Цифровая обработка изображений (стр. 2 )

. (2.14)

Из этого следует, что при недостаточной частоте дискретизации, меньшей, чем двойная верхняя граничная частота шума, происходит подмешивание боковых спектров шума к центральному спектру полезного сигнала, что приводит к дополнительным искажениям в восстановленном изображении.

Дискретизация изображений в реальных системах

Реальная система дискретизации имеет два важных отличия от идеальной. Во-первых, изображения в реальных системах всегда имеют ограниченные размеры. Поэтому дискретизирующую функцию представим в виде

,

где .

(В этом случае размер изображения равен .)

Во-вторых, отсчет непрерывного изображения берется не в точке с координатами , , а получается интегрированием изображения по окрестности этой точки с некоторой весовой функцией :

. (2.15)

Вид окрестности и весовой функции определяется свойствами регистрирующего прибора.

Если форма весовой функции не зависит от координат , , то (2.15) можно представить в виде свертки, положив, что вне окрестности :

. (2.16)

Т. о., в реальной системе дискретизованное изображение представляется как

,

а его спектр имеет вид

. (2.17)

Спектр Фурье функции обычно является функцией с монотонно убывающей огибающей, что приводит к сужению спектра дискретизуемого изображения. В то же время ограниченность размеров изображения вызывает появление в спектре бесконечных, хотя и убывающих, “хвостов” (первая свертка в (2.17)). Действие дискретизации по-прежнему выражается в наложении бесконечного числа сдвинутых спектров (вторая свертка), которые из-за наличия в “хвостов” обязательно будут перекрываться. При восстановлении непрерывного изображения первое обстоятельство приводит к “размытию” изображения, а второе – к появлению паразитных колебаний, в основном проявляющихся на краях изображений.

Квантование изображений

Операция квантования сводится к разбиению диапазона возможных значений сигнала на конечное число интервалов, внутри каждого из которых сигналу присваивается одно и то же значение. Здесь мы рассмотрим влияние квантования на точность представления сигнала. Пусть – сигнал, значения которого могут изменяться в непрерывном интервале . Разобьем этот интервал с помощью непересекающихся интервалов, полностью его покрывающих. Обозначим через , , пороговые уровни, соответствующие границам интервалов и положим , . Сравнивая исходный сигнал с набором пороговых уровней, квантованный сигнал определим как

, , если ,

где – уровни квантования (естественно считать, что ).

Чтобы сказать что-либо определенное об ошибке квантования, необходимы дополнительные сведения о поведении . Будем считать, что непрерывная случайная величина, распределенная с плотностью вероятности . В качестве меры ошибки используем среднеквадратичную ошибку , определенную как

.

Если количество интервалов квантования велико, а – достаточно гладкая функция, то внутри -го интервала квантования можно считать, что . Тогда

. (2.18)

Когда пороги квантования заданы, из (2.18) нетрудно получить уровни квантования, минимизирующие ошибку. Для этого необходимо решить систему уравнений

, . (2.19)

Решение этой системы имеет вид

, (2.20)

т. е. оптимальные уровни квантования лежат посередине между порогами. В этом случае

. (2.21)

Обычно (из-за простоты реализации квантователя) пороги квантования выбираются равноотстоящими, т. е.

.

Учитывая, что ,

из (2.12) в этом случае получим

. (2.22)

Вопросы

1.  Какова структура двумерного частотного спектра дискретного изображения?

2.  Учитывая, что спектры реальных изображений не являются финитными функциями, предложите метод расчета ошибок восстановления, обусловленных нарушением условий (2.7)

3.  Непрерывное изображение представляет собой аддитивную смесь , где – полезная, а – шумовая составляющие, причем их верхние граничные частоты связаны неравенствами , , т. е. шумовая составляющая изображения имеет более широкий спектр, чем его полезная составляющая (детерминированная или случайная). С какой частотой следует дискретизовать , чтобы при восстановлении обеспечить минимально искаженное шумом изображение?

4.  Предложите метод квантования, приводящий к ошибке квантования меньшей, чем (2.22).

Литература

1.  Теория систем и преобразований в оптике. М., “Мир”, 1971

3. Математический аппарат описания дискретных изображений

Векторное представление дискретных изображений

Естественным способом представления дискретного изображения является его представление в виде двумерного массива отсчетов в прямоугольной области

, , , (3.1)

который иногда интерпретируется как матрица .

