Экзаменационные вопросы по дисциплине «Основы теории управления» (стр. 2 )

где A(), C() -полиномы с четными степенями частоты,

B(), D() -полиномы с нечетными степенями частоты.

Помножим числитель и знаменана выражение C() - jD(). Избавимся таким образом от мнимости в знаменаи получим

W(j ) = P() + jQ(), (3.11)

где P() - действительная часть ККП, Q() - мнимая часть ККП, причем ; .

Выражение (3.11) есть алгебраическая форма записи ККП. На практике ККП чаще представляется в показательной форме: (3.12) где - модуль ККП, - аргумент ККП.

Пример: тогда = = ,где .

Если построить комплексную плоскость, ось абсцисс которой представляет действительные значения P(), а ось ординат - мнимые значения jQ() комплексного коэффициента передачи, то при изменении частоты от нуля до бесконечности на этой плоскости образуется последовательность точек - некая кривая, называемая годографом ККП.

На рис.3.3 приведен годограф ККП, описываемый выражением

где ;.

Рис.3.3 Годограф ККП инерционного устройства

При воздействии на вход линейной системы гармонического сигнала на ее выходе в установившемся режиме сигнал тоже будет гармоническим, причем частоты входного и выходного сигналов совпадают.

Выражение для выходного сигнала определяется по (3.7) с учетом (3.8): ,

где .

При перемножении комплексных чисел лучше всего использовать показательные формы их представления.

Тогда =откуда .

Из этого выражения видно, что амплитуда выходного сигнала изменилась в W() раз, а фаза получила приращение на величину .

9. Частотные характеристики САУ: АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ.

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля ККП от частоты

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента ККП от частоты

На рис.3.5 приведены АЧХ и ФЧХ инерционного устройства, ККП которого описывается выражением Из него следует ,

Рис.3.4 АЧХ и ФЧХ инерционного устройства

Логарифмические АЧХ и ФЧХ

Логарифмическая АЧХ (ЛАЧХ) определяется выражением

При этом по оси абсцисс в линейном масштабе откладывается не частота w, а логарифм частоты. Чаще всего используются логарифмы по основанию 2, или по основанию 10, . В первом случае шкала называется октавной, а во втором случае декадной.

Логарифмическая ФЧХ (ЛФЧХ) строится так: по оси ординат откладывается значение , а по оси абсцисс в линейном масштабе откладывается логарифм частот или .

Для упрощения построения ЛАЧХ часто используется приближенная кусочно-линейная аппроксимация.

Поясним это на примере:

Тогда

Кусочно-линейная аппроксимация ЛАЧХ строится по выражениям:

где - частота сопряжения, на которой выполняется условие . На частотах . величина , поэтому под корнем пренебрегают слагаемым .

На частотах величина , поэтому под корнем пренебрегают единицей.

На рис.3.5 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционного устройства. Так как по шкале абсцисс в линейном масштабе откладывается , поэтому аппроксимация ЛАЧХ получается кусочно-линейной с наклоном -20 децибелл на декаду.

Рис.3.5 ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционного устройства

10. Переходная и импульсная характеристики САУ. Определения, связь с передаточной функцией, примеры.

Переходная характеристика

Из уравнения следует, что . (3.1) откуда (3.2)

По этому выражению можно найти выходной сигнал системы при любых входных сигналах x(t), для которых существует прямое преобразование Лапласа X(p).

Однако на практике часто в качестве входных сигналов используют такие, которые просто описываются математически и позволяют исследовать различные характеристики САУ. Одним из таких испытательных сигналов является единичный скачок, описываемый выражением

Преобразование Лапласа от единичного скачка . (3.3)

Переходной характеристикой h(t) системы называется сигнал на ее выходе при воздействии на ее входе единичного скачка при нулевых начальных условиях. Под нулевыми условиями понимается состояние покоя.

Математически переходная характеристика определяется по выражению, следующему из (3.2) с учетом (3.3) . (3.4)

Передаточная функция инерционного устройства . Этой функции соответствует дифференциальное уравнение .

Переходная характеристика инерционного устройства описывается выражением (см. табл.2.1)

, где , T - постоянная времени инерционного устройства.

На рис.3.1 изображены единичный скачок 1(t) и переходная характеристика .

Рис.3.1 Единичный скачок и переходная характеристика инерционного устройства

Импульсная характеристика

Другим широко используемым сигналом является единичный импульс, предложенный математиком Дираком. Он описывается выражением , причем .

Последнее условие свидетельствует о том, что площадь импульса Дирака равна единице. Единичный импульс есть предел прямоугольного импульса шириной и высотой при . Единичный импульс называют также дельта-функцией.

Имеет место замечательное фильтрующее во времени свойство единичного импульса .

Это свойство гласит так: свертка любой функции с единичным импульсом равна значению функции в момент действия этого импульса.

