Цифровая обработка изображений (стр. 1 )

Цифровая обработка изображений

(Учебное пособие)

Содержание

1. Математический аппарат описания непрерывных изображений. 3

Представление непрерывных изображений. 3

Системы преобразования непрерывных изображений. 4

Двумерное преобразование Фурье. 6

Детерминированное и вероятностное описание непрерывных изображений. 7

Вопросы.. 9

2. Представление изображений в цифровой форме. 10

Идеальная дискретизация изображений. 10

Дискретизация изображений в реальных системах. 13

Квантование изображений. 14

Вопросы.. 15

3. Математический аппарат описания дискретных изображений. 17

Векторное представление дискретных изображений. 17

Дискретное двумерное преобразование Фурье. 17

Линейные преобразования дискретных изображений. 18

Вероятностное описание дискретных изображений. 20

Вопросы.. 22

4. Улучшение изображений. 23

Поэлементные преобразования. 23

Простые пространственные преобразования. 28

Вопросы.. 29

5. Линейная фильтрация изображений. 31

Восстановление изображений. Оптимальный линейный фильтр. 31

Обнаружение объектов. Согласованный фильтр. 40

Совмещение изображений. Линейный прогноз. 45

Вопросы.. 51

6. Компьютерная томография. 52

Преобразование Радона. Задача томографии. 52

Теорема о центральном сечении. 54

Фурье-алгоритм восстановления томограммы.. 56

Восстановление томограммы методом свертки и обратного проецирования. 57

Восстановление томограммы методом обратного проецирования и двумерной фильтрации 60

Восстановление томограммы по проекциям, полученным в веерном пучке. 61

Влияние шума в проекционных данных на результаты восстановления. 61

Вопросы.. 65

7. Восстановление трехмерных поверхностей по стереопаре. 66

Модель регистрирующей камеры.. 66

Связь между различными системами координат. 68

Стереоскопическая система. 69

Калибровка камеры.. 72

Взаимное ориентирование. 77

Поиск сопряженных точек. 79

Вопросы.. 84

8. Математическая морфология и обработка изображений. 86

Операции математической морфологии. 87

Эрозия. 88

Морфологические операции в дискретном пространстве. 96

Вопросы.. 101

Этот курс посвящен цифровым методам обработки изображений. Поэтому в основном мы будем иметь дело с изображениями, представленными в виде двумерных массивов чисел с дискретно изменяющимися значениями. Исходным материалом для получения этих массивов, как правило, служат непрерывные двумерные поля (скалярные или векторные) различной физической природы. Конечной целью обработки обычно является либо получение каких-либо зрительных эффектов, обеспечивающих комфортное зрительное восприятие этих полей человеком, либо извлечение некоторых количественных характеристик, используемых для их интерпретации. Следовательно, для получения результатов обработки, корректно отражающих свойства исходного поля, необходимо знать, как происходит формирование изображения регистрирующей системой. С другой стороны, технология обработки зарегистрированного изображения зависит как от цели обработки, так и от способа его формального описания. Поэтому в первую очередь в этом курсе, следуя [1], кратко будут рассмотрены способы описания непрерывных и дискретных изображений и особенности преобразования непрерывных изображений в дискретную форму.

1. Математический аппарат описания непрерывных изображений

Представление непрерывных изображений

Обычно под изображением подразумевается некоторая функция от интенсивности исследуемого поля в плоскости, называемой плоскостью изображения. Интенсивность можно представить как функцию , которая зависит от двух пространственных координат и , времени и длины волны . Как в зрительной системе человека, так и в искусственных регистрирующих приборах реакция на воздействие поля зависит от спектральной чувствительности регистрирующей среды, поэтому мгновенное изображение, формируемое регистрирующей средой, можно представить в виде

, (1.1)

где - спектральная чувствительность среды.

По аналогии с естественным зрительным восприятием, где цветовые ощущения формируются за счет наличия в зрительной системе регистрирующих сред с различной спектральной чувствительностью, искусственные спектрозональные системы формируют набор изображений

, (1.2)

где - спектральная чувствительность -й регистрирующей среды.

