического фено­мена, свойства, характеристики, черты и т. д. открывает доступ для применения методов количественного анализа, а значит, и соответствующих вычислительных процедур.

Наиболее естественным путем, которым математика прони­кает в психологию, является математическая статистика. Совре­менная статистика является разделом математики. При этом многие статистические процедуры достаточно просты и легко выполнимы.

Правильное применение статистики позволяет психологу:

1)  доказывать правильность и обоснованность используемых методических приемов и методов;

2)  строго обосновывать экспериментальные планы;

3)  обобщать данные эксперимента;

4)  находить зависимости между экспериментальными данными;

5)  выявлять наличие существенных различий между группами
испытуемых (например, экспериментальными и контрольными);

6)  строить статистические предсказания;

7)  избегать логических и содержательных ошибок и многое другое.

Нельзя забывать, однако, что сама по себе статистика — это только инструментарий, помогающий психологу эффективно разбираться в сложном экспериментальном материале. Наиболее важным в любом эксперименте является четкая постановка зада­чи, тщательное планирование эксперимента, построение непро­тиворечивых гипотез.

Математическая статистика в руках психолога может и долж­на быть мощным инструментом, позволяющим не только успеш­но лавировать в море экспериментальных данных, но и, прежде всего, способствовать становлению его объективного мышления.

Настоящее учебное пособие призвано решить следующие за­дачи:

1)  дать представление об основных статистических процеду­рах и способах их применения;

2)  научить студентов самостоятельно проводить первоначаль­ную статистическую обработку данных экспериментальных исследований;

3)  научить студентов делать правильные психологические вы­воды на основе результатов статистического анализа;

4)  научить студентов понимать психологическую литературу, в которой используется статистическая обработка экспери­ментальных данных;

5)  грамотно подготавливать данные для работы со статистическими пакетами на ЭВМ и правильно понимать результаты их работы;

6)  использовать данное пособие как справочник.

Глава 1. ПОНЯТИЕ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ

В своей работе психолог достаточно часто сталкивается с про­блемой измерения индивидуально-психологических особеннос­тей (признаков, переменных) таких, например, как креативность, нейротизм, импульсив­ность, свойства неврной системы и т. п. Для этого в психодиаг­ностике разрабатываются специальные измерительные процеду­ры, в том числе и тесты. Помимо того в психологии широко ис­пользуются экспериментальные методы и модели исследования психических феноменов в познавательной и личностной сферах. Это могут быть модели процессов познания (восприятия, памя­ти, мышления) или особенности мотивации, ценностных ори­ентации, личности и т. п. Главное заключается в том, что в ходе эксперимента изучаемые характеристики могут получать количе­ственное выражение. Количественные данные, полученные в ре­зультате тщательно спланированного эксперимента по опреде­ленным измерительным процедурам, используются затем для статистической обработки.

Измерение в самом широком смысле может быть определено как приписывание чисел объектам или событиям, которое осу­ществляется по определенным правилам. Эти правила должны устанавливать соответствие между некоторыми свойствами рас­сматриваемых объектов, с одной стороны, и ряда чисел — с другой. В целом можно сказать, что измерение — это процедура, с помощью которой измеряемый объект сравнивается с некото­рым эталоном и получает численное выражение в определенном масштабе или шкале.

В каждом конкретном случае измерение является операцией, с помощью которой экспериментальным данным придается форма связного числового сообщения. Именно закодированная в числовой форме информация позволяет использовать математи­ческие методы и выявлять то, что без обращения к числовой ин­терпретации могло бы остаться скрытым; кроме того, числовое представление объектов или событий позволяет оперировать сложными понятиями в более сокращенной форме. Именно это и является причиной использования измерений в любой науке, в том числе и психологии. В целом научно-исследовательскую ра­боту психолога, проводящего эксперименты, можно представить по следующей схеме:

ИССЛЕДОВАТЕЛЬ (психолог)

 

предмет исследования (психические свойства, процессы, функции и т. п)

 

испытуемый (группа испытуемых)

' эксперимент (измерение)

данные эксперимента (числовые коды)

статистическая обработка данных эксперимента

результат статистической обработки (числовые коды)

выводы (печатный текст: отчет, диплом, статья и т. п.)

ПОЛУЧАТЕЛЬ НАУЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ (руководитель курсовой, дипломной или кандидатской работы, заказчик, читатель статьи и т. п.).