Преобразование Лапласа от единичного импульса найдем, используя его фильтрующее свойство: . (3.5)

Импульсной характеристикой w(t) системы называется сигнал на ее выходе при воздействии на ее входе единичного импульса при нулевых начальных условиях.

Математически импульсная характеристика определяется по выражению, следующему из (3.2) с учетом (3.5)

. (3.6)

Из этого выражения следует правило: импульсная характеристика системы есть обратное преобразование Лапласа от ее передаточной функции.

Для инерционного устройства , где .

Тогда из табл.2.1 имеем:

График этой импульсной характеристики приведен на рис.3.2

Рис.3.2 Импульсная характеристика инерционного устройства

Определим связь между импульсной и переходной характеристикой. Из (3.4) следует, что прямое преобразование Лапласа от переходной характеристики

откуда W(p) = pH(p).

Возьмем обратное преобразование от левой и правой частей этого уравнения и получим

w(t) = ph(t),

где - символ дифференцирования.

Таким образом, импульсная характеристика есть производная по времени от переходной характеристики.

11. Характеристики пропорционального и интегрирующего звеньев.

Пропорциональное звено

В пропорциональном или безынерционном звене выходной сигнал прямо пропорционален входному сигналу: y(t) = k x(t), откуда передаточная функция пропорционального звена: W(p) = k

есть величина постоянная, не зависящая от р. На рис.4.3 приведены примеры пропорциональных (безынерционных) звеньев.

(а)

(б)

(в)

Рис. 4.3 Безынерционные звенья: резистивный делитель (а), инвертирующий усилитель (б), неинвертирующий усилитель (в)

Для схемы на рис. 4.3.а имеем:

u = u1+ u2 = i R1 + i R2 = i (R1+R2), откуда

тогда передаточная функция = .

Для схемы на рис. 4.3.б в соответствии с (4.5) получим: .

В частном случае при получается инвертор, у которого W(p) = -1.

Для схемы на рис. 4.3.в в соответствии с (4.6) имеем: .

Т. к. число , то усилитель на рис.4.3.б называется неинвертирующим.

Интегратор

В интеграторе выходной сигнал связан с входным соотношением: ,

откуда где , - постоянная времени интегратора.

Передаточная функция интегратора: .

Если в схеме на рис.4.2.б вместо включить конденсатор С, а вместо Z включить резистор R (рис. 4.4а) , то в соответствии с (4.5) с учетом (4.4) получим интегратор с инвертированием, у которого , где , = СR - постоянная времени интегратора.

Если перед интегратором включить инвертор, то получится интегратор без инвертирования, у которого .

(а)

(б)

Рис. 4.4 Схемы интегратора (а) и дифференциатора (б)

Основные характеристики интегратора:

ККП ;; ;

АЧХ ;

ЛАЧХ ;

ФЧХ ;

ПХ ;

ИХ =.

На рис. 4.5 приведены ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ интегратора.

Рис. 4.5. Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ интегратора

12. Характеристики дифференциатора и инерционного звена первого порядка

На рис. 4.2 приведены две схемы включения операционных усилителей: инвертирующего (а) и неинвертирующего (б).

(а)

(б)

Рис. 4.2 Схемы включения операционных усилителей: инвертирующего (а) и неинвертирующего (б)

Для схемы на рис. 4.2.а передаточная функция определяется по формуле: , (4.5) а для схемы на рис. 4.2.б - по формуле: . (4.6)

Дифференциатор

В дифференциаторе выходной сигнал связан с входным соотношением: ,

откуда , где , - постоянная времени дифференциатора.

Передаточная функция дифференциатора .

Если в схеме на рис. 4.2б вместо включить резистор R, а вместо Z включить конденсатор С (рис. 4.4б), то в соответствии с (4.5) с учетом (4.4) получим дифференциатор с инвертированием

, где - постоянная времени дифференциатора. При необходимости инверсию можно устранить, включив последовательно с дифференциатором инвертор, у которого W(p) = -1. Тогда получим .

Основные характеристики дифференциатора:

ККП , ,.

АЧХ .

ЛАЧХ .

ФЧХ .

ПХ .

ИХ .

На рис. 4.6 приведены ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ дифференциатора.

(а)

(б)

Рис. 4.6. Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ дифференциатора

Инерционное звено

В инерционном или апериодическом звене выходной сигнал связан с входным соотношением

, откуда Y(p) = k X(p) - p T Y(p) , (4.7) где Т - постоянная времени звена.

Передаточная функция инерционного звена следует из (4.7) . (4.8)

Если в схеме на рис. 4.2.а вместо конденсатор С, а вместо включить резистор R (рис. 4.7.а), то в соответствии с приведенными на рис. 4.7.а обозначениями получим

(а)

(б)

Рис. 4.7. Схемы инерционного звена (а) и дифференцирующей цепи (б)

, , .