В этом курсе в большинстве случаев будут рассматриваться изображения, от времени не зависящие, либо зависящие дискретным образом. Поэтому при дальнейшем описании непрерывных изображений аргумент будет опущен.

Системы преобразования непрерывных изображений

В системе преобразования непрерывных изображений набор исходных функций ,…, преобразуется в набор функций ,…, посредством воздействия на исходные функции операторов :

,

……………………………………. (1.3)

.

Особый интерес в дальнейшем будут представлять линейные системы, удовлетворяющие принципу суперпозиции, для которых справедливы соотношения:

,

…………………………………………………………………………………………. (1.4)

.

Удобным вспомогательным инструментом при анализе двумерных линейных систем является оператор вида

,

где – дельта-функция Дирака, обладающая следующими свойствами:

, (1.5а)

при сколь угодно малом положительном значении , (1.5б)

. (1.5в)

В декартовых координатах двумерную дельта-функцию можно представить как произведение двух одномерных:

, (1.6)

определяемых аналогичным (1.5) образом.

В дальнейшем полезным будет иметь в виду следующее тождество [2]:

, . (1.7)

Дельта-функция часто используется в качестве модели точечного источника света.

Рассмотрим простую двумерную линейную систему, преобразующую входное изображение в выходное посредством воздействия на входное изображение оператора :

.

Представим входное изображение в виде (1.5в). В силу линейности оператора получим

.

Но поскольку оператор действует только на функцию, зависящую от переменных и , то

.

Введем обозначение

. (1.8)

Рассматривая как изображение точечного объекта, помещенного в точку с координатами ,, функцию можно интерпретировать как преобразование этого изображения линейной системой, описываемой оператором . Эта функция называется импульсным откликом системы, а в применении к оптическим системам – функцией рассеяния точки (ФРТ). Таким образом, воздействие линейной двумерной системы на изображение можно представить в виде интеграла суперпозиции

. (1.9)

Как следует из (1.8), в общем случае линейная система по-разному воздействует на различные участки входного изображения, в частности, одинаковые точечные объекты, помещенные в разных участках входного изображения, могут иметь различную форму в выходном изображении. Форма выходного изображения точечного объекта сохраняется, если импульсный отклик системы зависит только от разности координат . В этом случае воздействие линейной системы представляется в виде интеграла свертки

, (1.10)

который в символической форме записывается как

. (1.10а)

Линейные двумерные системы, описываемые соотношением (1.10), называются пространственно-инвариантными (в оптике – изопланатическими).

Двумерное преобразование Фурье

Одним из полезных инструментов, используемых при анализе линейных систем, является преобразование Фурье. В результате двумерного преобразования Фурье получается двумерный спектр исходного изображения :

, . (1.11)

Для существования Фурье-спектра функции достаточно выполнения условия

. (1.11а)

В общем случае спектр - комплексная функция, которая может быть представлена либо в виде действительной и мнимой составляющих:

,

либо в виде модуля и фазы:

,

где

, .

Преобразование Фурье обратимо:

. (1.12)

Напомним ряд свойств двумерного преобразования Фурье [3].

Если , то , где , и – Фурье-спектры функций , и , т. е. преобразование Фурье линейно.

Если , то , где и – одномерные Фурье-спектры функций и .

Если и , то и , т. е. Фурье-спектр действительной четной функции – действительная четная функция (здесь и далее надстрочный индекс * обозначает комплексную сопряженность).

Если и – Фурье-спектр функции , то Фурье-спектр функции есть

. (1.13)

Если , то

. (1.14)

Если , то

(1.15)

(теорема о спектре свертки).

Наоборот, если , то

. (1.15а)

Квадраты модулей исходного изображения и его Фурье-спектра связаны соотношением

(1.16)

(теорема Парсеваля).

Соотношения (1.15) и (1.15а) широко используются при анализе линейных пространственно-инвариантных систем. Если в пространственных координатах воздействие системы с импульсным откликом на изображение описывается интегралом свертки (1.10), то в частотных координатах оно сводится к простому умножению спектра изображения на спектр импульсного отклика, называемый частотной характеристикой системы.