Результатами измерений являются некоторые признаки и переменные.

Признаки и переменные. Признаки и переменные - это измеряемые психологические явле­ния. Такими явлениями могут быть время решения задачи, количество допущенных ошибок, уровень тревожности, показатель интеллектуаль­ной лабильности, интенсивность агрессивных реакций, угол поворота корпуса в беседе, показатель социометрического статуса и множество других переменных.

Понятия признака и переменной могут использоваться как взаи­мозаменяемые. Они являются наиболее общими. Иногда вместо них используются понятия показателя или уровня, например, уровень на­стойчивости, показатель вербального интеллекта и др. Понятия показа­теля и уровня указывают на то, что признак может быть измерен коли­чественно, так как к ним применимы определения "высокий" или низкий", например, высокий уровень интеллекта, низкие показатели тревожности и др.

Психологические переменные являются случайными величинами, поскольку заранее неизвестно, какое именно значение они примут.

Математическая обработка - это оперирование со значениями признака, полученными у испытуемых в психологическом исследовании. Такие индивидуальные результаты называют также "наблюдениями", наблюдаемыми значениями", "вариантами", "датами", "индивидуальны­ми показателями" и др. В психологии чаще всего используются термины “наблюдение" или "наблюдаемое значение".

Значения признака определяются при помощи специальных шкал измерения.

Специфика психологических измерений.

Психологическое измерение и психологический эксперимент

Понятия психологического измерения и психологического экспери­мента во многом совпадают, потому что организация эмпирической про­цедуры психологического измерения ничем не отличается от организа­ции эксперимента, а в результате эксперимента мы получаем данные, представленные в виде шкалы какого-либо типа, по крайней мере в виде шкалы наименований. Рассмотрим схему процесса психологического из­мерения.

S ► ----- ► --- —► ----- >М ► ----- ►

t

Y

S— набор стимулов; Y— физическая шкала как минимум наименова­ний, построение которой выходит за рамки психологического измерения; — эмпирическая процедура; — результат психического отра­жения; М— формальное множество;— вычислительная процедура; U— психологическая шкала.

Весь процесс, представленный данной схемой, можно разбить на три блока-этапа.

Первый — это взаимодействие эмпирической системы первого рода S с эмпирической системой второго рода Р посредством первой части эм­пирической процедуры На этом этапе определяется предмет психоло­гического измерения.

Второй — отображение в формальное множество с помощью М может быть множеством действительных чисел, например в методе не­посредственной количественной оценки, множеством качественных признаков — в методе категорий, множеством дихотомических реакций — в методе парных сравнений и т. д.

Третий — построение психологической шкалы. Собственно только этот этап и заслуживает название шкалирования.

Таким образом, все, что мы говорили выше о требованиях к психоло­гическому эксперименту, имеет непосредственное отношение к пробле­ме психологических измерений. Но особого внимания заслуживает во­прос критерия оценки, который определяет предмет измерения и роль инструкции испытуемому, определяющей его поведение, в том числе регистрацию «сырых» данных.

Самые первые методы психологических измерений (т. е. методы построения психологических или субъективных шкал) были разработаны в разделе психологии, называе­мом психофизикой. Основная задача, которую ставили пе­ред собой психофизики — это определить, как соотносят­ся физические параметры стимуляции и соответствующие им субъективные оценки наших ощущений (Боринг, 1950). Зная эту связь, т. е. имея в распоряжении функцию типа R=f(S), где S — значение физического параметра стимула, a R — значение субъективной реакции, предсказать ощу­щение, есть дело простого расчета. Психофизическая функ­ция устанавливает связь между числовыми значениями двух типов, с одной стороны — это шкала физического изме­рения стимула, с другой — значения психологической или субъективной реакции на этот стимул. Очевидно, что точ­ность расчетов прямо зависит от функции связи , т. е. от того, будет она более жесткой или более расплывчатой. Но сама психофизическая функция, как шкала, в свою оче­редь зависит от того, что из себя представляют исходные измерения R и S. Например, если измерения R и S дают шкалу отношений, то функция может устанавливать про­порциональную зависимость, а если R и S являются толь­ко порядковой шкалой, то и результирующая связь между ними ограничится установлением монотонности, напри­мер, но не более. Таким образом, для построения психо­логических шкал существенно, какого типа измерение было проведено как для стимулов, так и для реакций. Но в то время как физические измерения достаточно хорошо из­вестны и пользуются у исследователей доверием, психо­логические измерения даже в среде психологов популяр­ны намного меньше, поэтому мы несколько подробнее отметим особенности и принципы измерений, относящих­ся к субъективному шкалированию.

