Практические работы по дисциплине «Вычислительная математика» (стр. 2 )

Решить систему уравнений из задачи 4.1, используя LU-разложение матрицы.

Решение задачи:

1.  Используя функцию lu(A), получить LU разложение матрицы.

2.  Преобразовать вектор b по формулам прямого хода метода Гаусса. С помощью обратной подстановки найти решение системы x.

Матрицы L, U

Вычислим масштабирующие множители первого шага

преобразование матрицы

Вычислим масштабирующие множители второго шага

Вычислим масштабирующие множители третьего шага

Выполним преобразование матрицы U и получим её окончательный вид

Проверка

ПРАКТИЧЕСКАЯ работа № 6

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ

Цель работы:

В работе рассматриваются итерационные методы решения СЛАУ. Метод решения задачи называют итерационным, если точное решение может быть получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных (как правило, простых) действий. Решение системы находится как предел бесконечного вычислительного процесса, позволяющего по уже найденным приближениям к решению построить следующее, более точное, приближение (поэтому эти методы еще называют приближенными). Если эта бесконечная последовательность действий сходится к решению задачи, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Задача 6.1

Дана система уравнений Ax=b. Найти решение системы с помощью метода Гаусса. Выполнить 10 итераций по методу Зейделя. Принимая решение, полученное с помощью метода Гаусса, за точное, найти величину абсолютной погрешности итерационного решения.

Решение задачи:

решение системы Ax=b, полученное с помощью встроенной функции lsolve

- достаточное условие сходимости выполнено

ПРАКТИЧЕСКАЯ работа № 7

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы:

В работе рассматривается решение уравнений вида f (x) = 0 . Если функция представляет многочлен, то уравнение называется алгебраическим. Если x находится под знаком трансцендентной функции (показательной, логарифмической, тригонометрической и т. п.), уравнение называется трансцендентным. Корнем уравнения называется значение , при котором f ( ) = 0. Корень называется простым, если f ( ) ≠ 0, в противном случае корень называется кратным. Целое число m называется кратностью корня , если f (k) ( ) = 0 для k = 1, 2, 3, m-1 и f(m)( ) ≠ 0. Ставится задача вычисления приближенного значения корня с точностью ɛ : найти такое значение x, что |x - | < ɛ.

Задача 7.1

Даны два уравнения: f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью ɛ =10-10 все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a, b]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Найти корни с помощью встроенной функции root пакета MathCAD.

Решение задачи:

Отрезки локализации [1,1.5], [1.5, 2]

Решение g(x)

- задание начального приближения

Задача 7.4

Локализовать корни уравнения, используя методы простой итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций). Найти корни, используя встроенную функцию polyroots.

Решение задачи:

Метод Ньютона

Метод простой итерации

Приведем уравнение к виду x=x-αf(x)

График производной f1(z)

Решение полинома средствами MathCAD

ПРАКТИЧЕСКАЯ работа № 8