Детерминированное и вероятностное описание непрерывных изображений

С точки зрения определенности конкретных значений изображения в данных координатах и в данный момент времени существует два основных подхода к его описанию. Первый подход, называемый детерминированным, предполагает, что в каждой точке функция определяется единственным образом. Иногда более плодотворным для анализа изображений представляется их вероятностное описание, когда данное изображение рассматривается как реализация случайного процесса. Случайный процесс в точках отсчета , , полностью описывается совместной плотностью вероятности

, (1.17)

определяющей вероятность того, что – значения процесса в точках с координатами удовлетворяют условиям

, , . (1.18)

Получение совместных плотностей вероятности высокого порядка для изображений является практически непреодолимой проблемой (исключая случаи построения модельных функций плотности). В ряде случаев для описания изображения как реализации случайного процесса достаточно знать плотности вероятности первого и второго порядка, которые могут быть построены на основе физических моделей или оценены экспериментально. Используя эти плотности вероятности, случайный процесс можно описать его статистическими моментами первого и второго порядков.

Первый момент (математическое ожидание, среднее значение) функции определяется как

. (1.19)

Здесь – область допустимых значений функции .

Символом здесь и далее будет обозначаться операция усреднения по ансамблю.

Второй момент, или автокорреляционная функция, по определению равен

(1.20)

Здесь подстрочные индексы 1 и 2 при соответствуют не двум разным процессам, а значениям одного процесса, соответствующим двум разным точкам пространства. Второй центральный момент, автоковариационная функция, определяется как

. (1.21)

Нетрудно показать, что

. (1.22)

Аналогичным образом для двух разных процессов и определяются кросс-корреляционная и кросс-ковариационная функции:

(1.20а)

и

. (1.21а)

Еще один момент второго порядка, дисперсия, есть

. (1.23)

Случайный процесс, порождающий изображения, называется стационарным в широком смысле, если его среднее значение и дисперсия постоянны, а автокорреляционная (автоковариационная) функция зависит только от разностей , . Для стационарного процесса

, (1.19а)

(1.23а)

. (1.22а)

Несложно убедиться, что автокорреляционная (автоковариационная) функция действительного стационарного процесса есть функция четная, т. е.

.

Выполнение условия (1.11а) для случайного процесса не гарантировано, поэтому нельзя говорить о его преобразовании Фурье. Однако к ковариационной функции стационарного процесса, которая есть функция детерминированная, преобразование Фурье может быть применено. Функция

(1.23)

называется спектром мощности стационарного случайного процесса . Результат преобразования Фурье кросс-ковариационной функции, иногда называемый кросс-спектром мощности, по определению есть

. (1.23а)

Рассмотрим линейную пространственно-инвариантную систему, действие которой на входное изображение, являющееся реализацией стационарного случайного процесса представляется выражением (1.10). Вычислим среднее значение выходного изображения :

(1.24)

Аналогично вычисляется корреляционная функция выходного изображения

(1.25)

и спектр мощности

. (1.26)

Вопросы

Докажите справедливость 1.14. Докажите справедливость 1.15. Докажите справедливость 1.21. Докажите, что автокорреляционная функция действительного стационарного процесса –функция четная.

Литература

Цифровая обработка изображений, т.1. М., “Мир”, 1982 Теория систем и преобразований в оптике. М., “Мир”, 1971 Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. М., “Мир”, 1970

2. Представление изображений в цифровой форме

Получение изображения в цифровой форме, представляющего собой двумерный массив чисел с дискретно изменяющимися значениями, из изображения, представляющего собой непрерывное пространственное распределение некоторой физической величины, способной принимать непрерывный набор значений (аналоговой величины), состоит из двух основных операций. Первая операция (дискретизация) заключается в замене пространственно непрерывного изображения набором его отсчетов в отдельных точках, вторая (квантование) – в преобразовании аналоговых отсчетов в отсчеты, представляемые числами с конечным числом знаков. При этом возникает вопрос о величине погрешностей, возникающих при последующем восстановления непрерывного изображения по его дискретному аналогу. Здесь мы попытаемся оценить искажения, которые возникают при переводе непрерывного изображения в цифровую форму.