В основе субъективных измерений лежит процедура приписывания чисел элементам из данного множества реакций. Это приписывание должно производиться по не­которым правилам. Правила заключаются в том, чтобы определенные отношения, которые установлены для чисел, выполнялись также и на множестве реакций. В зависимос­ти от того, какие именно отношения можно установить для данного множества реакций, строится и соответству­ющая шкала измерения. По общепринятой классифика­ции для субъективных измерений обычно рассматривают четыре основных типа шкал (Стивене, 1960; Пфанцагль, 1976). Рассмотрим особенности психологических измере­ний более подробно.

Понятие измерения

Значение психологических измерений не ограничива­ется только тем, что они более строго обозначают неопре­деленные или расплывчатые суждения типа «звук низкий» или «этот человек общительный» с помощью таких коли­чественных оценок как «высота звука равна 80 мелам»'1 (Мел — единица измерения высоты звука.) или «этот человек имеет ранг 7 по 10-ти балльной шкале общительности». Значение числовых оценок важно прежде всего тем, что они позволяют применять математические методы к данным эмпирических исследований, а затем формулировать количественные законы, являющиеся неотъемлимой частью любой науки. Однако, адекватность использования математических методов, и, соответствен­но, польза от их применения, зависят непосредственно от того, каким образом проведены измерения. Кратко рас­смотрим три важнейших составляющих процесса измере­ния — природу объекта измерения, используемые сред­ства и его результат или его объектную, инструменталь­ную и результативную характеристики.

Наиболее общее определение понятия измерение, как процедуры присваивания числовых значений измеряемому объекту для представления их свойств или качеств, при­надлежит Н. Кэмпбеллу (1920, 1940). В соответствии с так называемой репрезентативной теорией измерений числовой результат измерения представляет существенные ха­рактеристики объекта измерения и, следовательно, позво­ляет делать осмысленные выводы о его свойствах. Сходное представление об измерении ввел в психологическую ли­тературу С. Стивенс (1946, 1951), определив его как при­писывание чисел объектам или событиям в соответствии с определенными правилами, тем самым, подчеркнув не­обходимость определенных условий для осуществимости измерений.

Более строгое и полное определение измерения, фик­сирующее внимание на отношениях между объектом из­мерения и его результатом, дается в формально-математи­ческих концепциях теории измерений: «Измерение заклю­чается в присвоении чисел вещам таким образом, что некоторые отношения между ними (числами. — А. Г.) соот­ветствуют наблюдаемым отношениям и операциям над вещами, которым они присвоены, или которые с их помощью представляются» ( 1960, цит. по: Вер­ка, с. 37). Сходные определения можно найти у многих ав­торов, писавших и о психологических измерениях (см., например, Суппес, Зииес, 1967).

Рассмотрим данное определение подробнее. Допустим, что мы имеем дело с некотором эмпирическим множеством измеряемых объектов, например: испытуемые, у которых необходимо измерить креативность (находчивость, изобретательность). В теории измерений данное множество называют системой эмпирических объек­тов с отношениями, имея в виду, что на данном множе­стве объекты связаны определенными отношениями или операциями:

Е=<Е, RE>,

где Е есть непустое множество эмпирических объектов, а RE — непустое множество некоторых отношений между ними. Под отношением понимается возможность соотнесения объектов по определенному признаку (характеристике); например: отношение эквивалентности определяет возмож­ность установления равенства двух или нескольких объек­тов, отношение порядка позволяет оценить большую или меньшую выраженность какого-либо признака и т. д. Анало­гичным образом вводится понятие числовой реляционной системы как совокупность множества чисел (например, множество целых чисел) и множества отношений:

N=<N, RN>

Суть измерения, таким образом, заключается в при­писывании объектам числовых значений так, чтобы отно­шения, имеющиеся в эмпирической системе, адекватно отображались (т. е. переносились, соответствовали) на чис­ловом множестве. В результате проведенного измерения на множество чисел передаются только те отношения, кото­рые устанавливались в эмпирической системе. Возвраща­ясь к нашему гипотетическому примеру, подчеркнем, что, если мы проводили простое ранжирование группы из 10 испытуемых по креативности (сейчас не важно с помо­щью какой процедуры), т. е. устанавливалось отношение порядка, то полученный результат — числовая система с конечным множеством чисел 1 до 10, будет включать в себя также отношение порядка. Таким образом, формали­зованное определение понятия «измерение» может быть задано как бинарное отношение