Тогда .

По определению W(p) = .

После сокращения числителя и знаменателя на рС получим W(p) = , где Т = RC - постоянная времени.

Основные характеристики инерционного звена с передаточной функцией (4.8):

ККП ; ;;

АЧХ ;

ЛАЧХ = ;

ФЧХ ;

ПХ = ;

ИХ .

На рис. 4.8 приведены годограф ККП, ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ инерционного звена, а также кусочно-линейная аппроксимация ЛАЧХ.

Частота называется частотой сопряжения отрезков прямых. До частоты ЛАЧХ идет параллельно оси абсцисс, а выше частоты ЛАЧХ имеет наклон -20 дБ/дек. На частоте ФЧХ имеет значение .

Рис. 4.8 Графики годографа ККП, ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ инерционного звена

13. Характеристики дифференцирующей цепи.

Схема дифференцирующей цепи приведена на рис. 4.7.б. Изображение по Лапласу напряжений на элементах схемы , тогда с учетом (4.4) получим:

, .

По определению .

Умножив числитель и знаменатель на рС, получим: , где T = RC - постоянная времени RC-цепи.

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение, следующее из соотношения: , откуда .

Здесь .

Основные характеристики дифференцирующей цепи:

ККП ; ; ;

АЧХ ;

ЛАЧХ ;

ФЧХ ;

ПХ ;

ИХ = .

На рис. 4.9 приведены годограф ККП, ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ дифференцирующей цепи, а также кусочно-линейная аппроксимация ЛАЧХ.

Рис. 4.9 График годографа ККП, ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ

14. Передаточные функции САУ при последовательном, параллельном соединении звеньев, по схеме с обратной связью.

Последовательное соединение звеньев

На рис. 5.1 приведена схема последовательного или каскадного соединения звеньев с передаточными функциями Wi, i =.

Рис. 5.1 Схема последовательного соединения звеньев

Из схемы на рис. 5.1 следует, что

(5.1)

По определению передаточная функция всей цепи (5.2)

Из (5.1) следует: , .

Подставим в (5.2) это значение и получим (5.3)

Из этого выражения следует, что при последовательном соединении звеньев результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций этих звеньев.

Параллельное соединение звеньев

На рис. 5.2 приведена схема параллельного соединения звеньев с передаточными функциями , .

Из рис. 5.2 следует, что .

Тогда , (5.4) причем .

По определению и с учетом (5.3) получим (5.4)

Из (5.4) следует, что при параллельном соединении звеньев передаточная функция равна сумме передаточных функций этих звеньев.

Рис. 5.2 Схема параллельного соединения звеньев

Соединение звеньев по схемам с обратными связями

Как уже отмечалось в разделе 1, для улучшения качества работы САУ строятся по замкнутой схеме с обратной связью.

На рис. 5.3 приведены две возможные схемы соединения звеньев с обратными связями

(а)

(б)

Рис. 5.3 Две схемы соединения звеньев с обратными связями

Из схемы на рис. 5.3.а имеем , где , - передаточная функция при разомкнутой цепи обратной связи.

Тогда , откуда передаточная функция замкнутой системы на рис. 5.3а равна: (5.5).

Из схемы на рис. 5.3б имеем: , где = .

Тогда .

Откуда передаточная функция замкнутой системы на рис. 5.3.б равна (5.6)

15. Получение передаточных функций сложных САУ.

На практике встречаются системы с двумя и более цепями обратной связи. Такие системы называются многоконтурными. На рис. 5.4 приведена схема двухконтурной системы.

Рис. 5.4 Схема двухконтурной системы

Передаточную функцию для этой системы получим поэтапно. Вначале получим выражение для передаточной функции внутреннего контура ВК, обведенного пунктиром. Схема ВК совпадает со схемой на рис. 5.3.б, для которой на основании получим: .

Теперь схема совпадает с рис. 5.3.а, в котором .

Отсюда на основании получим , где определяется по приведенному выше выражению.

На рис. 5.5.а приведена схема трехконтурной системы, причем сигналы в цепи обратной связи берутся из разных точек схемы.

(а)

(б)

Рис. 5.5 Две эквивалентные схемы трехконтурной системы

На рис. 5.5.б приведена эквивалентная ей вторая схема, в которой сигнал обратной связи берется из общей для всех трех цепей точки. Это удалось сделать благодаря тому, что дополнительно включили звено с передаточной функцией . Покажем это. В схеме на рис. 5.5.а изображение сигнала на входе звена равно . Тогда . Помножим Y(p) на и получим , то есть на звено поступает тот же самый сигнал, что и в схеме на рис. 5.5.а. Таким образом, эквивалентность схем на рис. 5.5.а и на рис. 5.5.б доказана.