При анализе дискретных изображений их иногда удобно представлять в векторном виде, “вытягивая” столбцы или строки массива (3.1) в один длинный вектор [1, гл.5]. Переход от матричного представления изображения к векторному можно осуществить с помощью матрично-векторного преобразования

, (3.2)

где , , - матрица размера с нулевыми

элементами, а - единичная матрица того же размера.

Этим преобразованием вектор , являющийся -м столбцом матрицы , помещается в позиции с по вектора .

С помощью аналогичной процедуры вектор преобразуется в матрицу :

. (3.3)

Дискретное двумерное преобразование Фурье

Дискретное двумерное преобразование Фурье двумерного массива , , определяется в виде ряда

, (3.4)

где .

называется дискретным спектром Фурье массива .

Обратное преобразование имеет вид

. (3.5)

Дискретный спектр Фурье периодичен, т. е.

для любых целых значений и .

Во-вторых, он обладает комплексно-сопряженной симметрией:

.

Подставляя в (3.5) вместо (,) (,) и учитывая, что для любых целых и ,

получим

,

т. е. дискретным спектром Фурье в действительности представляется периодически продолженное изображение , , , подчиняющееся соотношению

. (3.6)

Линейные преобразования дискретных изображений

Определим результат воздействия линейной системы на изображение как изображение , , :

, (3.7)

где - дискретный импульсный отклик системы. Если система является пространственно-инвариантной, ее воздействие на изображение выражается дискретной сверткой

(3.8)

Следует заметить, что дискретное преобразование (3.8) не может быть строго пространственно инвариантным, поскольку при вычислении близких к границам значений в сумму (3.8) включаются не все возможные значения . Рис. 3.1 иллюстрирует возникновение граничных эффектов при вычислении дискретной свертки. Заштрихованы области, по которым выполняется суммирование при вычислении различных значений .

Рис. 3.1. Граничные эффекты при вычислении дискретной свертки

Построим продолженные периодически с периодами и исходное изображение и . Тогда изображение

(3.9)

тоже будет периодическим, хотя и не будет точным периодическим продолжением . Выражением (3.9) представляется циклическая свертка. На рис. 2 схематично изображено отличие обычной и циклической свертки в одномерном случае.

а

б

Рис. 3.2. Обычная (а) и циклическая свертки. Заштрихованы области, внутри которых выполняется суммирование

Воспользовавшись периодичностью дискретного спектра Фурье нетрудно показать, что спектры периодически продолженных исходного изображения, импульсного отклика и результата их циклической свертки связаны соотношением

. (3.10)

Вероятностное описание дискретных изображений

Рассматривая дискретное изображение как реализацию некоторого множества случайных величин, его можно полностью определить -мерной () функцией распределения вероятностей

.

Как и в случае непрерывных изображений, получение многомерных функций распределения для дискретных изображений является практически неразрешимой задачей, поэтому при статистическом анализе обычно используются одномерные либо двумерные функции распределения.

Если отсчеты дискретного изображения представляются конечным набором значений (квантованное изображение), соответствующие ему функции распределения вероятностей дискретны. На практике наиболее широко используется оценка одномерной функции распределения вероятностей (одномерная гистограмма), которая имеет вид

, (3.11)

где - количество возможных значений, которые могут принимать отсчеты изображения, - количество отсчетов изображения, принимающих значение . Поскольку - полное количество отсчетов изображения, то и .

Так же как и для непрерывных изображений, для описания случайных дискретных изображений определяются статистические моменты.

Среднее значение дискретного изображения, представленного в виде матрицы , представляет собой матрицу средних значений элементов матрицы .

. (3.12)

Корреляция двух элементов изображения с координатами и определяется как

, (3.13)

ковариация – как

, (3.14)

а дисперсия элемента изображения по определению есть

. (3.15)

Аналогичным образом определяется кросс-корреляция и кросс-ковариация двух элементов, принадлежащих двум разным изображениям и :

(3.16)

и

. (3.17)

В математической статистике случайным векторам сопоставляются векторы средних значений, корреляционные и ковариационные матрицы. Поэтому для изображения, представленного в векторном виде посредством преобразования (3.2), можно ввести вектор средних значений

(3.18)

и корреляционную матрицу

.

Размер корреляционной матрицы равен .

Матрица представляет собой корреляционную матрицу -го и -го столбцов изображения и имеет размер . Следовательно, корреляционную матрицу изображения можно представить в виде блоков

. (3.19)

Ковариационная матрица изображения, представленного в виде вектора, связана с корреляционной матрицей и вектором средних значений как

. (3.20)

Вектор дисперсий , состоящий из дисперсий элементов вектора , построен из диагональных элементов матрицы :

. (3.21)

Для нас особый интерес будут представлять изображения, стационарные в широком смысле. Для них среднее значение и дисперсия не зависят от координат, т. е.