М(Е, N),

имеющееся между некоторой эмпирической и числовой реляционными системами, или как упорядоченную тройку

<E, N,F>,

где F есть взаимно-однозначное соответствие, позволяю­щее преобразовать Е в N. Такое бинарное отношение на­зывают гомоморфизмом, подчеркивая тем самым, что в от­личие от изоморфизма взаимно-однозначное соответствие устанавливается не в полном объеме, т. е. не все свойства эмпирических объектов и, конечно же, не все свойства чисел могут однозначно соответствовать друг другу. Как правило, имеется в виду, что лишь некоторые свойства объектов могут быть строго отображены с помощью мате­матических правил некоторыми свойствами чисел. Таким образом, оценивая результат измерения, следует отметить, что именно однозначное соответствие (гомоморфизм) ис­пользуемых числовых и эмпирических систем позволяет использовать первые в качестве математической модели измеряемой эмпирической реальности, использовать как носитель некоторых отношений, исследуемых психологом.

В соответствии с характером отношений, устанавливае­мых на множестве эмпирических объектов, результаты из­мерения могут быть более или менее строгими или, как еще принято говорить, иметь различный уровень. Дальней­шая разработка проблемы уровней измерения нашло свое от­ражение в классификации типов измерительных шкал. В ли­тературе по проблемам психологических измерений поня­тие шкалы рассматривается фактически также как и понятие измерения, поскольку шкала как последовательность чис­ловых значений является непосредственным его результатом. В психологической литературе рассматриваются как одно­мерные, так и многомерные шкалы. В первом случае отдель­ные объекты эмпирической системы отображаются в чис­ловой системе одним единственным числом. Во втором — каждому объекту соответствует несколько чисел.

Наиболее распространенной в психологии классифика­цией шкал как уровней измерения является классификация С. Стивенса (1960), хотя ряд других математических психо­логов также внес серьезный вклад в разработку данной про­блематики. Четкое представление психолога об уровнях из­мерения, на наш взгляд, особенно важно. Эта важность обусловлена прежде всего тем, что адекватное использование той или иной про­цедуры обработки данных зависит от того, какими свойства­ми обладают полученные числа, т. е. какую информацию они несут в качестве числовой модели отображаемой эмпири­ческой системы (например, зависимые и независимые пере­менные). В конечном счете, вопрос о том, какой математи­ческий метод может быть использован для анализа получен­ных данных, в большой степени зависит от того, к какому типу шкал относятся эти данные.

1.1.  Измерительные шкалы

Основой для классификации измерительных шкал С. Стивенса являются сле­дующие понятия:

1)  эмпирические отношения, которые устанавливаются на множестве измеряемых объектов;

2)  допустимые преобразования, возможные на шкале, которые определяют математическую структуру шкалы.

Допустимыми преобразованиями над шкальными значе­ниями (числами) называются такие математические пре­образования, с точностью до которых определены полу­ченные по этой шкале значения. Это те преобразования, применение которых оставляет эмпирические отношения, отображаемых числами, инвариантными, или, проще го­воря, не меняют смысла проведенных измерений.

Любой вид измерения предполагает наличие единиц измере­ния. Единица измерения это та «измерительная палочка», как го­ворил С. Стивенс, которая является условным эталоном для осуществления тех или иных измерительных процедур. В естествен­ных науках и технике существуют стандартные единицы измере­ния, например, градус, метр, ампер и т. д.

Психологические переменные за единичными исключениями не имеют собственных измерительных единиц. Поэтому в боль­шинстве случаев значение психологического признака определя­ется при помощи специальных измерительных шкал.

Стивенсу (1951), существует четыре типа изме­рительных шкал (или способов измерения):

1)  номинативная, номинальная или шкала наименований;

2)  порядковая, ординарная или ранговая шкала;

3)  интервальная или шкала равных интервалов;

4)  шкала равных отношений, или шкала отношений.

Все находящиеся в одной строчке наименования являются синонимами и поэтому в дальнейшем изложении будут исполь­зоваться на равных основаниях.