Идеальная дискретизация изображений

При идеальной дискретизации предполагается, что исходное непрерывное изображение имеет бесконечные размеры, а дискретизованное получается посредством взятия значений исходного в узлах некоторой бесконечной решетки. Для простоты изложения рассмотрим прямоугольную решетку, ориентированную вдоль координатных осей и имеющую шаг вдоль оси и вдоль оси .

Дискретизованное изображение в непрерывных координатах можно представить как набор дельта-функций в узлах решетки, умноженных на значения соответствующих отсчетов непрерывного изображения:

. (2.1)

Поскольку вне точек , это представление можно переписать в виде

, (2.2)

где - пространственная дискретизирующая функция.

Рассмотрим Фурье-спектр дискретизованного изображения. В силу (1.15а)

, (2.3)

где – Фурье-спектр непрерывного изображения, а – Фурье-спектр дискретизирующей функции. Используя (1.7), можно показать, что

, (2.4)

причем , .

Подставляя (2.4) в (2.3) и вычисляя свертку согласно (1.10) , получим

. (2.5)

а	б
Рис. 2.1. Спектры непрерывного (а) и дискретизованного (б) изображений

Из (2.5) следует, что спектр дискретизованного изображения является результатом суперпозиции спектров непрерывного изображения, прямоугольно периодически повторяющихся с периодами , (рис. 2.1). При этом, если спектр непрерывного изображения ограничен частотами и , т. е.

при , (2.6)

и периоды повторения удовлетворяют условию

, , (2.7)

то повторяющиеся спектры не перекрываются, и возможно выделение любого из них. В частности, выделив из составляющую при , и применив к ней обратное преобразование Фурье, можно восстановить исходное непрерывное изображение. Такое выделение можно выполнить, например, с помощью пространственно-инвариантного фильтра с частотной характеристикой

. (2.8)

Действие фильтра описывается соотношением

. (2.9)

Если при этом и , то , т. е. выделенный спектр совпадает со спектром исходного непрерывного изображения, поэтому данный фильтр является восстанавливающим фильтром.

Используя свойство (1.15) преобразования Фурье и применив обратное преобразование Фурье к , получим изображение

, (2.10)

где

(2.11)

– импульсный отклик восстанавливающего фильтра.

Подстановка в (2.10) представления дискретизованного изображения в форме (2.1) дает

(2.12)

Из (2.12) следует, что импульсный отклик восстанавливающего фильтра является функцией, интерполирующей непрерывное изображение в промежутках между дискретными отсчетами.

Тем самым показано, что дискретизация непрерывного изображения с ограниченным спектром допускает его последующее точное восстановление, если соблюдается условие (2.7). Теорема о восстановлении непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам известна в теории сигналов как теорема Шеннона-Котельникова, а условие (2.7) – как критерий Найквиста.

Использование в приведенных рассуждениях преобразования Фурье позволяет применить полученный результат только к детерминированным изображениям. Пусть теперь – непрерывное случайное изображение, порожденное стационарным случайным процессом с автокорреляционной функцией . Аналогично (2.2) дискретизованное изображение можно представить в виде

.

Его автокорреляционная функция есть

Нетрудно убедиться в том, что

.

Следовательно, дискретизованный процесс также стационарен и имеет автокорреляционную функцию

,

а его спектр мощности имеет вид

. (2.13)

Полученное соотношение аналогично (2.5) из чего следует, что если спектр мощности непрерывного случайного стационарного процесса ограничен, а дискретизация выполнена в согласии с критерием Найквиста, то по дискретным отсчетам случайного изображения путем интерполяции, определяемой выражением (2.12), можно построить непрерывное изображение , порожденное тем же случайным процессом. В отличие от детерминированных изображений в этом случае равенство исходного и восстановленного изображений выполняется в среднеквадратическом смысле [1]:

.

Для эргодических процессов, усреднение по реализациям эквивалентно усреднению по пространству, из этого следует, что

.

Предположим теперь, что изображение является суммой полезного сигнала и случайного стационарного шума с ограниченными спектрами, причем спектр мощности шума шире, чем спектр мощности полезного сигнала. При условии некоррелированности сигнала и шума спектр мощности дискретизованного изображения имеет вид