, (3.22)

, (3.23)

а корреляционная и ковариационная функции зависят только от разностей , :

, (3.24)

. (3.25)

Соответственно, для изображения, представленного в векторном виде,

, (3.26)

, (3.27)

, (3.28)

где , .

Заметим, что такое представление моментов стационарного изображения очень избыточно, однако эта избыточность окупается возможностью использования привычного аппарата линейной алгебры.

Вопросы

Каким образом можно преобразовать изображение-матрицу в изображение-вектор? Докажите периодичность дискретного преобразования Фурье. В чем проявляются краевые эффекты при вычислении дискретной свертки? Что такое циклическая свертка? Чем отличается результат циклической свертки от результата простой свертки? Что такое гистограмма изображения, и какова ее связь с одномерной функцией распределения вероятностей? Почему ковариационная матрица стационарного вектора-изображения разбивается на ряд одинаковых блоков?

Литература

1. Цифровая обработка изображений, т.1. М., “Мир”, 1982

4. Улучшение изображений

Целью улучшения изображений является улучшение интерпретируемости изображения наблюдателем-человеком или создание “лучшего” входного изображения для последующего аппаратного анализа. К сожалению, нет строгого определения, каким должно быть изображение для “лучшего” восприятия человеком. Если преобразованное изображение “выглядит лучше”, значит, преобразование его улучшает. С другой стороны, для предобработки изображения, предшествующей аппаратному анализу, часто можно сформулировать количественную меру улучшения.

Процедуры улучшения изображений можно разбить на две категории. К первой категории относятся поэлементные преобразования, когда каждый отсчет преобразованного изображения получается преобразованием только соответствующего элемента исходного. Вторая категория – пространственные преобразования, когда отсчет выходного изображения является функцией нескольких отсчетов исходного. Эта категория преобразований еще называется фильтрацией.

Поэлементные преобразования

Пусть исходное изображение задано двумерным массивом , где - номер строки, - номер столбца. В общем виде поэлементное преобразование определяется как

. (4.1)

Здесь - некоторая однозначная функциональная зависимость выходного изображения от входного. Подстрочные индексы у указывают на то, что вид преобразования может изменяться при изменении координат. Такое преобразование называется пространственно-неоднородным, в отличие от пространственно-однородного, где ко всем элементам массива применяется одна и та же функция

. (4.1а)

Заметим, что если входное и выходное изображения квантованы, функция включает в себя округление до ближайшего уровня квантования. Простейшим видом поэлементного однородного преобразования является линейное контрастирование, которое имеет вид

. (4.2)

Обычно такое преобразование применяется при отображении изображения на экране дисплея или твердой копии, когда динамический диапазон сигнала не совпадает с динамическим диапазоном устройства отображения. Для согласования динамического диапазона входного изображения, заданного значениями ,, с динамическим диапазоном выходного, ,, применяется преобразование

. (4.3)

На рис. 4.1. приведен пример линейного контрастирования.

а	Б
Рис. 4.1. Линейное контрастирование изображений: а – исходное изображение, б – изображение, подвергнутое преобразованию (4.2)

Одним из примеров нелинейных преобразований служит так называемая соляризация, используемая для улучшения “выразительности” изображений. Соляризация описывается соотношением

. (4.4)

При соляризации яркие участки изображения становятся темными, а наиболее яркими становятся участки, имевшие значения в середине диапазона. Пример соляризации приведен на рис. 4.2.

а	б
Рис. 4.2. Соляризация изображений: : а – исходное изображение, б – изображение, подвергнутое преобразованию (4.4)

Другое нелинейное преобразование, эквализация гистограммы, приводит изображение с произвольным распределением яркости в изображение с распределением, близким к равномерному. Каким образом можно построить функцию , осуществляющую подобное преобразование? Рассмотрим сначала преобразование неквантованных изображений. Будем рассматривать изображения и как совокупности случайных величин, которые подчиняются распределениям с плотностью вероятности и соответственно. Из определения функции распределения вероятностей следует, что

.

Дифференцируя левый и правый интегралы по параметру , получим

. (4.5)

Определим теперь как

. (4.6)

Из (6), во-первых, следует что , а во-вторых, что . Следовательно,

,

т. е. преобразованное изображение равномерно распределено в диапазоне [0,1].

Пусть теперь значения изображения представляются квантами со значениями , . Гистограмма этого изображения есть по определению